Zastosowanie teorii grup. Grupy symetrii w fizyce i chemii.

Transkrypt

1 Zastosowanie teorii grup Grupy symetrii w fizyce i chemii Katarzyna Kolonko Streszczenie Usystematyzowanie grup punktowych, omówienie ich na przykładzie molekuł Przedstawienie wkładu teorii grup w badanie struktury kryształu na przykładzie minerałów Zdefiniowanie pojęcia grupy przestrzennej 1 Wstęp Grupy punktowe Rozległą klasą grup, które maja ogromne znaczenie w chemii i fizyce, są grupy symetrii Grupę symetrii ciała fizycznego tworzą symetrie opisane przez podanie wszystkich transformacji, które zachowują odległości pomiędzy wszystkimi parami punktów i doprowadzają je do położenia początkowego Grupy te są podstawą usystematyzowania wszystkich możliwych typów symetrii molekuły czy kryształu Definicja 1 Kryształ to układ atomów taki, że ε 0 k 1 k ε, k i i-ty atom oraz jest niezmienniczy względem grupy sieciowej T, T = { 3 n i t i n i Z} i=1 t i to trzy liniowo niezależne wektory 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, wektory te nazywa się wektorami bazowymi sieci T Dowolny t T nosi nazwę wektora prymitywnego Definicja Grupa punktowa to skończona podgrupa 3-wymiarowej ortogonalnej grupy obrotów, która przekształca pewną sieć na siebie 1

2 Twierdzenie 1 Grupa punktowa może zawierać obroty tylko o następujących krotnościach: 1,, 3, 4, 6 Dowód 1 Niech dana będzie sieć o okresie translacji a, oś symetrii przechodząca przez A i prostopadła do płaszczyzny rysunku Niech będzie dany kąt ϕ ϕ = π Poprzez obrót punkt A przechodzi w C, a B w D Ze względu n na symetrię translacji, odległość CD musi być wielokrotnością a Ma = a + a cos(π ϕ) 1 cos ϕ = 1 M 1 M Z więc n = 1,, 3, 4, 6 Przecięcie dwóch płaszczyzn odbicia jest osia symetrii Jeśli kąt między płaszczyznami wynosi π/n to oś nazywam osią n krotną Niech δ będzie odbiciem względem płaszczyzny δ h będzie odbiciem względem płaszczyzny prostopadłej do osi o najwyższej symetrii δ v będzie odbiciem względem płaszczyzny przechodzącej przez osi o najwyższej symetrii δ d będzie odbiciem względem płaszczyzny przechodzącej przez osi o najwyższej symetrii i dwusieczną kąta między osiami dwukrotnymi prostopadłymi do tej osi Grupy punktowe dzielą się na dwa rodzaje Grupy pierwszego rodzaju zawierają tylko jedną oś o najwyższej symetrii Drugiego rodzaju, to grupy w których nie istnieje oś, w której symetria jest wyższa niż w pozostałych osiach Do grup pierwszego rodzaju należą: C n Jest najprostszą grupą, gdzie jedynym przekształceniem jest n-krotna oś symetrii Grupa cykliczna rzędu n

