Gry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański
|
|
- Wiktoria Popławska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Gry Nieskończone Krzysztof P lotka Praca Magisterska Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gdańk 1997
2 Spis treści Wstȩp ii Terminologia i oznaczenia iii 1. Gra Banacha-Mazura Gra szeregowa ( a n, A) Aksjomat determinacji AD Sformu lowanie Pewne równoważne formy oraz konsekwencje AD Dowód mierzalności wszystkich zbiorów na prostej Literatura i
3 Wstȩp Praca ta dotyczy gier nieskończonych z doskona l a informacj a, tzn. gier, w których gracze wykonuj ac ruch znaj a wszystkie wcześniejsze. W pierwszym paragrafie omawiamy grȩ Banacha-Mazura, podajemy definicjȩ strategii, strategii wygrywaj acej oraz zbioru zdeterminowanego. Nastȩpnie podajemy charakteryzacjȩ zbiorów zdeterminowanych. W tym paragrafie zostaje podane i udowodnione twierdzenie Zindulki o rozbiciu dowolnej przestrzeni metrycznej bez punktów izolowanych na sumȩ dwóch zbiorów: miary zero i I-kategorii. W paragrafie drugim zajmujemy siȩ innym przyk ladem gry nieskończonej. Gra ta zosta la sformu lowana przez autora pracy. Podane s a pewne w lasności tej gry, miȩdzy innymi jej zwi azek ze zmodyfikowan a wersj a gry Banacha-Mazura. Dalsza czȩść pracy jest poświȩcona aksjomatowi determinacji, do którego określenia wykorzystuje siȩ teoriȩ gier nieskończonych. Podajemy sformu lowanie tego aksjomatu, pewne równoważne formy oraz konsekwencje. Krótko zostaje również zreferowany problem niesprzeczności oraz niezależności tego aksjomatu od pozosta lych aksjomatów teoriomnogościowych. Praca kończy siȩ dowodem jednej z bardzo interesuj acych konsekwencji aksjomatu determinacji, a mianowicie mierzalności wszystkich zbiorów na prostej wzglȩdem miary Lebesgue a. ii
4 Terminologia i oznaczenia. Przez przedzia l na prostej rozumiemy przedzia l postaci [a, b], gdzie < a < b < +. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy przez R. Przestrzeń nieskończonych ci agów liczb naturalnych ω ω z metryk a ρ(s, t) = (min{n : s n t n } + 1) 1, (s t) nazywamy przestrzeni a Baire a. Przestrzeń Cantora 2 ω jest podprzestrzeni a ω ω. ω <ω oraz 2 <ω oznaczaj a zbiór skończonych ci agów (w tym również ci ag pusty) elementów zbiorów odpowiednio ω i {0, 1}. Niech s = s 0, s 1,..., s n, p = p 0, p 1,..., p m ω <ω. Przez s p oznaczamy ci ag s 0,..., s n, p 0,..., p m. Przez A 0, A, A oznaczamy odpowiednio wnȩtrze, dope lnienie oraz moc zbioru A. 2 ℵ 0 = 2ω. [X] ω = {A X : A = ℵ 0 }. Przez m oznaczamy jednowymiarow a miarȩ Lebesgue a. WAC oznacza nastȩpuj ac a s labsz a wersjȩ aksjomatu wyboru AC: Dla każdej rodziny zbiorów niepustych F takiej, że F ℵ 0 oraz F 2 ℵ 0 istnieje funkcja wyboru. iii
5 1. Gra Banacha-Mazura. Gra Banacha-Mazura jest jednym z wielu przyk ladów matematycznych gier nieskończonych. Zosta la wymyślona przez S.Mazura, ale podstawowe twierdzenie dotycz ace tej gry udowodni l Banach (st ad nazwa). Zasady tej gry opisujemy poniżej. Rozważmy przedzia l I 0 na prostej oraz pewien wyróżniony jego podzbiór A. W grze uczestniczy dwóch graczy: gracz (I) i gracz (II). Grȩ rozpoczyna gracz (I), który wybiera przedzia l I 1 zawarty w I 0. Ruch gracza (II) polega na wyborze przedzia lu I 2 I 1. Nastȩpnie gracz (I) wybiera I 3 I 2, itd. W ten sposób gracze określaj a nieskończony ci ag zstȩpuj acych przedzia lów I n n ω (ci ag ten nazywamy wynikiem gry), przy czym przedzia ly o indeksach nieparzystych zosta ly wybrane przez gracza (I), pozosta le zaś przez gracza (II). Gra jest wygrana przez gracza (I), jeśli n=0 I n A. W przeciwnym przypadku wygrywa gracz (II). Grȩ z tak określonymi regu lami oraz wyróżnionymi przedzia lem I 0 i zbiorem A oznaczymy przez I 0, A. Jak w przypadku np. gier karcianych, tak również w przypadku matematycznych gier nieskończonych powstaje pytanie, jak gracze powinni grać, aby być pewni swojej wygranej, i czy w ogóle istnieje taka zwyciȩska metoda gry dla któregoś z nich. Metodȩ, na podstawie której dany gracz bȩdzie dokonywa l wyborów nazwiemy strategi a danego gracza. Mówi ac śćiśle: strategi a gracza (I) nazywamy funkcjȩ f określon a na zbiorze {(I 0, I 1,..., I 2n ) : I 0 I
6 I 2n, n ω} o wartościach w zbiorze {I : I I 0 } spe lniaj ac a warunek: (1) f(i 0,..., I 2n ) I 2n (n ω). Podobnie określamy strategiȩ dla gracza (II). Jest to funkcja g : {(I 0, I 1,..., I 2n+1 ) : I 0 I 1... I 2n+1, n ω} {I : I I 0 } o w lasności (2) f(i 0,..., I 2n+1 ) I 2n+1 (n ω). Strategiȩ f nazwiemy zwyciȩsk a dla gracza (I), jeśli gracz ten graj ac zgodnie z t a strategi a (tzn. wybieraj ac w swoim n-tym ruchu przedzia l f(i 0, I 1,..., I (2n 1) ), gdzie I 1,..., I (2n 1) wcześniej wybrane przedzia ly) wygrywa bez wzglȩdu na to jak gra l (II). Podobnie określamy zwyciȩsk a strategiȩ dla gracza (II). Teraz wcześniejsze pytanie możemy sformu lować nastȩpuj aco: czy w grze I 0, A istnieje zwyciȩska strategia dla któregoś z graczy? Oczywiście odpowied a na to pytanie bȩdzie zależa la od w lasności zbioru A. Zbiór A I 0 nazywamy zdeterminowanym dla gracza (I) w grze I 0, A, jeśli istnieje zwyciȩska strategia dla (I). Mówimy wtedy również, że gra I 0, A jest zdeterminowana dla (I). Analogicznie określamy zbiór zdeterminowany dla gracza (II). Poniżej podamy twierdzenie charakteryzuj ace zbiory zdeterminowane dla (II) w grze Banacha-Mazura (patrz [13], Tw 6.1). Twierdzenie 1. Gracz (II) posiada zwyciȩsk a strategiȩ w grze I 0, A wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zbiorem I-kategorii. 2
7 Dowód. ( ) Za lóżmy, że A jest zbiorem I-kategorii. Czyli A = n=0 I n, gdzie A n jest zbiorem nigdziegȩstym dla n = 0, 1,.... Zdefiniujemy teraz zwyciȩsk a strategiȩ dla (II). Niech I 0, I 1,..., I 2n+1 bȩdzie ci agiem przedzia lów takim, że I i+1 I i. Ponieważ zbiór A n jest nigdziegȩsty, wiȩc istnieje przedzia l I 2n+2 I 2n+1 roz l aczny z A n. K ladziemy g(i 0, I 1,..., I 2n+1 ) := I 2n+2. Określiliśmy wiȩc strategiȩ dla gracza (II). Uzasadnimy teraz, że jest to strategia zwyciȩska. Niech I n n ω bȩdzie wynikiem gry I 0, A. Jeśli (II) gra l zgodnie z g, to I 2n+2 A n = (n ω). St ad i z tego, że I n n ω jest ci agiem zstȩpuj acym otrzymujemy A ponieważ A = A n, wiȩc k I k A n = (n ω). In A =. To znaczy, że g jest zwyciȩsk a strategi a dla (II). ( ) Niech bȩdzie dana zwyciȩska strategia g dla gracza (II). skonstru lujemy najpierw ci ag przedzia lów J i I0 0 (i ω) o w lasnościach: def (i) K i =g(i 0, J i ) s a wzajemnie roz l aczne dla i ω, (ii) zbiór K 0 i jest gȩsty w I 0. Konstrukcja. 3
