Temat: Maksymalny przepływ w sieci, cz. I: definicja problemu, przykłady zastosowania, generyczny algorytm cieki rozszerzajcej.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Temat: Maksymalny przepływ w sieci, cz. I: definicja problemu, przykłady zastosowania, generyczny algorytm cieki rozszerzajcej."

Mieczysław Malinowski
7 lat temu
Przeglądów:

1 Tem: Mkymlny przepływ w iei, z. I: efinij problemu, przykły zoowni, generyzny lgorym ieki rozzerzjej.. Definij problemu, złoeni i oznzeni Wejie: Grf zorienowny, wony G=<V, E, u>, z nieujemnymi wgmi u ij okrelonymi l wzykih krwzi (i, j) ze zbioru E. Wro u ij bziemy nzywli przepuowoi krwzi (i, j). Przepuowo nej krwzi moe mie wro niekozenie u. Nieh U=mx{u ij : u ij < i (i, j) E} (U - mkymln kozon przepuowo) W grfie wyrónione w wierzhołki: róło orz ujie. Grf G z wzłmi orz bziemy nzywli iei przepływu. Wyjie: Mkymln wro v l wzykih funkji f: E R + {0} pełnijyh npuje wrunki: ) b) l kej krwzi (i, j) E Funkj f o funkj przepływu, v o wro przepływu. Mkymln wro v l wzykih moliwyh funkji przepływu je mkymln wroi przepływu, kór bziemy oznz przez v mx, funkj przepływu f l kórej mkymln wro mon uzyk nzwiemy mkymlnym przepływem i oznzymy przez f mx.

2 Przykł Sie przepływu b 0 Funkj przepływu f o wroi v=5 /6 / b 5/0 / 0/0 / /9 7/ 7/7 0/

3 Funkj przepływu f mx o wroi v mx =9 /6 8/ 0/0 / / /9 / 7/7 Złoeni: ) Przepuowoi o lizby łkowie nieujemne. ) Grf nie zwier ieki z o złoonej wyłznie z krwzi o niekozonyh wroih przepuowoi. Mon łwo prwzi, zy grf nie zwier kiej ieki, ouj nrowy lgorym przeglni grfu (meo BFS lbo DFS) / ) Grf nie zwier krwzi równoległyh b 5/0

4 . Przykły zoowni problemu mkymlnego przepływu ) Generownie ulonego przepływu (Berge i Ghouil-Houri [96]) Wejie: Grf zorienowny G = < V, E, u> z nieujemnymi wgmi. Dl kego wierzhołk i V ulon je wro b(i) Z k, e Wyjie: Funkj f: E Z + {0} k, e!! gzie: l wzykih krwzi (i, j) E, o ile k funkj inieje Przykł G b 5 e - - f - Problem generowni ulonego przepływu mon prowzi o problemu mkymlnego przepływu, oj o grfu G w okowe wierzhołki orz, ke krwzie (, i) o wzykih wierzhołków i kih, e b(i)>0 orz krwzie (i, ) o wzykih

5 wierzhołków i kih, e b(i)<0. Przepuowo krwzi (, i) o wro b(i), przepuowo krwzi (i, ) o wro b(i). G - b 5 e - f - Jeeli mkymlny przepływ l k uzupełnionej iei G ny wzykie krwzie (, i), o wymgny przepływ f inieje i przyjmuje wroi mkymlnego przepływu n łukh (i, j) kih, e i, j {, }. G - / / b /5 / e - / / / / f - /

6 b) Problem reprezennów (Hll [956]) Wejie: Mio m r miezków R, R,, R r ; q klubów C, C,, C q i p prii poliyznyh P, P,, P p. Ky miezknie je złonkiem o njmniej jenego klubu i moe nlee o o njwyej jenej prii poliyznej. Znn je przynleno kego z miezków zrówno o klubów jk i prii poliyznej. Ky klub mui nominow jenego ze woih złonków o reprezenowni ego klubu w rzie miejkiej. W rzie ej moe zi o njwyej u k złonków nleyh o prii P k, by r był pełnił wrunek poliyznie zrównowonej. Wyjie: Opowie n pynie: Czy moliwy je ki wybór reprezennów klubów o ry miejkiej, by był on poliyznie zrównowon. Przykł R C R P R C u R u C P R 5 u C R 6 P R 7