3 C nv zawiera n-krotną oś symetrii i odbicie δ v względem płaszczyzny zawierającej oś obrotu Grupa jest rzędu n Dla n > jest nieabelowa C nh grupa generowana przez obrót c n i odbicie δ h względem płaszczyzny prostopadłej do osi obrotu Grupa jest rzędu n i abelowa s n Przekształceniami są obroty niewłaściwe dookoła osi n-krotnej Dla n nieparzystych s n i C nh są równe, więc pozostają: s, s 4, s 6 D n Ggrupa generowana przez c n o pionowej osi rzędu n i obrót o poziomej osi Dla n > grupa jest nieabelowa i rzędu n Szczególnym przypadkiem jest grupa abelowa, której elementami są oprócz I, trzy wzajemnie prostopadłe obroty D nh Do układu generatorów D n dołączono odbicia δ h Grupa zawiera: n pionowych obrotów, n poziomych obrotów, n pionowych obrotów niewłaściwych, n pionowych odbić Grupa rzędu 4n D nd Przekształceniami są elementy grupy D n oraz δ d Rząd grupy jest równy 4n, dla n jest nieabelowa Grupy drugiego rodzaju: T d Grupa składa się z obrotów i odbić czworościanu foremnego Rząd 4 Grupę tę obrazuje np metan T Grupa otrzymana przez odrzucenie z grupy T d odbić i obrotów niewłaściwych Rząd równy 1 T h Grupa rzędu 4 T h = T S O h Największa grupa punktowa liczy 48 elementów Grupę tę posiada sześciofluorek uranu UF 6 O grupa obrotów, która przeprowadza ośmiościan lub sześcian w siebie Zawiera 4 elementy Struktury krystaliczne Symetria kryształu jest uzależniona od budowy wewnętrznej Punkt obrany jako początek układu współrzędnych przesuwający się z odległością translacji (przesunięcie w jednym kierunku, o stałą odległość)tworzy prostą sieciową, z których dalej tworzy się płaszczyzna sieciowa, zaś z płaszczyzn sieć Ograniczony przez węzły sieci powtarzający się równoległościan nosi nazwę komórki sieciowej Komórka elementarna jednoznacznie określa budowe przestrzenną kryształu W połowie XIX wieku August Bravais wykazał, że istnieje dokładnie 14 komórek sieciowych, należących do 7 układów krystalograficznych 3

4 Układ regularny Równoległościan elementarny układu to sześcian Symetria tego układu jest najwyższa Przy zwiększaniu się liczby ścian, kształt kryształu zbliża się do kulistego Minerałami, które charakteryzuje ten układ, są sól kamienna, diament, granat Zawiera klasy geometryczne: O h, O, T, T h, T d, t = ( 0 a 0 ) T, t3 = ( 0 0 a ) T t 1 = ( 0 a a ) T, t = ( a 0 a ) T, t3 = ( a a 0 ) T t 1 = ( a a a ) T, t = ( a a a ) T, t3 = ( a a a ) T Układ jednoskośny Równoległościanem elementarnym jest słup prosty o podstawie prostokąta Krystalizują tak malachit, jadeit Zawiera klasy geometryczne: C h, C, C h, t = ( a a 3 b ) T, t3 = ( 0 0 b ) T t 1 = ( a b 0 ) T, t = ( 0 b c ) T, t3 = ( 0 b c ) T Układ trójskośny Podstawą jest równoległobok Każda z trzech krawędzi, które spotykają się w narożu, jest ustawiona skośnie względem pozostałych W takim układzie krystalizuje aksynit, turkus, rodonit Zawiera klasy geometryczne: S,C 1 t 1,t dowolne Układ tetragonalny Równoległościanem elementarnym jest słup o podstawie kwadratu W ten sposób krystalizuje się cyrkon, kasyteryt Zawiera klasy geometryczne: D 4h, D 4, C 4v, C 4h, D d, S 4, C 4, t = ( 0 a c ) T, t3 = ( 0 0 b ) T t 1 = ( a a b ) T, t = ( a a b ) T, t3 = ( 0 a b ) T Układ rombowy Równoległościan elementarny to słup prosty o podstawie prostokąta W tym układzie krystalizuje się 15% minerałów np chryzoberyl, aragonit, zoizyt Zawiera klasy geometryczne: D h, D, C v, t = ( 0 b 0 ) T, t3 = ( 0 0 c ) T t 1 = ( a b 0 ) T, t = ( a b 0 ) T, t3 = ( 0 0 c ) T 4

5 t 1 = ( b 0 a ) T, t = ( a 0 c ) T, t3 = ( a b 0 ) T t 1 = ( a b c ) T, t = ( a b c ) T, t3 = ( a b c ) T Układ trygonalny Równoległościan elementarny to romboedr Krystalizują się w ten sposób: kryształ górski, ametyst Zawiera klasy geometryczne: D 3d, D 3, C 3v, S 6, C 3 t 1 = ( a 0 b ) T, t = ( a a 3 b ) T, t3 = ( a a 3 b Układ heksagonalny Równoległościan elementarny to słup prosty o podstawie sześcioboku regularnego Tak krystalizuje 4% minerałów np beryl, korund (szafir, rubin) Zawiera klasy geometryczne: D 6h, C 6h, D 3h, C 6v, D 6, C 3h, C 6 ) T, t = ( a a 3 b ) T, t3 = ( 0 0 b ) T 5

6 Rysunek 1: Układy: a) regularny: sieć prosta przestrzennie centrowana powierzchnowo centrowana b) jednoskośny: sieć prosta z centrowanymi podstawami c) trójskośny d) tetragonalny: sieć prosta przestrzennie centrowana e) rombowy: prosty przestrzennie centrowana powierzchniowo centrowana z centrowanymi podstawami f) romboedryczny i heksagonalny Mikroskopijna struktura kryształów związana jest z symetrią ich zewnętrznej, makroskopowej postaci Przy wzroście kryształu równoległościan elementarny powtarza się wielokrotnie W 1867 roku Aleks Wilhelmowicz Gadolin dowiódł, że istnieją dokładnie 3 klasy krystalograficzne Są to 3 rodzaje zewnętrznej symetrii kryształów Definicja 3 Dwie sieci T 1 i T należą do tej samej klasy Bravais ego,jeśli S GL(3, R), T = ST 1 = {St t T 1 } P H (T ) = SP H (T 1 )S 1 gdziep H (T 1 ), P H (T ) -są holoedrami sieci T 1, T, P H (T i ) = {q O(3) qt T i, t T i }, i = 1, 6

7 Holoderie interpretuje się jako pełne wykształcenie kryształu Zachodzi ono gdy istnieje pełna zgodność symetrii sieci i symetrii jej motywów składowych cząstek materialnych znajdujących się w węzłach Klasy te są rozmieszczone nierównomiernie w poszczególnych układach: układ jednoskośny ma klasy, jednoskośny i rombowy po 3, tetragonalny i heksagonalny po 7, trygonalny i regularny po 5 Rozkład minerałów w obrębie układów i klas krystalograficznych jest bardzo nierówny Na siedem klas o najwyższej w każdym z układów symetrii przypada 8% minerałów, na pozostałe 5 przypada 18% Łącząc działanie wszystkich elementów symetrii kryształu określa się grupę przestrzenną Grupa przestrzenna kryształu to maksymalna grupa symetrii tego kryształu Grupę przestrzenną określa się jako zbiór następujących transformacji G={(t+v(q), q) t T, q P, v(i) = 0}, (t+v(q), q)x = qx+t+v(q), x R 3 P grupa punktowa, v(q) liniowa kombinacja wektorów sieciowych Najprostsza grupa składa się z samych translacji Pozostałe 64 z 65 zawiera obroty i ruchy śrubowe grupy są enancjomorficzne Geometryczny sens sprowadza się albo do obrotu śrubowego (det q = 1), albo odbicia poślizgowego (det q = 1) Wszystkich klas grup krystalograficznych w przestrzeni 3-wymiarowej jest 30 Obecnie krystalografowie wykorzystując teorię grup zajmują się krystalicznymi fazami metastabilnymi oraz krystalografią białek i wirusów, z pogranicza żywej i martwej materii Literatura [1] J Mozrzymas, Zastosowania teorii grup w fizyce, PWN, Warszawa 1977 [] H M S Coxeter, Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa 1967 [3] K Mathniak, P Stingl, Teoria grup dla chemików, PWN, Warszawa 1978 [4] F A Cotton,Teoria grup zastosowania w chemii, PWN, Warszawa 1973 [5] W Drabowicz, Zastosowania praktyczne teorii grup w fizyce ciała stałego, Instytut Chemii Fizycznej PAN, Warszawa 1994 [6] M Hamermesh, Teoria grup w zastosowaniu do zagadnień fizycznych, PWN, Warszawa

8 [7] H Sylwestrzak, Odkrzemienia do piezokwarcu, PWN, Warszawa 000 [8] M Sachanbiński, Kamienie szlachetne i ozdobne Śląska, Zakład Narodowy im Ossolińskich, Wrocław 1980 [9] Z Kleszczewski Fizyka kwantowa, atomowa i ciała stałego, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice