Metody Eulera i Eulera-Cauchy'ego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. y 3 := x 2 (1) ( ) Rozwiązanie dokładne równania (1) (2)

Transkrypt

1 euler-przkl_.xmcd Metod Eulera i Eulera-Cauch'ego rozwiązwania równań różniczkowch zwczajnch ' ( x, ) : x () + Rozwiązanie dokładne równania () ( x, C) : + C exp( atan( x) ) () Sprawdzenie: d dx ( x, C) ( x, C) simplif x + Warunek początkow x : n : Wznaczenie wartości stałej dowolnej C C : Given ( ) n + C exp atan x C : Find( C) C Rozwiązanie numerczne h :. N : i :.. N x i : h i a i : x i, C Metoda Eulera i :.. N n i+ : n i + h ' x i, n i / 8--5 :

2 euler-przkl_.xmcd Metoda Eulera-Cauch'ego c : c n for c i.. N ( +, G) + ( ' ( x i, c i ) + m) G c i + h ' x i, c i m ' x i c i+ c i.5 h augment( x, a, c, n) / 8--5 :

3 euler-przkl_.xmcd a c n x / 8--5 :

4 Talor_przkl-.xmcd Metoda Talora - przkład Rozwiązać równanie różniczkowe ' x z warunkiem początkowm () N : 5 x : x N :.5 h i :.. N x i : h i x N x : h. N : for i.. N ' i i '' i 4 i ''' i 4 i x i ' i x i + ' i ( i ) ( x i ) + 6 i x i + 4 i ' i h i+ i + h ' i '' h + i + 6 ''' i D( X, Y) : Y X Y : RK : rkfixed Y, x, x N, N, D 8-- :7

5 Talor_przkl-.xmcd augment( RK, x, ) :7

6 r_kutt-przkl-4.xmcd Przkład 4 Rozwiązać równanie różniczkowe '(x, ). - x, prz warunku początkowm (), wkorzstując poniższe wzor Rungego-Kutt drugiego rzędu: m F(x i, i ) m F(x i + h, i + hm ) i+ i + h(.5m +.5m ) Wznaczć wartość funkcji (x) w punkcie x :. wkonując n : kroki. Rozwiązanie Równanie różniczkowe ' ( x, ) :. x Definicja funkcji F(x,) F( x, ) : ' ( x, ). x Warunek początkow x : : Wielkość kroku (przrostu x h) h : x x n. Wznaczanie wartości argumentu x w punkcie x : x + h. Wznaczanie wartości m oraz m (w kolejnch krokach m oraz m przjmują inne wartości!) m : F x, m :. x. m : F x + h, + h m ( h m ) m :. x + h +.88 Obliczanie wartości funkcji (x) w punkcie : + h.5 m +.5 m.44 / 8--6 :4

7 r_kutt-przkl-4.xmcd Wznaczanie wartości funkcji (x) w punkcie x : x + h. m : F x, m :. x.886 m : F x + h, + h m ( h m ) m :. x + h : + h.5 m +.5 m.7 Wznaczanie wartości funkcji (x) w punkcie x : x + h. m : F x, m :. x.9567 m : F x + h, + h m ( h m ) m :. x + h +.86 : + h.5 m +.5 m.5 Rozwiązanie równania za pomocą funkcji rkfixed rkfixed(,,.,, F) Wniki uzskane za pomoca funkcji rkfixed są dokładniejsze z powodu użcia w niej wzorów 4 rzędu. / 8--6 :4

8 rkfixed- Funkcja rkfixed - Zastosowanie Rozwiązwanie zagadnień początkowch dla: pojednczego równania pierwszego rzędu układu równań pierwszego rzędu pojednczego równania wższego rzędu układu równań wższch rzędów Składnia Z : rkfixed (, x, x, n, D) - wektor wartości początkowch; liczba jego składowch zależ od rzędu rozwiązwanch równań i ich liczb, np. dla układu trzech równań pierwszego rzędu, wektor ten ma trz składowe - wartości funkcji dla x x. x, x - wartości x dla początku i końca przedziału, dla którego wznaczane jest rozwiązanie n - liczba równoodległch punktów, dla którch obliczane są wartości funkcji D(x, ) - wektor zawierając wrażenia na pochodne poszukiwanch funkcji ( x) (wznaczone z równań), np. dla równania drugiego rzędu D ( x, ), ( x) ( x) a dla dwóch równań pierwszego rzędu D ( x, ) ( x) Z - macierz zawierająca w pierwszej kolumnie wartości (argumentu) x, dla którch wznaczono wartości funkcji, a w następnch kolumnach wartości funkcji oraz, dla równań wższch rzędów, wartości ich pochodnch (do rzędu k -, gdzie k to rząd równania) -- :

9 r-kutt-przkl-.xmcd Metoda Rungego-Kutt dla pojednczego zagadnienia początkowego Przkład Rozwiązać równanie różniczkowe ' - x + 4x () z warunkiem początkowm (). () Rozwiązanie przbliżone metodą Rungego-Kutt : D( x, ) : x + 4 x x_rk : rkfixed(,,,, D) x_rk - to macierz wartości x i odpowiadającch im obliczonch wartości (x) - to wektor wartości początkowch (w przpadku pojednczego równania jest to skalar ze wskaźnikiem "", tj. ),, - to kolejno początek przedziału, dla którego wznaczam wartości (x), koniec tego przedziału oraz liczba obliczanch wartości (x) D(x,) - to prawa strona rozwiązwanego równania napisanego w formie () 8--

10 r-kutt-przkl-.xmcd Dokładne rozwiązanie równania () z warunkiem () to funkcja a( x) : + exp x () i :.. x :. x i : i x ROZW : augment( x_rk, a( x) ) ROZW W kolumnie nr umieszczone są dokładne wartości funkcji (x). 8--

11 r-kutt-przkl-a Przekształcanie równania różniczkowego czwartego rzędu 4 IV k + k () do postaci wmaganej przez funkcję rkfixed. Definiujem funkcje Kolejno różniczkujem stronami równania () d d d d IV 4 k k Ostatecznie otrzmujem układ 4 równań różniczkowch pierwszego rzędu d d d d 4 k k stąd D ( t, ) k () () k 4 / 8-- :5

12 r-kutt-przkl-a / 8-- :5

13 rkfixed- Przekształcenie układu równań do postaci wmaganej przez funkcję rkfixed Układ dwóch równań drugiego rzędu sprowadzam do układu czterech równań pierwszego rzędu. u v v 4v u () u (a) d u dx (b) d u dx (c) v (d) d v dx (e) d v dx (f) d dx d dx d dx d dx 4 (a) u u v v (b) :6

14 rkfixed :6