Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium

Transkrypt

1 Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej wartości t R liczba 3 jest wartością własną φ t b) Czy istnieje taka wartość t R, by wektor v (,, ) był wektorem własnym φ t. Jeśli tak to podać tę wartość t R oraz wartość własną odpowiadającą v.. Niech ψ s : R 3 R 3 będzie endomorfizmem zadanym wzorem ψ((x, x, )) x + x +, x + x + s, ). a) Wyznaczyć wielomian charakterystyczny w ψs, znaleźć wartości własne ψ s b) Znaleźć bazy podprzestrzeni własnych ψ s dla s. Czy istnieje dla s baza R 3 złożona z wektorów własnych c) Zbadać dla jakich s R istnieje baza R 3 złożona z wektorów własnych i podać taką bazę. Określić jaka jest wtedy macierz ψ s w takiej bazie Niech macierz A 6 a) Uzasadnić, że A jest diagonalizowalna, oraz wskazać taką macierz C M (R), że macierz C AC jest diagonalna b) Podać wzór na A n dla n,,... c) Wskazać taką pewną macierz b M (R), że B A. Niech v (,, ), v (,, ), wektory R 3 i niech V lin(v, v ). Zbadać dla jakich wartości t, s R wektor w (, t, s + ) należy do V. 5. Niech v (,,, ), v (,,, ), v 3 (,,, ), wektory R. Zastosować do układu złożonego z v, v, v 3 proces ortogonalizacji Grama Schmidta, a następnie unormować tak otrzymaną bazę lin(v, v, v 3 ). 6. a) Znaleźć bazę ortogonalną podprzestrzeni { V R opisanej układem x + x równań liniowych jednorodnych U : + x x + + x b) podać wzór na rzut ortogonalny na V c) podać wzór na symetrię ortogonalną względem V

2 7. Niech V {(x, x,, x ) R : x + x + x }. Znaleźć wzór na rzut prostopadły na V oraz na symetrię prostopadłą względem V S V. Rozwiązania. Oznaczmy przez A t M(φ t ) st t. Wiadomo, że liczba λ jest wartością własną φ t det(a t λi). Zatem, musi być det(a t 3I) det t czyli + t. Zatem 3 jest wartością własną φ t jedynie dla t. b) Jeśli v jest wektorem własnym dla wartości własnej λ, to mamy φ t (v) φ t ((,, )) (, t +, ) λv (λ, λ, ), co jest sprzecznością, czyli nie można dobrać takiej wartości t.. Wielomianem charakterystycznym ψ s jest det(m(ψ s ) st λi) det λ λ s λ (λ 5λ + 6)( λ) (λ )(λ 3)( λ). Są zatem dwie wartości własne: λ i λ 3 b) dla s możemy wyznaczyć bazy podprzestrzeni własnych: x V () {(x, x, ) x }. Rozwiązując układ równań opisujący V () mamy:, x x, czyli V () lin((,, ) i dimv () x V (3) {(x, x, ) x }. Rozwiązu- jąc układ równań opisujący V (3) mamy:, x x, czyli V (3) lin((,, ) i dimv (). Mamy więc dimv () + dimv (3) + < dimr 3 3 czyli nie istnieje baza R 3 złożona z wektorów własnych ψ s dla s b) ponieważ niezależnie od s mamy V (3) lin((,, )) czyli dimv (3), zatem trzeba tak dobrać s aby dim V (). V () jest opisane przez s x x, czyli przez układ równań lin. jednorod-

3 nych, którego macierzą współczynników jest M s. Wymiar dimv () 3 r(m). Trzeba więc dobrać s tak, by rząd r(m) wynosił czyli s. Dla tej wartości s mamy V () : x x, czyli V () ma bazę złożoną z wektorów w (,, ), w (,, ). Oznaczając v (,, ), wektor własny dla λ 3, w R 3 mamy bazę B {w, w, v} złożoną z wektorów własnych ψ s dla s. Macierzą ψ w tej bazie jest Traktujemy macierz A jako macierz pewnego endomorfizmu w bazie standardowej. Wielomian charakterystyczny macierzy (a więc i endomorfizmu) to w A (λ) det (7 λ)( λ) + 8 λ 7 λ 3 6 λ 5λ + (λ )(λ ), czyli endomorfizm ma dwie wartości własne λ i λ 7 3 x. Wyznaczamy podprzestrzenie własne V () : 6 x Rozwiązujemy ten układ równań otrzymując x + x czyli x x. Zatem V () lin((, )). Podobnie wyznaczamy V () :. Otrzymujemy równoważne równanie x x czyli V () lin((, )). W bazie złożonej kolejno z wektorów (, ), (, ) endomorfizm ma macierz D ( bo (, ) jest wektorem wł. dla, zaś (, ) dla ). Stąd, jeśli przyjmiemy C to D C AC ( bo C jest macierzą zamiany wsp. od bazy {(, ), (, )} do bazy standardowej). Inaczej: A CDC. Dzięki temu możemy policzyć A n CD n C n C n C n n n n n n n. Podobnie możemy znaleźć macierz B spełniającą B A korzystając z tego, że D i przyjmując B C C (uwaga: mogą być również inne macierze x x 3

4 w roli B).. Aby w V potrzeba i wystarcza, by w v oraz w v. Mamy stąd układ dwu równań: + t + (s + ) oraz + s +. Rozwiązując dostajemy s 5, t Stosujemy proces ortogonalizacji Grama Schmidta: w v (,,, ), W lin(w ), w v P W (v ) v v w w w w (,,, ) (,,, ) (,,, ). W lin(w, w ) w 3 v 3 P W (v 3 ) v 3 ( v 3 w w w w + v 3 w w w w ) (,,, ) ( (,,, )+ (,,, )) (,,, ). Otrzymany układ w, w, w 3 jest istotnie ortogonalny tworzy więc bazę ortogonalną lin(w, w, w 3 ) lin(v, v, v 3 ). Po unormowaniu dostajemy układ (,,, ), (,,, ), (,,, ), który jest ortonormalny. 6. Weżmy jako v jakikolwiek wektor z V, np. v (,,, ). Teraz szukamy v V, który jednocześnie spełnia v v. Otrzymujemy więc, że v spełnia układ U : x + x + x x + + x x + x + powstały z U przez dołączenie warunku prostopadłości do v czyli x +x +. Znajdujemy niezerowy wektor spełniający U, np. v (, 5,, 3). otrzymaliśmy więc bazę ortogonalną V : {v, v } b) otrzymana w a) bazę można wykorzystać do znalezienia wzorów. Mamy P V (w) w v v v v + w v v v v. Podstawiając w (x, x,, x ), mamy P V (w) P V ((x, x,, x )) x +x + 3 (,,, )+ x +5x +3x 5 (, 5,, 3)... c) Wzór na symetrię otrzymujemy z S V ((x, x,, x )) P V ((x, x,, x )) (x, x,, x ). 7. Moglibyśmy, tak jak poprzednio, poszukać bazy ortogonalnej V i w oparciu o nią znaleźć wzór na P V. Ale zwróćmy uwagę na to, że V W, gdzie W lin((,,, )) (wektor rozpinający W postał z kolejnych współczynników równania opisującego V, zob. wykład). Możemy zatem znaleźć wzór na P W i skorzystać z tego, że P V P W id P W, inaczej mówiąc dla dowolnego u R zachodzi P V (u) u P W (u). Zatem z ogólnego wzoru mamy P W ((x, x,, x )) (,,,) (x,x,,x ) (,,,) (,,,) (,,, ) ( x +x +x, x +x +x, x x + x, x +x +x ) czyli P V ((x, x,, x )) (x, x,, x ) P W ((x, x,, x )) ( 3x x + x Wzór na symetrię mozna obliczyć, z jednej z zależności: S V P V P V P V id. Uwaga Korzystając z podanego na wykładzie wzoru P V (u) P v (u) +, x +3x + x, x +x +3 +x, x x + +3x ).

5 + P vk (u) v u v v v + + v k u v k v k v k, gdzie P vi oznacza rzut prostopadły na prostą lin(v i ), należy zwrócić uwagę na to, że v,..., v k stanowią bazę ortogonalną V. W innym wypadku wzór staje się nieprawdziwy. Chcąc go więc zastosować należy wpierw znaleźć bazę ortogonalną V (np. przez proces ortogonalizacji Grama-Schmidta). 5