Matematyka 2 (Wydziaª Architektury) Lista 1: Funkcje dwóch zmiennych

Transkrypt

1 Matematka 2 (Wdziaª Architektur) Lista : Funkcje dwóch zmiennch I Wznacz i narsowa dziedzin funkcji:. z = z = sin(2 + 2 ) z = arcsin(2 + 2 ) z = 5. z = ln ( ) z = ln(2 + 2 ) ln( +) 7. z = arctg() π 4 8. z = 9. z = 3 + log 2 (2 cos + ). z = arcsin. z = ln( 4 2 ) 2. z = sin 3. z = sin II Naszkicowa i opisa we wspóªrz dnch biegunowch obszar: , , , , , 9.,. ( ) III Naszkicowa powierzchnie o zadanch równaniach. z = z = z = z = z 2 = 4 6. z = z = z = sin 9. z = arctg = = 2 IV Oblicz wszstkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du nast puj cch funkcji:. f(, ) = ; 2. f(, ) = sin( cos ); 3. f(, ) = e sin ; 4. f(, ) = arctg +. V Oblicz wszstkie pochodne cz stkowe drugiego rz du nast puj cch funkcji i sprawdzi, cz pochodne mieszane s rzeczwi±cie równe:. f(, ) = + ; 2. f(, ) = sin( ); 3. f(, ) = e ; 4. f(, ) = ln().

2 VI Wznacz wszstkie ekstrema lokalne nast puj cch funkcji. Ustali, które z nich s minimami, a które maksmami:. f(, ) = ; 2. f(, ) = ; 3. f(, ) = 8 + +, (, > ); 4. f(, ) = 2 (2 ), (, > ); 5. f(, ) = (2 + 2 )e ; 6. f(, ) = (cos +cos ) 2 +(sin +sin ) 2. VII Wznacz ekstrema podanch funkcji prz zadanch ograniczeniach na argument:. f(, ) = 2 + 2, = 6; 2. f(, ) = , 2 + = ; 3. f(, ) = 2 + 3, =. VIII Znale¹ najmniejsze i najwi ksze warto±ci podanch funkcji na wskazanch zbiorach:. f(, ) = , = {(, ) R 2 : 2 4}; 2. f(, ) = 2 + 2, = {(, ) R 2 : + 2}; 3. f(, ) = , = {(, ) R 2 : 3 3, 3 }; 4. f(, ) = 4 + 4, = {(, ) R 2 : }. IX Na pªaszcz¹nie + 2 3z = 6 znale¹ punkt poªo»on najbli»ej pocz tku ukªadu wspóªrz dnch. X W±ród wszstkich prostopadªo±cianów wpisanch w kul o promieniu R znale¹ ten, któr ma najwi ksz obj to±. XI Jakie powinn b wmiar prostopadªo±ciennej otwartej wann o pojemno±ci V, ab ilo± blach zu»tej do jej zrobienia bªa najmniejsza? XII Prostopadªo±cienn magazn ma mie kubatur 26 m 3. o budow ±cian jego ±cian u»te zostan pªt w cenie 3 zª/m 2, podªogi b d kosztowa 4 zª/m 2, a sut 2 zª/m 2. Jakie wmiar powinien mie magazn, ab koszt jego budow bª najmniejsz? XIII Oblicz nast puj ce caªki:. cos d 2. cos d 3. d 4. d 5. e 2 d 6. e 2 d d d XIV Narsowa obszar caªkowania i oblicz nast puj ce caªki iterowane:. d d; 2. π 4 d sin( + )d; 3. 4 d 2 2 d; d 4 2 ( )d; 5. 3 d 2 + 6d; 6. 4 d 2 2 d.

