σ ij x 3 x 2 x 1 NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA Wstęp: Pojęcia te występują w opisie procesu odkształcenia tzn. są to zmiany wymiarów
|
|
- Sławomir Morawski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Krzysztof Wierzbanowski NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA Wstęp: Pojęcia te występują w opisie procesu odkształcenia tzn. są to zmiany wymiarów ciała pod wpływem przyłożonych sił. Siły powinny być znormalizowane względem wymiarów ciała, a odkształcenie powinno być wyrażone względnie, przy czym translacja i obrót ciała (jako całości) nie są brane pod uwagę przy definicji odkształcenia. I. Naprężenie (ang. stress) Rozważmy najpierw tensor naprężenia, którego składowe definiują siły przypadające na jednostkową powierzchnię. W tym celu zdefiniujmy bardzo mały (jednostkowy) sześcian wewnątrz materiału. x x x określa do której osi równoległa jest składowa siły określa do której osi prostopadła jest płaszczyzna ścianki Siły działające na ścianki jednostkowego sześcianu definiują składowe tensora naprężenia. Pierwszy wskaźnik (i) definiuje kierunek, wzdłuż którego działa siła, zaś drugi (j) oś do której jest prostopadła płaszczyzna ścianki, w której działa siła.
2 Składowe tworzą tensor naprężeń drugiego rzędu. Rozróżniamy składowe normalne i ścinające tensora naprężeń, przy czym:,, 33 są składowymi normalnymi, zaś, 3, 3 są składowymi ścinającymi. Znajomość tensora naprężeń umożliwia nam wyliczenie całkowitej siły działającej na dowolny płat powierzchni. Załóżmy, że chcemy znaleźć siłę działająca na powierzchnię ABC na poniższym rysunku. Powierzchnia ta reprezentowana jest przez wektor normalny S (którego wartość równa się polu tej powierzchni). Składowymi wektora S są rzuty powierzchni ABC, czyli: S, S, S 3. Przykładowo, składowa F całkowitej siły działającej na powierzchnię S wynosi: F () S + S + S 3 3 x 3 C S S S S 3 B x x A Powierzchnia S (ABC) i jej rzuty: S, S, S 3. Możemy to zapisać krócej: F j S j () Podobnie, dowolna składowa tej siły wynosi: F i S j (3) Czyli siła działająca na płat powierzchni S wynosi:
3 [F] [ ] [ S] (4) gdzie: siła i powierzchnia przedstawione zostały jako macierze kolumnowe, zaś tensor naprężenie - jako macierz kwadratowa o wymiarze 3x3 (reprezentacja tensora jako macierz omówiona będzie za chwilę). Zauważmy także (patrz Równ.3), iż dowolną składową naprężenia można przedstawić jako: F i ( S j ) (5) Równowaga statyczna równowaga momentów ji 6 składowych spośród 9 jest niezależnych Zależność ta ( ji ) redukuje liczbę niezależnych składowych naprężeń do sześciu (3 normalne i 3 styczne). Tensor naprężeń możemy zatem przedstawić jako kwadratową macierz symetryczną o wymiarze 3x3. Jednak nie każda macierz symetryczna jest tensorem (o czym będzie za chwilę). Stan naprężeń może być niejednorodny ( x, x, x ) 3, np. może istnieć zmienność naprężeń w głąb walcowanej próbki. W ogólności warunek równowagi elementów wewnątrz materiału prowadzi do zależności: :, j (6) x j W równaniu powyższym występuje sumowanie po powtarzającym się wskaźniku (j). Przykładowo dla i, równanie to ma postać: j, j x x x 3 (7) Podobne dwa równania trzeba napisać dla i oraz i3. 3
4 Transformacja wektora i tensora do nowego układu współrzędnych Transformacje wektora: Rozważmy przykładowo transformację wektora siły: F i a ik F k (8) a ik są kosinusami kierunkowymi, które definiują orientację układu nowego względem starego. W równaniu powyższym zastosowano konwencję sumowania po powtarzającym się wskaźniku (w tym wypadku k). szczegółowo: 3 F F F a a a 3 F + a F + a F + a 3 F F F + a + a + a F 3 F 3 F 3 (9) x 3 x 3 x x x x Transformacja z układu starego : x, x, x 3 do nowego : x, x, x 3 odbywa się przy pomocy kosinusów kierunkowych a (a jest kosinusem kąta pomiędzy i-tą osią układu nowego a j-tą układu starego. Transformacja tensora: Rozważmy jako przykład tensor naprężeń: 4
5 a ik jl kl () Również i w tym równaniu zastosowano konwencję sumowania po powtarzającym się wskaźniku (w tym wypadku k i l). szczegółowo (np. składowa 3 ): a a a 3 3 a k 3 3l + a + a + a kl a + a + a W powyższej transformacji pojawia się iloczyn dwóch kosinusów kierunkowych, ponieważ mamy do czynienia z transformacją zarówno sił jak i powierzchni. Często tensor naprężeń przedstawiamy w postaci macierzy: 3 3 () Jednak nie każda macierz symetryczna jest tensorem! Aby dana macierz reprezentowała tensor, jej wyrazy (np. ) muszą transformować się z układu do układu zgodnie z Równ.. Interesującą własnością tensora drugiego rzędu jest to, iż zawsze można znaleźć taki układ współrzędnych, w którym tylko składowe główne są różne od zera; wtedy ma on postać: () 33 Wartości na przekątnej nazywamy wartościami własnymi, a znajdujemy je rozwiązując równanie charakterystyczne: ( ) 3 ( ) 3 ( ) (3) Rozwiązując powyższy wyznacznik otrzymujemy: ( λ ) ( λ ) ( λ ) λ, λ, 33 λ Oczywiście: 5
6 Jeżeli λ λ λ 3 to mamy do czynienia z naprężeniem typu hydrostatycznego (, pozostałe wyrazy tensora przyjmują wartości zerowe). 33 Typowe stany naprężeń: a) Rozciąganie: Test rozciągania w kierunku osi x 3. S jest powierzchnią przekroju poprzecznego próbki. b) Ściskanie: Ściskanie wzdłuż osi x 3. c) Proste ścinanie: x x x x Podczas ścinania (np.: ) jednostkowy sześcian materiału staje się równoległościanem. 6
7 d) Naprężenie typu hydrostatycznego: p W naprężeniu typu hydrostatycznego występują tylko składowe główne tensora naprężeń 33 p Naprężenia hydrostatyczne mają te same składowe i wartości niezależnie od układu współrzędnych. Jest to intuicyjnie zrozumiałe, bo jakkolwiek byśmy nie obracali kostki zanurzonej w cieczy - patrz rysunek powyżej - to zawsze ciśnienia na jej ściankach będą jednakowe (pomając oczywiście w tym przykładzie zmianę cisnienia z wysokością). Ponadto, łatwo można wykazać, że dla dowolnego tensora naprężeń zachodzi następująca relacja: const (czyli ślad macierzy jest stały, niezależny od układu odniesienia). Rozkład dowolnego tensora na składową ścinającą i hydrostatyczną. Każdy tensor naprężeń można rozłożyć na część hydrostatyczną i czysto ścinającą (ang.: deviatoric). Załóżmy, że w dowolnym układzie odniesienia mamy tensor naprężeń. Przetransformujmy go do układu osi głównych: uklad osi glownych 3 gdzie: ( + + ) p 33, czyli: p ii 3 p q p + r (4) 33 p s oraz: q + r + s (5) (oczywiście wartości q, r oraz s znajdujemy z Równ.(4); q -p, r -p, s 33 -p). Następnie można dokonać dwóch kolejnych obrotów wokół osi wzajemnie prostopadłych, które przeprowadzają tensor (4) do następującej postaci: 7
