15. STANY NIEUSTALONE W OBWODACH SLS

Transkrypt

1 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS 5. STANY NIUSTAON W OBWODAH SS 5.. WPOWADZNI ozparzmy układ SS, na kóry działamy zdrminowanym wymuznim x okrślonym dla -,. Jśli inruj na funkcja okrślonj wilkości fizycznj w ym układzi, o możmy nazywać ją odpowidzią r układu na inijąc wymuzni x ry.5.. x układ r SS y.5.. Doychcza rozparywaliśmy obwody w ani ualonym - co oznaczało, ż momn włącznia źródła wymuzającgo do obwodu był nikończni odlgły od momnu obrwacji. Wówcza wzyki napięcia i prądy wyępując w obwodzi miały n am charakr, co wymuzni - ry.5.. x ob r x r ob y.5.. dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl /4

2 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS Jśli w jakimś momnci czau k naąpi dowolna zmiana warunków pracy układu KOMUTAJA zmiana ygnału wymuzającgo np. zmiana paramrów ygnału, w ym akż załącznia lub wyłącznia zmiana rukury obwodu np. odłączni lmnu, dołączni lmnu dodakowgo zmiana paramrów obwodu o now warunki wymuzają oczywiści inną funkcję odpowidzi układu, czyli inny an ualony. Przjści od jdngo anu ualongo do drugigo - przjści zapocząkowan w chwili komuacji k - rwa pwin okrślony cza, kóry nazywamy czam rwania anu niualongo a an układu, w kórym znajduj ię on w przdzial czau [ k, ], nazywamy STANM NIUSTAONYM odpowidź ma charakr różny od wymuznia ry.5.3. r I an ualony k an niualony II an ualony r I an ualony k an niualony II an ualony y.5.3. Przyjmujmy założni, ż cza rwania komuacji j równy zru, zn. wzyki zmiany odbywają ię bzzwłoczni. dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl /4

3 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS 5.. PAWA KOMUTAJI, WAUNKI POZĄTKOW Komuacja moż być przyczyną wyępowania kokowych zmian prądów i napięć w obwodzi. Iniją jdnak ogranicznia, kórym podlga każdy obwód. Wynikają on z faku, iż w ralnych obwodach moc chwilowa ni moż być nikończni wilka d W p < 5. d co oznacza ciągłość funkcji nrgii ciągłość a mui wyępować równiż w chwili komuacji. Na podawi zaady ciągłości nrgii w obwodzi oraz pamięając, ż warość nrgii nagromadzonj w polu magnycznym cwki o indukcyjności, przz kórą przpływa prąd i wynoi.8 W i w polu lkrycznym kondnaora o pojmności, naładowango do napięcia u wynoi.5 W u Możmy formułować dwa prawa komuacji: Pirwz prawo komuacji Prąd płynący przz cwkę ni moż ulc kokowj zmiani, co oznacza, ż prąd cwki w chwili uż po komuacji równa ię prądowi uż przd komuacją i i 5. Drugi prawo komuacji Napięci na kondnaorz ni moż zminić ię kokowo, co oznacza, ż napięci na kondnaorz w chwili uż po komuacji j równ napięciu uż przd komuacją u u 5.3 UWAGA: Ni ma żadnych przłank wykluczających kokow zmiany pozoałych wilkości w obwodzi, zn.: napięć na cwkach, prądów kondnaorów lub ż prądów i napięć rzyorów. dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 3 /4

4 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS Zakładając, ż chwilę komuacji uważać będzimy za chwilę począkową K analizy obwodu w ani niualonym, ion j wyznaczni warunków począkowych procu. Warunki począkow anowi zbiór warości prądów w indukcyjnościach i napięć na pojmnościach układu w chwili począkowj. Warunki począkow okrślają całkowią warość nrgii zgromadzonj w układzi w chwili K. Wyznaczni warunków począkowych w obwodzi wiąż ię z: rozwiązanim anu ualongo obwodu przd komuacją, okrślnim poaci czaowj go rozwiązania na prądy cwk i napięcia kondnaorów, wyznacznim rozwiązania odpowiadającgo chwili czaowj komuacji. Oznacza o, iż podawą do ualnia warunków począkowych obwodu ą prawa komuacji. UWAGA: Warunki począkow mogą być i częo ą zrow! 5.3. ANAIZA STANÓW NIUSTAONYH W clu zbadania zmian warości danj wilkości obwodu prądu, napięcia w ani niualonym ouj ię w prakyc jdną z dwóch mod: modę klayczną bądź modę opraorową. Wyznaczni rozwiązań obwodów SS w ani niualonym Moda klayczna polgająca na bzpośrdnim rozwiązaniu równań różniczkowych zwyczajnych, liniowych o ałych wpółczynnikach opiujących obwód Moda opraorowa wykorzyująca właściwości przkzałcnia aplac a. dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 4 /4