3 XV Zapisa caªk f(, )dd jako caªk iterowan, je±li obszar jest ograniczon nast puj - cmi krzwmi:. 2 + = 2, 3 = 2 ; = ; = 4, = 2 2, = (, ); =, = 3. XVI Zamieni kolejno± caªkowania w nast puj cch caªkach iterowanch:. d f(, )d; 2. d f(, )d; 3. 9 d 3 f(, )d; 4. 3 d f(, )d; e d ln f(, )d; 6. π 4 d tg f(, )d. π 4 XVII Oblicz nast puj ce caªki podwójne (je±li obszar jest podan jako zestaw krzwch, chodzi o obszar ograniczon tmi krzwmi): dd, 2 dd, : =, = 2 2 ; : = 2, =, = ; 3. ( + )dd, : =, =, = 3 2 ( ); 4. ( )dd, : = + 3, = ; 5. ( )dd, : =, = π, =, = sin ; 6. e dd, : =, =, = ; e 2 dd, : =, = 2, = ln 3; 2 e dd, : =, =, = ; sin dd, : =, =, = ; arctg 2 dd, : =, =, =, = ; dd, = { 2, + 2 4}

4 XVIII Oblicz nast puj ce caªki iterowane, zamieniaj c kolejno± caªkowania d 3. d 4 2 d e (4 2 ) 3 2 d; 3 + d; ( + sin( 4 ))d; 4. π π d sin 2 d; 2 d 3 4 d; d d. 2 XIX Korzstaj c ze wspóªrz dnch biegunowch, oblicz nast puj ce caªki podwójne: dd, = { } ; ln( ) dd, = { , } ; e 2(2 + 2) dd, = { 2 + 2, } ; { dd, = , } 3 ; e2 dd, = { ; } ; ( )dd, = { } ; , = {, ( ) 2 4( 2 2 ) } ; arctg { dd, = <,, } 3 ; arctg { } 2 +, = 2 ( ) ; ( ) 2, = { ,, }.

5 XX Oblicz pola gur ograniczonch krzwmi o równaniach: , ; 2. ( ) 2 = 2( 2 2 ); 3. ( ) 2 = 2 3 ; 4. ( ) = 2, = 4, =, =. XXI Naszkicowa brª ograniczone nast puj cmi powierzchniami i oblicz ich obj to±ci:. z = 9 2 2, z = ; 2. z = 4 2 2, z = ; 3. z =, =, z = ; 4. z = , z = ; 5. z = 2 + 2, =, = 2, z = ; 6. z = , z = 2 2 ; z 2 = 4, =. XXII Oblicz pola powierzchni wci tch:. walcem = 2 z paraboloid hiperbolicznej z = ; 2. walcem = z walca 2 + z 2 = ; 3. walcem = 2 ze sfer z 2 = 4; 4. walcem = ze sto»ka 2 + z 2 = 2. XXIII Oblicz mas koªa o promieniu R, w którm g sto± jest wprost proporcjonalna (z wspóªcznnikiem proporcji γ) do:. kwadratu odlegªo±ci od ustalonej ±rednic; 2. kwadratu odlegªo±ci od ustalonego punktu le» cego na brzegu. XXIV Oblicz mas kwadratu o boku a, w którm g sto± jest wprost proporcjonalna (z wspóªcznnikiem proporcji γ) do:. kwadratu odlegªo±ci od ±rodka; 2. kwadratu odlegªo±ci od ustalonego boku; 3. odlegªo±ci od ustalonego boku; 4. kwadratu odlegªo±ci od ustalonego wierzchoªka; 5. kwadratu odlegªo±ci od ustalonej przek tnej; 6. odlegªo±ci od ustalonej przek tnej. XXV Wznacz ±rodki mas nast puj cch gur jednorodnch:. Trójk t równoboczn o boku a. 2. Wcinek koªa o promieniu R i k cie α. XXVI Wznacz ±rodek mas póªkola o promieniu R, je±li jego g sto± jest wprost proporcjonalna (z wspóªcznnikiem γ) do odlegªo±ci od:. ±rodka; 2. podstaw; 3. osi smetrii.