Witam! Czym jest Mathematica?
|
|
- Martyna Karpińska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Witam! Nazywam się Jacek Golak Pracuję w Zakładzie Fizyki Jądrowej Instytutu Fizyki UJ Moja dziedzina to teoretyczna fizyka jądrowa Numer pokoju: B jacek.golak@uj.edu.pl strona WWW: Czym jest Mathematica?
2 2 NOF_1.nb "Program Mathematica firmy Wolfram Research, Inc. to wszechstronne środowisko realizacji obliczeń matematycznych, składu dokumentu technicznego i tworzenia aplikacji. Mathematica to między innymi obliczenia symboliczne, szybkie obliczenia numeryczne, dowolna dokładność obliczeń, wygodny interfejs użytkownika, wieloplatformowość, możliwość równoległych obliczeń, bogate możliwości wizualizacji 2D i 3D oraz język programowania Wolfram Language" Jak zdobyć licencję Wybrana literatura LITERATURA DO WYKŁADU I ĆWICZEŃ (0) Ponieważ wykład będzie w dużej mierze oparty o program Mathematica, więc polecam wykłady prowadzone wcześniej na naszym wydziale Na stronie
3 NOF_1.nb 3 mają się znaleźć odnośniki do wykładów i ćwiczeń prowadzonych przy pomocy programu Mathematica na naszym Wydziale (1) Ponadto wskazany jest dowolny podręcznik wprowadzający w tajniki tego programu. Na przykład sam podręcznik tego produktu: (a) Stephen Wolfram, The Mathematica Book, Wolfram Media, wiele wydań (b) zestaw poradników (c) bardzo wiele materiału w internecie, skrypty do wykładów, porady dla początkujących itp. (2) Klasyczny podręcznik do programowania (ogólnie rozumianego): Donald E. Knuth, The art of computer programming, Addison-Wesley, bardzo wiele wydań (3) Jak programować w (ANSI) C pokazują m.in. trzy klasyczne pozycje (a) Brian W. Kernighan, Dennis M. Ritchie, Język ANSI C. Programowanie (tłumaczenie z angielskiego), Helion, 2010, wydanie II (b) K. N. King, C Programming (A Modern Approach), 2nd Edition, W. N. Norton, 2008 (c) S. Oualline, Jezyk C. Programowanie (tłumaczenie z angielskiego), Helion, 2003 (4) Jak to się robi w nowszym Fortranie można nauczyć się, korzystając ze skryptu umieszczonego na stronie instytutowej: Krzysztof Rościszewski i Romuald Wit Nauka Fortranu F90/95 przez przykłady dla początkujących, Skrypt internetowy (wersja z 31 III 2008)
4 4 NOF_1.nb (5) Poleciłbym, zwłaszcza mając na uwadze tzw. "projekty zaliczeniowe", kilka innych pozycji, które pokazują, jak wykorzystać komputer w fizyce: (a) D. M. Bourg, Fizyka dla programistów gier, Helion, (b) M. Motyka, Symulacje komputerowe w fizyce, Helion, (c) Tao Pang, Metody obliczeniowe w fizyce: fizyka i komputery, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, (d) W. Kinzel, G. Reents, Physics by Computer: Programming Physical Problems Using Mathematica and C, Springer-Verlag, New York, (e) G. Baumann, Mathematica in Theoretical Physics: Selected Examples from Classical Mechanics to Fractals, TELOS, The Electronic Library of Science, Springer-Verlag, New York, (f) A. Romano, R. Lancellotta, A. Marasco, Continuum Mechanics using Mathematica, Birkhaeuser, Boston, (g) Stephen Lynch, Dynamical Systems with Applications using Mathematica, Birkhaeuser, Boston, (h) Nino Boccara, Essentials of Mathematica with Applications to Mathematics and Physics, Springer, (i) Patrick T. Tam, A Physicist's Guide to Mathematica, Academic Press, (j) M.L. Abell, J.P. Braselton, Differential Equations with Mathematica, Elsevier, (6) Wspaniałym źródłem przykładów, jest "WOLFRAM DEMONSTRATIONS PROJECT", gdzie pokazane są zastosowania środowiska Mathemat-
5 NOF_1.nb 5 ica w bardzo wielu dziedzinach wiedzy. Dla nas najważniejsze są te dotyczące fizyki. Kalkulator In[107]:= 2-4 Out[107]= - 2 In[108]:= (* wyrazenie jest liczone po nacisnieciu Shift+Enter *) Out[108]= 4 In[109]:= Out[109]= In[110]:= * ^4 Out[110]= In[111]:= Out[111]= sina sina In[112]:= Out[112]= a a In[113]:= Cos Sin * 4 * 9^ Sqrt[2] co sinus pierwiastek kwa Out[113]= Cos Sin / In[114]:= (* tu pojawi sie potegowanie ^ oraz znane funkcje matematyczne *) In[115]:= N Cos Sin * 4 * 9^ Sqrt[2], 100 co sinus pierwiastek kwadratowy Out[115]=