8 Niech S = S 0, S 1,..., S n,... bȩdzie różnowartościowym ci agiem wszystkich przedzia lów o końcach wymiernych zawartych w I 0 0. J 0 def =S 0 Za lóżmy, że zosta ly zdefiniowane przedzia ly J 0, J 1,..., J n. Niech l n def = min{i : S i I 0 \ (K 0 K 1... K n )}. Wówczas J n+1 def =S ln. J n+1 jest pierwszym z elementów S roz l acznym z każdym z przedzia lów K i dla i = 0, 1,..., n. W ten sposób skonstru lowaliśmy ci ag J i i ω. Pokażemy, że spe lnia on w lasności (i) oraz (ii). ad(i). Niech i, j ω oraz i < j. Ponieważ K j I 0 \ (K 0... K i... K j 1 ), wiȩc K j K i =. ad(ii). Przypuśćmy niewprost, że zbiór Ki 0 znaczy, że istnieje przedzia l L I 0 taki, że nie jest gȩsty w I 0. To K 0 i L =. Niech l L def = min{i : S i L}. S ll jest pierwszym z przedzia lów w ci agu S, który zawiera siȩ w L. Ponieważ S ll I 0 \ (K 0 K 1... K ll 1), wiȩc S ll J i (i = 0,..., l L 1). A st ad i z definicji J i i ω wnioskujemy, że J ll = S ll. 4
9 Dalej mamy ( K 0 i L) K 0 l L L = K 0 l L (sprzeczność). Dla każdego z przedzia lów K i z osobna możemy teraz określić def ci ag przedzia lów J ij j ω taki, że K ij =g(i 0, J i, K i, J ij ) s a wzajemnie roz l aczne dla j ω oraz zbiór j K 0 ij jest gȩsty w K 0 i. Ponieważ i K 0 i jest gȩsty w I 0, wiȩc i,j K 0 ij jest gȩsty w I 0. Postȩpuj ac tak dalej zdefiniujemy indukcyjnie dwie rodziny J i0...i n n,ik ω oraz K i0...i n n,ik ω o w lasnościach: (3) K i0...i n = g(i 0, J i0, K i0,..., J i0...i n ), (4) J i0...i n+1 K 0 i 0...i n, (5) n ( K i0...i n jest rodzin a roz l aczn a i i 0...i n K 0 i 0...i n jest gȩsty w I 0 ). Pokażemy teraz, że dla dowolnego ci agu liczb naturalnych i n zachodzi n K i0...i n A =. Ustalmy i n ω ω. Przyjmijmy I 2n+1 := J i0...i n, I 2n+2 := K i0...i n n ω. Ponieważ zstȩpuj acy ci ag I n jest wynikiem gry I 0, A, w której (II) gra l zgodnie z g, wiȩc n K i0...i n A =. 5
10 Niech teraz G n def = i 0...i n K 0 i 0...i n dla n ω. Oznaczmy przez E zbiór n G n. Pokażemy, że E A =. Niech x E, czyli n x G n. Z w lasności (3), (4) i (5) mamy, że ni k x K 0 n 0...n k. Na podstawie wcześniejszego rozumowania wiemy, że k K n0...n k A =. A ponieważ x k K 0 n 0...n k, wiȩc x I 0 \ A. Wobec dowolności x mamy E I 0 \ A. Dalej otrzymujemy A = I 0 \ (I 0 \ A) I 0 \ E = n (I 0 \ G n ). Z tego, że G n jest zbiorem otwartym i gȩstym (w lasność (5)) otrzymujemy, że I 0 \ G n jest domkniȩtym zbiorem brzegowym, a wiȩc zbiorem nigdziegȩstym. A wobec tego A jest zbiorem I-kategorii. Twierdzenie 1 mówi, że zbiory zdeterminowane dla (II) s a zbiorami ma lymi w sensie kategorii. Ale czy zbiory te s a ma le również w sensie miary? Twierdzenie 2 (Zindulka). Każd a przestrzeń metryczn a X bez punktów izolowanych, dla której jest określona skończona miara borelowska µ, można rozbić na sumȩ dwóch zbiorów: µ-miary zero. I-kategorii i Nam wystarcza twierdzenie w przypadku gdy X jest przedzia lem, a to jest oczywiste. Wystarczy wzi ać dowolny zbiór typu G δ miary 0 zawieraj acy zbiór liczb wymiernych oraz jego uzupe lnienie. Twierdzenie 2 wynika z dwóch lematów, które sformu lujemy i udowodnimy poniżej (patrz [16]). 6
11 Lemat 1. Jeśli przestrzeń metryczna X zawiera podzbiór I-kategorii gȩsty i µ jest borelowsk a miar a skończon a, to X można rozbić na sumȩ dwóch zbiorów: I-kategorii i µ-miary zero. Dowód. Niech A bȩdzie zbiorem I-kategorii gȩstym w X. Możemy przyj ać, że A = A n, gdzie A n domkniȩty i nigdziegȩsty, czyli A jest typu F σ. Uzasadnimy teraz, że istnieje zbiór G G δ taki, że A G oraz µ(a) = µ(g). Ponieważ A n jest typu G δ, wiȩc dla każdego i ω istnieje zbiór otwarty G n,i A n o w lasności µ(g n,i ) µ(a n ) + 1 Jeśli teraz zdefiniujemy G i := n G n,i oraz G := i 2 n+1 i. G i, to otrzymamy µ(g) µ( G i ) = µ( n A n ) + µ( n G n,i \ n A n ) µ( n A n ) + µ( (G n,i \ A n )) µ(a) + 1 n i dla każdego i. def To znaczy, że µ(g) = µ(a). Zdefiniujmy zbiory X 1 =A G oraz def X 2 =G \ A. Tworz a one szukane rozbicie. Rzeczywiście. X 2 jest µ-miary zero, a X 1 jest I-kategorii, gdyż G jest I-kategorii jako uzupe lnienie zbioru gȩstego typu G δ. Lemat 2. Każda przestrzeń metryczna X bez punktów izolowanych zawiera podzbiór I-kategorii gȩsty. Dowód. Z w lasności przestrzeni metrycznej wiadomo, że X posiada bazȩ σ-dyskretn a (patrz [2], roz.4 4 Tw.2), tzn. tak a bazȩ B = B n, że n x X U otocz x {B B n : B U } 1. 7
12 Niech x B B dla każdego B B. Określamy A n def ={x B : B B n } (n ω) oraz A def = A n. Z w lasności B n wynika, że A n nie ma punktów skupienia. St ad X \ A n jest gȩsty w X (X nie ma punktów izolowanych). Wobec tego A n jest nigdziegȩsty, wiȩc A jest I-kategorii. Z definicji A wynika, że jest on gȩsty. Twierdzenie 2 daje odpowied a na wcześniej postawione pytanie. Istnieje A 0 I 0 I-kategorii i taki, że m(a 0 ) = m(i 0 ). A to znaczy, że (II) ma zwyciȩsk a strategiȩ w grze I 0, A 0. Jest to ciekawe z tego powodu, że zadaniem gracza (II) jest omin ać dany zbiór, a okazuje siȩ to możliwe w tym przypadku, mimo dużej miary A 0. Przed podaniem twierdzenia charakteryzuj acego zbiory zdeterminowane dla (I) zdefiniujemy pojȩcie zbioru I-kategorii w punkcie. Definicja. Zbiór E R nazywamy I-kategorii w punkcie x R, jeśli istnieje otoczenie U x punktu x takie, że zbiór U x E jest I-kategorii w R. Zbiór punktów x R, w których E jest I-kategorii oznaczymy przez E I. Dobrze znane s a nastȩpuj ace fakty (patrz [6], roz.12 8). Fakt 1. Zbiór E I jest zbiorem otwartym. Dowód. Jeśli x E I oraz U x takie otoczenie x, że U x E jest I-kategorii, to U x E I. 8
13 Fakt 2. Zbiór E E I nie jest zbiorem I-kategorii w żadnym punkcie, tzn. (E E I ) I =. Dowód. Przypuśćmy, że (E E I ) I. Istnieje wiȩc x R oraz otoczenie U x punktu x takie, że U x (E E I ) jest I-kategorii. Każdy podziór R otwarty i niepusty jest II-kategorii, wiȩc U x E I = (E I jest otwarty-fakt 1). Dalej, ponieważ U x E jest I-kategorii, wiȩc x E I, co jest sprzeczne z tym, że U x E I =. Fakt 3. Zbiór E E I jest zbiorem I-kategorii. Dowód. Rozpatrzmy nastȩpuj ac a rodzinȩ W = {I : I -przedzia l o końcach wymiernych i I E jest I-kategorii}. Z określenia widać, że jest to rodzina przeliczalna. Zachodzi E E I = E W = I W E I. St ad wynika, że E E I jest I-kategorii. Twierdzenie 3 1. Gracz (I) posiada zwyciȩsk a strategiȩ w grze I 0, A wtedy i tylko wtedy, gdy I 0 \ A jest zbiorem I-kategorii w pewnym punkcie I 0. 1 patrz [13], Tw
14 Dowód. Niech f bȩdzie zwyciȩsk a strategi a gracza (I). Możemy przyj ać, że f(i 0,..., I 2n+2 ) 1 2 I 2n+2 dla dowolnego ci agu I 0... I 2n+2. Wówczas funkcja g(i 1,..., I 2n+2 ) def =f(i 0, I 1,..., I 2n+2 ) jest strategi a gracza (II) w grze I 1, I 1 \ A, gdzie I 1 = f(i 0 ). Jeśli ci ag I 1, I 2,..., I n,... jest zgodny z g, to 1 I n A = 0 I n A, ale ponieważ 0 I n jest jednoelementowy ( (I n ) 0), wiȩc 1 I n A. A to znaczy, że g jest zwyciȩsk a strategi a (II). Czyli I 1 \A jest I-kategorii (Tw. 1). Z drugiej strony, jeśli I 0 \ A jest zbiorem I-kategorii w pewnym punkcie I 0, to istnieje przedzia l I I 0 taki, że zbiór I (I 0 \A) = I A jest I-kategorii. Rozważmy grȩ I, I A. Oczywiście gra I, I A jest zdeterminowana dla (II). Jeśli teraz w grze I 0, A gracz (I) w pierwszym ruchu wybierze przedzia l I, a nastȩpnie bȩdzie gra l zgodnie ze zwyciȩsk a strategi a (II) w grze I, I A, to zapewni sobie wygran a. Twierdzenia Tw.1 oraz Tw.3 w pe lni określaj a zbiory, dla których jeden z graczy posiada zwyciȩsk a strategiȩ. Zbiory o tej w lasności nazywamy zdeterminowanymi w grze Banacha-Mazura. siȩ pytanie, czy istniej a zbiory niezdeterminowane. Pojawia Okazuje siȩ, że (w ZFC) można skonstru lować zbiór niezdeterminowany. Niech B bȩdzie zbiorem Bernsteina. Wiadomo, że każdy ze zbiorów B i B ma przekrój niepusty z dowolnym nieprzeliczalnym zbiorem domkniȩtym na prostej. A to znaczy, że dla dowolnego przedzia lu I, ani I B, ani I B nie zawiera nieprzeliczalnego zbioru typu G δ (każdy taki zbiór zawiera zbiór domkniȩty nieprzeliczalny). Z tego zaś wynika, że 10
15 żaden ze zbiorów I B, ani I B nie jest I-kategorii. Czyli widać (Tw.1, Tw.3), że gra I 0, I 0 B nie jest zdeterminowana dla żadnego z graczy. Twierdzenie 4 2. Jeśli każdy podzbiór I 0 jest zdeterminowany w grze Banacha- Mazura, to każdy podzbiór I 0 posiada w lasność Baire a. Dowód. Niech A I 0 bȩdzie dowolnym zbiorem. Wiadomo, że A (A ) I nie jest zbiorem I-kategorii w żadnym punkcie (Fakt 2). St ad zbiór A def =I 0 \(A (A ) I ) nie jest zdeterminowany dla (I). St ad i z za lożenia twierdzenia A jest I-kategorii. Dalej mamy A = I 0 \ (A (A ) I ) = I 0 A ((A ) I ) = A ((A ) I ), A = A (A ) I A ((A ) I ). Wobec tego, aby pokazać, że A ma w lasność Baire a, wystarczy stwierdzić, że A ((A ) I ) ma w lasność Baire a. Dalej otrzymujemy A (A ) I = (A ) I \ (A (A ) I ). Czyli przedstawiliśmy A (A ) I jako różnicȩ zbioru otwartego i I- kategorii (A (A ) I jest I-kategorii-Fakt 3), a to znaczy, że A (A ) I ma w lasność Baire a. Oczywiście twierdzenie to nie wnosi nic ciekawego, jeśli przyj ać pe ln a wersjȩ AC, gdyż wówczas jego poprzednik jest fa lszywy. Powstaje także problem niesprzeczności przypuszczenia o zdeterminowaniu wszystkich zbiorów z aksjomatami ZF. Jest to zagadnienie z lożone, 2 patrz [9], str
16 a pewne rezultaty z nim zwi azane omówiny w dalszej czȩści pracy ( 3 str. 26). Na zakończenie tego rozdzia lu uogólninimy grȩ Banacha-Mazura. Niech G bȩdzie rodzin a podzbiorów I 0 tak a, że każdy element G zawiera niepusty, otwarty podprzedzia l I 0 i na odwrót, tzn. każdy niepusty, otwarty podprzedzia l I 0 zawiera element rodziny G. Ustalmy zbiór A I 0. Gra I 0, A, G jest określona nastȩpuj aco: gracze (I) i (II) wybieraj ac na przemian elementy G, określaj a nieskończony zstȩpuj acy ci ag G 0, G 1,.... Gracz (I) wygrywa, gdy A G n. W przeciwnym przypadku wygrywa (II). Strategiȩ oraz zdeterminowanie zbioru określa siȩ analogicznie jak w grze I 0, A. Okazuje siȩ, że twierdzenia Tw.1 i Tw.3 przenosz a siȩ na przypadek uogólnionej gry Banacha-Mazura. Twierdzenia te podajemy bez dowodu (można je znaleźć w [12]). Twierdzenie 5. Gra I 0, A, G jest zdeterminowana dla (II) wtedy i tylko wtedy, gdy A jest I-kategorii. Twierdzenie 6. Gra I 0, A, G jest zdeterminowana dla (I) wtedy i tylko wtedy, gdy A jest I-kategorii w pewnym punkcie I 0. 12
17 2. Gra szeregowa ( a n, A). Interesuj ace wydaje siȩ rozważenie nastȩpuj acej gry nieskończonej. Niech a n bȩdzie zbieżnym szeregiem o wyrazach dodatnich oraz A R pewnym zbiorem. Gra polega na wybieraniu na przemian przez dwóch graczy nieujemnych liczb rzeczywistych, przy czym liczba wybrana w n-tym ruchu nie może być wiȩksza od a n. Podobnie jak w 1 graczy oznaczymy przez (I) i (II) ( grȩ rozpoczyna (I) ). Gracze w wyniku rozegrania gry określaj a szereg b n taki, że 0 b n a n (n ω). Ponieważ 0 b n 0 a n, wiȩc szereg b n jest zbieżny. Grȩ wygrywa (I), gdy 0 b n A, w przeciwnym przypadku wygrywa gracz (II). Tak określon a grȩ oznaczymy przez ( a n, A). Ponieważ suma szeregu b n należy do przedzia lu I Σan := [0, 0 a n ], wiȩc bȩdziemy rozważać tylko zbiory A I Σan. Powróćmy do gry Banacha-Mazura. Zmodyfikujmy zasady gry I Σan, A przez narzucenie warunku na d lugość przedzia lów wybieranych przez graczy. Niech I n = k=n a k (n = 1, 2,...). Tak zmodyfikowan a grȩ oznaczać bȩdziemy przez I Σan, A, a n. Fakt 1. Gra ( a n, A) jest zdeterminowana dla (I) ( (II) ) wtedy i tylko wtedy, gdy gra I Σan, A, a n jest zdeterminowana dla (I) ( (II) ). Zanim udowodnimy ten fakt podamy określenie strategii w grze ( a n, A). S a to odpowiednio funkcje f : { } [0, a 0 ]... [0, a 2n+1 ] R, g : n ω n ω [0, a 0 ]... [0, a 2n ] R 13
18 spe lniaj ace warunki: f( ) [0, a 0 ], f(x 0,..., x 2n+1 ) [0, a 2n+2 ] (n ω), g(x 0,..., x 2n ) [0, a 2n+1 ] (n ω). Dowód. Niech b n i I n bȩd a wynikami gier odpowiednio ( a n, A) oraz I Σan, A, a n takimi, że (1) n 0 b k = c n+1 (n ω), gdzie c n+1 oznacza lewy koniec przedzia lu I n+1. Wobec tego, że lim c n I n oraz I n jest jednoelementowy ( I n 0) otrzymujemy (2) 0 b n A I n A =. Równość (1) wyznacza wzajemnie jednoznaczn a odpowiedniość miȩdzy zwyciȩskimi strategiami danego gracza w jednej grze a zwyciȩskimi strategiami tego samego gracza w drugiej grze. Rzeczywiście, jeśli bn jest zgodny ze zwyciȩsk a strategi a gracza (I), to 0 b n A. Z warunku (2) mamy, że I n A. Gdy zaś I n jest zgodny ze zwyciȩsk a strategi a (I) w grze I Σan, A, a n, to I n A, wiȩc wobec (2) 0 b n A. Analogicznie w przypadku gracza (II). Czyli pokazaliśmy, że dla strategii zwyciȩskiej danego gracza w jednej grze istnieje strategia zwyciȩska dla tego samego gracza w drugiej grze, co dowodzi Faktu 1. W grze Banacha-Mazura zbiory zdeterminowane dla (II) s a I- kategorii. Ale okazuje siȩ, że w grze I Σan, A, a n nawet takie zbiory 14
19 s a zbyt duże, aby (II) móg l je omin ać. Bez narzucenia odpowiedniego warunku na szereg a n nawet dla zbioru przeliczalnego może nie istnieć strategia zwyciȩska dla gracza (II). Definicja. Mówimy, że szereg a n spe lnia w lasność (*), jeśli istnieje rosn acy ci ag liczb naturalnych n i taki, że dla każdego i (a 2ni +1+a 2ni a 2ni +(2k+1)+...) > (a 2ni +2+a 2ni a 2ni +2k+...). Twierdzenie 1. Jeśli szereg a n spe lnia w lasność (*) i A jest zbiorem przeliczalnym, to gra ( a n, A) jest wygrana dla (II). Dowód. Niech A = α i i niech n i bȩdzie danym ci agiem z definicji w lasności (*). Możemy przyj ać, że n i spe lnia warunek (a 2ni +1 + a 2ni a 2ni+1 1) > 1 2 (a 2n i +1 + a 2ni a 2ni +k +...) (wystarzy wybrać te elementy ci agu n i, które spe lniaj a t a w lasność, a nastȩpnie przenumerować). Określimy teraz strategiȩ g dla gracza (II). g(x 0,..., x 2k ) := 0 dla k = 0,..., n 0 1, g(x 0,..., x 2k ) := a 2k+1, gdy α i < 2n i 0 x n + 1 2ni 2 +1 a n 0, w przeciwnym przypadku dla k = n i,..., n i+1 1 (i = 0, 1...). Niech teraz b n bȩdzie wynikiem gry zgodnym z g, a α i dowolnym ustalonym elementem A. Mog a zajść dwa przypadki. (1 0 ) α i < 2n i 0 b n ni +1 a n 15
20 Wtedy b k = a k dla k = 2n i + 1, 2n i + 3,..., 2n i+1 1. St ad 0 b n 2n i b n + a 2ni a 2ni+1 1 > 2n i b n n i +1 a n > α i. (2 0 ) α i 2n i 0 b n ni +1 a n Wtedy b k = 0 dla k = 2n i + 1, 2n i + 3,..., 2n i+1 1. St ad 2n i 0 0 b n 2n i b n + a 2ni a 2ni b n a 2ni a 2ni n i +1 2n i+1 b n a n < 2n i b n n i +1 a n α i. Czyli 0 b n α i, co wobec dowolności α i znaczy, że 0 b n A. Jeśli w definicji w lasności (*) zast apić ostr a nierówność przez s lab a, to powyższe twierdzenie nie bȩdzie prawdziwe. który to uzasadnia. Przyk lad. Rozważmy nastȩpuj acy szereg 1 + ( ) + ( ) + ( ) Podamy przyk lad, (tzn. pierwszym wyrazem jest 1, a nastȩpnie parami wystȩpuj a wyrazy szeregu 1 2 n ) Niech A={2}. Z tak zdefiniowanymi szeregiem oraz zbiorem A, rozpatrzmy grȩ ( a n, A). Jeśli gracz (I) w pierwszym ruchu wybierze 1, natomiast w kroku 2n tak a liczbȩ b 2n, aby jej suma z wcześniej wybran a przez (II) wynosi la 1 2 n, wówczas w wyniku gry otrzymamy 16
21 szereg b n o sumie równej b 0 + (b 1 + b 2 ) } {{ } (b 2n 1 + b 2n ) +... = } {{ } 1 2 n n = 2. Czyli grȩ wygrywa (I) (nawet zbiór jednoelementowy okazuje siȩ za duży dla gracza (II) ). Ponieważ w naszym przyk ladzie szereg a n spe lnia w lasność i (a 2i+1 +a 2i+3...+a 2i+(2k+1) +...) = (a 2i+2 +a 2i+4...+a 2i+2k +...), wiȩc zast apienie znaku > przez w def. w lasnści (*) spowoduje, że Tw.1 nie bȩdzie prawdziwe. Wniosek. Jeśli istnieje rosn acy ci ag liczb naturalnych n i taki, że i (a 2ni +a 2ni a 2ni +2k+...) > (a 2ni +1+a 2ni a 2ni +2k+1+...) ( t a w lasność szeregu oznaczymy przez (**) ) oraz zbiór I Σan \ A jest przeliczalny, to gra ( a n, A) jest wygrana dla (I). Dowód. Wystarczy rozpatrzyć grȩ ( a n, A ), gdzie a def n =a n+1 (n ω), A def =I Σan \ A. Szereg a n spe lnia w lasność (*) i zbiór A jest przeliczalny, wiȩc z Tw.1 gra ( a n, A ) jest wygrana dla (II). Jeśli teraz w naszej wyjściowej grze (I) wybierze w pierwszym ruchu b 0 = 0, natomiast dalej bȩdzie gra l zgodnie ze zwyciȩsk a strategi a (II) w grze ( a n, A ), to suma otrzymanego szeregu b n bȩdzie elementem zbioru I Σan \ A =A. 17
22 Na podstawie powyższego wniosku oraz Tw.1 można stwierdzić, że jeśli szereg a n spe lnia w lasności (*) i (**), to rodzina zbiorów zdeterminowanych w grze szeregowej zawiera σ-cia lo generowane przez zbiory przeliczalne. A to znaczy, że rodzina ta ma moc co najmniej ℵ 2 0Ẇ dalszej czȩści tego paragrafu ograniczymy siȩ do przypadku, gdy szereg a n jest szeregiem potȩgowym. Zauważmy, że szereg potȩgowy α n (α (0, 1)) spe lnia obie wcześniej określone w lasności ( (*) i (**) ), gdyż i ω (α i + α i+2 + α i ) > (α i+1 + α i+3 + α i ). Dla tego typu gier podamy przyk lad zbioru zdeterminowanego dla gracza (I). Definicja. Liczbȩ x R nazywamy źle aproksymowaln a (ang. badly approximable), jeśli istnieje sta la c > 0 taka, że x p q > c q 2, dla dowolnych liczb ca lkowitych p, q (q 0). Zauważmy, że w powyższej definicji wystarczy rozpatrywać liczby wzglȩdnie pierwsze. Jesli p q = p 1 q 1, przy czym NW D(p, q) = 1 i x p q > c q, to 2 x p 1 = x p q 1 q > c q c 2 q1 2, gdyż q q 1. Wiadomo, że liczba niewymierna jest źle aproksymowalna wtedy i tylko wtedy, gdy mianowniki jej u lamka lańcuchowego s a ograniczone (patrz odnośnik w [14], str. 178). Czyli przyk ladem liczby źle aproksymowalnej jest liczba 2, gdyż 2 = [1; 2, 2, 2,...]. 18
23 Zbiór liczb źle aproksymowalnych oznaczymy przez Θ. Interesuj aca jest nastȩpuj aca w lasność zbioru Θ. Fakt 2. Θ jest zbiorem I-kategorii. Dowód. Pokażemy, że Θ = Θ n, gdzie Θ n nigdziegȩsty. Zdefiniujmy Θ n = {x : p q q 0 x p q > 1 n + 1 q 2 }. Równość Θ = Θ n oczywiście zachodzi. Teraz uzasadnimy, że zbiór Θ n jest nigdziegȩsty (n = 0, 1,...). Niech I dowolny przedzia l. Istnieje p q I0. Wówczas przedzia l I [ p q 1 n+1 q 2, p q + 1 n+1 q 2 ] jest roz l aczny z Θ n, co dowodzi nigdziegȩstości Θ n. Twierdzenie 2. Θ jest zbiorem miary Lebesgue a zero. Twierdzenie to podajemy bez dowodu (patrz odnośnik w [15] str. 178). Niech α (0, 1) bȩdzie dowolne ustalone. zbiór I Σα n Θ. Twierdzenie 3 3. Gra ( α n, Θ α ) jest wygrana dla (I). Przez Θ α oznaczymy Przed przyst apieniem do dowodu wprowadzimy pewne oznaczenia i podamy pomocniczy lemat. γ := (1 α) 2 ; a n, b n, s n przedzia lu I n ; oznaczaj a odpowiednio lewy i prawy koniec oraz środek ρ i := α i ρ, gdzie ρ = 0 α n ; L(I n ) oznacza przedzia l o d lugości α I n i lewym końcu takim jak I n, czyli L(I n ) = [a n, a n + αρ n ]; 3 dowód tego twierdzenia jest wzorowany na dowodzie Tw.3 w [14] 19
24 analogicznie P (I n ) := [b n αρ n, b n ]. Niech n 0 i t 0 takie liczby naturalne, że n 0 jest parzysta i ρ n0 α2 γ 4, α 2 γ 2 (α2 ) t 0 < γ 2. (istnienie tych liczb wynika z tego,że 0 < α < 1 oraz ρ n 0). Niech R := α t 0 oraz δ := 1 4 ρ n 0 γ. Przy takich określeniach możemy już podać Lemat. Jeśli I α 2nt 0 ρ n 0, to istnieje co najwyżej jeden u lamek nieskracalny p q taki, że R n q < R n+1 oraz x I x p q δ q 2. Dowód Lematu. Przypuśćmy, że istniej a dwie różne liczby wymierne p q i p 1 q 1 takie, że R n q, q 1 < R n+1 oraz x,x1 I x p q δ q x 2 1 p 1 δ q 1 q1 2. Wówczas mamy p q p 1 q 1 x p q + x x 1 + x 1 p 1 q 1 δ(q 2 + q 2 1 ) + I 2δR 2n + α 2nt 0 ρ n0 = 2δR 2n + R 2n ρ n0 2ρ n0 R 2n 1 2 α2 γr 2n = 1 2 α2 γ(α 2 ) t 0 R 2n 2 R 2n 2. Z drugiej strony p q p 1 1 > R 2(n+1). q 1 qq 1 Otrzymaliśmy sprzeczność, co dowodzi Lematu. Dowód Twierdzenia 3. 20
25 Wobec Faktu 1 wystarczy udowodnić, że gra I Σα n, Θ α, α n jest wygrana dla gracza (I). Przedzia ly I 1, I 3,..., I n0 1 gracz (I) może wybierać w dowolny sposób. Podamy teraz jak (I) powinien wybierać przedzia ly I n0 +2nt 0 +1, I n0 +2nt 0 +3,..., I n0 +2(n+1)t 0 1 dla n ω. Niech n ω dowolne ustalone. Z lematu wiemy, że istnieje co najwyżej jeden u lamek nieskracalny p q taki, że R n q < R n+1, x In0 +2nt 0 x p q δ q 2. Czyli elementy x I n0 +2nt 0, które maj a powyższ a w lasność musz a należeć do pewnego przedzia lu C n o d lugości C n 2δ q 2 2δR 2n = 2δα 2nt 0 2 ρ n 0 γ 4 α2nt 0 = γρ n 0 +2nt 0 2 Mog a zajść dwa przypadki: albo środek C n leży po prawej albo po lewej stronie środka przedzia lu I n0 +2nt 0. możliwość. Wówczas W tym przypadku x C n x s n0 +2nt 0 γρ n 0 +2nt 0. 4 Rozpatrzmy pierwsz a I n0 +2nt 0 +2k+1 def =L(I n0 +2nt 0 +2k) dla k = 0, 1,..., t 0 1. Wobec takiego określenia mamy s n0 +2nt 0 +1 = s n0 +2nt ρ n 0 +2nt 0 (1 α),. s n0 +2nt 0 +2 s n0 +2nt ρ n 0 +2nt 0 (1 α)α 21