8 p p q + p r p obroty s p + p qs qs qs r qs r (6) człon hydrostatyczny człon ścinający (ang. deviatoric stress) Pierwszy człon, czyli naprężenie hydrostatyczne nie zmienia się oczywiście po kolejnych obrotach, drugi zaś człon uzyskał postać czystych naprężeń ścinających. Jak pamiętamy, człon hydrostatyczny powoduje odkształcenie sprężyste ciała (np. odwracalne ściśnięcie). Natomiast człon ścinający (ang. deviatoric stress) jak zobaczymy później oprócz sprężystego odkształcenia ścinającego, odpowiedzialny jest także za odkształcenie plastyczne, które jest sumą elementarnych nieodwracalnych odkształceń typu ścinającego. II. Odkształcenie (ang: strain) Odkształcenie ciała jest odpowiedzią na przyłożone siły (naprężenie). Zacznmy od najbardziej podstawowego opisu odkształcenia ciała poprzez gradient przemieszczenia. a) Gradient przemieszczenia Jeden wymiar. Zdefiniujemy najpierw odkształcenie ciała w przypadku jednowymiarowym (np. rozciąganie w kierunku osi x). Odcinek o początkowej długości δx wydłużył się o δw. δx δx+ δw A B A B Odcinek o początkowej długości AB jest rozciągnięty do długości A B Zdefiniujmy gradient przemieszczenia (e) ciała, w punkcie A: 8
9 δw dw e lim δx δ x dx (7) Dwa wymiary x x B B δv δv δx A C A δw δw C δx Składowe gradientu przemieszczenia definiujemy przez deformację kwadratu ABC. Składowe normalne definiują zmiany rozmiarów odcinków; i tak: δv dv względne wydłużenie AB lim e δ x δx dx (8) AC lim δw δx względne wydłużenie δ x (9) dw dx e (Zauważmy, że w Równ. 8- bierzemy pod uwagę znaki δv, δv, δw oraz δw ). Przykładowo w Równ. (8) w przypadku δv > mamy wydłużenie, w przeciwnym zaś razie skrócenie.) 9
10 Składowe ścinające definiują zmiany orientacji: zmiana orientacji AB: e lim δv δx dv dx δ x () zmiana orientacji AC: e δw lim δx dw dx δ x () Powyżej zdefiniowane wielkości e są składowymi tensora gradientu przemieszczenia. Podsumujmy konwencję wskaźników i,j występujących w e : Zbierzmy razem definicje składowych tensora gradientu przemieszczenia e : dw e dx dw e dx dv e dx dv e dx Zauważmy, że ze względu na poglądowość, użyliśmy odrębnych oznaczeń δw i i δv i do oznaczenia przemieszczeń odcinków δx i δx. Nie ma żadnego powodu, aby tak robić w ogólnym przypadku. Wprowadzamy, zatem pojęcie pola przemieszczeń δu i (x,x ), które jest funkcją położenia. Tak, więc podsumujmy: δ δ δ Zamiast: w, v u ( x, x i i i ) W ogólnym przypadku, tensor gradientu przemieszczenia definiujemy jako: e u x i j ()
11 Trzy wymiary: W trzech wymiarach sytuacja przedstawia się analogicznie jak powyżej, uwzględniamy dodatkowo wymiar w kierunku osi x 3. A zatem wskaźniki w Równ.() przyjmują wartości: i,j,,3. b) Odkształcenie i obrót Jak widzieliśmy już wyżej, gradient odkształcenia e opisuje względne zmiany rozmiarów ciała. Przykładowo, w przypadku dwuwymiarowym (rysunek poniżej, po lewej) ciało o początkowym kształcie kwadratu przechodzi w równoległobok; kąty θ i θ opisane są odpowiednio przez e i e : e e u x u x tgθ tgθ (3) Równocześnie składowe e i e opisują względne zmiany wymiarów ciała w kierunkach x i x : e e u x u x (4)
12 x x θ e e > θ e x x e < Po lewej: ciało o początkowym kształcie kwadratu przechodzi po odkształceniu w równoległobok; składowe e,e opisują jego wydłużenie (bądź skrócenie) w kierunkach x i x, zaś składowe ścinające e i e zmianę orientacji odcinków δx i δx (tgθ e, tgθ e ). Po prawej: sztywny obrót ciała (e -e lub też: θ -θ ). Może się jednak zdarzyć, że ciało doznało jedynie sztywnego obrotu, bez zmiany kształtu. Sytuacja taka pokazana jest po prawej części rysunku; wtedy: e -e. Musimy zatem zmodyfikować definicję odksztalcenia, tak, aby nie zawierała w sobie sztywnego obrotu. Definiujemy zatem tensor