5 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS 5.4. MTODA KASYZNA Modlm mamaycznym obwodu lkryczngo klay SS, o dowolnj konfiguracji, j układ równań różniczkowo-całkowych, wynikających z praw Kirchhoffa i dfinicji lmnów, i. W clu wyznacznia pozukiwanych prądów i napięć wzyki równania nalży prowadzić do układu równań różniczkowych o poaci ogólnj d r d d r d d rn d a a M a r r r n a r... a r f n a r... a r f n a r... a r f n nn n n n n 5.4 gdzi: r... r n zminn oznaczając prądy cwk lub napięcia kondnaorów zw. zminn anu; ał wpółczynniki a ij anowią kombinację warości paramrów,, ; funkcj czau f... f n związan z wymuzniami x... x n ; liczba równań n zalży od liczby rakancji w obwodzi. ozwiązując układ równań z uwagi na pozukiwaną funkcję odpowidzi r przy znanym wymuzniu x orzymujmy równani różniczkow zwyczajn, liniow o ałych wpółczynnikach n-go rzędu o poaci: n d r d r n a d r n a... a a r x n n n 5.5 d d d ozwiązanim równania 5.5 okrślającym analiyczną poać odpowidzi r j ak zwana całka ogólna równania nijdnorodngo.o..n. r.o..n. 5.6 Toria równań różniczkowych mówi, ż j ona umą dwóch kładowych: całki ogólnj równania jdnorodngo.o..j. i całki zczgólnj równania nijdnorodngo.s..n.. Zam dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 5 /4

6 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS r.o..n..o..j..s..n. 5.7 zyli: kładowa odpowidzi nizalżna od wymuznia oznaczana r S i nazywana kładową wobodną przjściową odpowidzi kładowa odpowidzi wywołana przz wymuznia oznaczana r W i nazywana kładową wymuzoną ualoną odpowidzi r r S r W 5.8 Składowa wobodna r S opiuj procy zachodząc w obwodzi na kuk nizrowych warunków począkowych przy braku wymuzń zwnęrznych. Składowa przjściowa zalży jdyni od warunków począkowych, rukury obwodu i warości paramrów go obwodu. chą charakryyczną r S j jj Składowa wymuzona r W opiuj an ualony w obwodzi przy działającym wymuzniu, moż być zam ławo wyznaczona dowolną z poznanych mod analizy obwodów. zanikani z bigim czau do zra lim [ r S ] 5.9 ównani kładowj wobodnj r S orzymuj ię zakładając wymuzni x w wzorz 5.5 równ zru i zaępując zminną r poprzz jj kładową wobodną r S n n d r d r d rs S S an a... a a rs n n n 5. d d d ozwiązani równania jdnorodngo. uzykuj ię za pośrdnicwm równania charakryyczngo, kór ma poać n n an an... a a 5. jśli wilomian n poiada ylko pirwiaki pojdyncz i i,,... n, o S n i i i r A 5. gdzi wpółczynniki A i i,,... n ą ałymi całkowania, kórych warości wyznacza ię w oparciu o znajomość warunków począkowych. dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 6 /4