26 s n0 +2nt ρ n 0 +2nt 0 ((1 α) (1 α)α) = s n0 +2nt ρ n 0 +2nt 0 γ. St ad mamy, że s n0 +2nt 0 +2 s n0 +2nt 0. Analogicznie otrzymujemy s n0 +2nt 0 +2i s n0 +2nt 0 +2(i 1), i = 2,..., t 0. St ad s n0 +2nt 0 +2t 0 s n0 +2nt 0 +2 s n0 +2nt ρ n 0 +2nt 0 γ. Zatem b n0 +2nt 0 +2t 0 s n0 +2nt ρ n 0 +2nt 0 γ ρ n 0 +2nt 0 α 2t 0 < < s n0 +2nt ρ n 0 +2nt 0 γ ρ n 0 +2nt 0 γ = s n0 +2nt γρ n 0 +2nt 0. St ad wynika, że C n jest roz l aczny z I n0 +2(n+1)t 0. Jeśli zachodzi drugi przypadek (tzn. środek C n leży po lewej stronie środka I n0 +2nt 0 ), to określamy I n0 +2nt 0 +2k+1 def =P (I n0 +2nt 0 +2k) dla k = 0, 1,..., t 0 1. Podobnie jak w pierwszym przypadku możemy uzasadnić, że C n jest roz l aczne z I n0 +2(n+1)t 0. Niech teraz ci ag I n bȩdzie wynikiem gry, w której (I) gra l zgodnie z wyżej opisan a strategi a oraz p q (q > 0) bȩdzie dowoln a liczb a wymiern a. Wówczas istnieje n takie, że R n q < R n+1. Ze sposobu określenia strategii wynika, że x p q > δ q 2 dla wszystkich x I n0 +2(n+1)t 0. To dowodzi, że gra I Σα n, Θ α, α n jest wygrana przez (I). Powyższe twierdzenie jest interesuj ace, gdyż wskazuje, jak narzucenie warunku na d lugość przedzia lów w grze Banacha-Mazura zmienia 22
27 w lasności tej gry. Wiemy, że jeśli A jest I-kategorii, to gra I, A jest wygrana dla (II). Okazuje siȩ, że w grze I Σan, A, α n gracz (I) może posiadać zwyciȩsk a strategiȩ nawet w przypadku, gdy A jest I-kategorii. 23
28 3. Aksjomat determinacji. 3.1 Sformu lowanie. Aksjomat determinacji AD zosta l sformu lowany przez H.Steinhusa oraz J.Mycielskiego w roku 1962 (patrz [10]). W celu sformu lowania tego aksjomatu rozważymy nastȩpuj ac a grȩ nieskończon a. Niech X bȩdzie danym zbiorem. Ustalmy podzbiór Y X ω (czyli Y jest pewnym zbiorem nieskończonych ci agów elementów zbioru X). Regu ly gry G X (Y ) s a nastȩpuj ace: gracze (I) i (II) na przemian wybieraj a elementy zbioru X (rozpoczyna gracz (I)). Czyli w wyniku rozegrania gry gracze określaj a ci ag x 0, x 1,... X ω. Gra jest wygrana przez (I), gdy ci ag ten jest elementem zbioru Y, w przeciwnym przypadku wygrywa (II). Oczywiście w tym przypadku strategiami bȩd a funkcje o wartościach w zbiorze X i określone na zbiorach: X 2n n X 2n+1 n w przypadku gracza (I), w przypadku gracza (II). Podamy teraz pewne fakty dotycz ace gry G 2 (Y ) (2 = {0, 1}). Problem charakteryzacji zbiorów zdeterminowanych w tej grze zaangażowa l wielu matematyków. Mycielski i Ziȩba udowodnili, że dla każego podzbioru Y otwartego lub domkniȩtego w przestrzeni Cantora 2 ω gra G 2 (Y ) jest zdeterminowana. Dalej dowodzono zdeterminowanie tej gry dla wiȩkszych rodzin zbiorów (F σ, G δ, F σδ, G δσ ). Bardzo trudny okaza l siȩ problem zdeterminowania zbiorów borelowskich. Po parudziesiȩciu latach od postawienia tego problemu Martin udowodni l (w ZFC), że dla każdego zbioru borelowskiego Y 2 ω gra G 2 (Y ) jest zdeterminowana. Dowód tego twierdzenia jest trudny, ale jego idea 24
29 polega na określeniu równoważnej gry na zbiorze otwartym. 4 AKSJOMAT DETERMINACJI AD. Dla każdego podzbioru Y 2 ω gra G 2 (Y ) jest zdeterminowana (tzn. jeden z graczy posiada strategiȩ wygrywaj ac a). Zauważmy, że istnienie strategii wygrywaj acej dla (I) w grze G 2 (Y ) możemy wyrazić nastȩpuj aco: x0 x1 x2 x3... x n Y. Podobnie możemy wyrazić istnienie zwyciȩskiej strategii dla (II) x0 x1 x2 x3... x n Y. Wobec tego pewnym argumentem za przyjȩciem aksjomatu deteminacji może być prawo logiczne x y P x y P. Oczywiście może to mieć wp lyw tylko na prywatny stosunek matematyka do tego aksjomatu, natomiast problem miejsca AD wśród pozosta lych aksjomatów teorii mnogości (niesprzeczność,niezależność -zagadnienie to omówimy dalej) wymaga już dog lȩbnych badań. 3.2 Pewne równoważne formy oraz konsekwencje AD. Zmodyfikujmy grȩ G X (Y ) nastȩpuj aco: w grze G X(Y ) gracz (I) może wybierać dowolny skończony ci ag elementów zbioru X (również pusty), w grze G X (Y ) obaj gracze wybieraj a dowolny skończony niepusty ci ag elementów zbioru X. Oznaczmy przez A X (Y ) zdanie: gra G X (Y ) jest zdeterminowana. A X (Y ). Analogicznie rozumiemy A X(Y ) oraz Natomiast napisy A X, A X, A X oznaczaj a: dla każdego 4 informacje na temat prac zawieraj acych dowody można znaleźć w [15], str
30 podzbioru Y X ω, odpowiednio A X (Y ), A X(Y ), A X (Y ) (przy takich oznaczeniach mamy: AD oznacza A 2 ). Okazuje siȩ, że gra G X (Y ) jest ściśle zwi azana z gr a Banacha- Mazura na przedziale jednostkowym. Określamy funkcjȩ φ : 2 ω [0, 1] wzorem Wówczas mamy φ( x 0, x 1,... ) def = i=0 x i 2 i+1. Twierdzenie 1. Dla każdego Y 2 ω zachodzi: gra G 2 (Y ) jest wygrana dla (I) ( (II) ) wtedy i tylko wtedy, gdy gra [0, 1], φ(y ) jest wygrana dla (I) ( (II) ). Dowód. Udowodnimy twierdzenie w przypadku gracza (I) (w przypadku gracza (II) dowód jest analogiczny). Na wstȩpie zauważmy, że możemy rozważać uogólnion a grȩ Banacha-Mazura, w której gracze wybieraj a przedzia ly z rodziny G = {I(s) [0, 1] : s 2 <ω \ { }}, gdzie I(s) (s = x 0, x 1,..., x n ) oznacza przedzia l o lewym końcu 0.x 0 x 1... x n w rozwiniȩciu dwójkowym i o d lugości 2 n. Wynika to z twierdzeń Tw.5 i Tw.6 z paragrafu 1. ( ) Za lóżmy, że gra G 2 (Y ) jest wygrana dla (I), tzn. (I) ma zwyciȩsk a strategiȩ. Rozpatrzmy teraz grȩ [0, 1], φ(y ), G. Niech gracz (I) rozpoczyna od wyboru przedzia lu I(s 0 ), gdzie s 0 jest skończonym ci agem 0 i 1 wybranym w pocz atkowym ruchu gracza (I) w grze 26
31 G 2 (Y ). Jeśli teraz gracze określili już przedzia ly I(s 0 ), I(s 0 s 1 ),..., I(s 0... s 2k+1 ) to gracz (I) w swoim kolejnym ruchu wybiera przedzia l I(s 0... s 2k+1 s 2k+2 ), gdzie s 2k+2 jest wyborem zgodnym ze zwyciȩsk a strategi a gracza (I) w grze G 2 (Y ) nastȩpuj acym po ruchach s 0, s 1,..., s 2k+1. W ten sposób określiliśmy strategiȩ gracza (I) w grze [0, 1], φ(y ), G. Uzasadnimy, że zapewnia ona wygran a gracza (I). Niech x 0, x 1,... =s 0... s 2k+1 s 2k+2... (s 0,..., s 2k+1, s 2k+2,... jest wynikiem gry zgodnym z wyżej określon a strategi a). Wiadomo, że x 0, x 1,... Y. Ponieważ l I(s 0... s l ) ={ l=0 x l 2 l+1 }, wiȩc l I(s 0... s l ) φ(y ), co kończy dowód implikacji ( ). ( ) Określimy zwyciȩsk a strategiȩ dla gracza (I) w grze G 2 (Y ) (przy za lożeniu, że taka istnieje w grze [0, 1], φ(y ), G ). Możemy przyj ać, że zbiór Y nie zawiera ci agów, które s a od pewnego miejsca sta le. Takich ci agów jest przeliczalna ilość, a zbiór przeliczalny nie wp lywa na zdeterminowanie zbioru w grze [0, 1], φ(y ), G (tzn. zbiór zdeterminowany dla (I) ( (II) ) powiȩkszony lub pomniejszony o przeliczaln a ilość elementów pozostaje zdeterminowany dla (I) ( (II) ) ) (Tw.5, Tw.6). Na pocz atku gracz (I) wybiera s 0 2 <ω \ { } taki, że przedzia l I(s 0 ) jest przedzia lem wybranym w pierwszym ruchu gracza (I) w grze [0, 1], φ(y ), G zgodnym z wygrywaj ac a strategi a. Za lóżmy, że gracze określili s 0, s 1,..., s 2k+1. Wtedy gracz (I) wybiera taki ci ag s 2k+2, że przedzia l I(s 0... s 2k+2 ) jest przyporz adkowany ci agowi przedzia lów I(s 0 ), I(s 0 s 1 ),..., I(s 0... s 2k+1 ) przez wygrywaj ac a strategiȩ w grze [0, 1], φ(y ), G. Jeśli teraz s 0, s 1,... jest wynikiem gry G X (Y ) 27
32 zgodnym z wyżej opisan a strategi a, to mamy x l φ(y ). 2l+1 A to znaczy, że gdyż φ 1 (φ(y )) = Y. l=0 x 0, x 1,... = s 0 s 1... Y, Z powyższego twierdzenia wynika nastȩpuj acy Wniosek. Zdanie A X jest równoważne zdaniu, że dla każdego zbioru A [0, 1] gra [0, 1], A jest zdeterminowana. Dowód. Implikacja w praw a stronȩ wynika latwo z w lasności φ(φ 1 (A)) = A. (każdy zbiór A [0, 1] jest obrazem zbioru φ 1 (A) przy odwzorowaniu φ) Implikacja w przeciwn a stronȩ jest oczywista. W 1 (str. 9) pokazaliśmy, że przy za lożeniu AC istnieje zbiór niezdeterminowany w grze Banacha-Mazura. Wobec tego powyższy wniosek implikuje, że przy za lożeniu AC istnieje taki zbiór Y, że gra G 2 (Y ) jest niezdeterminowana. Zachodz a (w ZF) nastȩpuj ace zależności: (1) A n A ω = A ω = A ω A n, A ω = A n. (widać st ad, że aksjomat detrminacji AD jest równoważny każdemu ze zdań A n dla n ω) Implikacje A ω = A n, A ω = A n oraz A ω = A n wynikaj a z nastȩpuj acego ogólnego twierdzenia prawdziwego w ZF (które podajemy bez dowodu): 28
33 Twierdzenie 2 5. Jeśli X 1 2, X 2 jest dobrze uporz adkowany oraz istnieje funkcja z X 2 na X 1, to A X2 = A X1, A X 2 = A X 1 i A X 2 = A X 1. Udowodnimy teraz niektóre z pozosta lych implikacji. Dowód A n = A ω. Zauważmy, że wobec Twierdzenia 2 wystarczy pokazać, że A 2 = A ω. Niech Y 1 ω ω. skonstru ljuemy zbiór Y 2 2 ω taki, że A 2 (Y 2 ) = A ω (Y 1 ). Niech Ω 2 ω bȩdzie zbiorem ci agów, w których 0 wystȩpuje nieskończenie wiele razy na parzystych oraz nieparzystych miejscach. Zdefiniujmy f i, g : Ω ω dla i ω nastȩpuj aco: g(s) def = min{n : s 2n = 0}, f 0 (s) def =g(s), f i (s) def =g(s 2f i 1(s)+1 ) dla i 1, przy czym dla s = s 0, s 1,... przez s n oznaczamy ci ag s n, s n+1,... (f 0 (s) określa ilość kolejnych 1 na pocz atkowych parzystych miejscach, f 1 (s) ilość kolejnych 1 wystȩpuj acych na nieparzystych miejscach po pierwszym 0 na miejscu parzystym, f 2 (s) ilość kolejnych 1 na parzystych miejscach po pierwszym 0 na nieparzystym miejscu, które wyst api lo po pierwszym 0 na miejscu parzystym, itd.) Niech teraz f : Ω ω ω i f = f 0, f 1,.... Zbiór Y 2 określamy jako sumȩ zbiorów 5 patrz [1], 1 str
34 f 1 (Y 1 ) oraz {s 2 ω : n s 2n = 0 n s 2k+1 = 0}. Z za lożenia mamy, że gra G 2 (Y 2 ) jest zdeterminowana. Niech zwyciȩsk a strategiȩ posiada (I). Określimy zwyciȩsk a strategiȩ dla (I) w grze G ω (Y 1 ). Niech liczby n 1, n 3,... ω bȩd a wyborami (II), których dokona w grze G ω (Y 1 ) (oczywiście nieznanymi przez (I) ). Niech dalej s 2 ω bȩdzie takim wynikiem gry G 2 (Y 2 ) zgodnym ze zwyciȩsk a strategi a (I), że (II) wybiera l 0 do momentu wybrania pierwszego 0 przez (I), nastȩpnie w kolejnych n ruchach wybiera l n 1 razy 1 i potem jeden raz 0, dalej wybiera l znowu 0 do momentu, w którym (I) ponownie wybra l 0, itd. (nie może siȩ zdarzyć, że od pewnego miejsca (I) bȩdzie wybiera l tylko 1 - wynika to z określenia Y 2 ). Jeśli teraz w grze G ω (Y 1 ) gracz (I) bȩdzie kolejno wybiera l f 0 (s), f 2 (s),..., to f 0 (s), n 1, f 2 (s), n 2... Y 1, gdyż f 0 (s), n 1, f 2 (s), n 2... = f(s). To kończy dowód w przypadku istnienia strategii zwyciȩskiej dla (I) w grze G 2 (Y 2 ). W drugim przypadku ( (II) ma strategiȩ wygrywaj ac a) dowód przbiega podobnie. Dowód A ω = A ω. Niech P 1 ω ω. Podobnie jak wyżej, skonstru lujemy P 2 ω ω taki, że A ω (P 2 ) = A ω(p 1 ). Ustawmy wszystkie skończone ci agi liczb naturalnych (w tym również ci ag pusty) w ci ag a 0, a 1, a 2,.... Definiujemy h : ω ω ω ω, h( n 0, n 1, n 2,... ) def =a n0 n 1 a n2 n
35 Niech P 2 def =h 1 (P 1 ). Rozważmy przypadek, gdy gra G ω (P 2 ) jest zdeterminowana dla (II). Niech f bȩdzie zwyciȩsk a strategi a. Określimy zwyciȩsk a strategiȩ (II) f 1 w grze G ω(p 1 ). f 1 ( a n0, n 1, a n2,..., a n2k ) def =f( n 0, n 1, n 2,..., n 2k ) dla k ω. Jeśli teraz ci ag a n0, n 1, a n2,... jest zgodny z f 1, to ci ag n 0, n 1, n 2,... jest zgodny z f. Czyli n 0, n 1, n 2,... P 2, a to znaczy, że a n0, n 1, a n2,... P 1. W przypadku, gdy (I) ma wygrywaj ac a strategiȩ w grze G ω (P 2 ) dowód jest analogiczny. Dowody pozosta lych implikacji (A ω = A ω, A n = A ω ) s a bardzo podobne i nie bȩdziemy ich zamieszczać (można je znaleźć w [9], str. 215) Teraz możemy powrócić do problemu niesprzeczności i niezależności AD od pozosta lych aksjomatów teorii mnogości. Ponieważ, jak zauważyliśmy wcześniej, przy za lożeniu AC można skonstru lować zbiór Y taki, że gra G 2 (Y ) jest niezdeterminowana, wiȩc AD i AC s a sprzeczne na gruncie ZF. Dalej, ponieważ AC jest niesprzeczny z ZF, wiȩc AD jest też niesprzeczny z ZF. Problem niesprzeczności AD z ZF jest znacznie trudniejszy. Do tej pory nie zosta l on ca lkowicie rozwi azany. Uzyskano wyniki, które wi aż a problem niesprzeczności AD z problemem niesprzeczności innych aksjomatów dotycz acych g lównie istnienia dużych liczb kardynalnych. Jednym z rezultatów zwi azanych z problemem niesprzeczności AD jest wynik Solovaya, który udowodni l, że niesprzeczność teorii ZF + AD implikuje niesprzeczność teorii ZF + AC + istniej a nieprzeliczalne liczby kardynalne mierzalne. 31
36 Mimo, że AD i AC s a sprzeczne na gruncie ZF, to okazuje siȩ, że s labsza forma AC (WAC) wynika z AD, natomiast AC w pe lnej formie jest równoważny pewnej zmodyfikowanej wersji aksjomatu determinacji. Niech Y X 2. Oznaczmy przez G 1 X(Y ) grȩ, w której gracze wykonuj a po jednym ruchu. Jeśli określony przez graczy ci ag należy do Y, to wygrywa (I), w przeciwnym przypadku wygrywa (II). Napis A 1 X oznacza, że dla każdego Y X 2 gra G 1 X(Y ) jest zdeterminowana. Twierdzenie 3 6. AC jest równoważne zdaniu X A 1 X. Dowód. ( ) Niech X bȩdzie dowolnym niepustym zbiorem a Y dowolnym podzbiorem zawartym w X 2. Pokażemy, że gra G 1 X(Y ) jest zdeterminowana. Z praw de Morgana wiadomo, że zachodzi jeden z przypadków: x0 X x1 X (x 0, x 1 ) Y lub x0 X x1 X (x 0, x 1 ) Y. Jeśli zachodzi pierwszy z nich, to funkcja wyboru rodziny {F x0 } x0 X (gdzie F x0 = {x 1 : (x 0, x 1 ) Y }) wyznacza zwyciȩsk a strategiȩ gracza (II). Jeśli natomiast zachodzi druga z możliwości, to dziȩki AC gracz (I) może wybrać takie x 0 X, że x1 X (x 0, x 1 ) Y. ( ) Niech F bȩdzie dowoln a, niepust a rodzin a zbiorów, która nie zawiera zbioru pustego. Rozważmy zbiór X def =F ( F { }). Przez Y oznaczamy zbiór 6 patrz [9], str. 216 { (S 0, t 0 ), (S 1, t 1 ) : t 1 S 0 } X 2. 32
37 Na mocy za lożenia gra G 1 X(Y ) jest zdeterminowana. Oczywiście zwyciȩsk a strategiȩ posiada gracz (II) (w przeciwnym przypadku istnia l by taki zbiór S 0 F, że S 0 F = ). Niech g bȩdzie strategi a wygrywaj ac a gracza (II). Wówczas funkcj a wyboru dla rodziny F jest funkcja f określona nastȩpuj aco: f(s) def =t 1, gdzie (S 1, t 1 ) = g(s, ). Twierdzenie 4 7. AD implikuje WAC. Dowód. Niech X = X 0, X 1,... bȩdzie ci agiem niepustych zbiorów takim, że X 2 ℵ 0. Możemy przyj ać, że X ω ω. Definiujemy Y def ={ n 0, n 1... ω ω : n 1, n 3... X n0 }. Gra G ω (Y ) jest zdeterminowana. Oczywiście gracz (I) nie może posiadać zwyciȩskiej strategii, gdyż zbiory X 0, X 1,... s a niepuste. A wiȩc gra G ω (Y ) jest wygrana dla (II). Zwyciȩska strategia g tego gracza określa funkcjȩ wyboru dla rodziny X. Rzeczywiście. Definiujemy f : X X nastȩpuj aco: gdzie ci ag x i i ω taki, że f(x n ) def = x i i ω, x 0 = g(n), x i+1 = g(n, x 0, 0, x 1, 0,..., x i, 0) (i ω). 7 patrz [9], str
38 Z określenia x i i ω widać, że f(x n ) X n. Z ostatniego twierdzenia wynika, że w teorii ZF+AD można udowodnić dużo twierdzeń, które wymagaj a użycia s labszej wersji pewnika wyboru. Mianowicie WAC wystarcza do udowodnienia σ-addytywności miary Lebesgue a oraz rodziny zbiorów I-kategorii, równoważności dwóch definicji ci ag lości funkcji: Cauchego i Heinego, a także regularności liczby ω 1. Udowodnimy, że WAC implikuje regularność ω 1 (patrz [1], 1 str.19). Dla dowodu tego faktu skonsru lujemy rozbicie zbioru P(ω) na ω 1 roz l acznych zbiorów (tzw. rozbicie Lebesgue a). Niech funkcja h : ω ω ω bȩdzie określona wzorem h(m, n) def =2 n (2m + 1) 1. Jest to funkcja różnowartościowa i na. Definiujemy L 0 def ={A P(ω) : A = ω, h 1 (A) nie jest dobrym porz adkiem}, L n def ={A P(ω) : A = n} (0 < n < ω), L ξ def ={A P(ω) : ω, h 1 (A) jest dobrym porz adkiem typu ξ} dla (ω ξ ω 1 ). Uzasadnimy, że każdy z wyżej zdefiniowanych zbiorów jest niepusty. Jest to oczywiste dla zbiorów L n (n < ω). Niech ω ξ ω 1. Ponieważ ξ jest liczb a porz adkow a przeliczaln a wiȩc istnieje funkcja równoliczności z ξ na ω. Funkcja ta wyznacza na ω relacjȩ dobrego porz adku R tak a, że ω, R jest typu porz adkowego ξ. Wówczas h(r) L ξ. Oczywiste jest, że zbiory L ξ (ξ < ω 1 ) s a parami roz l aczne i dowolny podzbiór ω należy do któregoś z nich. Funkcjȩ f z P(ω) 34
39 na ω 1 określamy nastȩpuj aco: f(a) def =ξ, gdy A L ξ. Warto w tym miejscu zaznaczyć, że w teorii ZF+AD nie można skonstru lować funkcji różnowartościowej z ω 1 w P(ω), tzn. liczby kardynalne ℵ 1 i 2 ℵ 0 s a nieporównywalne. Niech teraz ξ n n ω bȩdzie dowolnym ci agiem liczb porz adkowych takich, że ω ξ n < ω 1 (n ω). Z WAC wynika istnienie ci agu A n n ω, gdzie A n L ξn. Z określenia tego ci agu widać f(a n ) = ξ n. Zdefiniujemy teraz relacjȩ dobrego porz adku R na ω ω. (n 1, m 1 )R(n 2, m 2 ) (n 1 < n 2 (n 1 = n 2 m 1 R n1 m 2 )), gdzie R n1 = h 1 (A n1 ). ω ω, R jest przeliczalnym porz adkiem, jego typ oznaczmy przez β. Widać, że β jest ograniczeniem górnym ci agu ξ n n ω. Na zakończenie tego paragrafu przedstawimy niektóre konsekwencje AD. Otóż w teorii ZF+AD można udowodnić nastȩpuj ace fakty: (a) Każdy zbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie Lebesgue a. (b) Każdy zbiór liczb rzeczywistych ma w lasność Baire a. (c) Liczba porz adkowa ω 1 jest mierzalna (tzn. istnieje nietrywialna miara określona na P(ω 1 ), przyjmuj aca wartości 0 i 1 oraz znikaj aca na punktach). (d) Liczba ω 1 spe lnia nastȩpuj ac a relacjȩ podzia low a ω 1 (ω 1 ) ω (tzn. dla każdego rozbicia F : [ω 1 ] ω 2 istnieje podzbiór C ω 1 równoliczny z ω 1 jednorodny wzglȩdem F, tzn. jednoelementowy). (e) Nie istnieje liczba kardynalna γ taka, że ℵ 0 obraz F ([C] ω ) jest < γ < 2 ℵ 0, tzn. każdy podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest przeliczalny albo jest równoliczny z ca lym zbiorem R. 35
40 Fakt (b) wynika z Twierdzenia 4 w 1 oraz z wniosku w tym paragrafie. Dowód konsekwencji (a) przedstawimy w dalszej czȩści, natomiast pozosta le pozostawimy bez dowodu ( (c) i (d) patrz [4], Tw.2.5 i Tw.2.6; (e) patrz [9], str.209). 3.3 Dowód mierzalności wszystkich zbiorów na prostej. Udowodnimy twierdzenie o mierzalności w sensie Lebesgue a wszystkich zbiorów na prostej, przy za lożeniu AD. Ale przed przyst apieniem do dowodu podamy potrzebne pojȩcia oraz twierdzenia. Definicja. Podzbiór R nazywamy zbiorem analitycznym, jeśli jest on ci ag lym obrazem przestrzeni Baire a ω ω. Twierdzenie 1 8. Każdy podzbiór borelowski przestrzeni Baire a ω ω jest ci ag lym obrazem tej przestrzeni. Z powyższego twierdzenia wynika Wniosek 1. Jeśli B jest podzbiorem borelowskim przestrzeni Baire a ω ω oraz funkcja f : ω ω R jest ci ag la, to zbiór f(b) R jest zbiorem analitycznym. Twierdzenie 2 ( Luzin,Sierpiński) 9. Każdy zbiór analityczny jest mierzalny w sensie Lebesgue a. Ustawmy na wstȩpie wszystkie skończone sumy przedzia lów o końcach wymiernych zawartych w przedziale [0,1] w ci ag S n n ω. W dalszej czȩści tego paragrafu bȩdziemy siȩ odwo lywać do tego uporz adkowania. 8 patrz [3], czȩść IV roz patrz [3], czȩść IV roz
41 Lemat. Dla dowolnego zbioru liniowego M miary Lebesgue a zero i dowolnego szeregu zbieżnego liczb dodatnich ε i istnieje pokrycie S ni i ω zbioru M o w lasności Dowód. i m(s ni ) ε i. Wystarczy udowodnić tezȩ dla szeregów o wyrazach wymiernych. Niech ε := i ε i. Istnieje ci ag przedzia lów I i i ω pokrywaj acy M taki, że i I i ε. Możemy przyj ać, że przedzia ly I i maj a końce wymierne (wystarczy wybrać ci ag przedzia lów dla ε 2 i nastȩpnie odpowiednio powiȩkszyć przedzia ly o końcach niewymiernych) oraz suma ich d lugości wynosi dok ladnie ε. Skonstru lujemy teraz ż adane pokrycie. Niech k 0 taka liczba naturalna, że k 0 1 i=0 I i ε 0 i k 0 i=0 I i > ε 0 ( 1 i=0 I i = 0). Wówczas przedzia l I k0 dzielimy na dwa podprzedzia ly I 0,k0, I 1,k0 w taki sposób, że k 0 1 i=0 I i + I 0,k0 = ε 0 (I 0,k0, I 1,k0 maj a końce wymierne, gdyż ε 0 jest liczb a wymiern a). Przyjmujemy n 0 takie, że S n0 = ( k 0 1 i=0 I i ) I 0,k0. Przedzia ly I 1,k0, I k0 +1, I k0 +2,... oznaczamy odpowiednio I (0) 0, I (0) 1, I (0) 2,.... Przypuśćmy, że skonstru lowaliśmy w ten sposób S n0, S n1,..., S nl. Niech k l+1 ω takie, że k l+1 1 i=0 I (l) i ε l+1 i k l+1 i=0 I (l) i > ε l+1. Przedzia l I kl+1 dzielimy na dwa podprzedzia ly I (l) 0,k l+1, I (l) 1,k l+1 tak, by k l+1 1 i=0 I (l) i + I (l) 0,k l+1 = ε l+1. Niech n l+1 takie, że k l+1 1 S nl+1 = ( I (l) i ) I (l) 0,k l+1. i=0 37
