1. Przyrost addytywny i multiplikatywny

Transkrypt

1 Tadeusz Janaszak QUOTUS I RÓŻNICZKA Nazw różniczka użwa się często zarówno w matematce teoretcznej, jak i jej zastosowaniach. Termin rachunek różniczkow i całkow jest snonimem terminu analiza matematczna. Trudności zacznają się pojawiać, gd zaptam: co to jest różniczka? Odpowiedzi pada zazwczaj kilka, ale niełatwo w sposób jednoznaczn ustalić obowiązującą deinicję tego obiektu, oznaczanego zazwczaj smbolem d lub d. Ponad wszelką wątpliwość nazwa różniczka wwodzi się od terminu różnica, któr oznacza zarówno działanie odejmowania, jak i wnik takiego działania. Skoro zatem nie ma powszechnej zgod co do tego, cz różnica to działanie odwrotne do działania dodawania, a więc unkcja dwuargumentowa, cz też wnik tego działania na parze argumentów, a więc liczba, trudno się spodziewać, że terminowi różniczka będzie odpowiadać jeden dokładnie spreczowan obiekt matematczn. Z całą pewnością można ustalić, że zarówno smbole d i d, jak i nazwa różniczki w wielu europejskich jęzkach wwodzą się od łacińskiego terminu dierentia różnica. W niniejszej prac nie zamierzam rozwikłać talmudcznego zagadnienia czm jest, a czm nie jest różniczka, lecz opierając się na tradcjnm znaczeniu tego terminu rozwinąć je tak, ab dotczło nie tlko działania odejmowania, które jest odwrotne do dodawania, lecz również działania dzielenia, które jest odwrotne do mnożenia. Na podobieństwo różniczki wprowadzim smbol q, któr będziem nazwać quotus *, co po łacinie oznacza iloraz. 1. Przrost addtwn i multiplikatwn Załóżm, że dana jest liczba rzeczwista. Wartości tej nadajem przrost. Można to ucznić na dwa sposob: addtwn przez dodanie do niej liczb d należącej do otoczenia zera, lub multiplikatwn przez pomnożenie * Cztaj: kwotus.

2 42 Tadeusz Janaszak jej przez liczbę q należącą do otoczenia jednki. Można również przjąć, że smbol d przebiega addtwną grupę liczb rzeczwistch, a smbol q multiplikatwną grupę liczb rzeczwistch dodatnich. Zauważm, że zero jest neutralnm elementem dodawania, a jednka neutralnm elementem mnożenia. Stąd wnika, że + d = dla d równego zero oraz q = dla q równego jeden. W matematce teoretcznej rozpatruje się na ogół liczb niemianowane. W dscplinach, które stosują metod matematki, liczb oznaczają pewne wielkości, badane na terenie danej dscplin, i prawie zawsze obdarzone są mianem, a zatem, jeśli wielkość ma pewne miano, to przrost addtwn d ma to samo miano co wielkość, a w razie, gd zmiennej mianowanej nadajem przrost multiplikatwn q, wówczas przrost ten jest liczbą niemianowaną; tak więc wielkości + d oraz q mają identczne miano ze zmienną. Załóżm, że przrost multiplikatwn q i addtwn d został tak dobrane, że zachodzi równość: Stąd otrzmujem równości: oraz: + d = q (1) ( 1) d = q (2) d q = 1 + (3) d Wielkość jest liczbą niemianowaną. Pomnożona przez 1% zskuje miano (procent). Mówi się wówczas o procentowm przroście prz podstawie. Przrost multiplikatwn q nazwa się czasem krotnością wielkości. Nazwa krotność jest zrozumiała w jęzku potocznm, jeśli przrost multiplikatwn q jest liczbą całkowitą *. W wpadku, gd przrost ten jest liczbą ułamkową, niewiele różniącą się od jednki, wówczas wrażenie krotność jest mało zrozumiałe. Wgodniej wted mówić o przroście multiplikatwnm w ujęciu procentowm **. Prz stosowaniu odcztu procentowego użwa się terminologii addtwnej ***, jednakże chodzi o przrost multiplikatwn. * Jeśli q = 2,3,4,..., to mówim, że wielkość została powiększona 2-krotnie, 3-krotnie, 4-krotnie itd. ** Jeśli q = 1,2, to mówim o 2% wzroście, a gd q =,8, mówim o 2% spadku. Odcztwanie przrostu multiplikatwnego za pomocą procentów jest często nadużwane. Zamiast mówić np. o wzroście 4-krotnm, mówi się czasami o wzroście 3%, co jest mało zrozumiałe. Popełnia się tu często błąd i wzrost 4-krotn oddaje się wrażeniem: wielkość wzrosła o 4%, co jest oczwiście wzrostem 5-krotnm. *** Mówi się: wielkość wzrosła o 2%.

3 QUOTUS I RÓŻNICZKA Asmptotka przrostów Równości (2) i (3) możem traktować jako unkcje. Wzór (2) wraża zmienną d jako unkcję zmiennej q, a wzór (3) unkcję do niej odwrotną, gdzie zmienna q jest unkcją zmiennej d. W obu wpadkach zmienną traktujem jako parametr. Rozważm parę wzajemnie odwrotnch unkcji: ( q) d = ln (4) oraz: d q = ep (5) Z analiz matematcznej wnika, że unkcje (2) i (4) są stczne dla zmiennej q równej jeden, a unkcje (3) i (5) są stczne dla zmiennej d równej zero. Fakt ten można zapisać za pomocą równości przbliżonch: ( q 1) ln( q) (6) oraz: d d 1 + ep (7) Równości asmptotczne (6) i (7) zapisują się jako równości dokładne z użciem reszt, a mianowicie: ( q ) = ln( q) + λ( q) 1 (8) d d * 1+ = ep ω( d) (9) Reszta wstępująca we wzorze (8) jest równa różnic wrażeń wstępującch po prawej stronie wzorów (2) i (4), a reszta ze wzoru (9) jest ilorazem prawch stron wzorów (3) i (5). Reszta λ ( q) zmierza do zera wraz z logartmem naturalnm zmiennej q, a logartm naturaln reszt ω ( d) zmierza do zera wraz ze zmienną d (szerzej zob. Janaszak, 23). Przrost multiplikatwn q można zastąpić w przbliżeniu przrostem addtwnm d, prz czm oba przrost są związane wzorem (4); na odwrót: przrost addtwn d zastępuje się w sposób przbliżon przrostem multiplikatwnm za pomocą * Tradcjnie resztę zapisuje się prz użciu działania dodawania, jednakże można ją również zapisać w postaci mnożenia. Na możliwość taką wskazał pro. A Smoluk podczas dskusji z autorem.

4 44 Tadeusz Janaszak wzoru (5). Można postawić ptanie: dlaczego dla równości asmptotcznch wbrano unkcję logartmiczną wzór (4) i wkładniczą wzór (5)? Odpowiedź jest prosta. Funkcja logartmiczna zamienia iloczn na sumę, a unkcja wkładnicza odwrotnie sumę na iloczn. W jęzku algebr mówi się, że logartm i unkcja wkładnicza są wzajemnie odwrotnmi homomorizmami grup multiplikatwnej i addtwnej zbioru liczb rzeczwistch. 3. Zależność unkcjna zmiennch Załóżm, że mam dwie zmienne i połączone ze sobą zależnością unkcjną = ( ). Znowu możem powtórzć uwagi o mianach przsługującch obu zmiennm na terenie dscplin wkorzstującch matematkę do swoich celów badawczch. Zwkle zmienna niezależna ma inne miano niż zmienna zależna. Zmienna może np. oznaczać czas, a zmienna wolumen produkcji w odcinku czasu mierzonego od momentu zero do momentu. Iloraz / oznacza wówczas średnią intenswność produkcji w danm odcinku czasu, natomiast iloraz d/d intenswność produkcji w momencie. Jeśli zmienna nie oznacza wolumenu produkcji, lecz jej intenswność w momencie, to iloczn d oznacza wolumen produkcji w odcinku czasu zacznającm się w momencie i kończącm się w momencie +d. W matematcznch rozważaniach miana przsługujące zmiennm na ogół się pomija. Nadajm zmiennej niezależnej przrost addtwn d. Addtwn przrost zmiennej zależnej wrazi się wówczas różnicą: ( d) ( ) + (1) Przrost multiplikatwn zmiennej zależnej wraża się ilorazem: ( d) ( ) + (11) Jeśli zmiennej niezależnej nadam przrost multiplikatwn q, to przrost addtwn zmiennej zależnej wrazi się różnicą: a przrost multiplikatwn ilorazem: ( q) ( ) (12) ( q) ( ) (13)

