Statyka. Rozdział Twierdzenie o trzech siłach. Twierdzenie dotyczy równowagi płaskiego zbieżnego układu sił.
|
|
- Mirosław Kowalczyk
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdział 1 Statyka 1.1 Twierdzenie o trzech siłach Twierdzenie dotyczy równowagi płaskiego zbieżnego układu sił. Twierdzenie 1 (Twierdzenie o trzech siłach) Aby trzy nierównoległe dosiebiesiły działajace na ciało sztywnebyły w równowadze, linie działania tych sił musza przecinać si e w jednym punkcie, a same siły muszatworzyćtrójk zamkniety. Niech będadanetrzysiły P 1, P 2, P 3. Zakładamy, że sa w równowadze. Zastępujemy P 2 i P 3 siła R (wypad- 11
2 kowatychdwóch). R = P 2 + P 3. Pozostajawięc dwie siły: P1 i R. Ponieważukład jest w równowadze, więc P 1 = R, P 1 = R. Stad P 1, P 2, P 3 sazbieżne i tworza wielobok zamknięty. przypadku jest to trójkat. W każdym 1.2 Równania równowagi płaskiego zbieżnego układu sił Wprowadźmy układ współrzędnych. Ponieważ siła jest wektorem, możemy jazapisaćnastępuj aco P = P x + P y = P x i + P y j, P x = P cos α, P y = P sin α, q P = Px 2 + Py 2. Jeżeli mamy układ n sił zbieżnych, to wypadkowa R = Pi. 12
3 Stosujac twierdzenie, rzut sumy geometrycznej wektorów na dowolnaoś równa sie sumie rzutów tych wektorów na tasam aoś, otrzymujemy R = R x = P 1x + P 2x P nx = P P ix R y = P 1y + P 2y P ny = P P iy, q R 2 x + R 2 y = r ³ Pix 2 + ³ Piy 2. Warunkiem równowagi jest, aby R =0. Stad otrzymujemy równania równowagi: R x = P 1x + P 2x P nx = P P ix =0 R y = P 1y + P 2y P ny = P P iy = Moment siły M O = r F r = r 1 + AB M O = r 1 F + AB F = r1 F. 13
4 ³ M O = rf sin r, F M O = hf Aby siły zbieżne leżace w jednej płaszczyźnie były wrównowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu muszabyćrównezeru. Równania równowagi można przedstawić również w innej postaci. W tym celu udowodnimy twierdzenie Varignona. Twierdzenie 2 (Varignon) Moment wzgledem dowolnego punktu O wypadkowej dwóch sił równy jest sumie momentów sił wypadkowych wzgledem tegoż punktu. Zgodnie z definicja momentu wektora względem punktu możemy napisać M O = r R, gdzie R = F 1 + F 2. M O 1 = r F 1, M O 2 = r F 2. 14
5 Otrzymujemy M O = r R ³ = r F1 + F 2 = r F 1 + r F 2 = M O 1 + M O 2. Twierdzenie to można uogólnić nadowolnailość sił zbieżnych M O = M 0 i. Analitycznie M O = P y x P x y. Weźmy układ n sił przyłożonych do punktu A ciała. Jeżeli suma momentów tych sił względem jakiegoś punktu B jest równa zero, to albo ich wypadkowa jest równa zeru, albo linia jej działania przechodzi przez punkt B (ramię wypadkowej równe zero). Jeżeli dodatkowo suma momentów tych sił względem innego punktu C, nie leżacegonajednej 15
6 prostej z punktami A i B jest także równa zeru, wówczas wypadkowa R musi być równa zero. Aby płaski układ sił zbieżnych znajdował się w równowadze musza równać się zeru rzuty momentów wszystkich sił tego układu względem dowolnych dwóch punktów nie leżacych z punktem przyłożenia sił na jednej prostej. równań równowagi Stad druga postać MiB =0, MiC =0. Gdy w zadaniach mamy trzy niewiadome, to do pierwszej postaci równań dodajemy jedno równanie momentów. 1.4 Wypadkowa dwóch sił równoległych Gdy na ciało działajadwiesiły równoległe pojawiaj asiękłopoty ze znalezieniem wypadkowej metoda równoległoboku. Postępujemy następujaco: Mamy dwie siły P 1 i P 2 zgodnie skierowane przyłożone w punktach A i B. Przykładamy do tych punktów układ zerowy S 0 = S. Otrzy- 16