7 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS PZYKŁAD 5. ozparzymy an niualony w obwodzi zrgowym przy zrowych warunkach począkowych i załączniu napięcia ałgo ry.a. Zrow warunki począkow oznaczają, ż a w u b i Po przłączniu wyłącznika w powaj w obwodzi an niualony. Schma obwodu dla anu niualongo ma poać przdawioną na ry.b. u Soując prawo napięciow Kirchhoffa dla go obwodu możmy napiać i uwzględniając, ż i orzymujmy równani różniczkow nijdnorodn o poaci [parz 5.5] i u d u d d u u d San niualony j uprpozycją anu ualongo i przjściowgo. u u S u W San ualony przy wymuzniu ałym oznacza, ż kondnaor anowi przrwę ry.c. Zgodni z NPK napięci ualon kondnaora j równ u W c u W Schma obwodu dla anu przjściowgo po zwarciu źródła napięciowgo - ry.d. Dla go obwodu orzymujmy równani różniczkow jdnorodn o poaci [parz 5.] d us us d d i S u S dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 7 /4

8 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS ównani charakryyczn można zapiać jako [parz 5.] ównani o poiada jdn pirwiak -/. W związku z powyżzym jgo rozwiązani wynikając z wzoru 5. przyjmuj uprozczoną poać u S W rozwiązaniu ym wpółczynnik A j ałą całkowania, kórj warość wyznaczamy w oparciu o znajomość warunków począkowych. ozwiązani oaczn, będąc umą kładowj wymuzonj i wobodnj przybira poać [parz 5.8] u u W u A S A Poniważ drugi prawo komuacji mówi, ż u u ąd wobc u orzymujmy A oraz zyli rozwiązani czaow okrślając przbig napięcia na kondnaorz przyjmuj poać u A r r S r W u dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 8 /4

9 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS u,63 -,37 - τ u τ W 3τ u 4τ u S 5τ Miarą prędkości zmian przbigów niualonych w obwodzi moż być ała czau obwodu. Sała czau τ obwodu j o cza, po kórym warość bzwzględna kładowj wobodnj odpowidzi malj -kroni. Sała czau rozparywango obwodu wyraża ię iloczynm rzyancji i pojmności τ Z oryczngo punku widznia obwód oiąga an ualony po czai nikończonym. Prakyczni jdnak an ualony naępuj wówcza, gdy kładowa wobodna j do pominięcia w opniu zalżnym od żądanj dokładności abla Tablica. τ τ 3τ 4τ 4,6τ 5τ r S % 36,8 3,5 5,8,7 A r r W,63,865,95,98,99,993 dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 9 /4

10 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS 5.5. MTODA OPATOOWA Bardzij fkywną modą od mody klaycznj j moda opraorowa jj fkywność polga na algbraizacji równania różniczkowgo, przy czym warunki począkow wchodzą nijako auomayczni do zalgbraizowango. Mimo iż j o okrężna droga rozwiązania, wynik uzykujmy znaczni zybcij niż modą bzpośrdnią. Schma dokonywanych opracji x WYMUSZNI OBWÓD KTYZNY ównani różniczkowo-całkow w dzidzini czau W.P. Opraorowy chma zaępczy obwodu ównani opraorow algbraiczn w dzidzini zminnj zpolonj MTODA KASYZNA W.P. W.P. rozwiązani algbraiczn ODPOWIDŹ ZASOWA r - Odpowidź opraorowa Aby bigl poługiwać ię modą opraorową muimy poznać:. Przkzałcnia aplac a ranformay ygnałów przyczynowych. Podawow wirdznia rachunku opraorowgo 3. Schmay zaępcz i podawow prawa obwodów w rachunku opraorowym 4. Mody wyznaczania oryginału funkcji opraorowj dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl /4

11 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS PZKSZTAŁNIA APA A ozparywać będzimy funkcję f zminnj rzczywij płniającą naępując warunki: - funkcja f j okrślona dla > i równa zru, gdy <; - warość bzwzględna funkcji f ni rośni zybcij niż funkcja b wykładnicza, gdy f M gdzi M> oraz b> Przkzałcni, kór przyporządkowuj funkcji f zminnj rzczywij, funkcję F będącą funkcją zminnj zpolonj σjω za pomocą zalżności [ f ] F f d 5.3 nazywamy proym przkzałcnim aplac a lub -ranformaą Funkcję F zminnj zpolonj nazywamy ranformaą funkcji f. Wyznaczni funkcji f nazywanj oryginałm odpowiadającj znanj funkcji F umożliwia odwron przkzałcni aplac a nazywan ż - -ranformaą c j f F d j π c j [ F ] 5.4 Przkzałcnia aplac a wyrażon wzorami 5.3 i 5.4 ą wzajmni jdnoznaczn, czyli { [ f ]} f dla > 5.5 f - F dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl /4