5 QUOTUS I RÓŻNICZKA Części główne przrostów unkcji Klasczn rachunek różniczkow polega na lokalnm wodrębnieniu głównej części d przrostu addtwnego zmiennej objaśnianej * w zależności od przrostu addtwnego d zmiennej objaśniającej. Przez część główną rozumie się unkcję liniową ** daną wzorem: d = a d (14) stczną w punkcie do unkcji zmiennej d danej wzorem (1). Współcznnik a, wstępując we wzorze (14), nazwa się pochodną unkcji w punkcie, czli jest a = ( ). W klascznej analizie matematcznej stczność przrostu (1) i jego część główną (14) zapisuje się z użciem reszt o-małe: ( d) ( ) = a d o( d) + + (15) Zgodnie ze wzorem (4), wstawm do równości (14) w miejsce zmiennej d wrażenie ln(q). Otrzmujem powiązanie unkcjne: czli: gdzie a b =. ( q) = a d ln (16) ( b d) q = ep (17) W miejsce zmiennej d wstawiam do wzoru (14) prawą stronę równości (4). Dostajem unkcję: gdzie c = a. ( q) d = c ln (18) Dokonując operacji, które prowadzą do wzorów (16) i (18), po obu stronach równości (14) dostajem jednocześnie zależność unkcjną: ( q) = a ln( q) ln (19) * Termin zmienna objaśniana traktujem jako snonim terminu zmienna zależna, a termin zmienna objaśniająca jako snonim terminu zmienna niezależna. ** Ponieważ w dalszej części pojawią się części główne wrażane unkcjami wkładniczmi, logartmicznmi i potęgowmi, unkcję (14) będziem w tm opracowaniu nazwać liniową częścią główną.

6 46 Tadeusz Janaszak czli: gdzie a w =. w q = q (2) Konstrukcję analogiczną do klascznej można przeprowadzić dla przrostów głównch danch wzorami (11), (12) i (13). Część główna q przrostu multiplikatwnego zmiennej objaśnianej obliczana w zależności od przrostu addtwnego d zmiennej objaśniającej, danego wzorem (11), wraża się unkcją wkładniczą (17). Warunek stczności przrostu (11) i jego wkładniczej części głównej (17) zapiszem z użciem reszt ω -mała: ( + d) ( ) ( b d) ω( d) = ep (21) Współcznnik b wstępując we wzorze (21) jest nazwan w literaturze ekonomicznej pochodną logartmiczną unkcji w punkcie. Nazwa pochodna logartmiczna wzięła się stąd, że współcznnik b jest równ ilorazowi pochodnej danej unkcji ( ) i jej wartości ( ) ( ) ( ), czli b =, a to wrażenie jest z kolei równe pochodnej logartmu rozpatrwanej unkcji: ( ( )) ( ) ln =. Analiza znaczenia współcznnika b prowadzi do wniosku, ( ) że stosowniejszą błab nazwa pochodna wkładnicza, gdż liczba ta jest współcznnikiem wznaczającm stczną wkładniczą dla danej unkcji (por. Janaszak, 23). Część główna d przrostu addtwnego zmiennej objaśnianej obliczana w zależności od przrostu multiplikatwnego q zmiennej objaśniającej, danego wzorem (12), wraża się unkcją logartmiczną (18). Warunek stczności przrostu (12) i jego logartmicznej części głównej (18) zapiszem z użciem reszt λ-mała: ( q) ( ) = c ( q) + λ( q) ln (22) Współcznnik c wznacza unkcję logartmiczną stczną do rozpatrwanej unkcji. Powinien zatem nosić nazwę pochodnej logartmicznej. Ponieważ nazwa ta już przjęła się dla współcznnika b, współcznnik c nazwa- c =. m pochodną λ-logartmiczną. Zachodzi zatem równość ( )

7 QUOTUS I RÓŻNICZKA 47 Potęgową częścią główną q przrostu multiplikatwnego zmiennej objaśnianej liczonej w zależności od przrostu multiplikatwnego zmiennej objaśniającej, danego wzorem (13), jest unkcja potęgowa (2). Przrost (13) unkcji i jego potęgowa część główna są stczne, a warunek stczności jest dan przez resztę π-małe. ( q) ( ) = q w π Współcznnik w jest równ ( ) nazwę elastczności. ( q) 5. Reszt wznaczające stczność (23) i w literaturze ekonomicznej nosi W deinicjach stczności posłużliśm się smbolami o-małe, ω -mała, λ-mała i π-małe. Smbole te oznaczają klas unkcji o określonch własnościach. Wgodnie jest jednak operować tmi smbolami jako unkcjami, którch wartości nie są dokładnie znane, lecz znana jest ich asmptotka. W klascznej analizie powszechnie znan jest pierwsz z tch smboli. Trz pozostałe został opisane w prac Janaszaka (23). Ab ułatwić śledzenie treści opracowania, zapiszem własności wszstkich czterech smboli: (pierwsz zestaw wzorów własności smboli określającch stczność): ( d) o lim =, d ( d) lnω lim =, d ( q) ( q) π ( q) ( q) λ lim ln =, ln lim ln =. Granice są obliczane dla zmiennej d dążącej do zera * i zmiennej q dążącej do jednki **. * Zero jest elementem neutralnm grup multiplikatwnej. ** Jednka jest elementem neutralnm grup multiplikatwnej.

8 48 Tadeusz Janaszak 6. Zależności międz częściami głównmi We wzorach (15), (21), (22) i (23) wodrębniliśm części główne przrostów unkcji; są nimi odpowiednio: część liniowa zależna od współcznnika a, część wkładnicza zależna od współcznnika b, część logartmiczna wznaczona przez współcznnik c oraz część potęgowa zależna od współcznnika w. Współcznniki a, b, c i w są liczbami rzeczwistmi. W prac Janaszaka (23) wkazano, że możliwość wodrębnienia jednej z czterech części głównch implikuje możliwość wodrębnienia trzech pozostałch (drugi zestaw wzorów zależności międz współcznnikami części głównch przrostów unkcji): a = a, a = b, 1 a = c, a = w, a b =, b = b, 1 w b = c, b =, c = a, c = b, c = c, c = w, w = a, w = b, 1 w = c, w = w. Części główne są homomorizmami ciągłmi grup addtwnej i multiplikatwnej zbioru liczb rzeczwistch. 7. Aproksmacja unkcji za pomocą części głównch przrostów Wbierając w pierwszej ćwiartce układu współrzędnch punkt (, ) i przjmując równość = ( ) możem dotchczasowe rozważania ująć w następując sposób (trzeci zestaw wzorów aproksmacja unkcji za pomocą głównch części przrostów):

9 QUOTUS I RÓŻNICZKA 49 d a d =, skąd ( d) d +, q ( b d) = ep, skąd ( + d) q, d = c ln( q), skąd ( q) d, q = ( q) w, skąd ( q) q, prz czm znak przbliżonej równości oznacza stczność. Równania homomorizmów ciągłch grup addtwnej i multiplikatwnej zbioru liczb rzeczwistch, wstępujące po lewej stronie zestawu trzeciego, można przedstawić w wjściowm układzie współrzędnch (czwart zestaw wzorów równania części głównch w wjściowm układzie współrzędnch): = a ( ), czli + a ( ) =, = ep( b( )), czli ( b( )) = ep, = c ln, czli = + c ln, = w, czli = w. Na czterech kolejnch rsunkach przedstawim aproksmacje unkcji za pomocą części głównch ich przrostów, czli za pomocą ciągłch homomorizmów grup addtwnej i multiplikatwnej zbioru liczb rzeczwistch. Zaczniem od przpadku klascznego homomorizmu ciągłego grup addtwnej w siebie.

10 5 Tadeusz Janaszak d d Rs. 1. Aproksmacja procesu za pomocą unkcji liniowej Linia ciągła na rs. 1 przedstawia wkres procesu *, a linia przerwana stczną liniową do tego procesu w wbranm punkcie. Pierwsz wzór zestawu czwartego przedstawia równanie linii prostej w układzie współrzędnch: odcięta, rzędna. Pierwsz wzór zestawu trzeciego (kolumna lewa) przedstawia równanie tej linii w układzie współrzędnch: odcięta d, rzędna d. Liczb d i d przebiegają addtwną grupę liczb rzeczwistch. Początek układu współrzędnch: odcięta d, rzędna d, znajduje się w punkcie o współrzędnch: odcięta zero, rzędna zero, gdż liczba zero jest elementem neutralnm działania dodawania. Na osi d jednostka jest taka sama, jak na osi, a na osi d jednostka jest taka sama, jak na osi. Linia przerwana w układzie współrzędnch, jest wkresem unkcji liniowej, natomiast w układzie współrzędnch d, d jest wkresem homomorizmu liniowego **. * Termin proces jest utożsamiam z terminem unkcja. ** Funkcja liniowa jest sumą stałej i homomorizmu liniowego.