6 6 NOF_1.nb In[116]:= 2^ Out[116]= In[117]:= N[%] przybliżenie numeryczne Out[117]= In[118]:= 2^ Out[118]= In[119]:= N przybliżenie 789 numeryczne Out[119]= In[120]:= (* Mamy do dyspozycji stale matematyczne *) In[121]:= Pi (* liczba pi *) pi Out[121]= π In[122]:= N[ Pi, 200] (* jesli chcemy poznac wartosc pi numeryczna pi z niemal dowolna dokladnoscia *) Out[122]= In[123]:= E (* podstawa logarytmu naturalnego *) liczba Eulera Out[123]= e In[124]:= N[ E, 200] (* wartosc numeryczna e z bardzo duza dokladnoscia *) liczba Eulera Out[124]= In[125]:= 100! (* silnia *) Out[125]= In[126]:= Factorial[100] (* to samo w innym zapisie *) silnia Out[126]=
7 NOF_1.nb 7 In[127]:= (* Mathematica podaje DOKLADNY WYNIK, jesli to tylko mozliwe *) In[128]:= Out[128]= Sin Pi 6 si pi 1 2 In[129]:= Out[129]= Cos Pi 4 co pi 1 2 In[130]:= Tan[14] (* tangens *) tangens Out[130]= Tan[14] In[131]:= N[%] przybliżenie numeryczne Out[131]= In[132]:= a = Sqrt Sqrt ^5 pierwiastek kwad pierwiastek kwadratowy Sin Pi 8 si pi Out[132]= Csc π 8 In[133]:= (* przypisalismy zmiennej a pewna wartosc i mozemy ja uzyc w dalszych obliczeniach *) In[134]:= b = 13 * a * a^6 Out[134]= Csc π Csc π 8 6 In[135]:= (* Ile to wlasciwie wynosi? *) In[136]:= N[b] przybliżenie numeryczne Out[136]= In[137]:= N[b, 40] (* Mathematica moze podac bardzo dokładna wartosc numeryczna! *) przybliżenie numeryczne Out[137]= Pamiętajmy: mała kropka, duża różnica! In[138]:= Sin[2] sinus Out[138]= Sin[2]
8 8 NOF_1.nb In[139]:= Sin[2.] sinus Out[139]= In[140]:= Sin[2, 5] (* kolor czerwony oznacza nieprawidłową komendę! *) sinus Out[140]= Sin[2, 5] In[141]:= Out[141]= 24 Sin: Sin called with 2 arguments; 1 argument is expected. Podstawowa zasada: nazwy komend programu Mathematica (N, Plot,...) oraz wbudowanych funkcji (sinus, cosinus, tangens, cotangens,...) zaczynają się od dużych liter; ich argument (lub argumenty) są zawarte w nawiasach KWADRATOWYCH! Mathematica zna różne funkcje specjalne i pozwala nimi swobodnie operować. BARDZO WAZNE DLA FIZYKA! Gamma[5] funkcja Gamma In[142]:= Gamma 7 3 funkcja Gamma Out[142]= Gamma 7 3 In[143]:= N Gamma 7 funkcja Gamm 3 Out[143]= In[144]:= Out[144]= FullSimplify Gamma[n] n - 1!, uprość pełniej funkcja Gamma True Element[n, należy do Integers] && n > 0 zbiór liczb całkowitych In[145]:= BesselJ[1, 3] funkcja J Bessela Out[145]= BesselJ[1, 3] In[146]:= N[ BesselJ[1, 3]] funkcja J Bessela Out[146]= In[147]:= Out[147]= LegendreP[12, x] funkcja P Legendre'a x x x x x x 12
9 NOF_1.nb 9 In[148]:= LegendreP[12, 8, x] funkcja P Legendre'a Out[148]= x x x 4 8 In[149]:= SphericalHarmonicY[12, - 10, theta, phi] harmoniczna funkcja sferyczna Y Out[149]= e-10 i phi π Cos[theta] 2 Sin[theta] 10 In[150]:= Out[150]= Uwaga na nazwy funkcji, które składają się z kilku słów (arcus sinus, arcus tangens, arcus tangens hiperboliczny,...) ArcSin 1 2 arcus sinus π 6 In[151]:=?? Arc* System` ArcCos ArcCoth ArcCurvature ArcSech ArcSinh ArcCosh ArcCsc ArcLength ArcSin ArcTan ArcCot ArcCsch ArcSec ArcSinDistribution ArcTanh In[152]:= Out[152]= ArcTan[1] arcus tangens π 4 In[153]:= ArcTanh arcus tangens hiperboliczny Out[153]= ArcTanh Dlatego najlepiej jest używać nazw zmiennych i nazw funkcji pisanych małymi literami. Nie radzę próbować instrukcji typu: C=123.7; D=13*Pi; E=-1; I=5;
10 10 NOF_1.nb Rysowanie wykresów 2D In[154]:= Plot[ Sin[x] + Cos[4 * x], {x, 0, 2 * Pi}] wyk sinus cosinus pi 2 1 Out[154]= In[155]:= Plot x^2, {x, -3, 3} wykres 4 2 Out[155]=
11 NOF_1.nb 11 In[156]:= Plot[{x^3, Cos[x^4]}, {x, -2, 2}] wykres cosinus 4 2 Out[156]= In[157]:= Plot x 100, BesselJ[10, x], {x, 5, 25} wykres funkcja J Bessela Out[157]=
12 12 NOF_1.nb In[158]:= Plot3D[x^2 - y^2, {x, 0, 2}, {y, -1, 4}] wykres trójwymiarowy Out[158]= Listy In[159]:= (* uporzadkwany zbior elementow, w zasadzie dowolnych *) In[160]:= {1, 2, 3, x, Out[160]= Sin[p], {y, z}, "napis"} sinus {1, 2, 3, x, Sin[p], {y, z}, napis} In[161]:= (* zmienna ma wartosc, ktora jest lista *) In[162]:= dziwnalista = {1, x, Out[162]= Sin[beta], {p, q}, {11, 12, z}} sinus {1, x, Sin[beta], {p, q}, {11, 12, z}} In[163]:= dziwnalista[[1]] (* pierwszy element listy; koniecznie podwojne nawiasy! *) Out[163]= 1 In[164]:= (* to samo inaczej *) In[165]:= Out[165]= 1 Part[dziwnalista, 1] część In[166]:= Out[166]= dziwnalista[[2]] x
13 NOF_1.nb 13 In[167]:= dziwnalista[[4]] (* ten element sam jest lista... *) Out[167]= {p, q} In[168]:= dziwnalista[[4]][[1]] (*... i mozna zapytac, jaki jest jego pierwszy element *) Out[168]= p In[169]:= (* lista, ktorej elementami sa wykresy *) In[170]:= { Plot[ Sqrt[x], {x, 0, 2}], Plot[ Sin[5 * x], {x, 0, wyk pierwiastek kwadratowy wyk sinus Pi}], pi Plot[x^2, {x, -2, 2}]} wykres Out[170]= , , In[171]:= Niektóre komendy z definicji dają listy Table[n^3, {n, 1, 7}] tabela Out[171]= {1, 8, 27, 64, 125, 216, 343} In[172]:= (* teraz dostaniemy liste rysunkow *) In[173]:= Table[ Plot[x^n, {x, -2, 2}], {n, 3, 5, 1}] tabela wykres Out[173]= , In[174]:= (* prosta lista kolejnych liczb naturalnych od 1 do 10 *) In[175]:= Range[10] zakres Out[175]= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , In[176]:= (* lista liczb naturalnych od 2 do 10 *) In[177]:= Range[2, 10] zakres Out[177]= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} In[178]:= (* lista liczb naturalnych od 2 do 10, ale z krokiem 5 *)
14 14 NOF_1.nb In[179]:= Range[2, 10, 5] zakres Out[179]= {2, 7} In[180]:=? Range Range[i max ] generates the list {1, 2,, i max }. Range[i min, i max ] generates the list {i min,, i max }. Range[i min, i max, di] uses step di. In[181]:=?? Range Range[i max ] generates the list {1, 2,, i max }. Range[i min, i max ] generates the list {i min,, i max }. Range[i min, i max, di] uses step di. In[182]:= Attributes[Range] = Listable, Protected CharacterRange["A", "Z"] zakres znaków Out[182]= {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z} In[183]:= CharacterRange["α", "ω"] zakres znaków Out[183]= {α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, π, ρ, ς, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω} Z listami można robić różne rzeczy. Na razie tylko kilka prostych przykładów dla list z liczbami : In[184]:= l1 = {2, 4, 1, 17, -3, 8, 95, -34, 0} Out[184]= {2, 4, 1, 17, -3, 8, 95, -34, 0} In[185]:= l2 = Sort[l1] sortuj Out[185]= {-34, -3, 0, 1, 2, 4, 8, 17, 95} In[186]:= l3 = Reverse[l2] odwróć kolejność Out[186]= {95, 17, 8, 4, 2, 1, 0, -3, -34} In[187]:= Out[187]= 9 Length[l3] długość In[188]:= Out[188]= 90 Total[l1] oblicz sumę
15 NOF_1.nb 15 In[189]:= Out[189]= 10 Mean[l1] średnia arytmetyczna In[190]:= Out[190]= 95 Max[l1] maksimum In[191]:= Out[191]= - 34 Min[l1] minimum In[192]:= (* Bardzo wazne: mozna zadzialac funkcja na CALA LISTE! *) In[193]:= l1^2 Out[193]= {4, 16, 1, 289, 9, 64, 9025, 1156, 0} In[194]:= Sin[l1] sinus Out[194]= {Sin[2], Sin[4], Sin[1], Sin[17], - Sin[3], Sin[8], Sin[95], - Sin[34], 0} In[195]:= N[ Cos[l1]] cosinus Out[195]= { , , , , , , , , 1.} In[196]:= (* Rozwiazania rownan wystepuja w postaci list! Odpowiednia skladnia pozwala na wyluskanie wyniku *) In[197]:= sol = Solve[x^2 4, x] rozwiąż równanie Out[197]= {{x -2}, {x 2}} In[198]:= sol[[1]] Out[198]= {x -2} In[199]:= sol[[2]] Out[199]= {x 2} In[200]:= FullForm[sol] pełna forma Out[200]//FullForm= List[List[Rule[x, - 2]], List[Rule[x, 2]]] In[201]:= (* Jak wydostac wartosc -2, by uzyc ja na przyklad w dalszych rachunkach? *) In[202]:= sol[[1]][[1]][[2]] Out[202]= - 2 In[203]:= (* tego mozna juz uzywac jak zwyklej artosci liczbowej i przypisac ja zmiennej *)
16 16 NOF_1.nb In[204]:= Out[204]= - 2 x11 = sol[[1]][[1]][[2]] In[205]:= x12 = sol[[2]][[1]][[2]] Out[205]= 2 In[206]:= (* Inny sposob wykorzystuje ogolny zapis PODSTAWIENIA *) In[207]:= x21 = x /. sol[[1]] Out[207]= - 2 In[208]:= x22 = x /. sol[[2]] Out[208]= 2 =, czy ==, czy może ===? In[209]:= q = 90; (* jeden znak "=" przypisanie zmiennej wartosci *) In[210]:= Out[210]= 1 2 Sin Pi 6 (* dwa znaki "=" sprawdzenie rownosci liczb lub wyrazen *) si pi True In[211]:= Solve[x ^2 + 3 * x + 6 0, x] (* dwa znaki "=" konieczne przy rownaniach *) rozwiąż równanie Out[211]= x i 15, x i 15 2 In[212]:= x = Tan[c]; tangens In[213]:= y = Sin[c] Cos[c]; sinus cosinus In[214]:= x === y (* sprawdzenie identycznosci wyrazen *) Out[214]= True Uzyskiwanie pomocy Wiele komend posiada opcje, niekiedy bardzo wiele opcji
17 NOF_1.nb 17 In[215]:= Plot[ Sqrt[x], {x, 0, 3}, wyk pierwiastek kwadratowy y AxesLabel {"x", "y"}, oznaczenia osi PlotStyle styl grafiki Green] zielony 1.5 Out[215]= x In[216]:= Out[216]= Options[ Plot] opcje wykres 1 AlignmentPoint Center, AspectRatio, Axes True, GoldenRatio AxesLabel None, AxesOrigin Automatic, AxesStyle {}, Background None, BaselinePosition Automatic, BaseStyle {}, ClippingStyle None, ColorFunction Automatic, ColorFunctionScaling True, ColorOutput Automatic, ContentSelectable Automatic, CoordinatesToolOptions Automatic, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog {}, Evaluated Automatic, EvaluationMonitor None, Exclusions Automatic, ExclusionsStyle None, Filling None, FillingStyle Automatic, FormatType TraditionalForm, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle {}, FrameTicks Automatic, FrameTicksStyle {}, GridLines None, GridLinesStyle {}, ImageMargins 0., ImagePadding All, ImageSize Automatic, ImageSizeRaw Automatic, LabelStyle {}, MaxRecursion Automatic, Mesh None, MeshFunctions {#1 &}, MeshShading None, MeshStyle Automatic, Method Automatic, PerformanceGoal $PerformanceGoal, PlotLabel None, PlotLabels None, PlotLegends None, PlotPoints Automatic, PlotRange {Full, Automatic}, PlotRangeClipping True, PlotRangePadding Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, PlotTheme $PlotTheme, PreserveImageOptions Automatic, Prolog {}, RegionFunction True &, RotateLabel True, ScalingFunctions None, TargetUnits Automatic, Ticks Automatic, TicksStyle {}, WorkingPrecision MachinePrecision In[217]:=? N N[expr] gives the numerical value of expr. N[expr, n] attempts to give a result with n-digit precision. In[218]:= (* krotka informacja *)
18 18 NOF_1.nb In[219]:=? Plot Plot[ f, {x, x min, x max }] generates a plot of f as a function of x from x min to x max. Plot[{ f 1, f 2, }, {x, x min, x max }] plots several functions f i. Plot[{, w[ f i ], }, ] plots f i with features defined by the symbolic wrapper w. Plot[, {x} reg] takes the variable x to be in the geometric region reg. In[220]:= (* bardziej rozbudowana *) In[221]:=?? Plot Plot[ f, {x, x min, x max }] generates a plot of f as a function of x from x min to x max. Plot[{ f 1, f 2, }, {x, x min, x max }] plots several functions f i. Plot[{, w[ f i ], }, ] plots f i with features defined by the symbolic wrapper w. Plot[, {x} reg] takes the variable x to be in the geometric region reg. Attributes[Plot] = {HoldAll, Protected, ReadProtected} 1 Options[Plot] = AlignmentPoint Center, AspectRatio, Axes True, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle {}, Background None, BaselinePosition Automatic, BaseStyle {}, ClippingStyle None, ColorFunction Automatic, ColorFunctionScaling True, ColorOutput Automatic, ContentSelectable Automatic, CoordinatesToolOptions Automatic, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog {}, Evaluated Automatic, EvaluationMonitor None, Exclusions Automatic, ExclusionsStyle None, Filling None, FillingStyle Automatic, FormatType TraditionalForm, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle {}, FrameTicks Automatic, FrameTicksStyle {}, GridLines None, GridLinesStyle {}, ImageMargins 0., ImagePadding All, ImageSize Automatic, ImageSizeRaw Automatic, LabelStyle {}, MaxRecursion Automatic, Mesh None, MeshFunctions {#1 &}, MeshShading None, MeshStyle Automatic, Method Automatic, PerformanceGoal $PerformanceGoal, PlotLabel None, PlotLabels None, PlotLegends None, PlotPoints Automatic, PlotRange Full, Automatic, PlotRangeClipping True, PlotRangePadding Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, PlotTheme $PlotTheme, PreserveImageOptions Automatic, Prolog {}, RegionFunction (True &), RotateLabel True, ScalingFunctions None, TargetUnits Automatic, Ticks Automatic, TicksStyle {}, WorkingPrecision MachinePrecision In[222]:= In[223]:= (* pomoc na temat wszystkich funkcji lub polecen zaczynajacych sie od? Plot* Plot *) wykres PlotDivision PlotLegends System` Plot PlotLabel PlotPoints PlotRegion Plot3D PlotLabels PlotRange PlotStyle Plot3Matrix PlotLayout PlotRangeClipping PlotTheme PlotRangeClipPlanesStyle PlotJoined PlotMarkers PlotRangePadding
19 NOF_1.nb 19 Nasze własne funkcje Puszczamy wodze fantazji i definiujemy NOWĄ funkcję In[224]:= f[x_] := Tan[ Sin[ Cos[x]]] (* to nie jest jedyny sposob, ale na razie wystarczy; ta si cosinus In[225]:= wiecej informacji o tzw. natychmiastowej i opoznionej defincji funkcji mozna znalezc na mojej stronie w notebooku natychmiastowa_i_opozniona_definicja_funkcji.nb *) Plot[f[x], {x, 0, Pi}] wykres pi Out[225]= In[226]:= Out[226]= f[1] Tan[Sin[Cos[1]]] In[227]:= N[f[1], 20] przybliżenie numeryczne Out[227]= In[228]:= (* Jeszcze jeden wazny przyklad: funkcje mozna zdefiniowac KAWALKAMI *) In[229]:= w[x_] := Piecewise[{{x^2, x < 0}, {x, x >= 0}}] (* uwaga na skladnie *) funkcja odcinkowa
20 20 NOF_1.nb In[230]:= Plot[w[x], {x, -2, 2}] wykres 4 3 Out[230]= In[231]:= w[0] Out[231]= 0 Operator % In[232]:= v = 24 * 5 / 6! Out[232]= 1 6 In[233]:= Out[233]= w = % + 11 (* % zastepuje ostatni uzyskany wynik niekoniecznie musi to byc ten z poprzedniej komorki! *) 67 6 In[234]:= t1 = %% * 6 (* %% teraz przedostatnio uzyskany wynik *) Out[234]= 1 In[235]:= t2 = %%% * 6 Out[235]= 1 In[236]:= (* wynik z komorki numer 62 *) In[237]:= t3 = %62 * 6 Out[237]= {6 Null} In[238]:=
21 NOF_1.nb 21 Nadawanie wartości zmiennym i ich odwoływanie W jednej komórce można podać wiele komend In[239]:= a1 = 23 a2 = 3 a3 = 7 Out[239]= 23 Out[240]= 3 Out[241]= 7 Jeśli nie chcemy outputu (na przykład przy instrukcjach przypisania), wtedy dajemy średniki In[242]:= b1 = 23; b2 = 3; b3 = 7; b4 = -9.0; b5 = 76; b6 = 0; In[243]:= Clear[b1 ] ; (* wartosc b1 stanie sie z powrotem nieokreslona *) wyczyść In[244]:= Out[244]= b1 b1 In[245]:= b2 =.; (* to dziala tak samo. UWAGA na zmiane koloru nazwy b2 z czarnej na niebieski *) In[246]:= Clear[b3, b4, b5] (* to wyczysci trzy zmienne naraz *) wyczyść In[247]:= (* ponizsza instrukcja wyczysci WSZYSTKIE PRZYPISANE WARTOSCI i DEFINICJE *) In[248]:= ClearAll["Global`*"] wyczyść wszystko In[249]:= Out[249]= a1 a1 In[250]:= Out[250]= f f
22 22 NOF_1.nb Inne In[251]:= s1 = Out[251]= 385 Sum[n^2, {n, 1, 10}] sumowanie In[252]:= (* latwo uzyc opcji Insert wstaw Input from above i potem zmienic, by uzyskac... *) wejście In[253]:= s2 = Out[253]= Sum[n^5, {n, 1, 10}] sumowanie In[254]:= (* podobnie mozna wykorzystac output z poprzedniej komorki *) In[255]:= Out[255]= Sum[ii^3, {ii, 1, n}] sumowanie 1 4 n2 1 + n 2 In[256]:= g[n_] := 1 4 n2 1 + n 2 (* uzylem opcji Insert Output from above *) wstaw In[257]:= (* Insert Picture From file *) wstaw In[258]:= Out[258]=
23 NOF_1.nb 23 In[259]:= Blur, 5 zmniejsz ostrość Out[259]= Jak unikać podstawowych błędów (1) Nawiasy ( ) są używane wyłącznie dla zaznaczenia kolejności operacji. Nie należy używać { } oraz [ ] w wyrażeniach matematycznych! (2) Polecenia programu Mathematica oraz wbudowane funkcje mają nazwy zaczynające się z dużej litery! (3) Nawiasy kwadratowe są używane dla argumentów poleceń i funkcji! (4) Nawiasy { } są używane wyłącznie w listach! (5) Przy definiowaniu własnych funkcji (na razie) trzymać się wzoru: f[x_]:= x^5 (6) Równania (i porównywania) wymagają dwóch znaków == Należy zwracać uwagę na kolory! Kolor czerwony oznacza zwykle błędną składnię! Kolor niebieski zmiennej oznacza, że nie nadano jej żadnej wartości, co może mieć wpływ na dalsze wykorzystanie tej zmiennej!
Witam Państwa na wykładzie dotyczącym narzędzi obliczeniowych fizyki!
Witam Państwa na wykładzie dotyczącym narzędzi obliczeniowych fizyki! Nazywam się Jacek Golak Pracuję w Zespole Zakładów Fizyki Jądrowej Instytutu Fizyki UJ i jestem kierownikiem Zakładu Teorii Układów
Bardziej szczegółowoWykład 6. Prawo Hooke a. Robert Hooke
Wykład 6 Równania różniczkowe, funkcje DSolve oraz NDSolve. Wykres fazowy. Prawo Hooke a, drgania sprężyn. Ruch z oporem powietrza. In[1]:= ClearAll["Global`*"] wyczyść wszystko Prawo Hooke a Robert Hooke
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoSin[Pi / 4] Log[2, 1024] Prime[10]
In[1]:= (* WSTĘP DO PAKIETU MATHEMATICA *) (* autorzy: Łukasz Płociniczak,Marek Teuerle*) (* Składnia: nazwy funkcji z wielkiej litery a argumenty w kwadratowych nawiasach. Wywołujemy wartość SHIFT+ENTER
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoKurs Komputerowy S System Symboliczny Mathematica
Kurs Komputerowy S System Symboliczny Mathematica Obliczenia numeryczne Dokladnosc i precyzja Precision[wartosc] SetPrecision[wartosc, precyzja] Accuracy[wartosc] SetAccuracy[wartosc, dokladnosc] MachinePrecision
Bardziej szczegółowoMathematica od zera. Paulina Suchanek, IFT Wroclaw. Factor x 2 2 x 1. Series Log 1 x, x, 0, 5. 1. Wprowadzenie. Start. Struktura notatnika
Mathematica od zera Paulina Suchanek, IFT Wroclaw 1. Wprowadzenie Start Struktura notatnika Notatnik edytujemy uzywajac opcji z zakladki Format. Strukture rozdzialow wprowadzamy wybierajac opcje z okienka
Bardziej szczegółowoMathematica III Równania różniczkowe, układy równań różniczkowych, wykresy, badanie funkcji, importowanie danych, instrukcje warunkowe, pętle
Mathematica III Równania różniczkowe, układy równań różniczkowych, wykresy, badanie funkcji, importowanie danych, instrukcje warunkowe, pętle na podstawie materiałów wolfram.com Równania różniczkowe: Równanie
Bardziej szczegółowoMatematyka 3. Suma szeregu. Promień zbieżności szeregu. Przykład 1: Przykład 2: GenerateConditions
Matematyka 3 Suma szeregu? Sum i max Sum[f, {i, i max }] evaluates the sum f. Sum[f, {i, i min, i max }] starts with i = i min. Sum[f, {i, i min, i max, di}] uses steps di. Sum[f, {i, {i 1, i 2, }}] uses
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowo(naci nij SHIFT + ENTER po ustawieniu kursora w dowolnym miejscu w komórce zawieraj cej formu )
1. Podstawowe Zasady 1. Przegl d funkcjonalno ci. Mathematica jako kalkulator. Praktycznie wszyskie potrzebne informacje o Mathematice mo na uzyska z Centrum Dokumentacji (aby do niego dotrze nale y nacisn
Bardziej szczegółowoLiczby i działania na liczbach
Na tym wykładzie chciałbym przekonać Państwa, że Mathematica może być pomocna w studiowaniu analizy matematycznej. Liczby i działania na liczbach (* liczby całkowite *) Element[-, Integers] należy do zbiór
Bardziej szczegółowo16 Jednowymiarowy model Isinga
16 Jednowymiarowy model Isinga Jest to liniowy łańcuch N spinów mogących przyjmować wartości ± 1. Mikrostanem układu jest zbiór zmiennych σ i = ±1, gdzie i = 1,,..., N (16.1) Określają one czy i-ty spin
Bardziej szczegółowoMathematica (1) Organizacja Mathematica Notebooks. Style dokumentów
Mathematica (1) Organizacja Mathematica Notebooks Dokument Mathematica zorganizowany jest w tzw. komórki. KaŜda komórka zawiera materiał określonego rodzaju: tekst, grafikę, dane wejściowe, dane wyjściowe
Bardziej szczegółowoIn the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.
!" #$ %&' ( +*",-".0/1"3"4"5"67498:"5";=6?,@"A"-B5"-BCD4E?,@"
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu
Bardziej szczegółowoProgramowanie strukturalne. Opis ogólny programu w Turbo Pascalu
Programowanie strukturalne Opis ogólny programu w Turbo Pascalu STRUKTURA PROGRAMU W TURBO PASCALU Program nazwa; } nagłówek programu uses nazwy modułów; } blok deklaracji modułów const } blok deklaracji
Bardziej szczegółowoInstalacja
Wprowadzenie Scilab pojawił się w Internecie po raz pierwszy, jako program darmowy, w roku 1994 Od 1990 roku pracowało nad nim 5 naukowców z instytutu INRIA (Francuski Narodowy Instytut Badań w Dziedzinie
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoPodstawowe wyrażenia matematyczne
Lech Sławik Podstawy Maximy 3 Wyrażenia matematyczne.wxmx 1 / 7 Podstawowe wyrażenia matematyczne 1 Nazwy Nazwy (zmiennych, stałych, funkcji itp.) w Maximie mogą zawierać małe i duże litery alfabetu łacińskiego,
Bardziej szczegółowoMathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje
Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje
Bardziej szczegółowoPRZETWARZANIE I ORGANIZOWANIE DANYCH: ARKUSZ KALKULACYJNY
PRZETWARZANIE I ORGANIZOWANIE DANYCH: ARKUSZ KALKULACYJNY Dr inż. Marcin Witczak Uniwersytet Zielonogórski Przetwarzanie i organizowanie danych: arkusz kalkulacyjny 1 PLAN WPROWADZENIA Profesjonalne systemy
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy Przykłady: Programy wykorzystywane