12 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS A Funkcja jdnokowa f F TANSFOMATY SYGNAŁÓW PZYZYNOWH dla dla < > [ ] d B Funkcja wykładnicza f f f A F a A a < a > a a a [ f ] A d A d A A a a Funkcja harmoniczna A a d f Ainω F A A j A j A j jω j jω d jω jω jω jω jω ω jω jω jω jω jω A j A j jω jω d jω A ω ω A j ω dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl /4

13 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS Tablica. Tranformay aplac a wybranych funkcji lp. f F lp. f F a a n a a n a n N n! n a a n! n n N a τ τ τ a 9 a a τ a τ a b a b b a a b a b b a b a 3 a 4 inω 5 coω 6 a inω 7 a coω ω 8 in 9 coω a h β a 3 ch a ω ω ω ω ω ω a ω ω ω ω ω ω β h β β ch β β β β a β a a β 4 δ dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 3 /4

14 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS PODSTAWOW TWIDZNIA AHUNKU OPATOOWGO A Twirdzni o liniowości Jżli funkcj f i f poiadają ranformay, zn. f F i f F o dla dowolnych liczb a oraz b zachodzi [ ] [ ] [ f b f ] a F b F 5.6 a B Twirdzni o ranformaci pochodnj Jśli funkcja f i jj pochodna f ą -ranformowaln, o ranformaę pochodnj możmy wyrazić przz ranformaę amj funkcji naępująco [ f ' ] [ f ] f F f 5.7 gdzi: f praworonna granica funkcji f w punkci warość począkowa funkcji f Tranformaę pochodnj n-go rzędu funkcji f obliczamy z wzoru n n nk k [ f ] F f n 5.8 k Jśli warunki począkow ą zrow o widać wyraźni, ż różniczkowani funkcji w dzidzini czau odpowiada mnożniu -ranformay amj funkcji przz w poędz równj rzędowi pochodnj. dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 4 /4

15 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS Twirdzni o ranformaci całki Jśli funkcja f j -ranformowalna, o ranformaę całki możmy wyrazić przz ranformaę amj funkcji naępująco [ f ] F f 5.9 gdzi: f - oznacza warość całki w chwili można ją rozumić jako warość począkową - warunk począkowy Jśli warunk począkowy j zrowy o całkowani funkcji w dzidzini czau odpowiada dzilniu -ranformay funkcji podcałkowj przz D Twirdzni o przunięciu w dzidzini rzczywij czau Jżli dana j funkcja przyczynowa f -ranformowalna o ranformaci F, o ranformaa funkcji przunięj f- - dla okrślona j naępująco [ f ] F 5. Przykład: Dana j funkcja wymuznia napięciowgo w poaci impulu prookąngo. Nalży wyznaczyć ranformaę j funkcji f U f U -U U -U - U dla f dla inny opi < < < f U U Zgodni z wirdznim o liniowości oraz o przunięciu w dzidzini czau napizmy: F [ U U ] [ U ] [ U ] U U dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 5 /4

16 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS Twirdzni o przunięciu w dzidzini zminnj zpolonj Jżli F j ranformaą funkcji f oraz a j dowolną liczbą zpoloną bądź rzczywią, o ranformaa o argumnci przunięym płnia naępującą zalżność a [ f ] F a 5. F Twirdzni o ranformaci funkcji okrowj o okri T Jżli f fkt, k,... ; o F FT gdzi: F T T f d PODSTAWOW PAWA I SHMATY ZASTĘPZ OBWODÓW W AHUNKU OPATOOWYM Najfkywnijzą drogą poępowania w modzi opraorowj j okrślni ranforma prądów i napięć bzpośrdnio na podawi obwodu bz koniczności układania równań różniczkowo całkowych. Aby o uzykać nalży opracować opraorowy chma zaępczy dango obwodu - w ym clu każdy lmn obwodu zaępuj ię odpowidnim modlm w dzidzini opraorowj. Modl opraorow idalnych lmnów obwodu okrślamy na podawi: - opraorowych zalżności między napięcim i prądm lmnu; - praw Kirchhoffa w poaci opraorowj dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 6 /4

