Mechanika ogólna Obliczanie sił wewnętrznych c w układach prętowych. Kratownice. Kratownica

Transkrypt

1 Mechanika ogólna Wykład nr 7 Obliczanie sił wewnętrznych w układach rętowych. Kratownice. 1 Kratownica Układ rętów w rostoliniowych: ołą łączenia rzegubowe w węzłach; w obciąż ążenia w ostaci sił skuionych rzyłożonych onych w węzłach. w 1k 2k,5m 2

2 Konsekwencje Węzeł doznaje rzesuwu (dwie składowe), obrót t jest nieistotny; W rętach dwustronnie rzegubowych, nieobciąż ążonych orzecznie wystęuje jedynie siła a osiowa (normalna). azwy rętów Pas dolny (D) Pas górny g (G) Krzyżulce (K) Słuki (S) G 1 G 2 S 1 K 1 S 2 K S 2 D 1 D 2 4

3 Statyczna wyznaczalność ajrostsza kratownica złożona z ona z trzech rętów w ołą łączonych rzegubowo jest statycznie wyznaczalna. Każda kratownica budowana rzez dostawianie ól l zamkniętych tworzonych za omocą kolejnych dwóch rętów w jest statycznie wyznaczalna. 5 Stoień statycznej wyznaczalności ci Statyczna wyznaczalność ść: zewnętrzna możliwo liwość oliczenia reakcji: nz r wewnętrzna możliwo liwość oliczenia sił w rętach: całkowita: n 2 w+ w n r+ 2 w 6

4 Przykłady ady (1) Kratownice statycznie wyznaczalne 7 Przykłady ady (2) Kratownice statycznie niewyznaczalne 8

5 Przykłady ady () Kratownice geometrycznie zmienne 9 Metody rozwiązywania zywania Metoda równowar wnoważenia węzłów. w w. Metoda Rittera. Inne: wykreślna metoda Cremony; metoda Culmana; metoda Hanneberga (wymiany rętów). 1

6 Metoda równowar wnoważenia węzłów Każdy z węzłów w w oddzielony zostaje od rętów w za omocą rzekroju rzywęzłowego. W węzłach w otrzymuje się układy sił zbieżnych, w których można zaisać dwa równania r równowagi r sumy rzutów w sił na dwie osie. 11 Zalety i wady metody równoważenia węzłóww Zalety: łatwość zaisania równar wnań sumy rzutów sił; kontrola wyników: w: ostatnie trzy równania r są srawdzeniami; Wady: roagacja błęb łędu; duży y nakład ad racy wymagany do oliczenia siły y w wybranym ręcie. 12

7 Metoda Rittera Kratownicę należy y rzeciąć rzekrojem takim, aby można było o zaisać równanie, w którym jedyną niewiadomą będzie szukana siła a w ręcie. Otrzymany układ sił jest niezbieżny. ny. Równanie równowagi r to zazwyczaj suma momentów w (czasem suma rzutów sił). 1 Zalety i wady metody Rittera Zalety: szukana siła a może e zostać wyznaczona za omocą tylko jednego równania; r brak roagacji błęb łędu; Wady: konieczność zaisania równar wnań sum momentów; brak kontroli błęb łędów w (możliwa n.. za omocą metody równowar wnoważenia węzłów). w w). 14

8 Przykład kratownica z asami równolegr wnoległymi 1k 2k,5m 15 Przykład Reakcje sin cos,77 ( ) + ( ) sin,651 ( ) + (,5m),5m cos,759 ( ) + (,5m) 1k 2k 2 4 H 1 X : H + 1k Y : V + R 2k M : R 6,5m 1k 2k V H V R,5m 1k R 6,154k 1,846k 16

9 Przykład metoda równoważenia węzłóww 1k k H V R 17 Węzeł H -2-1 X : H H 1k V Y : V V 6,154k 18

10 Węzeł 2 1k Y : + sin 2 2 1, ,74 k X : + cos + 1k k 8,74k,77 16,154k 19 Węzeł 2k -2-4 Y : + 1 2k 1 2 k -1 X 2 4 : ,154k 2