Bardziej szczegółowoInstalacja Pakietu R
Instalacja Pakietu R www.r-project.org wybór źródła wybór systemu operacyjnego: Download R for Windows opcja: install R for the first time opcja: Download R 3.3.3 for Windows uruchomienie R-3.3.3-win MAGDA
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Pakietu R dla kierunku Zootechnika. Dr Magda Mielczarek Katedra Genetyki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Wprowadzenie do Pakietu R dla kierunku Zootechnika Dr Magda Mielczarek Katedra Genetyki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instalacja Pakietu R www.r-project.org wybór źródła wybór systemu operacyjnego:
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2 Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 Przykłady: Programy
Bardziej szczegółowoPakiety matematyczne. Matematyka Stosowana. dr inż. Krzysztof Burnecki
Pakiety matematyczne Matematyka Stosowana dr inż. Krzysztof Burnecki 22.05.2013 Wykład 12 Mathematica. Wprowadzenie Obliczenia w Mathematice Wolfram Alpha Slajdy powstały na podstawie strony www.mathematica.pl
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Ciągi liczbowe Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są ciągi? Ciąg skończony o wartościach w zbiorze A to dowolna funkcja f: 1,2,, n A Ciąg nieskończony o wartościach w zbiorze
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Bardziej szczegółowoMathematica - organizacja. czyli sztuka obliczeń symbolicznych. Możliwości. Mathematica do czego można ją użyć. Możliwości, cd. Mathematica publikacje
czyli sztuka obliczeń symbolicznych Mathematica - organizacja Dokument Mathematica zorganizowany jest w tzw. komórki. Ręczne zerowanie zmiennych Clear[variables] (* czyści wartości zmiennych*) x=. (* to
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoWykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0
Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II
Bardziej szczegółowozajęcia 2 Definiowanie wektorów:
zajęcia 2 Plan zajęć: definiowanie wektorów instrukcja warunkowa if wykresy Definiowanie wektorów: Co do definicji wektora: Koń jaki jest, każdy widzi Definiowanie wektora w Octave v1=[3,2,4] lub: v1=[3
Bardziej szczegółowoMaxima i Visual Basic w Excelu
12 marca 2013 Maxima - zapoznanie z programem Maxima to program - system algebry komputerowej. Podstawowa różnica w stosunku do klasycznych programów obliczeniowych jest możliwość wykonywania obliczeń
Bardziej szczegółowo= 1, = = + 1D, + 2D<,
'Przypadkowe bladzenie' jako przyklad prostego problemu, ktory moze byc pierwszym zadaniem, dla studiujacych 'Mathematica', zwiazanychm z rozwiazaniem 'rzeczywistego' problemu. Rozwazmy ruch jednowymiarowy
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2 Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 Przykłady: Programy
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE W OBLICZENIACH INŻYNIERSKICH
METODY KOMPUTEROWE W OBLICZENIACH INŻYNIERSKICH ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO PROGRAMU KOMPUTEROWEGO MATLAB Dr inż. Sergiusz Sienkowski ĆWICZENIE NR 1 Wprowadzenie do programu komputerowego Matlab 1.1.
Bardziej szczegółowoMathematica - podstawy
Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoFunkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska
Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.
Bardziej szczegółowoJAVAScript w dokumentach HTML (1)
JAVAScript w dokumentach HTML (1) JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania. Skrypty JavaScript mogą być zagnieżdżane w dokumentach HTML. Instrukcje JavaScript
Bardziej szczegółowoGNU Octave (w skrócie Octave) to rozbudowany program do analizy numerycznej.
1 GNU Octave GNU Octave (w skrócie Octave) to rozbudowany program do analizy numerycznej. Octave zapewnia: sporą bibliotęke użytecznych funkcji i algorytmów; możliwośc tworzenia przeróżnych wykresów; możliwość
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoKurs komputerowy S - Mathematica - cz. 3 Suma i iloczyn elementow ciagu NSum[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}], NProduct[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}]
OBLICZENIA NUMERYCZNE, Karolina Mikulska-Ruminska Kurs komputerowy S - Mathematica - cz. Suma i iloczyn elementow ciagu NSum[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}], NProduct[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}]? *Sum* System`
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych
TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE W OBLICZENIACH INŻYNIERSKICH
METODY KOMPUTEROWE W OBLICZENIACH INŻYNIERSKICH ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO PROGRAMU KOMPUTEROWEGO MATLAB Dr inż. Sergiusz Sienkowski ĆWICZENIE NR 1 Wprowadzenie do programu komputerowego Matlab 1.1.
Bardziej szczegółowoJAVAScript w dokumentach HTML (1) JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania.