17 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS I prawo Kirchhoffa K k λ k ik gdzi: i k naężni prądu w k-j gałęzi; K liczba gałęzi dołączonych do dango węzła λ k wpółczynnik o warości lub, zalżni od zwrou prądu względm węzła Po zaoowaniu do powyżzgo równania przkzałcnia aplac a i wykorzyaniu wirdznia o liniowości go przkzałcnia 5.6 orzymujmy K k λ k Ik 5. ównani 5. wyraża I prawo Kirchhoffa w poaci opraorowj Algbraiczna uma ranforma prądów w wzykich gałęziach dołączonych do dango węzła chmau opraorowgo j równa zru II prawo Kirchhoffa J j λ j u j gdzi: u j napięci na j-ym lmnci oczka; J liczba lmnów w oczku λ j wpółczynnik o warości lub, zalżni od zwrou napięcia względm przyjęgo obigu po oczka Po zaoowaniu do ww. równania przkzałcnia aplac a i wykorzyaniu wirdznia o liniowości orzymujmy J j λ j U j 5.3 ównani 5.3 wyraża II prawo Kirchhoffa w poaci opraorowj Algbraiczna uma ranforma napięć na wzykich lmnach wchodzących w kład dango oczka chmau opraorowgo j równa zru dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 7 /4

18 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS Opraorow zalżności między napięcim a prądm idalnych lmnów obwodu i ich modl opraorow. ZYSTO Przbigi lkryczn napięcia i prądu rzyora o rzyancji podlgają prawu Ohma u i Po zaoowaniu przkzałcnia aplac a i wykorzyaniu wirdznia o liniowości go przkzałcnia orzymujmy U I 5.4 I U Wzór 5.4 wyraża prawo Ohma w poaci opraorowj. Wynika z nigo, ż modl opraorowy rzyora j charakryzowany jgo rzyancją. WKA Opi w dzidzini czau Opi w dzidzini opraorowj Modl opraorowy u di d U I i 5.5 I U i U i I i u d 5.6 U I i dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 8 /4

19 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS Opi w dzidzini czau KONDNSATO Opi w dzidzini opraorowj Modl opraorowy I du i d I U u 5.7 U u I u U u i d 5.8 I U u IDAN ŹÓDŁO NAPIĘIA I PĄDU Idaln źródła napięcia i prądu w obwodzi lkrycznym charakryzują napięci źródłow u lub naężni prądu źródłowgo i Z - wilkości nizalżn od warunków pracy odpowidnich źródł. W chmaci opraorowym obwodu, źródła ą charakryzowan ranformaami: U napięcia źródłowgo [ u ] 5.9 naężnia prądu źródłowgo I Z [ i ] 5.3 Z u U i Z I Z dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 9 /4

20 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS PZYKŁAD 5. ozparzmy gałąź paywną zawirającą lmny,,. i I u u u u U U U U i U U U U u U I I i u I U i u I u U i I Y U Y i u U i Z u gdzi: Z impdancja opraorowa Y Z admiancja opraorowa dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl /4

21 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS MTODY WYZNAZANIA OYGINAŁU FUNKJI OPATOOWJ W clu wyznacznia funkcji czau na podawi danj ranformay najczęścij korzya ię z mod wynikających z właności przkzałcnia aplac a. Moda riduów Moda ablicowa r MTODA SIDUÓW Funkcja opraorowa pozukiwanj odpowidzi j, dla obwodów klay SS, kombinacją liniową opraorowj funkcji wymuzającj X oraz paramrów obwodu, wyrażonych w konwncji opraorowj,, / a ponado członów opiujących warunki począkow {i, u /}. Jśli funkcja opraorowa wymuznia j funkcją wymirną dającą ię wyrazić jako iloraz wilomianów zminnj, o i funkcja opraorowa odpowidzi j funkcją wymirną. Powyżz rozumowani prowadzi do wirdznia, ż w ogólnym przypadku funkcję opraorową możmy wyrazić jako iloraz dwóch wilomianów zminnj b n n n an K a a m m m bm K b b a M 5.3 ównani algbraiczn: poiada pirwiaki:,... n, kór nazywamy zrami M poiada pirwiaki:,... m, kór nazywamy bigunami dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl /4