11 Węzeł 1 Y : sin + + sin ,74k,77 2k 21,269k,651 X : cos + cos k + 8,74k,77 21,269k,759,11k 21 Węzeł X : + cos ,759 16,154k + 21,269k,759,11k Srawdzenie: Y : + sin ,269k,651 1,846k 22

12 Węzeł -1-4 R Srawdzenie: X 1 : 1,11k Srawdzenie: Y : R R 1, ,864 2 Przykład metoda Rittera rzekrój j 1 (z lewej) l Y : V sin 2 1 M : V + 1k + l 1 2 M : H + l 2 1 1k 2k - 4 H V ,5m R 6,154k 2 1 8,74k,77 2 6,154k 1k 16,154k 1 1k 24

13 Przykład metoda Rittera rzekrój j 1 (z rawej) Y : R + sin 2k 1 2 M : R,5m+ 1 2 M : R 6,5m 2k 2 1 1k 2k k 1,846k 8,74k,77 H V ,5m R 2 1 1,846k,5m 16,154k 1,846 6,5m 2k 1k 25 Przykład metoda Rittera rzekrój j 2 Y : R sin 4 1 M : R,5m+ 1 4 M4 : 1 1k 2k ,846k ,269k,651 H V 1-4,5m 4-1 R 4 1,846k,5m 16,154k 1 26

14 Przykład Wyniki: zestawienie sił 1k -16,154k 2k -16,154k -6,154k 8,74k -2k 21,269k -1,846k -1k 1k 6,154k 1,846k 27 Przykład kratownica trójk jkątna 2k 4,5m 28

15 Przykład reakcje 4,5m 2k H 5 V R 1,5m 1,5m 1,5m 1,5m sin,447 ( 1,5m) + ( ) cos,894 ( 1,5m) + ( ) sin cos,77 ( ) + ( ) X : H + 2k Y : V + R M : R 6m 2k 4,5m H V R 2k 15k 15k 29 Węzeł Y : 2 sin 2 X : + cos 2 2 2

16 Węzeł -1 - R -2 X : 2 1 Y : R k 1 Węzeł 5 2k X :2k + cos 5 4 Y : + sin k 22,71k, ,71k,447 1k 2

17 Węzeł H Y : + sin + V k + 15k 7,72k,77 V X : + cos + H k 7,72k,77 15k Węzeł 4 X : cos cos cos ,72k,77 22,71k,894,894 16,778k Y : sin sin sin ,71k,447 7,72k,77+ 16,778k,447 7,5k 4

18 Węzeł Srawdzenie: X : cos cos cos ,778k Y : sin sin sin ,778k,447 16,778k, k 5 Węzeł Srawdzenie: X : cos ,778k,894 15k Srawdzenie: Y : sin 7,5k+ 16,778k,

19 4,5m Przykład metoda Rittera rzekrój j 1 (z lewej) 2k H l M: cos 4,5m + 2k 4,5m 5-4 V M : V H + 2k 1,5m l 4 1 M : V 9m+ 2k 4,5m+ sin 9m l R 1,5m 1,5m 1,5m 5 4 2k 22,71k, k + 2k + 1k 15k 15k 9m 2k 4,5m 4,77 9m 7,72k 7 4,5m Przykład metoda Rittera rzekrój j 1 (z rawej) 2k H M : cos + sin + R 6m 5-4 V M : R 4 1 M : R sin 6m cos R 1,5m 1,5m 1,5m k 6m,894 +,447 22,71k 1 15k 15k 4,77 6m+,77 7,72k 8

20 4,5m Przykład metoda Rittera rzekrój j 2 2k H M : cos 1,5m+ sin + R M : R 4 1 M : R 6m V R 1,5m 1,5m 1,5m 4 15k,894 1,5m+,447 16,779k 1 15k k 7,5k 6m 9 4,5m Przykład metoda Rittera rzekrój j 2k H M : cos 1,5m+ sin + R M : 5 1 1,5m M : V 9m+ 2k 4,5m+ sin 6m l V R 1,5m 1,5m 1,5m k,894 1,5m+,447 16,779k 15k 9m 2k 4,5m,447 6m 16,779k 4

21 Przykład metoda Rittera rzekrój j 4 M : 1,5m 1 M : 2 sin M : R + 2 2k 5 4,5m H V R 1,5m 1,5m 1,5m k 41 Przykład wyniki: zestawienie sił 2k -2k 1k 7,72k 15k -7,5k -22,71k -16,778k 16,778k -15k -15k 15k 42

22 Przykład C kratownica z asami zbieżnymi 15k 2m 5m 1k 2k 4m 4 Przykład C wymiary R 15k γ δ C 5m 2 1k,9m 2m H 1 2k x 1m+ x x 6,667m 2m 5m,9m 1,2m V 4m sin,287 ( 1m) + ( ),8m sin,689 (,8m) + ( 4m) 4m cos,725 (,8m) + ( 4m) 1m cos,958 ( 1m) + ( ) 2,9m sinγ,695 ( 2,9m) + ( ) cosγ,719 ( 2,9m) + ( ) x 2m sinδ,555 ( 2m) + ( ) cosγ,82 ( 2m) + ( ) 44

23 Przykład C - reakcje R X : H + R + 15k cosγ Y : V 2k 1k 15k sinγ M : R 5m+ 2k 4m+ 1k 1m+ + 15k sinγ 4m+ 15k cosγ 5m γ 15k m H V 4m 1 2k 2 1k,9m 2m,9m 1,2m H V R 44,4k 4,425k 55,125k 45 Przykład C metoda Rittera rzekrój j 1 M1 : 4,8m 15k cosγ,8m 1k 6m l M : 1 cos 5m + H 5m 4 26,574k 1 46,284k M : V 16,667m H 5m sin 16,667m l C 1 4 9,66k R 15k -4 γ γ δ C 5m k,9m 2m 1,9m H k 1,2m V 4m 6,667m 46

24 Przykład C metoda Rittera rzekrój j 2 M2 : 5 4 2,9m 1k M : cos 2,9m+ sin + 1k MC : 5 2 9,667m + 1k 6,667m 5 4 1,45k 2 1,8k 5 2 6,897k R γ 15k γ δ C 5m k,9m 2m,9m H 2k 1,2m V 4m 6,667m 47 Przykład C wyniki: zestawienie sił 15k -55,125k 26,574k 1,45k -27,12k 9,66k -15,689k 2k 44,4k 7,57k -6,897k 12,4k -46,284k -16,485k -1,8k 1k 4,425k 48

25 Przykład D kratownica tyu K 1k 2,5m 2,5m 2m 15k 1,5m 1,5m 49 Przykład D reakcje 2,5m 2,5m 2m 1k H 7 V 8 15k ,5m 1,5m 9 R X : H + 1k Y : V + R 15k M : R 15k 1,5m 1k 7m 1,5m sin,514 R H V 2k 15,8k,8k 2,5m cos,857 ( 1,5m) + ( 2,5m) ( 1,5m) + ( 2,5m) 1,5m sin,6 2m cos,8 ( 1,5m) + ( 2m) ( 1,5m) + ( 2m) 5

26 Przykład D metoda Rittera rzekrój j 1 2,5m 2,5m 2m 1k H 8 15k M : + 15k 1,5m+ 1k 4,5m g 1 22,5k g M : k 1,5m 1k 4,5m 7,5k V 1,5m 1,5m R 51 Przykład D metoda Rittera rzekrój j 2 2,5m 2,5m 2m 1k H k H 9 g X : sin sin 1k k sin V 1,5m 1,5m R 52

27 Przykład D metoda równoważenia węzłóww H V -1 Y : cos + cos 2 2 1k sin 1k 1k 2 9,728k 2sin 2, ,728k X : sin + + H k 9,728k,514 5k 5 Przykład D wyniki: zestawienie sił 1k -1k 8,k -5k -8,k 15k 5k 6,667k,972k -18,465k 7,5k -22,5k -6,667k -,5k 9,5k 9,728k -9,728k -1k 26,574k -15,8k,8k 54