Ćwiczenia nr 4. TEMATYKA: Rzutowanie

Transkrypt

1 TEMATYKA: Rzutowanie Ćwiczenia nr 4 DEFINICJE: Rzut na prostą: rzutem na prostą l (zwaną rzutnią) w kierunku rzutowania k (k l) nazywamy przekształcenie płaszczyzny przyporządkowujące: a) Punktom prostej l te same punkty, b) Dowolnemu punktowi P l punkt P l taki, że prosta PP jest równoległa do prostej k. Rys. 4. Rzut na płaszczyznę: w geometrii odwzorowanie przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną powierzchnię zwaną rzutnią, które każdemu punktowi x przestrzeni przypisuje punkt przecięcia się z rzutnią pewnej prostej z danej rodziny prostych rzutujących przechodzącej przez punkt x. Rys. 4.

2 Rzut perspektywiczny Rzut równoległy Rys. 4.3 Rzuty prostokątne Rys. 4.4

3 Rzut izometryczny (aksonometria) Rys. 4. Rzut ukośny Rys

4 Aksonometria kawalerska wojskowa izometryczna Rys. 4.7 Rzut perspektywiczny jednopunktowy Rys

5 Rys. 4.9 Rzut perspektywiczny dwupunktowy Rys. 4.

6 ZADANIA:. Przeprowadzić rzutowanie prostokątne bryły o wierzchołkach A(; ; 9), B(; ; ), C(; ; 3), D(; ; 7), E(; ; 9), F(; ; ), G(; ; 3), H(; ; 7) na płaszczyzny tworzone przez osie kartezjańskiego układu współrzędnych. Wyznaczyć współrzędne punktów po przekształceniu dla każdej rzutni. Wykonać odpowiednie rysunki (widok bryły na trzech rzutniach). Rys. 4. 6

7 . Przeprowadzić rzutowanie ukośne bryły (Rys. 4.) o wierzchołkach A(; ; 9), B(; ; ), C(; ; 3), D(; ; 7), E(; ; 9), F(; ; ), G(; ; 3), H(; ; 7) na płaszczyznę ZY. Wyznaczyć współrzędne punktów po przekształceniu. Wykonać odpowiednie rysunki (widok bryły na rzutni). Przyjąć wektor rzutowania u = x = d [ y = d ], gdzie d odległość punktu od płaszczyzny ZY. z = d 3. Przeprowadzić rzutowanie perspektywiczne jednopunktowe prostokąta o wierzchołkach A(; ; -), B(; 3; -), C(; 3; -), D(; ; -) na płaszczyznę XY. Wyznaczyć współrzędne punktów po przekształceniu. Wykonać odpowiednie rysunki (widok prostokąta A B C D ) środek rzutowania S(; ; -). Rys. 4. 7

8 ROZWIĄZANIA ZADAŃ:. Przeprowadzić rzutowanie prostokątne bryły o wierzchołkach A(; ; 9), B(; ; ), C(; ; 3), D(; ; 7), E(; ; 9), F(; ; ), G(; ; 3), H(; ; 7) na płaszczyzny tworzone przez osie kartezjańskiego układu współrzędnych. Wyznaczyć współrzędne punktów po przekształceniu dla każdej rzutni. Wykonać odpowiednie rysunki (widok bryły na trzech rzutniach). Obliczenia wykonujemy przy pomocy współrzędnych jednorodnych w kartezjańskim układzie współrzędnych 3D. A = [ ] B = [ 9 ] C = [ ] D = [ ] 3 7 E = [ ] F = [ ] G = [ ] H = [ ] Rzutowanie to inaczej translacja o wektor od punktu przesuwanego do punktu należącego do rzutni. W trakcie rzutowania prostokątnego poszczególnych punktów na płaszczyzny wyznaczone przez odpowiednie osie układu współrzędnych tworzymy następujące macierze transformacji. Dla płaszczyzny XY (z = ): M XY = [ ] Dla płaszczyzny YZ (x = ): M YZ = [ ] Dla płaszczyzny XZ (y = ): M XZ = [ ] 8

9 Wyznaczenie współrzędnych punktów rzutowanych na poszczególne płaszczyzny wyznaczone przez odpowiednie osie układu współrzędnych: Płaszczyzna XY: A ] = [ B C 3 D 7 E ] = [ 9 ] F G 3 Rys. 4.3 H 7 9

10 Płaszczyzna YZ: A ] = [ B C 3 3 D 7 7 E 9 9 F ] = [ ] Rys. 4.4 G 3 3 H 7 7

11 Płaszczyzna XZ: A ] = [ B C ] = [ 3 3 D 7 7 ] E ] = [ 9 ] 9 F Rys. 4. G 3 3 H 7 7

12 Rys. 4.6

13 . Przeprowadzić rzutowanie ukośne bryły (Rys. 4.) o wierzchołkach A(; ; 9), B(; ; ), C(; ; 3), D(; ; 7), E(; ; 9), F(; ; ), G(; ; 3), H(; ; 7) na płaszczyznę ZY. Wyznaczyć współrzędne punktów po przekształceniu. Wykonać odpowiednie rysunki (widok bryły na rzutni). Przyjąć wektor rzutowania u = x = d [ y = d ], gdzie d odległość punktu od płaszczyzny ZY. z = d Obliczenia wykonujemy przy pomocy współrzędnych jednorodnych w kartezjańskim układzie współrzędnych 3D. A = [ ] B = [ 9 ] C = [ ] D = [ ] 3 7 E = [ ] F = [ ] G = [ ] H = [ ] Rzutowanie to inaczej translacja o wektor od punktu przesuwanego do punktu należącego do rzutni. W trakcie rzutowania prostokątnego poszczególnych punktów na płaszczyznę wyznaczoną przez odpowiednie osie układu współrzędnych tworzymy następujące macierze transformacji. Dla płaszczyzny YZ (d = ): x y M ABCD = [ z Dla płaszczyzny YZ (d = ): x y M EFGH = [ ] = [ ] z 3

14 Współrzędne punktów rzutowanych: ( ) A ] = [ ( ) B 7 C 7 3 D 7 7 E 7 = [ ] [ 9 3 F 7 = [ ] [ G 7 = [ ] [ 3 H 7 = [ ] [ 7 4

15 Rys. 4.7 Rys. 4.8

16 3. Przeprowadzić rzutowanie perspektywiczne jednopunktowe prostokąta o wierzchołkach A(; ; -), B(; 3; -), C(; 3; -), D(; ; -) na płaszczyznę XY. Wyznaczyć współrzędne punktów po przekształceniu. Wykonać odpowiednie rysunki (widok prostokąta A B C D ) środek rzutowania S(; ; -). Obliczenia wykonujemy przy pomocy współrzędnych jednorodnych w kartezjańskim układzie współrzędnych 3D. 3 3 A = [ ] B = [ ] C = [ ] D = [ ] Rzutowanie to inaczej skalowanie o współczynniku skali s. W trakcie rzutowania perspektywicznego poszczególnych punktów na płaszczyznę wyznaczoną przez odpowiednie osie układu współrzędnych tworzymy następującą macierz transformacji. s x s M ABCD = [ y ] s z Wyznaczenie współczynników skali: s x = s y = s x = s y = z S, gdzie i = A lub B lub C lub D z S z i ( ) = =. s z =, ponieważ rzut jest wykonywany na płaszczyznę XY (z = ).. M ABCD = [ ] 6

17 Współrzędne punktów rzutowanych:. A.. B.. C.. D ( ) ( ) + ] = [ + + ( ) ( ) ] = [ ] Rys