7 mujemy wypadkowe R 1 = P 1 + S i R2 = P 2 + S. Siły R 1 i R 2 możemy jużzłożyć. Przesuwamy je do punktu D iskładamy R = R 1 + R 2, R = P 1 + S + P 2 + S 0 = P 1 + P 2, R = P 1 + P 2. Linia działania wypadkowej przechodzi przez punkt C. Położenie tego punktu określaja odcinki (Twierdzenie Talesa) AC = AB P 2 P 1 + P 2, BC = AB P 1 P 1 + P 2. Jeżeli siły równoległe sa przeciwnie skierowane, to R = R 1 + R 2, R = P 1 P 2, AC = AB P 2 P 1 P 2, BC = AB P 1 P 1 P Para sił Układ dwóch sił równoległych P 0 = P, P 0 = P nie leżacych na jednej prostej nazywamy para sił. Odległość między siłami nazywamy ramieniem pary sił. 17
8 M = Pa. M O = Ph 1, M 0 O = P 0 h 2 = Ph 2, gdzie h 1,h 2 -ramionasił względem punktu O, h 1 h 2 = a. M O + M 0 O = P (h 1 h 2 )=Pa = M. Wektor momentu pary sił jest wektorem swobodnym. Jeżeli mamy n par sił działajacych na ciało w jednej płaszczyźnie, to moment wypadkowy jest równy sumie momentów poszczególnych par M = M i. 18
9 Abyparysił działajace w jednej płaszczyźnie na ciało sztywne znajdowały sięwrównowadze,sumamomentówtychparmusi się równaćzeru. Mi =0. Warunek równowagi par sił w jednej płaszczyźnie. Pary sił o tej samej płaszczyźnie działania i równych momentach sa sobie statycznie równoważne. Składanie par sił w jednej płaszczyźnie. Abyparysił działajace w jednej płaszczyźnie na ciało sztywne znajdowały sięwrównowadze,sumamomentówtychparmusi się równaćzeru. Mi = M 1 + M M n = Qb, Mi = 0 - warunek równowagi. 1.6 Redukcja dowolnego płaskiego układu Rozpatrzmy przypadek: Dana siła P. Do dowolnego punktu O ciała przykładamy układ zerowy. P i P 0 = P. Otrzymujemy układ: siła P, para sił o momencie M O = ap. Jeżeli mamy układ n sił, to można go spróbować do siły i pary sił, gdzie R = Pi - wektor główny, M O = M io -moment główny względem środka redukcji O. 19
10 Redukcja w układzie współrzędnych R x = P ix, R y = P iy. Moment każdej siły względem środka redukcji, którym jest poczatek układu, wynosi M io = P iy x i P ix y i. Moment główny M O = M io = (P iy x i P ix y i ) Redukcja układu do wypadkowej Jeżeli moment główny układu da się przedstawić w postaci M O = hr, R- wektorgłówny, to układ redukuje się do wypadkowej. W przypadku, gdy suma geometryczna układu sił P 1, P 2,..., P n działajacych w jednej płaszczyźnie na ciało sztywnejestróżna od zera, układ zastapić możemy jednasił awypadkow arówn a wektorowi głównemu R = Pi. 20
11 Moment tej siły wypadkowej M O ³ R M O ³ R = M io, = R y x R x y- równanie prostej, na której leży wypadkowa. 1.7 Warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił Aby układ znajdował się w równowadze wektor i moment główny musi być równy0. R =0, M O =0. Równania równowagi dowolnego płaskiego układu Pix = 0, Piy =0, MiO =0, Pix = 0, MiA =0, MiB =0, MiA = 0, MiB =0, MiC = Siły zbieżne w przestrzeni Wypadkowa zbieżnego przestrzennego układu sił R = Pi. Dowolny układ sił przyłożonych do jednego punktu zastapić możemy jedna siła wypadkowa przyłożona w tym punkcie i równa sumie geometrycznej sił. 21