IŚ ćw.8 JAVAScript w dokumentach HTML (1) JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania. Skrypty JavaScript są zagnieżdżane w dokumentach HTML. Skrypt JavaScript
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoWykład I. Programowanie. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej. c Copyright 2014 Janusz Słupik
Wykład I I Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Zaliczenie przedmiotu Na laboratorium można zdobyć 100 punktów. Do zaliczenia niezbędne jest
Bardziej szczegółowo(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
Bardziej szczegółowoPracownia Informatyczna Instytut Technologii Mechanicznej Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki. Podstawy Informatyki i algorytmizacji
Pracownia Informatyczna Instytut Technologii Mechanicznej Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Podstawy Informatyki i algorytmizacji wykład 1 dr inż. Maria Lachowicz Wprowadzenie Dlaczego arkusz
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoProgramowanie Delphi obliczenia, schematy blokowe
Informatyka II MPZI2 ćw.2 Programowanie Delphi obliczenia, schematy blokowe Zastosowania obliczeń numerycznych Wyrażenia arytmetyczne służą do zapisu wykonywania operacji obliczeniowych w trakcie przebiegu
Bardziej szczegółowo7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3: Wprowadzenie do programu Matlab
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium modelowania i symulacji Ćwiczenie 3: Wprowadzenie do programu Matlab 1. Wyznaczyć wartość sumy 1 1 2 + 1 3 1 4 + 1
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowowiczenia (z przyk adami i cz ciowymi rozwi zaniami)
wiczenia (z przyk adami i cz ciowymi rozwi zaniami) 1. Narysuj wykresy funkcji z x 2 y 2, z 2 x 2 y 9 w R 3. Narysuj linie x 1 2 t, y 1 2 t, z 2 t. Poka wszystkie wykresy na jednym obrazku. Rozwi zanie
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone to (uporządkowane) pary liczb rzeczywistych, dla których dodawanie i mnożenie jest określone wzorami:
Przytaczając definicję liczb zespolonych, wyznacznika, wypowiedź twierdzenia Cramera oraz Kroneckera-Capelliego, korzystałem z I tomu wykładów Prof. Andrzeja Staruszkiewicza dla fizyków: ALGEBRA I GEOMETRIA,
Bardziej szczegółowoŚrodowisko R wprowadzenie. Wykład R1; 14.05.07 Pakiety statystyczne
Środowisko R wprowadzenie. Wykład R1; 14.05.07 Pakiety statystyczne Pakiety statystyczne stosowane do analizy danych: SAS SPSS Statistica R S-PLUS 1 Środowisko R Język S- J. Chambers i in. (1984,1988)
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoLaboratorium 1b Operacje na macierzach oraz obliczenia symboliczne
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium Metod Numerycznych Laboratorium 1b Operacje na macierzach oraz obliczenia symboliczne 1 Zadania 1. Obliczyć numerycznie
Bardziej szczegółowoMatematyka kompendium 2
Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoMATLAB ŚRODOWISKO MATLABA OPIS, PODSTAWY
MATLAB ŚRODOWISKO MATLABA OPIS, PODSTAWY Poszukiwanie znaczeń funkcji i skryptów funkcja help >> help % wypisuje linki do wszystkich plików pomocy >> help plot % wypisuje pomoc dotyczą funkcji plot Znaczenie
Bardziej szczegółowoRekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoProste algorytmy w języku C
Proste algorytmy w języku C Michał Rad AGH Laboratorium Maszyn Elektrycznych 2016-12-01 Outline Język C Zadanie pierwsze - obliczanie miejsc zerowych wielomianu Zadanie drugie - znajdowanie największego
Bardziej szczegółowoPodstawy obsługi pakietu GNU octave.
Podstawy obsługi pakietu GNU octave. (wspomaganie obliczeń inżynierskich) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z obsługą pakietu GNU octave. W ćwiczeniu wprowadzono opis podstawowych komend
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Bardziej szczegółowoObliczenia Symboliczne
Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności trygonometryczne
Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie
Bardziej szczegółowoSymbole Numer Nazwa Opis Znaczenie Wygląd. Latin small "f" with hook (function, florin) Greek capital letter "alpha"
Symbole Numer Nazwa Opis Znaczenie Wygląd ƒ Litery greckie ƒ Latin small "f" with hook (function, florin) Łacińskie małe "f" z "haczykiem" (funkcja, floren) Α Α "alpha" Grecka wielka litera "alfa" Α Β
Bardziej szczegółowoWstęp do chemii kwantowej - laboratorium. Zadania
Wstęp do chemii kwantowej - laboratorium. Zadania 2 października 2012 1 Wstęp Używanie maximy jako kalkulatora Zadanie 1 1. Oblicz 2+2*2 2. Oblicz 18769 3. Oblicz 2 10 4. Oblicz 7/8 i 7.0/8.0 5. Oblicz
Bardziej szczegółowoRównania liniowe i nieliniowe
( ) Lech Sławik Podstawy Maximy 11 Równania.wxmx 1 / 8 Równania liniowe i nieliniowe 1 Symboliczne rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 1.1 solve -- Funkcja: solve() MENU: "Równania->Rozwiąż..."
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej
Bardziej szczegółowoFunkcją sinus kąta α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, i opisujemy jako:
1. Trygonometria 1.1Wprowadzenie Jednym z podstawowych działów matematyki który wykorzystywany jest w rozwiązywaniu problemów technicznych jest trygonometria. W szkole średniej wprowadzone zostały podstawowe
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoPlotki. Wstęp. Wybrane wbudowane funkcje graficzne:
Plotki Wstęp Wybrane wbudowane funkcje graficzne: funkcja Plot@y, 8x, x min, x max
Bardziej szczegółowoTrigonometria. Funkcje trygonometryczne
1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych
Bardziej szczegółowoWidoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach?
Część XVIII C++ Funkcje Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach? Umiemy już podzielić nasz
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoLeonhard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei zm. 18 września 1783 w Petersburgu uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii
Leonhard Euler Leonhard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei zm. 18 września 1783 w Petersburgu uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii Dzieciństwo i młodość przeprowadzka
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do MS Excel
Wprowadzenie do MS Excel Czym jest Excel? Excel jest programem umożliwiającym tworzenie tabel, a także obliczanie i analizowanie danych. Należy do typu programów nazywanych arkuszami kalkulacyjnymi. W
Bardziej szczegółowoScilab - podstawy. Wersje instalacyjne programu Scilab mogą zostać pobrane ze strony
Scilab - podstawy Scilab jest środowiskiem numerycznym, programistycznym i numerycznym dostępnym za darmo z INRIA (Institut Nationale de Recherche en Informatique et Automatique). Jest programem podobnym
Bardziej szczegółowoSzeregFouriera-Legendre a
SzeregFouriera-Legendre a Szereg Fouriera-Legendre a : n=0 P n (t) f n Współczynniki f n = Pn (t) f (t) dt - Pn (t) 2 dt - = 2 n + Pn 2 - (t) f (t) dt Pn - (t) 2 dt = 2 2 n + Zadanie Policz kwadrat normy
Bardziej szczegółowo