wiczenia (z przyk adami i cz ciowymi rozwi zaniami)

Transkrypt

1 wiczenia (z przyk adami i cz ciowymi rozwi zaniami) 1. Narysuj wykresy funkcji z x 2 y 2, z 2 x 2 y 9 w R 3. Narysuj linie x 1 2 t, y 1 2 t, z 2 t. Poka wszystkie wykresy na jednym obrazku. Rozwi zanie Plot3Dx 2 y 2, 2 x 2 y 9, x, 1, 1, y, 1, ParametricPlot3D1 2 t, 1 2 t, 2 t, t, 1,

2 2 Zadania1.nb Show, Sprawd nast puj ce twierdzenie: niech det A b dzie wyznacznikiem nn macierzy A (n ustalone). Oznaczmy przez det Aj, k wyznacznik macierzy otrzymanej przez usuni cie j-tego szeregu i k- tej kolumny z macierzy A. Podobnie, mo emy usun dalsze szeregi i kolumny. Sprawd identyczno det A det Ai, j, k, l det. Zobacz poni szy przyk ad dla n 5, det Ai, j det Ai, l det Ak, j det Ak, l i, j, k, l 1, 2, 4, 5. Zilustruj to twierdzenie przy pomocy Manipulate daj c u ytnikowi wybór któr kolumn lub szereg usun. Przyk ad Tableai, j, i, 1, 5, j, 1, 5 MatrixForm a1, 1 a1, 2 a1, 3 a1, 4 a1, 5 a2, 1 a2, 2 a2, 3 a2, 4 a2, 5 a3, 1 a3, 2 a3, 3 a3, 4 a3, 5 a4, 1 a4, 2 a4, 3 a4, 4 a4, 5 a5, 1 a5, 2 a5, 3 a5, 4 a5, 5 A Det a1, 1 a1, 2 a1, 3 a1, 4 a1, 5 a2, 1 a2, 2 a2, 3 a2, 4 a2, 5 a3, 1 a3, 2 a3, 3 a3, 4 a3, 5 a4, 1 a4, 2 a4, 3 a4, 4 a4, 5 a5, 1 a5, 2 a5, 3 a5, 4 a5, 5 A45 Det A12 Det a1, 1 a1, 2 a1, 3 a1, 4 a2, 1 a2, 2 a2, 3 a2, 4 a3, 1 a3, 2 a3, 3 a3, 4 a5, 1 a5, 2 a5, 3 a5, 4 a2, 1 a2, 3 a2, 4 a2, 5 a3, 1 a3, 3 a3, 4 a3, 5 a4, 1 a4, 3 a4, 4 a4, 5 a5, 1 a5, 3 a5, 4 a5, 5

3 Zadania1.nb 3 A1245 Det a2, 1 a2, 3 a2, 4 a3, 1 a3, 3 a3, 4 a5, 1 a5, 3 a5, 4 A15 Det A42 Det a2, 1 a2, 2 a2, 3 a2, 4 a3, 1 a3, 2 a3, 3 a3, 4 a4, 1 a4, 2 a4, 3 a4, 4 a5, 1 a5, 2 a5, 3 a5, 4 a1, 1 a1, 3 a1, 4 a1, 5 a2, 1 a2, 3 a2, 4 a2, 5 a3, 1 a3, 3 a3, 4 a3, 5 a5, 1 a5, 3 a5, 4 a5, 5 A A1245 DetA12, A15, A42, A45 Together 3. Przeczytaj o twierdzeniu Sturma ( i implementuj algorytm który znajduje ilo ró nych rzeczywistych pierwiastków wielomianu bez podwójnych pierwiastków. Przyk ad Nast puj cy wielomian ma dwa rzeczywiste pierwiastki x 4 x 3 x 1 Factor 1 x 1 x 1 x x 2 Typowe podej cie do programowania funkcyjnego sk ada si z implimentacji algorytmu krok po kroku poczym po czeniu pojedy czych kroków w jedn funkcj Definiujemy wielomian qx_ : x 4 x 3 x 1 Sprawdzamy e wielomian nie ma podwójnych pierwiastków: Discriminantqx, x True p qx 1 x x 3 x 4 p1 Dp, x 1 3 x 2 4 x 3 PolynomialRemainderp, p1, x x 3 x2 4 16

4 4 Zadania1.nb p2 PolynomialRemainderp, p1, x Simplify x x2 p3 PolynomialRemainderp1, p2, x Simplify 32 2 x p4 PolynomialRemainderp2, p3, x Simplify 3 16 p5 PolynomialRemainderp3, p4, x Simplify L czymy wszystko w jedn funkcj. Tu wygodnie jest u y funkcji NestWhileList:? NestWhileList NestWhileList f, expr, test generates a list of the results of applying f repeatedly, starting with expr, and continuing until applying test to the result no longer yields True. NestWhileList f, expr, test, m supplies the most recent m results as arguments for test at each step. NestWhileList f, expr, test, All supplies all results so far as arguments for test at each step. NestWhileList f, expr, test, m, max applies f at most max times. SturmSequencef_, x_ ; PolynomialQf, x && Discriminantf, x : PrependNestWhileList2, PolynomialRemainder1, 2, x &, f, Df, x, FreeQLast, x &All, 2, f ss SturmSequenceqx, x 1 x x 3 x 4, 1 3 x 2 4 x 3, x 3 x2 4 16, x, 3 16 Czo owe wspó czynniki a cucha Sturma: CoefficientList, x1 & ss FullSimplify 1, 4, 3 16, 32, 3 16 To samo po zast pineniu x x: CoefficientList, x1 & ss. x x FullSimplify 1, 4, 3 16, 32, 3 16 Inne po yteczne funkcje Sprawdzamy dla jakich parametrów a wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych. ResolveForAllx, Elementx, Reals, a 8 x a x 3 x 4, Reals False Sprawdzamy dla jakich parametrów a wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.