12 R = P 1 + P 2 + P 3. P x = P cos α, P y = P cos β, P z = P cos γ, P = p OA 02 + AA 02, AA 0 = P z, OA 02 = Px 2 + Py 2, q P = Px 2 + Py 2 + Pz 2. Stad wypadkowa układu R = R x i + R y j + R z k, R x = P ix, R y = P iy, R z = P iz, q R = Rx 2 + Ry 2 + Rz. 2 22
13 Równania równowagi Pix =0, Piy =0, Piz =0, z warunku R = Pi = Przestrzenny układ sił równoległych Dany jest układ n sił w przestrzeni Wektor główny tego układu jest R = P i = R x i + R y j + R z k. Moment główny względem poczatku układu M O = Mi = M xo i + M yo j + M zo k, gdzie R x = P ix, R y = P iy, R z = P iz, M xo = (P iy z i P iz y i )=R y z R z y, M yo = (P iz x i P ix z i )=R z x R x z, (1.1) M zo = (P ix y i P iy x i )=R x y R y x. 23
14 Katy nachylenia sił do osi układu sa α, β, γ. P ix = P i cos α, R x = R cos α, P iy = P i cos β, R y = R cos β, (1.2) P iz = P i cos γ, R z = R cos γ. Podstawiamy 2.2 do 2.1 (Pi cos β z i P i cos γ y i ) = R cos β z R cos γ y, (Pi cos γ x i P i cos α z i ) = R cos γ x R cos α z, (Pi cos α y i P i cos β x i ) = R cos α y R cos β x. Po uporzadkowaniu wg kosinusów kierunkowych otrzymujemy ³Rz P i z i cos β = ³Rx P i x i cos γ = ³Ry P i y i cos α = ³Ry P i y i cos γ, ³Rz P i z i cos α, ³Rx P i x i cos β. Stad otrzymujemy Rx P P i x i cos α = Ry P P i y i cos β = Rz P P i z i. cos γ Dzielac stronami przez R mamy Rx P P i x i R cos α = Ry P P i y i R cos β = Rz P P i z i R cos γ. Oznaczajac x 0 = P P P Pi x i R, y Pi y i 0 = R, z Pi z i 0 = R, (1.3) 24
15 otrzymujemy równanie wypadkowej x x 0 cos α = y y 0 cos β = z z 0 cos γ. Punkt S (x 0,y 0,z 0 ) nazywamy środkiem sił równoległych. Zwiazki 2.3 można zapisać następujaco: r 0 = P P P P Pi r P i Pix x i Piy y, x 0 = P i Piz z, y 0 = P, z 0 = P i. Pi Pix Piy Piz 1.10 Środki ciężkości Mamy bryłę. Można ja podzielićnan elementów. Środkiem ciężkości nazywamy punkt, względem którego suma momentów wszystkich sił G i równa się zero (środek równoległych sił ciężkości). P Gi = G- wypadkowa x o Vi γ i = G i x i, x o Vi γ i = V i γ i x i, x o = P γi x i V i P γi V i. 25
16 Obracajac układ otrzymujemy y o = z o = P γi y i V P i, γi V P i γi z i V P i. γi V i Przechodzac do granicy przy n mamy x o = y o = z o = Jeżeli ρ = const. (ciało jednorodne), to R γxdv VR γdv, V R γydv VR γdv, V R γzdv VR γdv. V x o = y o = z o = R xdv V, R V ydv V, R V zdv V V. Jeżeli uwzględnimy, że γ = ρg, ρ = const., tootrzymamywzoryna współrzędne środka masy: x o = y o = z o = P P P ρi x i V P i xi m i xi m = P i = ρi V i mi M, P P P ρi y i V P i yi m i yi m = P i = ρi V i mi M, P P P ρi z i V P i zi m i zi m = P i = ρi V i mi M. 26
17 Przechodzac do granicy przy n otrzymujemy x o = y o = z o = R R ρxdv xdm R = ρdv M, R R ρydv ydm R = ρdv M, R R ρzdv zdm R = ρdv M, gdzie Z Z Z xdm ydm zdm - momenty statyczne Uogólnienie redukcji układu na układ przestrzenny Mamy siłę P w punkcie A. Przykładajac układ P, P wpunkcieo, otrzymujemy P i MO = r P. Każdasiłę działajac a naciało sztywnemożna sprowadzić do dowolnego punktu O przykładajac siłę o momencie równym momentowi siły. 27
18 Podobnie można postapić zewszystkimisiłami układu przestrzennego: R = P 1 + P P n = Pi, M O = M O1 + M O M On = MOi = r 1 P 1 + r 2 P r n P n, gdzie r 1 = OA 1, r 2 = OA 2,..., r n = OA n, R - wektor główny, M O -momentgłówny. Analitycznie: Momenty względem osi: M Ox = M ix = (P iz y i P iy z i ), M Oy = M ix = (P ix z i P iz x i ), M Oz = M ix = (P iy x i P ix y i ), gdzie x i,y i,z i -współrzędne punktów przyłożenia sił P i. M O = q M 2 Ox + M 2 Oy + M 2 Oz Ogólne warunki i równania równowagi dowolnego przestrzennego układu sił Aby dowolny układ był w równowadze, musi być R =0, MO =0. 28
19 Ogólne równania równowagi P Pix =0, P Piy =0, P Piz =0, P Mix =0, P Miy =0, P Miz = Zmiana bieguna redukcji Załóżmy, że układ sił P 1,...,P n zredukowaliśmy względem punktu O. M O = MiO = r i P i = OAi P i. Obierzmy teraz punkt O 1 jako punkt redukcji M O1 = MiO1 = O 1 A i P i, O 1 A i = O 1 O + OA i. Wtedy M O1 = O 1 A i P i = ³ O1 O + OA i P i = O 1 O Pi + OAi P i, Pi = R, OAi P i = M O. 29
20 Zatem M O1 = M O + O 1 O R Niezmienniki redukcji układu sił 1. Wektor główny nie zależy od środka redukcji. 2. Rzut momentu głównego na kierunek wektora głównego M O1 R = M O R ³ + O1 O R R, czyli M O1 R = M O R = const. M O R = M O R cos α. Ponieważ R = const. względem środka redukcji, to M O cos α = const Przypadki redukcji układu Gdy moment główny jest prostopadły do wektora głównego, układ sił możemy zredukować do jednej siły wypadkowej R = P i. Wówczas moment wypadkowej równa się momentowi głównemu. 1. R 6= 0, M O 6=0 -siła, para sił. 2. R 6= 0, M O =0 -wypadkowa. 30
21 3. R =0, M O 6=0 -parasił. 4. R =0, M O =0 - równowaga Kratownice Układ złożony z prętów, których końce sazesob apołaczone przegubowo, majacy niezmiennapostaćgeometryczn anazywamy kratownica. Połaczenia przegubowe nazywamy węzłami. Warunek sztywności (kratownicę traktujemy jako ciało sztywne): p = 2w Kratownica niedosztywniona p<2w Kratownica sztywna p =2w Kratownica przesztywniona p>2w 3. 31
22 Przy rozwiazywaniu kratownicy w prętach siły wprętach zakłada się następujaco: siły odwęzła- rozciaganie siły dowęzła- ściskanie Zakładamy zawsze rozciaganie Metoda węzłów rozwiazywania kratownic Najpierw znajdujemy reakcje traktujac kratownicę jakociało sztywne, następnie liczymy siły wprętach rozpatrujac kolejno równowagę 32
23 wszystkich węzłów. Wycinamy (uwalniamy od więzów) węzeł np. A zastępujac pręty siłami P Pix = S 2 S 1 cos 45 o =0 P Piy = P + S 1 sin 45 o =0 S 1 = 2P = S 2 = P. Jeżeli w jednym węźle schodzasiętrzypręty, przy czym dwa z nich leża na jednej prostej, to trzeci jest prętem zerowym Metoda Rittera Metoda Rittera polega na rozpatrywaniu równowagi części kratownicy powstałej na skutek jej przekroju przez trzy pręty. Odcięta część traktujemyjakociało sztywneiukładamy dla niej równania momentów względem punktów, w których parami przecinajasię kierunki sił niwiadomych. 33
24 Równanie momentów względem punktu O 1 S 1 h 1 + Pp 1 R A r 1 =0 S 1 = R Ar 1 Pp 1 h 1 Równanie momentów względem punktu O 2 S 2 h 2 + R A r 2 Pp 2 =0 S 2 = Pp 2 R A r 2 h 2 Równanie momentów względem punktu O 3 S 3 h 3 R A r 3 + Pp 3 =0 S 3 = Pp 3 R A r 3 h 3 34
Mechanika teoretyczna
Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek konieczny geometrycznej
Bardziej szczegółowoDla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji.
Mechanika Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji. Przyłożenie układu zerowego (układ sił równoważących się, np. dwie siły o takiej samej mierze,
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści
Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i
Bardziej szczegółowoR o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y
Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α
Bardziej szczegółowoRedukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci
Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci Twierdzenie o redukcji: Każdy układ wektorów równoważny jest układowi złożonemu ze sumy o początku w dowolnym punkcie
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie
Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie materiały pomocnicze do zajęć audytoryjnych i projektowych opracowanie: dr inż. Piotr Dębski, dr inż. Dariusz Zaręba
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17
Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią
Bardziej szczegółowo5.1. Kratownice płaskie
.. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 6 Kratownice
ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione przyłożone w węzłach. Umowa: jeśli konstrukcja
Bardziej szczegółowoMechanika i Wytrzymałość Materiałów. Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga.
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga. Przedmiot Mechanika (ogólna, techniczna, teoretyczna): Dział fizyki
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowoKRATOWNICE 1. Definicja: konstrukcja prętowa, składająca się z prętów prostych połączonych ze sobą przegubami. pas górny.
KRTOWNIE efinicja: konstrukcja prętowa, składająca się z prętów prostych połączonych ze sobą przegubami słupki pas górny krzyżulce pas dolny Założenia: pręty są połączone w węzłach przegubami idealnymi
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Część I STATYKA
Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE
PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE Podstawy statyki budowli: Pojęcia podstawowe Model matematyczny, w odniesieniu do konstrukcji budowlanej, opisuje ją za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 21
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MECHANIKA TECHNICZNA Analiza płaskiego dowolnego układu sił Dr hab. inż. Krzysztof
Bardziej szczegółowoPodstawy mechaniki 2018_2019. Równowaga bryły sztywnej
Podstawy mechaniki 2018_2019 Równowaga bryły sztywnej Równowaga bryły sztywnej Ogólne warunki równowagi Przypadek płaskiego (dwuwymiarowego) układu sił Obiekty w równowadze Podpory i ich modele O czym
Bardziej szczegółowoMECHANIKA OGÓLNA wykład 4
MECHNIK OGÓLN wykład 4 D R I N Ż. G T M R Y N I K Obliczanie sił wewnętrznych w układach prętowych. K R T O W N I C E KRTOWNIC UKŁD PRĘTÓW PROSTOLINIOWYCH Przegubowe połączenia w węzłach Obciążenie węzłowe
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowoObliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych. Pręty obciążone osiowo Kratownice
Tematyka wykładu 2 Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych ręty obciążone osiowo Kratownice Mechanika budowli - kratownice Kratownicą lub układem kratowym nazywamy układ prostoliniowych
Bardziej szczegółowoRedukcja dowolnego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci
Redukcja dowolnego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci Twierdzenie o redukcji: ażdy układ wektorów równoważny jest układowi złożonemu ze sumy o początku w dowolnym punkcie
Bardziej szczegółowoUkłady współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.
Ekoenergetyka Matematyka. Wykład 6. RÓWNANIA PŁASZCZYZN Fakt (równanie normalne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i prostopadłej
Bardziej szczegółowo3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ
3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie
Bardziej szczegółowoAUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI
UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Przedmiot Mechanika teoretyczna Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Mechanika: ogólna, techniczna, teoretyczna. Dział fizyki zajmujący się badaniem
Bardziej szczegółowoVII.1 Pojęcia podstawowe.
II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowo= [6; 2]. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.