7 Pozołe krwzie mj wg. Jeeli w k konruownej iei mkymlny przepływ m wro q, o moliwy je ki wybór reprezennów klubów, kórzy uworz zrównowon r miejk. Reprezennmi b wówz i miezky R i, l kóryh krw wyhoz z wzł R i bzie mił przepływ równy. ) Problem zokrglni mierzy (Bhrh [966]) Wejie: Dn je mierz lizb rzezywiyh D = [ ij ] i=..p, j=..q. Ulony je poób zokrglni (w gór lbo w ół) l kej umy wierz i kolumny. Wyjie: Opowie n pynie: Czy moliwie je kie okreleni rozju zokrgleni (w gór lbo w ół) l pozzególnyh elemenów mierzy D, by k um wierz (kolumny) elemenów zokrglonyh ł zokrglenie przewizine l ego wierz (kolumny). Przykł Problem zokrglni mierzy mon rozwiz prowzj go o problemu mkymlnego przepływu. Tworzymy ie złoon z wzłów reprezenujyh wierze mierzy i:,,, p orz kolumny mierzy j:,,, q. Dojemy wzły i.

8 W iei znj i npuje krwzie: - (, i) o przepuowoi równej zokrglonej umie wierz i, - (j, ) o przepuowoi równej zokrglonej umie kolumny j, - (i, j) l kego i =,,, p orz j =,,, q o przepuowoi równej ij. W k konruownej iei wyznzmy mkymlny przepływ. Jeeli nyi on wzykie łuki (, i) orz (j, ) o moliwie je kie zokrglenie pozzególnyh wroi mierzy, by k um wierz (kolumny) elemenów zokrglonyh ł zokrglenie przewizine l ego wierz (kolumny). Generownie mkymlnego przepływu zzynmy jenk nie o przepływu zerowego, le kiego e: f i = 0 (i = p), f j = 0, (j = q), f ij = ij Przykł /7 / / 7/8 0/0 / / / / / 7/7 6/7 / 7/7 0/0

9 ) Hrmonogrm przyziłu reniego peronelu meyznego w zpilu (Khn i Lewi [987]) Wejie: Aby zrjonlizow zrunienie pielgnirek w zpilu ulono minimln i mkymln lizb pielgnirek porzebnyh n kej zminie z, z,, z n, w kym z oziłów zpilnyh o, o,, o m. Oznzmy przez ij olny limi pielgnirek prujyh n zminie z i w ozile o j, przez g ij górny limi pielgnirek prujyh n zminie z i w ozile o j. Limiy lizb pielgnirek prujyh n nym ozile i nej zminie muz by zwze zhowne, by poziom wizonyh przez zpil uług meyznyh był opowieni. Znn je e minimln lizb pielgnirek, kóre muz by zrunione w pozzególnyh oziłh (n wzykih zminh) i minimln lizb pielgnirek prujyh n pozzególnyh zminh (we wzykih oziłh łznie). Wyjie:Aminirj zpil he prwzi, zy przy minimlnym poziomie zrunieni pielgnirek n pozzególnyh zminh i w pozzególnyh oziłh b zhowne limiy we wzykih oziłh n kej zminie. Przykł oziły (6,8) (,) (7,) zmin (6) (,6) (,) (7,) zmin () (,) (0,) (5,7) zmin (9) () () ()

10 Tworzymy ie, w kórej wzły z, z, z,, z n reprezenuj zminy, wzły o, o, o,, o m oziły. Dojemy w wzły i orz npuje krwzie: - (, z i ), gzie i = n o przepuowoi równej minimlnej lizbie pielgnirek n zminie z i - (o j, ), gzie j = m o przepuowoi równej minimlnej lizbie pielgnirek n ozile o j - (z i, o j ), gzie i = n, j = m o przepuowoi równej g ij. Wyznzmy mkymlny przepływ w k konruownej iei. Zzynmy jenk generownie mkymlnego przepływu nie o przepływu zerowego, le o kiego, e: f i = 0 (i = n), f j = 0, (j = m), f ij = ij. Jeeli przepływ en ny wzykie krwzie (, z i ) orz wzykie krwzie (o j, ), wro wygenerownego przepływu n kej krwzi mizy oziłem zmin je równ o njmniej ji, o oznz, e przy minimlnym nie zrunieni limiy n kym ozile i we wzykih zminh b pełnione. Przykł Oził (6,8) (,) (7,) zmin (6) (,6) (,) (7,) zmin () (,) (0,) (5,7) zmin (9) () () () 6/8 6/6 z 9/ /6 / o / / z / o / 9/ 9/9 / z 0/ o / 6/7

11 . Generyzny lgorym ieki rozzerzjej ) Sie rezyuln (pozołoiow) Pojie iei rezyulnej ogryw brzo wn rol w lgorymh rozwizujyh problem mkymlnego przepływu. Złómy, e l nej iei przepływ G = <V, E, u> o róle i ujiu ulił i przepływ f. Rezyuln iei l grfu G i przepływu f, kór bziemy oznz przez G(f), nzwiemy ie G(f)=<V, E f, r>, kórej zbiór krwzi E f je zefiniowny npujo: - krw (i, j) E f, gy (i, j) E i f ij <u ij ; wg r ij kiej krwzi wynoi u ij - f ij - krw (j, i) E f, gy (i, j) E i f ij <u ij i f ij >0; wg r ji kiej krwzi wynoi f ij - krw (i, j) E f, gy (i, j) E i f ij = 0; wg r ij kiej krwzi wynoi u ij Przykł / / / 5/5 0/ 5 Sie G z przepływem f Sie rezyuln G(f)

12 b) Algorym ieki rozzerzjej Algorym ugumening_ph; (For-Fulkeron) f = 0; while ( G(f) zwier iek kierown z o ) { P = kierown iek z o ; δ = min{r ij : (i, j) P}; powikz o wro δ przepływ f n iee P ; ul kuln ie rezyuln G(f) ; } Przykł ) ie z f =0 5 b) ie rezyuln po zwikzeniu przepływu n iee ) ie rezyuln po zwikzeniu przepływu n iee ) ie rezyuln po zwikzeniu przepływu n iee -

13 Koz lgorymu ugumening_ph: O(mnU), gzie U o njwikz kozon przepuowo iei, gy lizb ieek rozzerzjyh moe wynoi nu. Przy uym U (U = n ) koz lgorymu je pon wielominowy. Przykł

14 Algorym ugumening_ph nie preyzuje poobu zukni ieki rozzerzjej i nie ul meoy prwzni, zy k iek inieje w kulnej iei rezyulnej. Npny lgorym opier i n hemie lgorymu ugumening_ph i okowo preyzuje poób wyznzni ieki z o. W lgorymie ym wzły iei eykieowne wroimi 0 i, proe zwikzni przepływu je relizowny k ługo, jk ługo wzeł orzym eykie 0. Algorym lbeling_ugumening_ph; (Emon - Krp) e()=; f = 0; Q = Ø; while (e()==) { for (v V) { e(v)=0; prev(v)=0;} // prev bel poprzeników // n iee e()=; in(q, ); // Q kolejk while (!empy(q) && e()==0) { i = ou(q); for ((i, j) E f w iei G(f)) if (e(j)==0) { prev(j)=i; e(j) = ; in(q, j);} } if (e()==) ugumen; } Algorym ugumen; P = iek kierown z o wyznzon n powie bliy prev ; δ = min{r ij : (i, j) P}; powikz o wro δ przepływ f n iee P ; ul kuln ie rezyuln G(f) ;

15 Przykł. Sie rezyuln po zinijowniu przepływu zerowego 6 b Pierwz iek rozzerzj P: --b-. Sie rezyuln po zwikzeniu przepływu n iee P: --b- 0 b Drug iek rozzerzj P:

16 . Sie rezyuln po zwikzeniu przepływu n iee P: b Trzei iek rozzerzj P: ---b-. Sie rezyuln po zwikzeniu przepływu n iee P: b Sie nie zwier ju ieki rozzerzjej. Twierzenie Emon- Krp Jeeli ieki rozzerzje b wybierne w meozie ugumening_ph (For-Fulkeron) jko njkróze ieki ze rół o uji (ługo ieki je u mierzon lizb wierzhołków n iee), o po o njwyej mn/ krokh ie przepływu G nie bzie ju zwierł nej ieki rozzerzjej. Koz lgorymu lbeling_ugumening_ph (Emon - Krp): O(nm ).

Podobne dokumenty

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE HAMILTONA w grfh kierownh Dl grfu kierownego D = ( V, A ) rogą wierhołk 0 V o V nwm iąg (npremienn) wierhołków i łuków grfu: ( 0,,,,...,,, ), pełniją wrunek i = ( i, i ) l i =,..., rogę nwm