11 QUOTUS I RÓŻNICZKA 51 q d Rs. 2. Aproksmacja procesu za pomocą unkcji wkładniczej Linią ciągłą przedstawiono na rs. 2 wkres procesu, linia przerwana. Drugi wzór jest stczną wkładniczą do tego procesu w punkcie ( ), zestawu czwartego przedstawia równanie stcznej wkładniczej w układzie współrzędnch: odcięta, rzędna. Drugi wzór zestawu trzeciego (kolumna lewa) przedstawia równanie linii wkładniczej w układzie współrzędnch: odcięta d, rzędna q. Smbol d przebiega addtwną grupę liczb rzeczwistch, natomiast smbol q przebiega multiplikatwną grupę liczb rzeczwistch. Początek układu współrzędnch: odcięta d, rzędna q, znajduje się w punkcie o współrzędnch: odcięta zero, rzędna jeden, gdż liczba zero jest elementem neutralnm działania dodawania, a liczba jeden jest elementem neutralnm działania mnożenia. Na osi d jednostka jest taka sama, jak na osi. Jednostkę na osi q stanowi odcinek o długości. Linia przerwana w układzie współrzędnch, jest wkresem unkcji wkładniczej, natomiast w układzie współrzędnch q, d jest wkresem homomorizmu wkładniczego *. * Funkcja wkładnicza jest ilocznem stałej dodatniej i homomorizmu wkładniczego.

12 52 Tadeusz Janaszak d q Rs. 3. Aproksmacja procesu za pomocą unkcji logartmicznej Na rs. 3 za pomocą linii ciągłej zaznaczono wkres procesu ekonomicz-, przed- nego. Stczną logartmiczną do tego procesu, w punkcie ( ), stawiono jako linię przerwaną. Trzeci wzór zestawu czwartego przedstawia równanie stcznej logartmicznej w układzie współrzędnch: odcięta, rzędna. Trzeci wzór zestawu trzeciego (kolumna lewa) przedstawia równanie linii logartmicznej w układzie współrzędnch: odcięta q, rzędna d. Smbol q przebiega multiplikatwną grupę liczb rzeczwistch, a smbol d addtwną grupę liczb rzeczwistch. Początek układu współrzędnch: odcięta q, rzędna d, znajduje się w punkcie o współrzędnch: odcięta jeden, rzędna zero, gdż liczba jeden jest elementem neutralnm działania mnożenia, a liczba zero jest elementem neutralnm działania dodawania. Jednostkę na osi q stanowi odcinek o długości. Na osi d jednostka jest taka sama, jak na osi. Linia przerwana w układzie współrzędnch, jest wkresem unkcji logartmicznej, natomiast w układzie współrzędnch d, q jest wkresem homomorizmu logartmicznego *. * Funkcja logartmiczna jest sumą stałej i homomorizmu logartmicznego.

13 QUOTUS I RÓŻNICZKA 53 q q Rs. 4. Aproksmacja procesu ekonomicznego za pomocą unkcji potęgowej procesu, w punkcie ( ), Linia ciągła na rs. 4 obrazuje wkres procesu. Stczną potęgową do tego, zaznaczono linią przerwaną. Czwart wzór zestawu czwartego przedstawia równanie stcznej potęgowej w wjściowm układzie współrzędnch: odcięta, rzędna. Czwart wzór zestawu trzeciego (kolumna lewa) przedstawia równanie linii potęgowej w układzie współrzędnch: odcięta q, rzędna q. Smbole q i q przebiegają multiplikatwną grupę liczb rzeczwistch. Początek układu współrzędnch: odcięta q, rzędna q, znajduje się w punkcie o współrzędnch: odcięta jeden, rzędna jeden, gdż liczba jeden jest elementem neutralnm działania mnożenia. Jednostkę na osi q stanowi odcinek o długości, a na osi q odcinek o długości. Linia przerwana w układzie współrzędnch, jest wkresem unkcji potęgowej, natomiast w układzie współrzędnch q, q jest wkresem homomorizmu potęgowego *. * Funkcja potęgowa jest ilocznem stałej dodatniej i homomorizmu potęgowego.

14 54 Tadeusz Janaszak 8. Stałe zależności Funkcje liniowe zamieniają ciągi artmetczne w dziedzinie na ciągi artmetczne w przeciwdziedzinie. Funkcje wkładnicze przporządkowują ciągom artmetcznm ciągi geometrczne. Z odwrotną stuacją mam do cznienia w przpadku unkcji logartmicznch. Zamieniają one ciągi geometrczne na artmetczne. Wreszcie unkcje potęgowe przporządkowują ciągom geometrcznm ciągi geometrczne. Wszstkie czter klas unkcji, które będziem na użtek opracowania nazwać unkcjami podstawowmi, zachowują się w sposób przewidwaln. Lokalnie są homomorizmami. Stąd też unkcje te nadają się do lokalnej aproksmacji procesów, które oczwiście nie muszą mieć stałego charakteru, lecz lokalnie procesom można przpiswać własności ich części głównch. Wnika to z zasad stczności procesu i jego części głównej. Zabieg taki stosuje się prz użwaniu takich pojęć, jak: tempo wzrostu, stopa procentowa, stopa zwrotu, tempo inlacji, elastczność podaż i poptu, przchód marginaln, koszt marginaln, marginalna stopa substtucji itp. W lewej kolumnie trzeciego zestawu wzorów zebrano zależności różniczki i quotusa. Klascznie różniczką nazwa się pierwsz homomorizm tego zestawu będąc liniową częścią główną. Wraża on powiązanie międz addtwnmi przrostami zmiennej objaśniającej i objaśnianej. Jeśli dopuścim przrost multiplikatwne i lokalnie nie będziem chcieli zastępować ich przrostami addtwnmi, dojdziem do wodrębnienia pozostałch trzech części głównch: wkładniczej, logartmicznej i potęgowej. Opierając się na dowolnej z tch klas unkcji można skonstruować pojęcia rachunku różniczkowego, analogiczne do konstrukcji klascznej opartej o unkcje liniowe. Część główną daną wzorem (14) nazwa się wmiennie różniczką, względnie pochodną. Pozostałe trz części główne nazwane są również pochodnmi (Janaszak, 23). Część główna dana zależnościami (17) i (21) to pochodna wkładnicza. Wzor (18) i (22) dają pochodną λ-logartmiczną *, a wzor (2) i (23) pochodną π-potęgową. Próbę konstrukcji pojęć rachunku różniczkowego i całkowego za pomocą unkcji wkładniczch podjął Jaśkiewicz (1965) **. * Nazwa pochodna logartmiczna ma już ugruntowane znaczenie. ** Autor dowiedział się z rozmow ze śp. rektorem A. Baborskim, że podczas obron prac G. Jaśkiewicza w czasie dskusji jeden z jej uczestników zauważł, iż podobna próba bła podjęta przez C.F. Gaussa.

15 QUOTUS I RÓŻNICZKA 55 Literatura Begg D., Dornbusch R., Fischer S.: Ekonomia. Mikroekonomia. PWE, Warszawa 2. Cartan H.: Calcul dierentiel Formes dierentieles. Herman, Paris Fichtenholz G.M.: Rachunek różniczkow i całkow. PWN, Warszawa Forlicz S., Jasiński M.: Mikroekonomia. Wdawnictwo Wższej Szkoł Bankowej, Poznań 2. Janaszak T.: Pochodna wkładnicza w matematce inansowej. Ekonometria 5. AE, Wrocław 2a. Janaszak T.: Topologie lejków. Ddaktka Matematki 1. AE, Wrocław 2b. Janaszak T.: Uwagi o unkcjach stcznch. Ekonomia Matematczna 5. AE, Wrocław 21. Janaszak T.: Równoległ rachunek różniczkow w badaniach ekonomicznch. AE, Wrocław 23. Jaśkiewicz G.: Metoda odwzorowań liniowch w analizie układów nieliniowch. Praca doktorska na Politechnice Wrocławskiej, Wrocław Klimczak B.: Mikroekonomia. AE, Wrocław Kuratowski K.: Rachunek różniczkow i całkow. Funkcje jednej zmiennej. PWN, Warszawa Samuelson P., Nordhaus W.: Ekonomia. PWN, Warszawa Smoluk A.: O deinicji pochodnej. AE, Wrocław Smoluk A.: Algebra o ( ), czli jeszcze o lejkach. Ddaktka Matematki 1. AE, Wrocław 2. QUOTUS AND DIFFERENTIAL Summar In classical calculus or a unction, which has a derivative, it is possible to separate the central part o the growth o the unction. It is a linear unction. In this method as well as in the space o the argument o the unction and in the space o the value o the unction addition is used. In this paper the multiplication is also taken into account. As a result our versions o the central part o the growth o the unction have arisen: linear, eponential, logarithmic and power unction.