42 Przedzia ly I (l) 1,k l+1, I (l) k l+1 +1, I (l) k l+1 +2,... oznaczamy odpowiednio I (l+1) 0, I (l+1) 1, I (l+1) 2,.... Na mocy zasady indukcji określiliśmy ci ag S ni i ω. Ze sposobu konstrukcji widać, że spe lnia on w lasności Sni = I i, i m(s ni ) k i 1 czyli jest szukanym pokryciem. i=0 I (i 1) i + I (i 1) 0,k i = ε i, Twierdzenie 3 (Mycielski, Świerczkowski) 10. Za lóżmy, że zachodzi AD. Wówczas każdy podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie Lebesgue a. Dowód. Oczywiście wystarczy udowododnić, że każdy podzbiór odcinka [0,1] jest mierzalny. Niech E [0, 1] bȩdzie dowolnym zbiorem. Pokażemy, że m (E) = m (E). Z w lasności miary wewnȩtrznej wiemy, że istnieje E 1 E typu F σ o mierze równej m (E). Wiȩc zbiór E \ E 1 ma miarȩ wewnȩtrzn a równ a zero. Czyli wystarczy pokazać, że m (E \ E 1 ) = 0. Oznaczmy E \ E 1 przez E. Niech ε > 0 dowolne ustalone. skonstru lujemy pokrycie zbioru E zbiorami z ci agu S n n ω, których suma miar jest mniejsza od ε. Zdefiniujemy teraz ci ag liczbowy a n oraz zbiór A ω ω. a i def = ε 10 2i+1 (i ω); n 0, n 1, n 2,... A wtedy i tylko wtedy, 10 podajemy dowód wed lug L.Harringtona, patrz [4] roz.ii 38
43 gdy zachodzi przynajmniej jeden z poniższych warunków: (1) m(s n2i+1 ) a i dla pewnego i, (2) liczba r = 0, n 0 n 2 n 4 n 6... (w rozwiniȩciu dziesiȩtnym) należy do E, natomiast nie należy do żadnego ze zbiorów S n1, S n3, S n5,.... Ponieważ zak ladamy AD, wiȩc gra G ω (A) jest zdeterminowana (patrz warunek (1) w 3.2). Pokażemy, że ta gra jest zdeterminowana dla (II). Przypuśćmy, że tak nie jest. Niech f bȩdzie zwyciȩsk a strategi a gracza (I). Określimy odworowanie f z przestrzeni ω ω w odcinek [0,1]. Niech n 1, n 3, n 5,... ω ω. Określamy n 0 = f( ), n 2 = f(n 0, n 1 ),..., n 2k = f(n 0, n 1,..., n 2k 1 ). Wówczas f( n 1, n 3, n 5,... ) def =0, n 0 n 2 n Funkcja f jest oczywiście ci ag la. Określimy teraz zbiór P ω ω. P def ={ n 1, n 3, n 5,... : m(s n2i+1 ) < a i (i ω)}. Zbiór P jest domkniȩty. Rzeczywiście, jeśli n k 1, n k 3, n k 5,... n 1, n 3, n 5,... (gdzie n k 1, n k 3, n k 5,... P ), to i ki n 1 = n k i 1, n 3 = n k i 3,..., n 2i+1 = n k i 2i+1. A st ad wynika, że i m(s n2i+1 ) < a i. Oznaczmy przez P obraz P przy odwzorowaniu f. Ponieważ funkcja f jest ci ag la, wiȩc P jest zbiorem analitycznym (Wniosek 1), a zatem mierzalnym (Tw.2). 39
44 Pokażemy, że P E. Jeśli x P, to x = f( n 1, n 3, n 5,... ). Ponieważ f jest zwyciȩsk a strategi a dla (I), wiȩc n 0, n 1, n 2,... A. Ale ci ag n 0, n 1, n 2,... nie spe lnia w lasności (1) (bo jest elementem P ), wiȩc musi spe lniać (2). A z tego wynika, że x E. Ponieważ m (E ) = 0, wiȩc m(p ) = 0. Niech S n1, S n3, S n5,... bȩdzie pokryciem zbioru P, które nie spe lnia w lasności (1), tzn. n 1, n 3, n 5,... P (takie istnieje z Lematu). Oczywiście x = f( n 1, n 3, n 5,... ) P. A st ad wynika, że x S n2k+1 dla pewnego k. Wobec tego ci ag f( ), n 1, f(f( ), n 1 ), n 3, f(f( ), n 1, f(f( ), n 1 ), n 5 ), n 5,... nie spe lnia żadnego z warunków (1) i (2), czyli nie należy do A. Otrzymaliśmy sprzeczność z tym, że f jest zwyciȩsk a strategi a gracza (I). Zatem G ω (A) jest wygrana dla (II). Niech g bȩdzie wygrywaj ac a strategi a dla (II). Zdefiniujmy nastȩpuj ace zbiory N = {0, 1,..., 9}, N 1 = {g(n 0 ) : n 0 N}, N 3 = {g(n 0, n 1, n 2 ) : n 0, n 2 N, n 1 = g(n 0 )},. N 2k+1 = {g(n 0,..., n 2k ) : n 2i N, n 2i+1 = g(n 0,..., n 2i ), i k 1}, (N 2k+1 - zbiór wszystkich możliwych wyborów gracza (II) w k-tym ruchu zgodnych z g, przy za lożeniu, że wcześniejsze jego wybory by ly zgodne z g, a (I) wybiera l dowolne liczby ze zbioru {0, 1,..., 9}). Każdy ze zbiorów N 2k+1 ma niewiȩcej niż 10 k elementów oraz m(s i ) < a k dla i N 2k+1. Oznaczmy zbiór i N 2i+1 przez V, zaś l V S l przez W. Zbiór W zawiera E. Rzeczywiście. Niech x E 40
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.
T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoOSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowoWyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Granice niew laściwe Definicja 1 Ci ag (x n ) d aży do (jest rozbieżny do) + jeśli c R N n > N x n > c a do
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoRozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne
Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoRozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej
Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy
Bardziej szczegółowoDekompozycje prostej rzeczywistej
Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoP. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF
29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).
Bardziej szczegółowoRozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat
Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Relacje binarne
Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoTomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoTOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ,
TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, SPÓJNOŚĆ I POJȨCIA BLISKIE (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Abstract. Poniższe notatki do ćwiczeń zbieraj a podstawowe pojȩcia i stwierdzenia
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoSzymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka
Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoz n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1
3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoLiczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza. Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza 2 1 0 1 2 3 x Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza MATEMATYKA
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoProstota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.
Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoW poszukiwaniu kszta ltów kulistych
W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowof(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf
9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowo4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że
4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoMetoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych
Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoCiągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel
Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowo