Elementy fizyki kwantowej. Obraz interferencyjny. Motto. Funkcja falowa Ψ. Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.

Transkrypt

1 Elementy fizyki kwantowej dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Obraz interferencyjny De Broglie założył, że wiazka czastek będzie tworzyć obraz interferencyjny na odpowiedniej podwójnej szczelinie charakterystyczny dla doświadczenia Younga. Rysunek: Rozkład charakterystyczny dla A+B nie ma miejsca! Rysunek: Rozkład intensywności elektronów zgodnie z teoria kwantowa. Jedyny sposób wyjaśnienia to stworzenie nowego formalizmu matematycznego pozwalajacego opisać falowe właściwości czastek materialnych na poziomie mikroświata. 2 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Motto W mechanice kwantowej zostały sformułowane prawa obejmujące znaczną część fizyki i cała chemię, a jedna trudność polega na tym, że prowadzą one do równań, które są za trudne, żeby można je poprawnie rozwiązać. Paul Dirac, 1929 Mechanika kwantowa zajmuje się opisem obiektów bardzo małych, których rozmiary sa porównywalne z rozmiarami jego fali de Broglie a. W mechanice kwantowej materia może być opisana jako zbiór elektronów i jader atomowych, traktowanych jako czastki punktowe obdarzone masa i ładunkiem, będacych w ruchu i oddziałujacych ze soba siłami elektrostatycznymi. 3 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Funkcja falowa Ψ O stanie układu kwantowego Stan czastki określa funkcja falowa Ψ(x, y, z, t) zależna od położenia czastki i od czasu t. Zgodnie z hipoteza de Broglie a, czastki takie jak elektron czy proton, maja własności falowe. Opisuje je tzw. funkcja falowa, która: musi być funkcja ciagł a, a także musi mieć ciagł a pochodna, w ogólnym przypadku jest funkcja zespolona współrzędnych przestrzennych oraz czasu: Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z) e iωt, gdzie ψ(x, y, z) jest funkcja falowa niezależna od czasu ( amplituda funkcji falowej Ψ), a i 2 = 1. Klasycznie Stan układu fizycznego w każdej chwili czasu opisuje punkt w przestrzeni fazowej, a więc zarówno położenie jak i pęd każdej czastki x i(t), p i(t). 4 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej

2 Funkcja falowa Ψ... W przypadku jednowymiarowym, dla czastek poruszajacych się w kierunku osi x Ψ = Ae ikx = A(cos kx + i sin kx). Zgodnie z zasada superpozycji funkcja falowa wielu zdarzeń: Ψ = Ψ 1 + Ψ 2. 5 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Funkcja falowa Ψ... Prawdopodobieństwo znalezienia czastki w chwili t w elemencie objętości dxdydz p(x, y, z, t) = Ψ (x, y, z, t) Ψ(x, y, z, t)dxdydz, gdzie Ψ to funkcja sprzężona do Ψ (różni się znakiem części urojonej). Suma prawdopodobieństw znalezienia czastki w poszczególnych elementach objętości rozciagnięta na cała przestrzeń musi spełniać tzw. Warunek normalizacji V Ψ (x, y, z, t) Ψ(x, y, z, t)dv = 1. Gęstościa prawdopodobieństwa zdarzenia nazywa się Ψ (x, y, z, t) Ψ(x, y, z, t) = Ψ(x, y, z, t) 2. Formalnie funkcja falowa Ψ = Ψ(x, y, z, t) charakteryzuje się właściwościami klasycznych fal, lecz nie reprezentuje takich wielkości jak np. wychylenie czastki z położenia równowagi. 6 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Funkcja falowa Ψ... Ψ Ψ = Ae i(kx ωt) Ae i(kx ωt) = A 2. Funkcja falowa musi spełniać następujace warunki: 1 Ψ musi mieć tylko jedna wartość w każdym punkcie. Warunek zapobiega istnieniu więcej niż jednego prawdopodobieństwa znalezienia czastki w danym miejscu, 2 Ψ oraz pochodne dψ musz a być ciagłe. Warunek ten nie dotyczy miejsc, dx gdy energia potencjalna daży do nieskończoności (w pobliżu jadra atomowego), 3 całka Ψ Ψ po całej przestrzeni musi być równa 1. Wartość funkcji musi być skończona dla dużych x. 7 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Hamiltonian O ewolucji w czasie stanu układu Równanie czasowej ewolucji funkcji falowej Ψ gdzie Ĥ jest hamiltonianem cz astki i Ψ t = ĤΨ, Ewolucja w czasie stanu układu Ĥ = 2 2m + U( x). Jest to równanie Schrödingera zależne od czasu. Operator Laplace a (laplasjan) to operator różniczkowy drugiego rzędu = 2 x y z 2. Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego ĤΨ = EΨ. Gdy układ jest odosobniony (izolowany, zachowawczy) to operator Ĥ jest operatorem energii układu. 8 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej

3 Wartości własne energii czastki Ewolucja w czasie stanu układu Wartości własne energii czastki E n można określić korzystajac z tego, że energia czastki wobec tego E = p2 2m = 2 k 2 2m, ) E n = 2m( 2 2π 2 2 = 4π 2 = λ 2m 4L 2 n 2 = 2 π 2 2mL 2 n2, dla n = 1, 2, 3,.., stanowia dyskretny szereg wartości energii, która jest wielkościa skwantowana. Skwantowane wartości E n nazywane sa poziomami energii, a liczbę n określajac a poziom energetyczny czastki w jamie potencjału główna liczba kwantowa. 9 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Zasada nieoznaczoności Heisenberga O interpretacji wyników pomiarów w mikroświecie Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie Pomiar dowolnej wielkości fizycznej zmienia na ogół stan układu kwantowego. Postulat ten dotyczy pomiaru idealnego, a więc nie obarczonego błędem wynikajacym z niedoskonałości przyrzadu pomiarowego. Obowiazuje zasada nieoznaczoności: pewnych wielkości fizycznych nie można zmierzyć równocześnie z dowolna dokładnościa. Proces pomiaru zaburza stan układu Mechanika klasyczna dokładność pomiaru jest zdeterminowana jedynie jakościa aparatury pomiarowej, nie ma teoretycznych ograniczeń na dokładność z jaka moga być wykonane pomiary. 10 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Zasada nieoznaczoności Heisenberga... Zasada nieoznaczoności Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie Iloczyn niepewności jednoczesnego poznania pewnych wielkości (np. chwilowych wartości pędu p i położenia x, energii E i czasu jej pomiaru t) nie może być mniejszy od stałej Plancka h podzielonej przez 2π x p x E t. Rysunek: Funkcja rozkładu B(p) względem pędu i odpowiadajaca jej paczka falowa (poniżej). Szerokość paczki falowej na rys. (a) jest większa niż szerokość na rys. (b). 11 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Zasada nieoznaczoności Heisenberga... Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie Zasada nieoznaczoności określa możliwości pomiarów fizycznych. Przykład Pęd poruszajacego się z prędkościa v = 2, m elektronu zmierzono s z dokładnościa 0,5 %. Z jaka maksymalna dokładnościa można było wyznaczyć położenie tego elektronu? x = (6, Js) = p x 2π 0, 005 9, , kgm/s = = 1, m 11 nm. Jest to wartość 100 średnic atomowych. Położenie elektronu nie można wyznaczyć dokładniej niż 11 nm. 12 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej

4 Zasada nieoznaczoności Heisenberga... Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru energii i czasu E t Przykład Czas przebywania atomu sodu w stanie wzbudzonym zmierzono z dokładnościa t = 1, s. Z jaka maksymalna dokładnościa można było wyznaczyć wartość energii tego stanu? E t = 6, Js 2 π 1, s = = 0, J 6, ev/j = = 4, ev. 13 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Moment pędu O spinie czastki elementarnej Czastka elementarna ma własny wewnętrzny moment pędu czastki w układzie, w którym nie wykonuje ruchu postępowego, zwany spinowym momentem pędu lub spinem S 2 = Sx 2 + Sy 2 + Sz 2 = s(s + 1) 2 Spin przy czym spinowa liczba kwantowa s = 1 2. Wartość własnego moment pędu elektronu: S = s(s + 1). Rzut własnego momentu pędu na wybrana oś S z = m s. 14 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Fermiony i bozony Klasycznie Symetria funkcji falowej Obiekty identyczne sa rozróżnialne. Można śledzić ruch każdej czastki nawet jeżeli jest ona identyczna z innymi. Brak specjalnych konsekwencji identyczności czastek. O symetrii funkcji falowej Czastki identyczne sa nierozróżnialne. Nierozróżnialność ma poważne konsekwencje. Wynika z niej własność stanów kwantowych: Funkcja falowa Ψ opisujaca układ jednakowego rodzaju bozonów jest symetryczna względem zamiany współrzędnych, tzn. jeśli: x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2, to Ψ(1, 2, 3,..., N) = Ψ(2, 1, 3,..., N). Jeśli czastki 1 i 2 oznaczaja fermiony jednakowego rodzaju, to funkcja falowa musi być antysymetryczna, tzn. Ψ(1, 2, 3,..., N) = Ψ(2, 1, 3,..., N). 15 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Fermiony i bozony... Symetria funkcji falowej Stany całkowicie symetryczne opisuja czastki o spinie całkowitym (bozony), stany antysymetryczne opisuja czastki o spinie połówkowym (fermiony). Zakaz Pauliego Gęstość prawdopodobieństwa zastania dwóch jednakowych fermionów w jednym miejscu i z jednakowa współrzędna spinowa jest równa 0. W danym stanie kwantowym może znajdować się jeden fermion lub żadne dwa fermiony nie moga w jednej chwili występować w dokładnie tym samym stanie kwantowym. 16 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej

5 Fermiony i bozony... Symetria funkcji falowej Konsekwencje zakazu Pauliego: Tworzenie się struktury orbitalowej poziomów elektronów wszystkich atomów, z której z kolei wynikaja wszystkie właściwości chemiczne pierwiastków chemicznych. Nieprzenikalność materii przez sama siebie. W wielu przypadkach zasada uniemożliwia występowanie pewnych konfiguracji przestrzennych orbitali blisko położonych atomów czy czasteczek. Względna trwałość obiektów materialnych. Zakaz nie dotyczy bozonów o dowolnych współrzędnych spinowych. 17 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Zasada wzajemnego uzupełniania się Zasady Zasada komplementarności Fotony, elektrony oraz obiekty mikroświata w jednych zjawiskach moga zachowywać się jak fala, a w innych jak czastka tzn. wykazuja zarówno własności falowe jak i korpuskularne. Obie te cechy uzupełniaja się wzajemnie, dajac pełny opis danego obiektu. W obrazie falowym natężenie promieniowania: I E 2 0, w obrazie fotonowym korpuskularnym: I Nhν. 18 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Zasada korespondencji Zasady Zasada odpowiedniości Dla dostatecznie dużych liczb kwantowych przewidywania fizyki kwantowej przechodza w sposób ciagły w przewidywania fizyki klasycznej. 19 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Doświadczenie Rutherforda (1911) Porzadek wśród atomów Analiza katów rozproszenia czastek alfa pozwoliła określić rozmiary ładunku dodatniego wchodzacego w skład atomu złota. Prawie cała masa atomu skupiona jest w bardzo małym obszarze jadrze atomowym. Rozmiar jadra zależy od pierwiastka, ale może być oszacowany jako ok m, rozmiary atomu rzędu m. Model atomu wprowadzał bliskie współczesnemu modelowi założenia: ładunek dodatni zgromadzony jest w niewielkim, a przez to bardzo gęstym jadrze gromadzacym większość masy atomu, ładunek jadra jest równy iloczynowi liczby atomowej i ładunku elektronu, ujemnie naładowane elektrony okrażaj a jadro. 20 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej

6 Porzadek wśród atomów Energia całkowita elektronu poruszajacego się po orbitach kołowych o promieniu r ze środkiem w jadrze, a środek masy pokrywa się ze środkiem jadra (protonu). Z równowagi sił F c = ma, 1 e 2 4πɛ 0 r = m v2 2 r, można obliczyć energię kinetyczna Energia całkowita E k = mv2 2 = e2 8πɛ 0r. e2 E c = E k + E p = 8πɛ 0r 4πɛ = 0r 8πɛ. 0r e2 e2 21 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej... Porzadek wśród atomów Postulaty Bohra 1 Elektron w atomie porusza się po orbicie kołowej pod wpływem przyciagania kulombowskiego pomiędzy elektronem a jadrem. 2 Elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których moment pędu L jest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez 2π L = n h = n n=1, 2, 3,.. 2π gdzie n oznacza liczbę kwantowa. 3 Elektron poruszajac się po orbicie nie wypromieniowuje energii. Jego całkowita energia pozostaje stała. 4 Przejściu elektronu z orbity o energii E n na orbitę o energii E m towarzyszy emisja lub absorpcja fotonu o energii E n E m = hν. 22 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej... Z postulatu Bohra energia kinetyczna v = n mr, Energia elektronu e 2 8πɛ = 1 ( ) n 2, 0r 2 m mr Promień Bohra gdzie r 0 = 5, m. r n = 4πɛ0 2 me 2 n2 = r 0n 2, Energia elektronu E n = me4 32π 2 ɛ n = E0 2 n, 2 gdzie E 0 = 13,59 ev jest energia jonizacji atomu (przejście ze stanu n = 1 do nieskończoności). 23 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej... Energia elektronu Po czasie 10 8 s następuje samorzutne przejście elektronu z poziomu n na poziom k (n > k). Atom emituje kwant promieniowania o częstotliwości Ponieważ ν = En Ek h = me4 64π 3 ɛ ( 1 k 2 1 n 2 ). ν = c λ, Długość fali emitowanego fotonu 1 λ = me 4 ( 1 64π 3 cɛ k 1 ) ( 1 = R 2 n 2 0 k 1 ), 2 n 2 gdzie R 0 = 1, m 1 jest stała Rydberga. Grupę linii z jednakowymi wartościami n nazwano seria widmowa. Dla jonów wodoropodobnych (Z jest liczba porzadkow a w układzie okresowym pierwiastków) ( 1 1 λ = Z2 R 0 k 1 ). 2 n 2 24 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej

7 ... Energia elektronu 25 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Sprzeczności z prawami fizyki klasycznej Równanie Schrödingera Niestety model atomu Bohra jest niewystarczajacy: zbyt prosty, nie pasuje do atomów wieloelektronowych, dlaczego moment pędu elektronu jest skwantowany? dlaczego elektron nie emituje promieniowania i nie spada na jadro? Mimo tego wskazuje on, że elektrony w atomie przyjmuja pewne stacjonarne (trwałe) stany energetyczne. Atom wodoru jest swego rodzaju studnia potencjału (naturalna pułapka) dla elektronu. Energia potencjalna oddziaływania elektron jadro jest postaci e2 U(r) = 4πɛ. 0r Równanie Schrödingera dla przypadku trójwymiarowego w układzie kartezjańskim 2 Ψ x Ψ y + 2 Ψ 2 z 2 = 2m (E U)Ψ dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Kwantowanie energii Równanie Schrödingera Rozwiazanie równania Schrödingera istnieje jeśli energia elektronu przyjmuje ściśle określone wielkości E n = me4 Z2 Z2 = 13,59 ev 32π 2 ɛ n 2 n, 2 dla wartości r = r 0 r 0 = 4πɛ0 2 me 2 = 5, m. wyrażenia dla r 0 i E n sa identyczne jak w modelu Bohra, kwantyzacja jest wynikiem rozwiazania równania Schrödingera, a nie postulatem, r 0 nie jest promieniem orbity, lecz odległościa od jadra, przy której prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu osiagnie wartość maksymalna, przyjęcie klasycznej orbity traci sens, moment pędu jest skwantowany L = l(l + 1), a liczba l = 0, 1, 2,..., n 1 jest tzw. orbitalna (azymutalna) liczba kwantowa. 27 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Równanie Schrödingera Kwantowanie przestrzenne momentu pędu Liczba m l jest tzw. magnetyczna liczba kwantowa m l = 0, ±1, ±2,..., ±l. Wartość rzutu momentu pędu elektronu na oś określajac a wyróżniony kierunek w atomie, np. zewnętrznego pola elektrycznego lub magnetycznego L z = m l. Jeżeli długość orbity elektronu jest równa całkowitej wielokrotności λ, fale de Broglie a nie wygaszaja się orbita jest dozwolona 2πr = m lλ. 28 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej

8 w modelu Bohra Stan elektronu określony jest przez główna liczbę kwantowa n i oznacza numer orbity (odpowiada odległości od jadra). Przyjmuje wartości całkowitych liczb dodatnich, n = 1, 2, 3,..., orbitalna liczbę kwantowa l i oznacza wartość bezwzględna orbitalnego momentu pędu. Przyjmuje wartości liczb naturalnych z zakresu < 0, n 1 >, magnetyczna liczbę kwantowa m l i oznacza rzut orbitalnego momentu pędu na wybrana oś. Przyjmuje wartości liczb całkowitych z zakresu < l, 0, +l >, magnetyczna spinowa liczbę kwantowa m s określajac a spinowy moment elektronu. Dla elektronu przyjmuje wartości (prawoskrętny) lub 1 (lewoskrętny). 2 W swobodnym atomie wodoru i jonie wodoropodobnym wszystkie stany o danej wartości liczby kwantowej n i różnych wartościach liczb kwantowych l i m maja tę sama energię. 29 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Kolejność obsadzania poziomów elektronowych Reguła Hunga Poziomy o jednakowej energii sa najpierw obsadzane przez pojedyncze elektrony o takim samym spinie. Zakaz Pauliego W atomie dwa elektrony nie moga mieć identycznych czterech liczb kwantowych Z zasady tej wynika,że: na każdej powłoce znajduje się maksymalnie Z = 2n 2 stanów do obsadzenia, Na każdej podpowłoce znajduje się 2(2l + 1) stanów do obsadzenia. n l m l m s Z , ± ± ± ± dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Układ okresowy pierwiastków Założenia: Liczba porzadkowa Z pierwiastka chemicznego określa liczbę protonów znajdujacych się w jadrze atomowym równa jest także liczbie elektronów w atomie gdy atom nie jest zjonizowany. Stan elektronu w atomie określony jest przez zestaw liczb kwantowych n, l, m l i m s. Obsadzenie stanów energetycznych w atomie przez elektrony powinno zachodzić zgodnie z zakazem Pauliego. Tablica Mendelejewa ułożenie znanych pierwiastków chemicznych według wzrastajacych liczb atomowych, pierwiastki w pionowych kolumnach (grupach układu) maja podobne właściwości chemiczne, fizyka kwantowa systematyzuje atomy poprzez podanie ich konfiguracji elektronowej, numer porzadkowy okresu odpowiada głównej liczbie kwantowej n. 31 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Układ okresowy pierwiastków dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej

9 Literatura podstawowa Kania S. Wykłady z fizyki cz. 1 i 2. Wydawnictwo PŁ, Łódź Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t PWN, Warszawa Orear J. Fizyka t. I i II. WNT, Warszawa Sawieliew I. W. Wykłady z fizyki t. I-III. PWN, Warszawa Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ e-fizyka. Podstawy fizyki. Kakol Z. Żukrowski J. kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. 33 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej