MATEMATYKA EiT. (studia drugiego stopnia, drugi semestr) 3 2i, 2i44 i i )12, (cos 15 + i sin 15 ) 15, ( p 3 i) i)17, (i 1) 9, ( 1 i

Transkrypt

1 MATEMATYKA EiT (studia drugiego stopnia, drugi semestr) ) Wyznaczyć Re z; Im z; jzj ; z dla z = ( + i)(3 i), ( + i)( i) + (3 5i), (+i) 3 i, i44 i 45 i 46 +3i, 47 (cos 33 + i sin 33 ), ( + p 3 i)7, (i ) 9, ( i +i ), (cos 5 + i sin 5 ) 5, ( p 3 i) 3. ) Wyznaczyć i narysować zbiór rozwiazań równania: z 3 = 7, z 3 = i, z = 9i, z 4 =, z 4 =, z 3 = i p 3, z4 = i p 3, z 3 = + i, z 6 =, z 6 =. 3) Narysować zbiory: P ;3 (3 + i), P ; ( i), P 4;5 (i), S 3 (), S ( i), S ( ), K( + i; ), K(i; 3), K( i; ). 4) Narysować zbiór tych liczb zespolonych z, które spe niaja warunek: a) < jz ij, b) jz + 3ij 3, c) Re z > ^ jz ij 3, d) < arg z 4 ^ jzj >, e) arg z < ^ Im z, f) Im( i z ) <, g) Re(z ), h) Im( z ) <, i) 4 arg(iz) 4, j) < arg(( + i)z) < 4 k) jz + ij jz 5 + ij, l) jzj = jz 5j. 5) Wyznaczyć Re z; Im z dla z = e + 4 i, e 6 i, e i, e 7 6 i, cos(i), cos( + i), cos( 3 i), sin( i), sin( 4 i), sin( 3 i), log(3i), log( + i), log( i p 3 ), log(e + ie p 3).

2 6) Wykazać, ze dla z; z ; z C, k zachodza równości: e z+z = e z e z, (e z ) k = e kz, je z j = e Re z, e z+ki = e z, sin(z + ki) = sin z, cos(z + ki) = cos z, cos z + sin z =. 7) Sprawdzić, czy podana funkcja f jest holomor czna na swojej dziedzinie naturalnej (wyznaczyć ta dziedzin e). Jeśli tak, to wyznaczyć pochodna funkcji f. a) f(z) = z Im z, b) f(x + iy) = x y + 3i + xyi, c) f(z) = z z, d) f(z) = jzj + iz, e) f(x + iy) = 3xy i(x + y ), f) f(x + iy) = x 3 iy 3 3xy + 3ix y, g) f(z) = i z. ) Wyznaczyć (o ile istnieje) funkcj e holomor czna f = u + iv taka, ze: a) u(x; y) = x y + xy, f() = i, b) v(x; y) = x x +y, f(i) =, (y > ), c) u(x; y) = e x (x cos y y sin y), f() =, d) v(x; y) = 4xy y, e) u(x; y) = (y + 3)x y, f) u(x; y) = 3x x +y, (x > ), g) v(x; y) = arctg( y x ), (x > ), x h) u(x; y) = arccos( ), (y > ), i) v(x; y) = (x +y ) 3 p x +y, (y < ). 9) Dla podanego potencja u zespolonego f wyznaczyć pole si! E,! E oraz naszkicować linie si i linie ekwipotencjalne. a) f(z) = iz (pole sta e), b) f(z) = ( + i)z (pole sta e), c) f(z) = iq log z ( adunek q umieszczony w punkcie ), d) f(z) = pi z (dipol : q w p., q w p. d, p = qd moment dipolowy, d > ("bardzo ma e")), e i ) f(z) = iz z (interpretacja zyczna=?).

3 ) Obliczyć: d) Re zdz, = ; + i, d) Im zdz, = i; i, d3) jzj dz, : jzj = ^ Im z,(poczatek=) d4) e z dz, = ; + i, p) e z dz, =dowolna krzywa g adka aczaca z + i, p) e iz dz, = ; 5i, p3) p4) p5) p6) p7) (3z iz + i)dz, =dowolna krzywa g adka aczaca z i, i z dz, : jzj = ^ Re z, (poczatek=i), 3 dz (z i)4, : jz ij = 7, (i cos z z)dz, =dowolna krzywa g adka aczaca z, (+z) z 5 dz, : jz + ij =, p) sin(i z)dz, = ; + i, p9) (z e iz i cos(z 3 ))dz, : z + 5 p) (z 5 log z)dz, : jz 7j =, p) p) sin z i z i dz, : jz + 3j =, z 4dz, : jz + 3ij =, p i =, 3

4 p3) p4) c) c) c3) c4) c5) c6) c7) c) c9) c) c) c) c3) c4) c5) z +9dz, : jzj =, sin z+5iz z 4iz 4 dz, : jz + ij =, +z 3z z +i dz, : jz j = 5, log z z+4idz, : jz + 5ij =, e z (z+)(z i) dz, : jz ij =, e z (z+)(z i) dz, : jz + j = 3, sin(z) z +9 dz, : jz ij =, cos (z) z +4 dz, : jz + 7ij = 6, z cos( z) (z+) dz, : jz + ij = 7, zdz (z i), : jzj = 3, zdz (z i) 3, : jz ij = 3, z dz (z i) 3, : jz ij =, z 5 dz (z+i) 4, : jzj = 3, dz (z +), : jz + ij =, dz (z +) 3, : jz ij = 4, e z dz (z 4), : jz + j =, cos(z)dz (z 9), : jz 3j =, 4

5 r) r) r3) r4) r5) r6) r7) r) r9) r) r) r) dz z(z +4), : jzj = 3, (z e z3 + eiz z )dz, : jz j = 4, e iz z dz, : jz j = 5, z 5 z 3 dz, : jzj = 7, dz z 4 +, : x + y x =, dz (z ) (z+), : x + y = x + y, (sin(z ) + e i z )dz, : jzj = 3, sin( z )dz, : jzj = 3, (z cos( 3i z ))dz, : jzj =, dz sin z, : jzj =, (z 4 e 3 z 5 )dz, : jzj =, (z 7 cos( +i z 4 ))dz, : jzj = 4. ) Obliczyć: x a) + x 4 + dx, a) a3) a4) dx (x +), x (x +a ) dx, (a > ), dx (x +a )(x +b ), (a > b > ), 5

6 a5) a6) b) b) b3) b4) b5) b6) c) c) c3) c4) dx x +4x+, dx (x 4 +x +9), cos x x +4 dx, x sin x x +4x+ dx, cos 5x x 4 + dx, cos x (x +a ) dx, (a > ), x sin x (x +a ) dx, (a > ), cos x (x +a )(x +b ) dx, (a > b > ), dx sin x+a d (+cos ),, (a > ), sin x a+b cos xdx, (a > b > ), cos x 5 4 cos(x ) dx, ( R). ) Wyznaczyć transformat e Laplace a orygina u f(t) = (t)h(t) dla h(t) = a) 7 t + 3t t 3 a) t 5 3t 4 + t 3t + a3) 5 sin t 3 cos t a4) sin(5t) + cos(3t) a5) te t t e 3t + t 3 e t + e 5t a6) e t cos(3t) + e 3t sin(4t) + e 7t a7) ch(t) 3sh(t) 6

7 a) e t cht + e t sht a9) t sin t a) t cos(t) a) tch(t) a) e 3t sh(4t) a3) sin 3t a4) cos t a5) a6) a7) t t t e cos d e 5 d e 3 sin()d 3) Naszkicować wykres orygina u f i wyznaczyć jego transformat e Laplace a. < t < a) f(t) = < t < : t > < t < a) f(t) = 3t < t < : 3 < t t < a3) f(t) = t t > >< a4) f(t) = >: >< a5) f(t) = >: < a6) f(t) = : t < t < t < t < t < t > t < < t < < t < t > t < 3 t < t < t > ) Wyznaczyć transformat e odwrotna do transformaty Laplace a obrazu F (s) = a) s a) (s+) 3 a3) (s ) 3 a4) s +4 7

8 a5) 3s s +9 a6) s +s a7) 4s s +3s a) s + s 3 +s a9) s 5 s +s+ a) s (s +s+5)(s ) a) 4s +5s+36 s (s +6s+3) a) s s+ (s+)(s +4) a3) 3s+5 s +s+ a4) s (s +) a5) s (s +4) a6) s s(s +s+) a7) s s+5 (s +4) a) (s +6s+3) 4) Stosujac metod e operatorowa rozwiazać poni zsze zagadnienia poczatkowe dla równań i uk adów równań ró zniczkowych liniowych. x a) + x = x() = x a) + x = cos t x() = x 3x = e a3) 3t x() = x a4) + x = t x() = 3 a5) x = t x() = ; x () = x x a6) + x + x = t x() = ; x () = x a7) + x x = cos t x() = ; x () = x a) + 4x + 3x = e t x() = ; x () = a9) x + x = sin t x() = ; x () =

9 a) a) x + x = e t x() = ; x () = ; x () = x (4) + 4x = t x() = ; x () = ; x () = ; x () = < x = x + y u) y = x y + : x() = y() = < x + y y = e t u) x + y + y = 5 : x() = y() = < x = y u3) y = x + y : x() = y() = < x + y = 3t u4) y x = 4 : x() = ; y() = 3 < x = x + y u5) y = x 4y : x() = y() = x >< = y z y u6) = x + y z >: = x + z x() = ; y() = ; z() = x >< = y + z y u7) = 3x + z z >: = 3x + y x() = ; y() = ; z() = 5) Wyznaczyć transformat e Laplace a podanych sygna ów: t a) y(t) = (t) sin s cos(t s)ds 9

10 t a) y(t) = (t) a3) y(t) = (t) a4) y(t) = (t) a5) y(t) = (t) a6) y(t) = (t) t t t t cos s sin(t s)ds (t s) 4 cos sds (s 3)e t s ds s 3 (t s) ds sin(3s)e 3(s t) ds a7) 3(t) (t ) + 5(t 5) a) (t) + 7((t)) ((t)) + 4((t)) a9) (t) + ((t 3)) 3((t 4)) + ((t )) a) (t) ((t)t ) a) (t ) ((t) sin t) a) (t ) [(t 7) + 5(t)] a3) ((t 4)) ((t 7 ) sin(t 7 )) a5) (t ) ((t) cos(t)) a6) ((t)e 3t ) ((t) cos(5t)) a7) ((t 3)) (4) ((t)t) a) ((t 5) sin(t )) ((t )(t ) 3 )) a9) [(t ) (t 4)] [ (t) + 3(t )] a) (t ) [(t) t (t s) sin 4sds] (oczywiście ró zniczkowanie nale zy rozumieć w sensie dystrybucyjnym) 6) Korzystajac z twierdzenia Borela wyznaczyć transformat e odwrotna do F (s) = (o ile zachodzi konieczność zmudnego ca kowania mo zna pozostawić wynik w postaci ca ki splotowej) a) s +s = s s+ a) s 3 +s = s s + a3) s s+3 = (s ) s+3 a4) s 9! a5) (s +! ) (! > ) s a6) (s +! ) (! > ) a7) e s (s + )

11 a) e 5s (s 3s + ) a9) s 3 +s +5s a) (s +)(s +4s+3) 7) Niech a ; a ; :::; a n ; b ; b ; :::; b m R i niech () y (n) + a n y (n ) + ::: + a y + a y = b m x (m) + ::: + b x + b x. Jak wiadomo (p. odp. twierdzenie), dla ka zdej dystrybucji (wymuszenia) x D + istnieje dok adnie jedna (odpowiedź) dystrybucja y D + taka, ze zachodzi równość () - fakt ten b edziemy zapisywać symbolicznie x 99K y. Wykazać, ze je zeli x 99K y, x 99K y, x 99K y, R, t >, to: 6.) x + x 99K y + y 6.) (x) 99K (y) 6.3) ( t x) 99K ( t y) (uk ad LTI - linear time-invariant system ) ) Wykazać, ze je zeli h D+ jest odpowiedzia impulsowa uk adu () (czyli (t) = 99K h) oraz H jest transmitancja operatorowa uk adu (), to ( (n) + a n (n ) + ::: + a + a ) h = b m (m) + ::: + b + b, Lfhg = H oraz dla ka zdej dystrybucji x D + x 99K x h. 9) Dla podanego uk adu LTI wyznaczyć transmitancj e operatorowa H(s) oraz odpowiedź impulsowa h(t). Je zeli uk ad jest stabilny, to wyznaczyć transmitancj e widmowa b h(!) = H(i!) i widmo amplitudowe (wzmocnienie uk adu) M(!) = jh(i!)j. Wykonujac ró zniczkowanie dystrybucyjne dokonać bezpośredniego sprawdzenia, ze istotnie h jest odpowiedzia impulsowa. (Propozycja dodatkowa: korzystajac np. z programu Geogebra narysować wykresy h; M (oczywiście, o ile h jest dystrybucja regularna).) a) y + ay = bx (a > ; b R) a) y 3y = x a3) y + y = 3x + x a4) y +! y = x (! > ) a5) y +! y = x (! > ) a6) y = x a7) y = x + 3x + x a) y + 3y + y = x a9) y + 3y + y = x

12 a) y + y + y = x a) y + y + 5y = x a) y + y + 5y = x + x a3) y y = x x a4) y y y + y = x a5) y + 3y + y + y = x + x + a6) y + 3y + y + y = x + x a7) y + 3y + y + y = x a) y = x x a9) y (4) + 5y + 4y = x + 4x a) y (4) + 5y + 4y = x a) y + y = x a) y + p y + y = x a3) y + y + y + y = x (ostatnie uk ady to wystandaryzowane ltry Butterwortha rz edu,,3) ) Dla uk adów z zadania 9) wyznaczyć odpowiedź na wymuszenie x(t) = j) (t) j) U (t t ) (t > ; U R) j3) (t)t j4) ((t) (t )) j5) ((t) (t ))t j6) (t) sin(!t) (! > ) j7) (t ) sin(t ) j) U (t t ) (t > ; U R) j9) [(t t )] (t > ) j) [(t)] j) [(t)] + 3(t) j) [(t)t] j3) [(t) sin(t)] j4) [(t) cos(t)] j5) (t)e t j6) (t) +t j7) (t) cos 5 t j) (t) ln( + 3 p jtj) (w przypadku konieczności zmudnego ca kowania (lub wrecz niewykonalnego w klasie funkcji elementarnych) wynik mo zna pozostawić w postaci ca ki splotowej w mo zliwie najprostszej postaci) ) Niech dany b edzie uk ad stabilny () y (n) + a n y (n ) + ::: + a y + a y = b m x (m) + ::: + b x + b x i niech H b edzie jego transmitancja operatorowa. Jak wiadomo z klasycznej teorii równań liniowych (por. Analiza mat., metoda przewidywań), dla ka zdej funkcji x w postaci sinusoidalnej (amplitudowofazowej)

13 x(t) = A cos(! t + ) (A > ) istnieje dok adnie jedna funkcja y w postaci y(t) = B cos(! t + ) (B > ) taka, ze dla ka zdej chwili t R zachodzi () ( y nazywamy stanem ustalonym uk adu () ). Niech b edzie liczba taka, ze ( M(! ) = jh(i! )j ). Wykazać, ze a w konsekwencji oraz dla pewnej liczby ca kowitej k H(i! ) = M(! )e i Be i = H(i! )Ae i, B A = M(! ) = + + k. Wskazówka Po wstawieniu do () funkcji x; y przy o zyć stronami transformat e Fouriera (w klasie S ). ) Wyznaczyć stan ustalony podanego uk adu dla podanych wejść okresowych (mo zna wykonywać rachunki przybli zone z pomoca kalkulatora)..) y + y = x a) x(t) = b) x(t) = cos t c) x(t) = cos(t) d) x(t) = cos(3t) e) x(t) = 5 + cos t :5 cos(t) + : cos(3t).) y + y + 5y = x + x 3

14 a) x(t) = b) x(t) = cos(:t 7 ) c) x(t) = cos(:t) d) x(t) = cos(:5t + ) e) x(t) = cos(:t 7 ) + cos(:t) + : cos(:5t + ) ADANIA DODATKOWE 3) Niech (tak jak w zad. ) y b edzie stanem ustalonym odpowiadaja- cym wymuszeniu sinusoidalnemu x w uk adzie stabilnym (). Niech ey b edzie odpowiedzia uk adu na wejście ex(t) = (t)x(t) (czyli ey = exh ). Wykazać, ze istnieja liczby dodatnie C; c takie, ze dla t > jey(t) y(t)j Ce ct. ( powy zszego oszacowania otrzymujemy natychmiast, ze lim t! jey(t) y(t)j = - stan nieustalony jest "szybko" zbie zny do ustalonego). 4) Niech w obwodzie jednooczkowym z "liniowymi elementami R; L lub C" w aczone b edzie źród o napiecia, którego przebieg opisuje e D+. Sprawdzić, czy poprawnie zosta o napisane równanie, w którym wejściem jest e, a wyjściem spadek napiecia u na wskazanym elemencie lub prad i w obwodzie. Wyznaczyć transmitancj e operatorowa H(s), odpowiedź impulsowa h(t), transmitancj e widmowa h(!) = H(i!) i widmo amplitudowe (wzmocnienie uk adu) M(!) = jh(i!)j. Wyznaczyć odpowiedź uk adu na wymuszenie a) e(t) = U (t) (U R) b) e(t) = U ((t) (t t )) (t > ; U R) c) e(t) = (t)u cos(!t) (U R;! > ) d) e(t) = (t)u e t (U R; > ) 4.) RC : (u = u C ) u + RC u = RC e i + RC i = R e 4

15 4.) RL : u + R L u = e (u = u L ) i + R L i = L e 4.3) RLC : u + R L u + LC u = LC e (u = u C ) u + R L u + LC u = e (u = u L ) i + R L i + LC i = L e. (w 4.3 proponuj e dobrać konkretne "wygodne" wartości wspó czynników RLC tak, aby "obejrzeć" trzy przypadki - gdy wyró znik mianownika transmitancji jest dodatni,ujemny, równy zero) Dla powy zszych uk adów wyznaczyć stan ustalony dla e(t) = U cos(! t + ). ( Celem nast epnych zadań jest zrozumienie zwiazku pomi edzy odpowiedziami uk adu a klasycznymi rozwiazaniami zagadnień poczatkowych równań ró zniczkowych liniowych ) 5) Niech dany b edzie uk ad LTI: () y + a y = b x. Niech y : R! R b edzie jedynym (klasycznym klasy C ) rozwiazaniem zagadnienia poczatkowego z + a z =. z() = b Wykazać, ze sygna h(t) = (t)y(t) 5

16 jest odpowiedzia impulsowa uk adu (). Rozwiazanie Pochodna dystrybucyjna sygna u h jest równa h (t) = (t)y (t) + y()(t) = (t)y (t) + b (t) (przypominam, ze powy zszy zapis nale zy rozumieć precyzyjnie jako l h = l (t)y (t) + y()(t) ). Do lewej strony uk adu () wstawiamy h i otrzymujemy: h (t) + a h(t) = (t)y (t) + b (t) + a (t)y(t) = = b (t) + (t)[y (t) + a y(t)]. za o zenia, dla ka zdej chwili t a zatem y (t) + a y(t) =, h (t) + a h(t) = b (t), co dowodzi, ze istotnie h jest odpowiedzia impulsowa uk adu (). 6) Niech dany b edzie uk ad LTI: () y (n) + a n y (n ) + ::: + a y + a y = b x. Niech y : R! R b edzie jedynym (klasycznym klasy C n ) rozwiazaniem zagadnienia poczatkowego z (n) + a n z (n ) + ::: + a z + a z = z() = z () = ::: = z (n ) () =, z (n ). () = b Wykazać, ze sygna h(t) = (t)y(t) jest odpowiedzia impulsowa uk adu (). 7) Niech dany b edzie uk ad LTI: () y + a y + a y = b x + b x. Niech y : R! R b edzie jedynym (klasycznym klasy C ) rozwiazaniem zagadnienia poczatkowego 6

17 Wykazać, ze sygna z + a z + a z = z() = b, z () = b a b. h(t) = (t)y(t) jest odpowiedzia impulsowa uk adu (). ) Niech dany b edzie uk ad LTI: () y (n) + a n y (n ) + ::: + a y + a y = b m x (m) + ::: + b x + b x (n > m). Niech y : R! R b edzie jedynym (klasycznym klasy C n ) rozwiazaniem zagadnienia poczatkowego z (n) + a n z (n ) + ::: + a z + a z = z() = A, z () = A ; :::; z (n ). () = A n Wyznaczyć liczby A ; A ; :::; A n (warunki poczatkowe) tak, aby sygna h(t) = (t)y(t) by odpowiedzia impulsowa uk adu (). 9) Niech dany b edzie uk ad LTI: () y (n) + a n y (n ) + ::: + a y + a y = b x. Niech x : R! R b edzie funkcja ciag a i niech y : R! R b edzie jedynym (klasycznym klasy C n ) rozwiazaniem zagadnienia poczatkowego z (n) + a n z (n ) + ::: + a z + a z = b x z() = z () = ::: = z (n ) () =. Wykazać, ze sygna ey(t) = (t)y(t) jest odpowiedzia na wejście ex(t) = (t)x(t) w uk adzie (). 3) Niech dany b edzie uk ad LTI: 7

18 () y + a y + a y = b x + b x. Niech x : R! R b edzie funkcja klasy C i niech y : R! R b edzie jedynym (klasycznym klasy C ) rozwiazaniem zagadnienia poczatkowego z + a z + a z = b x + b x z() = ; z () = b x(). Wykazać, ze sygna ey(t) = (t)y(t) jest odpowiedzia na wejście ex(t) = (t)x(t) w uk adzie (). 3) Uogólnić wyniki dwóch ostatnich zadań dla dowolnego ukladu LTI (n > m).