22 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS Jśli znamy zra i biguny funkcji, o równani 5.3 możmy przdawić w poaci n i an i 5.3 b m m Z zapiu 5.3 wynika jdnoznaczni, ż zra i biguny funkcji ni mogą ię pokrywać. Przyjmujmy ponado, ż n<m opiń licznika j mnijzy niż mianownika. Przy płniniu ww. warunków odwron przkzałcni aplac a możmy przdawić w poaci k m r [ ] r [ ] 5.33 k k o znaczy, ż oryginał pozukiwanj funkcji r j równy umi riduów funkcji podcałkowj 5.4 w wzykich bigunach k opraorowj funkcji odpowidzi. k UWAGA: Jśli w wyrażniu 5.3, w jgo mianowniku wyąpią lmny poaci p lub - k p - oznacza o, ż w punkci lub k wyępuj bigun p-krony. dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl /4

23 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 3 /4 W przypadku bigunów wilokronych nich w punkci k wyępuj bigun p-krony funkcji riduum funkcji obliczyć nalży z naępującgo wzoru [ ] [ ] p k p p d d p r k k lim! 5.34 Przykład : ozparzymy wyznaczni - ranformay funkcji 5 3 Zadana funkcja ma jdn bigun -krony -3 i jdn pojdynczy -5 Wykorzyując wzór 5.33, orzymujmy [ ] [ ] r r r Naępni wykorzyujmy zalżność 5.34 i uzykujmy [ ] [ ] lim 5 5 lim 3 lim 5 lim lim lim 5 lim 3 lim! d d d d d d r

24 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS W przypadku bigunów pojdynczych jdnokronych funkcji riduum funkcji w biguni k możmy wyznaczyć z naępującgo wzoru r k [ ] lim [ ] k k 5.35 Przykład : ozparzymy wyznaczni - ranformay funkcji Zadana funkcja ma dwa biguny - i - Wykorzyując wzór 5.33 orzymujmy [ ] r [ ] r r Na podawi wzoru.35 uzykujmy r lim lim [ ] lim [ ] lim lim lim dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 4 /4

25 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS UWAGA: Jśli funkcja ma wyłączni biguny pro i ni poiada biguna w zrz, bardzo wygodnym w oowaniu przy obliczaniu oryginału j zw. wzór Haviid a, kóry noi nazwę I-go wirdznia o rozkładzi m r M ' k k k k 5.36 gdzi: k warość wilomianu dla k M k warość pochodnj wilomianu M dla k Przykład : ozparzymy wyznaczni - ranformay funkcji Zadana funkcja poiada biguny - oraz -6 Pochodna wilomianu mianownika M 8 Po podawiniu orzymanych warości do wzoru 5.36, wyznaczamy 5 8 r dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 5 /4

26 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS Jśli funkcja ma wyłączni biguny pro i poiada bigun w zrz, o można ją przdawić w poaci M gdzi V 5.37 V przy czym opiń wilomianu V wynoi m- Wówcza m r V k V ' k k k k 5.38 gdzi: warość wilomianu dla V warość wilomianu V dla V k warość pochodnj wilomianu V dla k k k,,... m- nizrow biguny ranformay j o zw. II wirdzni o rozkładzi Przykład : ozparzymy wyznaczni - ranformay funkcji 45 Pirwiaki wilomianu V: -5 oraz -4 Pochodna wilomianu V 45 Poniważ jdnoczśni:, V o po podawiniu obliczonych warości do wzoru 5.38 wyznaczamy r,5 5 [ 5 45] 4 [ 4 45] 5 5,5 4 4 dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 6 /4

27 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS 5.6. ANAIZA STANÓW NIUSTAONYH W OBWODAH KTYZNYH KASY SS ZAŁOŻNIA Przyjmijmy, ż: - dany j obwód lkryczny w dzidzini czau, zn. znana j jgo rukura chma obwodu oraz warości paramrów; - dan ą funkcj wymuzając, np.: u K, i ZK, zn. dany j ich opi funkcyjny bądź wykr zminności w czai; - dany j jdnoznaczni cza komuacji K, np.: K ; - opiany j jdnoznaczni an nrgyczny obwodu dla < K AGOYTM ANAIZY Jśli płnion ą wzyki przdawion powyżj założnia, wówcza modyka poępowania w proci analizy anu niualongo z wykorzyanim rachunku opraorowgo j ciągim uporządkowanych naępujących działań: Ualamy warunki począkow W.P. w oparciu o znajomość anu obwodu dla < K oraz praw komuacji; Wyznaczamy na podawi znajomości funkcji wymuzających [u K, i ZK ] ich poać opraorową [U K, I ZK ]; 3 Sporządzamy chma opraorowy obwodu uwzględniając W.P.; 4 Dokonujmy analizy obwodu opraorowgo dowolną z poznanych mod analizy i wyznaczamy poać opraorową pozukiwanj bądź pozukiwanych wilkości []; 5 Znajdujmy oryginał pozukiwanj bądź pozukiwanych wilkości [r] i wnualni porządzamy wykr zminności j wilkości. dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 7 /4

28 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS WYJAŚNINI POJĘIA ZĄD OBWODU Obwody SS rzędu pirwzgo obwody opian równaniami różniczkowymi rzędu pirwzgo. Obwody aki mają ylko jdn lmn inrcyjny. Obwody SS wyżzych rzędów obwody opian równaniami różniczkowymi rzędu wyżzgo niż pirwzy. Obwody aki zawirają więcj niż jdn lmn inrcyjny. ozważmy zrgowy obwód, do kórgo w chwili zoaj dołączona iła lkromooryczna. ównani obwodu dla > ma poać Widząc, ż i di i i d u d du oraz u i d u d orzymujmy du d u u d d dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 8 /4

29 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS OBWODY PIWSZGO ZĘDU ozparzymy an niualony w obwodzi zrgowym. W chwili owaro wyłącznik W. Wyznaczyć przbig prądu, jżli uu V, Ω, mf. i U u w Ualamy warunki począkow W.P. w oparciu o znajomość anu obwodu dla < K oraz praw komuacji : u u Wyznaczamy na podawi znajomości funkcji wymuzającj jj poać opraorową : U U [ u ] [ U ] 3 Sporządzamy chma opraorowy obwodu uwzględniając W.P. U I U U 4 Dokonujmy analizy obwodu opraorowgo i wyznaczamy poać opraorową pozukiwanj wilkości. Zgodni z prawm Ohma: U U I, 5 5 Znajdujmy oryginał pozukiwanj wilkości. 5 Na podawi abli lp.5: i, dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 9 /4

30 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS PZYKŁAD 5.3: W chwili owaro wyłącznik W. Naryować przbig prądu cwki przd i po j chwili. Obliczyć prąd w cwc po 3m od chwili owarcia W. Dan: dla < w układzi panował an ualony,, H, Ω. u 57 in34 o, u w i Ualamy warunki począkow W.P. w oparciu o znajomość anu obwodu dla < K oraz praw komuacji : U 57 m j jψ U m U m U m j Ψ 9 3 I m 5 j j 9 jω ω ω dla < 5 in 34 3 i dla i 5in 3, 5 i zam i, 5 Wyznaczamy na podawi znajomości funkcji wymuzającj jj poać opraorową : BAK 3 Sporządzamy chma opraorowy obwodu uwzględniając W.P. I i 4 Dokonujmy analizy obwodu opraorowgo i wyznaczamy poać opraorową pozukiwanj wilkości. dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 3 /4

31 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS Zgodni z NPK: I I i I [ ] i i i i I I i,5 5 Znajdujmy oryginał pozukiwanj wilkości. i m k r k [ I ] i ZYI: lim k lim,5 [ ] I k,5 { } lim [,5 ] dla < dla dla > 5 in 34 3 i,5 i,5 i I m,5,85 3m dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 3 /4

32 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS PZYKŁAD 5.4: W chwili zamknięo wyłącznik W. Wyznaczyć przbig prądu i napięcia na kondnaorz. w i u Ualamy warunki począkow W.P. w oparciu o znajomość anu obwodu dla < K oraz praw komuacji : u u Wyznaczamy na podawi znajomości funkcji wymuzającj jj poać opraorową : Wimy, ż [ ] zyli zgodni z wirdznim o przunięciu w dzidzini czau Gdy i liniowości napizmy: [ f ] F o [ f ] F dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 3 /4