5 Zadania1.nb 5 ResolveForAllx, Elementx, Reals, a 8 x a x 3 x 4, Reals a 4 Czyli dla a 4 wielomian jest nie ujemny i ma pierwiaski rzeczywiste. Sprawd my ile ich ma: CountRootsa 8 x a x 3 x 4. a 4, x 4 Plota 8 x a x 3 x 4. a 4, x, 3, Niech Q[x] b dzie wielomianem stopnia n. Znajd warto ci charakterystyczne macierzy s s1 s2 s3 sn s1 s2 s3 s4 sn 1 s2 s3 s4 s5 sn 2 s3 s4 s5 s6 sn 3 sn sn 1 sn 2 sn 3 s2 n o wymiarach n 1 n 1 gdzie sk s ladami iloczynów macierzy C k 1 C 1 C 1 i s n. Macierz C 1 o wymiarach nn jest dana przez do czenie wspó czynników wielomianu znakiem minus do ostatniego szeregu a reszta macierzy jest okre lona przez warunek e jedyne nie zerowe elementy s rowne 1 i znajduj si w pozycjach i, i Znajd sygnatur macierzy S (liczb dodatnich i ujemnych warto ci w asnych). Zauwa e poniewa macierz jest symnetryczna, jej warto ci w asne s rzeczywiste. Przyk ad. Clearq, s, ss qx : 2 8 x 3 x 3 x 4 l1 Insert,, 1 & IdentityMatrix3, 1,,,,, 1,,,,, 1

6 6 Zadania1.nb l2 MostCoefficientListQx, x 2, 8,, 3 C1 Appendl1, l2 TraditionalForm s1 TrC1 3 ss1 C1, 1,,,,, 1,,,,, 1, 2, 8,, 3 ssk_? 1 & : C1.ssk 1 s 4; sk_? & : Trssk ss2,, 1,,,,, 1, 2, 8,, 3, 6, 26, 8, 9 s2 Simplify 9 mm Maps, TableRangei, i 3, i,, 3, 2 TraditionalForm Eigenvaluesmm N , , , Równania ró niczkowe zwyczajne [1]. 1. Narysuj portret fazowy Rozwi zanie. v NDSolvex't xt yt, y't xt, x 1, y, xt, yt, t,, 1 xt InterpolatingFunction., 1., t, yt InterpolatingFunction., 1., t

7 Zadania1.nb 7 ParametricPlotEvaluatext, yt. v, t,, 1, PlotRange All, PlotPoints Narysuj pole wektorowe i krzywe fazowe dla uk adu RRZ 2 go rz du

8 8 Zadania1.nb Solution. p1 VectorPloty, x, x, 2, 2, y, 2, 2, PlotRange All odex_, y_ : NDSolve x't yt, y't xt, x x, y y, xt, yt, t, 2, 2 soli_ : ode.22 i,.2 i p2 ParametricPlotEvaluateTablext, yt. soli, i, 1, 6, t,, 2, AxesLabel "x", "y" x

9 Zadania1.nb 9 Showp1, p Geometria ró niczkowa [2]. 1. Obliczy parametr ukowy krzywej w R 3. Rozwi zanie. arclengthα_list, t_ : IntegrateSqrtSimplifyDΑ, t.dα, t, t arclength2 Cost, 2 Sint, 1, t 2 t 2. Narysuj kilka stycznych do okr gu Rozwi zanie. tangentlineα_list, s_, t_ : LineΑ, Α s DΑ, t SqrtFactorDΑ, t.dα, t tt tangentlinecost, Sint, 1, t LineCost, Sint, Cost Sint Cost 2 Sint 2, Sint Cost Cost 2 Sint 2

10 1 Zadania1.nb ShowGraphicsAbsoluteThickness1, EvaluateTablett, t,, 2 Π, Π Narysuj krzyw p ask sparametryzowan parametrem ukowym z zadan krzywizn Κ. Wskazówka: rozwi uk ad RRZ x'[s] Cos[Θ[s]], y'[s] Sin[Θ[s]], Θ'[s] Κ. Rozwi zanie. curveκ_, s_, a_:, c_:, d_:, theta_:, smin_: 1, smax_: 1 : Flattenxs, ys. NDSolvex's CosΘs, y's SinΘs, Θ's Κ, xa c, ya d, Θa theta, xs, ys, Θs, s, smin, smax curves Sins, s,,,,, 18, 18 InterpolatingFunction18., 18., s, InterpolatingFunction18., 18., s

11 Zadania1.nb 11 ParametricPlotEvaluate, s, 18, 18, AspectRatio Automatic Obliczy krzywizn redni oraz Gaussa krzywej w R Narysuj obrazy rzutu stereograficznego punktów z R 2 (lub p aszczyzny zespo onej C) na sferze Riemanna ( 8. Zaimplementuj metod Frobeniusa dla RRZ ( mathworld.wolfram.com/frobeniusmethod.html). 9. Zaimplemenuj hipotez ABC ( Literatura. 1 S. Lynch, Dynamical Systems with Applications using Mathematica, Birkhäuser, Basel, 27, XV, 484 p. [2] A. Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, CRC Press

12 12 Zadania1.nb LLC, Pliki Mathematica mo na pobra ze strony