odkształcenia i obrotu: (5) ε (e + e ji ) - tensor odkształcenia (symetryczny) (6) ω (e e ji ) - tensor obrotu (anty-symetryczny) Tensor odkształcenia jest symetryczny, tzn. ε ε ji, zaś tensor obrotu jest anty-symetryczny, tzn.: ω - ω ji. Oznacza to, że w przypadku trójwymiarowym mamy sześć niezależnych składowych tensora odkształcenia (ε, ε, ε 33, ε ε, ε 3 ε 3, ε 3 ε 3 ) oraz trzy niezależne składowe tensora obrotu (ω - ω, ω 3 - ω 3 i ω 3 - ω 3 ). Warunek zgodności W omawianym przez nas wcześniej przypadku dwuwymiarowym, zdefiniowaliśmy trzy niezależne składowe odkształcenia (ε, ε i ε ε ) na podstawie dwóch tylko składowych przemieszczenia: du i du. Nasuwa to wniosek, że pomiędzy składowymi
13 odkształcenia musi istnieć jakaś dodatkowa zależność. Istotnie, można łatwo wykazać, że zachodzi między nimi następująca relacja, zwana warunkiem zgodności (ang. compatibility condition): ε ε ε (7) + x x x x Odpowiednie równania istnieją także dla przypadku trójwymiarowego. c) Transformacja tensorów Omawiane przez nas wielkości, opisywane dwoma wskaźnikami, jak naprężenia, odkształcenia i obroty są tensorami drugiego rzędu. Jak już widzieliśmy na przykładzie tensora naprężeń, przechodząc z jednego układu odniesienia do innego, musimy dokonać transformacji tych wielkości. Co więcej, spełnienie równania transformacyjnego jest również warunkiem koniecznym na to, aby rozważany obiekt był tensorem. Zestawmy równania transformacji poznanych już przez nas tensorów drugiego rzędu (a są kosinusami kierunkowymi, czyli elementami macierzy obrotu): a ik a jl kl e a ik jl e kl (8) ε a ik jl ε kl ω a ik a jl ω kl Po prawej stronie powyższych równań występuje sumowanie po powtarzających się wskaźnikach (k oraz l), co reprezentuje sumę dziewięciu składników (po wszystkich składowych tensora). 3
14 d) Przykłady odkształceń: Odkształcenie normalne + ε 33 + ε + ε Odkształcenie normalne sześcianu jednostkowego. Taki typ odkształcenia może zajść np. wskutek rozszerzalności termicznej. Odkształcenie normalne opisany jest tensorem: ε ε ε ε 33 (9) Wyliczmy względną zmianę objętości (dylatację) : V ( + ε V ) ( + ε ) ( + ε 33 ) (3) Po rozwinięciu prawej strony i zaniedbaniu wyrazów małych drugiego i trzeciego rzędu, otrzymujemy: ε + ε + ε33, lub stosując konwencję powtórzonych wskaźników: ε ii (3) Czyli: względna zmiana objętości (dylatacja) równa jest śladowi macierzy odkształcenia. Jest to oczywiście niezmiennik (nie zależy od układu odniesienia). 4
15 Walcowanie: x3 x Opisuje je tensor odkształcenia: ε ε ε ε 33 gdzie ε jest amplitudą macierzy odkształcenia. W odkształceniu plastycznym tego typu, względna zmiana objętości ε +ε 33, z czego właśnie wynika, że ε -ε 33. Proste ścinanie: Rozpatrzmy odkształcenie typu prostego ścinania w dwóch wymiarach. Opisane jest ono składową ścinającą e tensora gradientu odkształcenia, np. e (tutaj e ) : x x e π/ - e x x Składową e możemy formalnie przepisać jako: e (e + e) + (e e) (w pokazanym powyżej przypadku e ). A zatem: e ε + ω 5
16 W konsekwencji, odkształcenie typu prostego ścinania (e ) możemy przedstawić przez składową odkształcenia ε (i ε ) oraz obrotu ω : Gradient przemieszczenia e odkształcenie ε ( ε ) + obrót ω e / Podkreślmy, że tensor odkształcenia (ε ) jest symetryczny, w przeciwieństwie do tensora gradientu przemieszczenia e. e) ogarytmiczna miara odkształcenia: Tensory gradientu przemieszczenia oraz odkształcenia zdefiniowane są dla nieskończenie małych odkształceń ciała. Pojawia się, zatem pytanie, jak opisać duże odkształcenia, które występują np. podczas odkształcenia plastycznego. Jedną z możliwości jest tzw. logarytmiczna miara odkształcenia. l F dl 6
17 Rozważmy przykład rozciągania osiowego. Jeśli pręt o początkowej długości zostanie rozciągnięty do końcowej długości, to makroskopowa miara odkształcenia równa jest sumie (całce) odkształceń cząstkowych: ε dl l ln (3) Ważną właściwością tej miary odkształcenia jest jej addytywność. Jeśli pręt będzie rozciągany w dwóch etapach (od do i od do ), to logarytmiczne miary cząstkowe dodają się i ich suma daje wynik identyczny jak przy bezpośrednim rozciąganiu pod do. Pokazano to poniżej: etap ε ln etap ε ln Całkowita odkształcenie: ε ε ε + + ln ln Ostatecznie: ε ln ln f) Przykłady testu rozciągania Własności mechaniczne materiałów bada się w rozmaitych testach. Jednym z podstawowych jest test rozciągania. W teście tym bardzo istotną sprawą jest aby koncentracja naprężeń nie miała miejsca na końcach badanej próbki; w tym celu nadaje się jej specyficzny kształt. Kształt próbki do testu rozciągania. Przez zaznaczone otwory przeprowadza się śruby mocujące. Poniżej zamieszczono kilka typowych rezultatów testów rozciągania. 7
18 a) Typowy metal o strukturze regularnej płasko centrowanej (np. miedź) Typowa krzywa rozciągąnia ( f(ε ) dla metalu. Rysunek sporządzono na podstawie: A.G. Guy, Wprowadzenie do nauki o materiałach, PWN, Warszawa, 977 b) Ciało elastyczne kruche [GPa] Fe I 5 Fe II Kwarc,,4 Krzywe rozciągania dla tzw. wiskersów. Są to monokryształy w postaci cienkich nitek, zawierające bardzo mało defektów, a zatem niewykazujące odkształcenia plastycznego. Po etapie odkształcenia sprężystego (liniowego i nieliniowego) następuje kruche pęknięcie (linią przerywaną zaznaczono przedłużenie liniowego zakresu odkształcenia sprężystego). ε 8
19 c) Stal z podwójną granicą plastyczności Krzywa rozciągania materiału wykazującego górną i dolną granicę plastyczności, np. żelazo domieszkowane C i N (Dietek) d) Porównanie materiału ceramicznego, stali i polimerów Krzywe rozciągania dla materiałów wykazujących odmienne własności mechaniczne: a) Al O 3, b) stal niskowęglowa, c) kauczuk, d) polimetylometakrylan. Krzywe te przedstawiono na tzw. wykresie nominalnym, czyli naprężenie nominalne (F/A, gdzie A jest początkowym przekrojem próbki) w funkcji odkształcenia nominalnego / ( jest długością początkową próbki). Rysunek zaczerpnięto z : A.G. Guy, Wprowadzenie do nauki o materiałach, PWN, Warszawa, 977 9
20 e) Materiał wykazujący efekt starzenia Krzywa rozciągania materiału wykazującego efekt starzenia: x po krótkotrwałym odciążeniu, y po długotrwałym odciążeniu (Dieter) Trzeba zauważyć, w przypadku metali zakres odkształcenia sprężystego jest bardzo mały (nie przekracza wydłużenia rzędu. %), zaś całkowite wydłużenie próbki (do pęknięcia) rzadko przekracza %. Istnieją niemniej specjalne efekty, w których obie te granice są znacznie większe. Np. w metalach wykazujących tzw. efekt pamięci kształtu, odkształcenie odwracalne (tzw. pseudo-sprężystość) może dochodzić do %, zaś w zjawisku tzw. super-plastyczności, próbka może wykazać całkowite wydłużenie rzędu kilkudziesięciu %. Pierwszy z tych efektów polega na odwracalnej przemianie fazowej (martenzytycznej), zaś drugi na zmianie kształtu próbki poprzez dyfuzyjny ruch atomów.
Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia
Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości
Bardziej szczegółowo11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ
11. WŁANOŚCI PRĘŻYTE CIAŁ Efektem działania siły może być przyspieszanie ciała, ae może być także jego deformacja. Przykładami tego ostatniego są np.: rozciąganie gumy a także zginanie ub rozciąganie pręta.
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11
WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 1/11 DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO Rozważmy dwa elementy płynu położone w pewnej chwili w bliskich sobie punktach A i B. Jak zmienia się ich względne położenie w krótkim
Bardziej szczegółowoAnaliza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.
Bardziej szczegółowoSTAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży
STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do WK1 Stan naprężenia
Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowo17. 17. Modele materiałów
7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami
Bardziej szczegółowo3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie
Bardziej szczegółowoUOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A
UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A Układ liniowosprężysty Clapeyrona Robert Hooke podał następującą, pierwotna postać prawa liniowej sprężystości: ut tensio sic vis, czyli takie wydłużenie jaka siła W klasycznej
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA oprac. dr inż. Jarosław Filipiak Cel ćwiczenia 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania statycznej
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych
Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 4 5 Ciało sprężyste Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 4 5 Ciało
Bardziej szczegółowo9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co
Bardziej szczegółowo4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.
Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Dany jest stan naprężenia w układzie x 1,x 2,x 3 T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Znaleźć wektor naprężenia w płaszczyźnie o normalnej
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowo4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości
4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 4.2. Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5.
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoFizyczne właściwości materiałów rolniczych
Fizyczne właściwości materiałów rolniczych Właściwości mechaniczne TRiL 1 rok Stefan Cenkowski (UoM Canada) Marek Markowski Katedra Inżynierii Systemów WNT UWM Podstawowe koncepcje reologii Reologia nauka
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoNauka o Materiałach. Wykład VIII. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste. Jerzy Lis
Nauka o Materiałach Wykład VIII Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste Jerzy Lis Nauka o Materiałach Treść wykładu: 1. Właściwości materiałów -wprowadzenie 2. Klasyfikacja reologiczna odkształcenia
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoRys Przykładowe krzywe naprężenia w funkcji odkształcenia dla a) metali b) polimerów.
6. Właściwości mechaniczne II Na bieżących zajęciach będziemy kontynuować tematykę właściwości mechanicznych, którą zaczęliśmy tygodnie temu. Ponownie będzie nam potrzebny wcześniej wprowadzony słowniczek:
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Bardziej szczegółowoTENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba
Bardziej szczegółowo6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp
6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoPYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej
Bardziej szczegółowoSiły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoMateriały Reaktorowe. Właściwości mechaniczne
Materiały Reaktorowe Właściwości mechaniczne Naprężenie i odkształcenie F A 0 l i l 0 l 0 l l 0 a. naprężenie rozciągające b. naprężenie ściskające c. naprężenie ścinające d. Naprężenie torsyjne Naprężenie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoOPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA
OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA Wprowadzenie W robotyce przez pojęcie manipulacji rozumiemy przemieszczanie w przestrzeni przedmiotów i narzędzi za pomocą specjalnego mechanizmu. W związku z tym pojawia
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Zginanie Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach i ramach, analiza stanu naprężeń i odkształceń, warunek bezpieczeństwa Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości,
Bardziej szczegółowoPotencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie
Potencjalne pole elektrostatyczne Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/indexhtm Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03pdf
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Zwykła próba rozciągania stali Numer ćwiczenia: 1 Laboratorium z przedmiotu:
Bardziej szczegółowo7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:
7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić
Bardziej szczegółowoWyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia
Ćwiczenie M12 Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia M12.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu Younga różnych materiałów poprzez badanie strzałki ugięcia wykonanych
Bardziej szczegółowo3. Równania konstytutywne
3. Równania konstytutywne 3.1. Strumienie w zjawiskach transportowych Podczas poprzednich zajęć wprowadziliśmy pojęcie strumienia masy J. W większości zjawisk transportowych występuje analogiczna wielkość
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)
Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia geometryczne. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej
Przekształcenia geometryczne Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Akademia Górniczo Hutnicza w Krakowie Przekształcenia elementarne w przestrzeni D Punkty p w E na płaszczyźnie
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5
INTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5 Temat ćwiczenia: tatyczna próba ściskania materiałów kruchych Celem ćwiczenia jest wykonanie próby statycznego ściskania materiałów kruchych, na podstawie której można określić
Bardziej szczegółowoKrystalochemia białek 2016/2017
Zestaw zadań 4. Grupy punktowe. Składanie elementów symetrii. Translacyjne elementy symetrii grupy punktowe, składanie elementów symetrii, translacyjne elementy symetrii: osie śrubowe, płaszczyzny ślizgowe
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowoMechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego
Mechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego Cel ćwiczenia STATYCZNA PRÓBA ŚCISKANIA autor: dr inż. Marta Kozuń, dr inż. Ludomir Jankowski 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Część I STATYKA
Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Rozciąganie/ ściskanie prętów prostych Naprężenia i odkształcenia, statyczna próba rozciągania i ściskania, właściwości mechaniczne, projektowanie elementów obciążonych osiowo.
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA
STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA Próba statyczna rozciągania jest jedną z podstawowych prób stosowanych do określenia jakości materiałów konstrukcyjnych wg kryterium naprężeniowego w warunkach obciążeń statycznych.
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Bardziej szczegółowo8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
Bardziej szczegółowoTrójwymiarowa grafika komputerowa rzutowanie
Trójwymiarowa grafika komputerowa rzutowanie Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Rzutowanie w przestrzeni 3D etapy procesu rzutowania określenie rodzaju rzutu określenie
Bardziej szczegółowoCIEPLNE I MECHANICZNE WŁASNOŚCI CIAŁ
CIEPLNE I MECHANICZNE WŁASNOŚCI CIAŁ Ciepło i temperatura Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło przemiany Przejścia między stanami Rozszerzalność cieplna Sprężystość ciał Prawo Hooke a Mechaniczne
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowo8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny
Bardziej szczegółowoTARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania
TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów Wykład 3 Analiza stanu naprężenia i odkształcenia w przekroju pręta Poznań 1 3.1. Podstawowe założenia Charakterystyka materiału Zakładamy na początek, że mamy do czynienia z ośrodkiem
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoTemat 1 (2 godziny): Próba statyczna rozciągania metali
Temat 1 (2 godziny): Próba statyczna rozciągania metali 1.1. Wstęp Próba statyczna rozciągania jest podstawowym rodzajem badania metali, mających zastosowanie w technice i pozwala na określenie własności
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 2 RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OSIOWA. σ = (2.1a) ε = (2.1b) σ = i, j = 1,2,...6 (2.2a) ε = i, j = 1,2,...6 (2.
ROZDZIAŁ J. German: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH ROZDZIAŁ RÓWNANIA FIZYCZN DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OIOWA W rozdziale tym zostaną przedstawione równania fizyczne dla materiałów anizotropowych,
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów
Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoAutor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE
METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe
Bardziej szczegółowoWyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa
Ćwiczenie M13 Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa M13.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu sztywności stali metodą dynamiczną Gaussa. M13.2. Zagadnienia związane z
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA
Ćwiczenie 58 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA 58.1. Wiadomości ogólne Pod działaniem sił zewnętrznych ciała stałe ulegają odkształceniom, czyli zmieniają kształt. Zmianę odległości między
Bardziej szczegółowoWektory, układ współrzędnych
Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.
Bardziej szczegółowoFizyka 2 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
Fizyka w poprzednim odcinku Obliczanie natężenia pola Fizyka Wyróżniamy ładunek punktowy d Wektor natężenia pola d w punkcie P pochodzący od ładunku d Suma składowych x-owych wektorów d x IĄGŁY ROZKŁAD
Bardziej szczegółowoSPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY.
ĆWICZENIE 5 SPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY. Wprowadzenie Odkształcenie, którego doznaje ciało pod działaniem
Bardziej szczegółowo