33 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS 3 Sporządzamy chma opraorowy obwodu uwzględniając W.P. I U 4 Dokonujmy analizy obwodu opraorowgo i wyznaczamy poać opraorową pozukiwanj wilkości. Opraorowy prąd obwodu: I / / Opraorow napięci na zacikach kondnaora: U I dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 33 /4

34 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS 5 Znajdujmy oryginał pozukiwanj wilkości. I Moda ablicowa zyli: i Poz. 5 a a i i dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 34 /4

35 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS U Moda ablicowa Poz. a 9 a a u u u dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 35 /4

36 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS OBWODY DUGIGO ZĘDU Najprozym rprznanm akich obwodów j obwód zrgowy. Załóżmy, ż napięci działając na zacikach akigo obwodu j wymuznim napięciowym opianym funkcją ałą i przyczynową uu. Przyjmijmy, ż pozukujmy funkcji prądu i. uu i u u u Ualamy warunki począkow W.P. w oparciu o znajomość anu obwodu dla < K oraz praw komuacji : Warunki począkow z uwagi na fak, ż dla < U możmy zgodni z I i II prawm komuacji napiać i u i u Wyznaczamy na podawi znajomości funkcji wymuzającj jj poać opraorową : U U [ u ] [ U ] I 3 Sporządzamy chma opraorowy obwodu uwzględniając W.P. U U U U dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 36 /4

37 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 37 /4 4 Dokonujmy analizy obwodu opraorowgo i wyznaczamy poać opraorową pozukiwanj wilkości. Prąd w obwodzi możmy wyznaczyć zgodni z prawm Ohma U U Z U I 5 Znajdujmy oryginał pozukiwanj wilkości. ównani opiując prąd w obwodzi j funkcją wymirną M U I W clu wyznacznia ranformay odwronj nalży obliczyć pirwiaki mianownika I, czyli M W wyniku rozwiązania powyżzgo równania orzymujmy biguny opraorowj funkcji prądu Δ Δ gdzi 4 Δ * j wyróżnikim M

38 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS Możliw ą rzy przypadki rozwiązania: A Δ > dwa pirwiaki rzczywi M oznacza dwa biguny pojdyncz I B Δ jdn pirwiak podwójny M oznacza jdn bigun dwukrony I Δ < dwa pirwiaki zpolon-przężon M oznacza dwa biguny zpolon-przężon I Z zalżności * wynika, ż: Δ > Δ Δ < gdy gdy gdy > < ozważymy raz możliw przypadki rozwiązania dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 38 /4

39 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS Oba biguny ą rzczywi: Przypadk A - APIODYZNY przbig czaowy prądu: i A U [ ] U h Przypadk B APIODYZNY-KYTYZNY Jdn bigun dwukrony: Dwa biguny zpolon-przężon: j j Przbig czaowy prądu: i B Przypadk OYAYJNY i U Przbig czaowy prądu: U ω gdzi ω in ω dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 39 /4

40 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS i Ocylacyjny Apriodyczny-kryyczny Apriodyczny Przbigi czaow wyznaczonych prądów dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 4 /4

41 OBWODY I SYGNAŁY Wykład 5 : Sany niualon w obwodach SS WNIOSKI Na podawi doychcza omówionych przykładów jśmy w ani formułować wnioki doycząc zalżności pomiędzy położnim biguna K opraorowj funkcji odpowidzi a jj funkcją czau r. Załóżmy, ż wilomian mianownika M funkcji opraorowj ni poiada pirwiaków wilokronych a jdyni pojdyncz, np.: BIGUN A a a a > A 3 a a < a A * a j, 4 a j, a * a j, a j, a 4 > FUNKJA ZASU PZYPOZĄDKOWANA BIGUNOWI a ω ω A inω 5 5 ω < a ω A inω * jω, jω A inω 6 6 jω f f A 6 f 5 4 A 3 f A 5 * 4 * 6 * f σ f Zalżność r od bigunów na płazczyźni dr inż. Mark Szulim -mail: mzulim@wa.du.pl 4 /4