ZADANIE 1 (5 PKT) Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkata jeżeli środki jego boków maja współrzędne: P = (1, 3), Q = ( 5, 4), R = ( 6, 7). ZADANIE 2 (5 PKT) Dla jakich wartości parametru α odległość
Bardziej szczegółowoStanisław Pryputniewicz MECHANIKA OGÓLNA MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADÓW I ĆWICZEŃ
Stanisław Pryputniewicz MECHANIKA OGÓLNA MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADÓW I ĆWICZEŃ SPIS TREŚCI Przedmowa 1. Podstawowe pojęcia, definicje i aksjomaty statyki 1.1. Wprowadzenie 1.2. Modele ciał rzeczywistych
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna statyka
Mechanika ogóna statyka kierunek Budownictwo, sem. II materiały pomocnicze do ćwiczeń opracowanie: dr inż. iotr Dębski, dr inż. Irena Wagner TREŚĆ WYKŁADU ojęcia podstawowe, działy mechaniki. ojęcie punktu
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoKatedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI
Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest parabola? Parabola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem β = α (gdzie α
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych
MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład Nr 1 Statyka
1 Mechanika Wykład Nr 1 Statyka literatura, pojęcia podstawowe, wielkości fizyczne, działania na wektorach, rodzaje obciążeń, więzy i reakcje, aksjomaty statyki, środkowy układ sił redukcja i warunek równowagi,
Bardziej szczegółowoProsta i płaszczyzna w przestrzeni
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego
Bardziej szczegółowo4.1. Modelowanie matematyczne
4.1. Modelowanie matematyczne Model matematyczny Model matematyczny opisuje daną konstrukcję budowlaną za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych będą należały to zbioru liczb rzeczywistych i będą one reprezentować
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności
Zasady dynamiki Newtona Pęd i popęd Siły bezwładności Copyright by pleciuga@o2.pl Inercjalne układy odniesienia Układy inercjalne to takie układy odniesienia, względem których wszystkie ciała nie oddziałujące
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoPolitechnika Śląska w Gliwicach Wydział Organizacji i Zarządzania Katedra Podstaw Systemów Technicznych
Przedmiot: Mechanika stosowana Liczba godzin zajęć dydaktycznych: Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Organizacji i Zarządzania Katedra Podstaw Systemów Technicznych Studia magisterskie: wykład 30
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoMETODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowo1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ...
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu... Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] Strona:1 2. Ustalenie stopnia
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Dla ramy przestrzennej przedstawionej na rys. 1 wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił wewnętrznych. DANE
4. Obiczanie sił wewnętrznych w ramach płaskich i przestrzennych. Sporządzanie wykresów 4.1 Zadanie 1. Da ramy przestrzennej przedstawionej na rys. 1 wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił wewnętrznych.
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowoMECHANIKA OGÓLNA (II)
MECHNIK GÓLN (II) Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Liczba godzin: sem. II *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz., ale
Bardziej szczegółowoII. Redukcja układów sił. A. Układy płaskie. II.A.1. Wyznaczyć siłę równoważną (wypadkową) podanemu układowi sił zdefiniowanychw trzy różne sposoby.
II. Redukcja układów sił A. Układy płaskie II.A.1. Wyznaczyć siłę równoważną (wypadkową) podanemu układowi sił zdefiniowanychw trzy różne sposoby. II.A.2. Słup AB podtrzymywany jest w pozycji pionowej
Bardziej szczegółowoPRZYRZĄD DO WPROWADZENIA POJĘCIA MOMENTU OBROTU I PARY SIŁ
PRZYRZĄD DO WPROWADZENIA POJĘCIA MOMENTU OBROTU I PARY SIŁ (V 6 60) Za pomocą kompletu, w skład którego wchodzi dźwignia, 5 małych bloczków z uchwytami dostosowanymi do prętów statywowych, 6 linek z haczykami
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z
Bardziej szczegółowoElementy dynamiki mechanizmów
Elementy dynamiki mechanizmów Dynamika pojęcia podstawowe Dynamika dział mechaniki zajmujący się ruchem ciał materialnych pod działaniem sił. Głównym zadaniem dynamiki jest opis ruchu ciał pod działaniem
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoGeometria Analityczna w Przestrzeni
Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoAutor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE
METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo9. Mimośrodowe działanie siły
9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz
Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy
Bardziej szczegółowoMECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH
ECHANIKA I WYTRZYAŁOŚĆ ATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH ZAD. 1. OBLICZYĆ SIŁY TNĄCE ORAZ OENTY ZGINAJĄCE W BELCE ORAZ NARYSOWAĆ WYKRESY TYCH SIŁ Wyznaczamy siły reakcji. Obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowo