Kombinacje elementów symetrii. Klasy symetrii.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kombinacje elementów symetrii. Klasy symetrii."

Transkrypt

1 Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakładu Krystalografii ul. Bankowa 14, pok. 133, Katowice tel , opracowanie: dr Izabela Jendrzejewska Laboratorium z Krystalografii Kombinacje elementów symetrii. Klasy symetrii. Cel ćwiczenia: tworzenie kombinacji elementów symetrii makroskopowej z wykorzystaniem programu komputerowego KRYS1, tworzenie klas symetrii oraz przedstawienie projekcji cyklograficznych i stereograficznych grup punktowych. Wstęp teoretyczny. Kombinacje elementów symetrii makroskopowej W kryształach elementy symetrii makroskopowej mogą występować pojedynczo (tylko jedna n-krotna oś symetrii, tylko jedna płaszczyzna itd.) oraz w różnych kombinacjach (zespołach). W tym drugim przypadku mówimy także o współistnieniu lub współwystępowaniu elementów symetrii. W kryształach występują kombinacje: 1. osi symetrii zwykłych 2. osi symetrii i środka symetrii 3. osi symetrii zwykłych i osi symetrii inwersyjnych. Nie są to jednak kombinacje całkowicie dowolne. Nakładane są na nie różne ograniczenia zależne bądź to od samych współistniejących elementów symetrii, bądź też powodowane są ich sieciową budową. Niemożliwe jest współistnienie np. dwóch przecinających się pod dowolnym kątem osi symetrii o dowolnej krotności. W takim przypadku bowiem obydwie osie będą powielały się w nieskończoność i nigdy nie zostanie uzyskana figura mająca np. tylko trzy osie symetrii. Podobnie będą nawzajem powielały się w nieskończoność płaszczyzna symetrii i położona ukośnie względem niej oś symetrii. Jednak w wielościanach krystalograficznych i w sieciach przestrzennych dwie osie symetrii czy płaszczyzna i oś symetrii, tworząc ze sobą ściśle określone kąty, nie powtarzają się w nieskończoność. Możliwe w nich są m.in. takie kombinacje elementów symetrii: n-krotna oś symetrii i n prostopadłych do niej dwukrotnych osi symetrii, n-krotna oś symetrii i n równoległych do niej płaszczyzn symetrii, dwie trójkrotne osie symetrii przecinające się pod kątem '16". Udowodniono, że liczba dopuszczalnych kombinacji elementów symetrii przechodzących przez środek geometryczny kryształu i odtwarzających jego symetrię wynosi 22. Klasy symetrii Klasy symetrii są to różne, możliwe w kryształach zespoły (kombinacje) makroskopowych elementów symetrii przecinających się w jednym punkcie. Klasy symetrii nazywa się krystalograficznymi grupami punktowymi lub krystalograficznymi klasami symetrii. Sieciowa budowa kryształów powoduje, że liczba krystalograficznych klas symetrii jest

2 ograniczona i równa 32: 10 elementów symetrii makroskopowej (1, 2, 3 4, 6, oraz 1,2,3,4, 6 ) i 22 oryginalne kombinacje elementów symetrii makroskopowej. Grupa punktowa symetrii jako grupa w sensie matematycznym Grupa w matematyce oznacza zbiór elementów powiązanych zależnościami: kombinacja każdych dwóch elementów lub kwadrat elementu musi tworzyć również element grupy dla iloczynu elementów grupy musi być spełnione prawo łączności P(QR) = (PQ)R jednym z elementów grupy musi być element tożsamościowy E, taki, że EP = PE = P każdy element grupy musi mieć odwrotność, będącą również elementem grupy, tzn. PP -1 = E Generatory grupy. Do jednoznacznego zdefiniowania grupy punktowej (klasy symetrii) nie jest konieczne podawanie wszystkich elementów grupy. Wystarczy podać jeden, dwa lub maksymalnie trzy elementy, które składane wzajemnie ze sobą wygenerują całą grupę. Elementy takie nazywamy generatorami grupy. Np. w grupie 2/m generatorami grupy są oś symetrii 2 [010] i płaszczyzna symetrii M (010), natomiast ich złożenie daje środek symetrii i przekształcenie tożsamościowe. Sprzęt: komputer z zainstalowanym programem komputerowym KRYS1 lub z dostępem do internetu. Wykonanie ćwiczenia: Część I. Zapoznanie się z kombinacjami elementów symetrii makroskopowej z wykorzystaniem programu komputerowego KRYS Nacisnąć ikonę z napisem KRYS Wybrać opcję Symetria i dalej podopcję Prezentacja grup punktowych Korzystając z programu komputerowego zapoznać się z kombinacjami elementów symetrii makroskopowej Obserwować powstawanie projekcji cyklograficznej elementów symetrii charakterystycznych dla danej grupy punktowej. Część II. Zapoznanie się grupami punktowymi (klasami symetrii) z wykorzystaniem programu komputerowego KRYS Nacisnąć ikonę z napisem KRYS Wybrać opcję Symetria i dalej podopcję Generowanie grup punktowych Korzystając z programu komputerowego zapoznać się z tworzeniem grup punktowych poprzez wybór trzech elementów symetrii, które będą poprawnymi generatorami danej grupy. Przy wyborze generatora grupy skorzystać z tabeli zamieszczonej w podręczniku Krystalografia, podręcznik wspomagany komputerowo. Część III. Budowanie modeli cząsteczek, szukanie dla nich elementów symetrii oraz określanie grupy punktowej korzystając z symboliki międzynarodowej oraz symboliki Schoenfliesa.

3 3.1. Korzystając z modeli atomów należy zbudować cząsteczkę benzenu, mocznika, metanu, chlorometanu, SF 6 oraz o-, m- i p- dichlorobenzenu, a następnie dla każdej cząsteczki znaleźć elementy symetrii w niej występujące Na podstawie znalezionych elementów symetrii określić grupę punktową podając odpowiedni symbol Schoenfliesa Przy określaniu symboliki Schoenfliesa należy skorzystać z następujących zasad: - Oznaczenia elementów symetrii: C X = X S X = X = m h ( h= horizontal, pozioma), płaszczyzna prostopadła do osi głównej v (v= vertical, pionowa), płaszczyzna zawierająca tą oś d (d= diagonal, przekątna) płaszczyzna zawierająca oś główną i połowiąca kąty między osiami dwukrotnymi prostopadłymi do osi głównej - Oznaczenia grup punktowych C i = 1 C X = X S x = X D x = X/22 C s = m C xh = X/m D xh = x/m2 C xv = X v D xd = X m T (tetraedr) dla grup 23 (T), m3 (T h ) i 4 3m (T d ) O (oktaedr) dla grup 432(O) i m3m (O h ) Problemy i zadania Zadanie 1 Pod każdym z podanych rysunków wpisz odpowiedni symbol grupy punktowej

4

5 Zadanie 2 Podaj, co oznaczają poszczególne pozycje w symbolach następujących grup punktowych: ; 3 ; 422; 222; mm2 m m m m m Zadanie 3 Przy każdym podanym symbolu grupy punktowej wpisz właściwy układ krystalograficzny: a) 3m b) 222 c) 23 d) 432 e) 6mmm f) 1 g) 2/m Zadanie 4 Przedstawionej poniżej kombinacji elementów symetrii przyporządkuj projekcję cyklograficzną

6 Zadanie 5 Która z projekcji odpowiada przedstawionej kombinacji elementów symetrii Zadanie 6 Podaj symbol międzynarodowy grupy punktowej, której elementy symetrii przedstawione zostały na poniższej projekcji.

7 Zadanie 7 Korzystając z rachunku macierzowego podaj kierunek lub kierunki symetrycznie równoważne z kierunkiem [100] w klasie 4. Literatura. 1. Z.Trzaska-Durski, H.Trzaska-Durska, Podstawy krystalografii strukturalnej i rentgenowskiej, PWN Warszawa Z. Trzaska-Durski i H. Trzaska-Durska Podstawy krystalografii, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa Z.Bojarski, M.Gigla, K.Stróż, M.Surowiec, Materiały do nauki krystalografii podręcznik wspomagany komputerowo PWN Warszawa Z. Kosturkiewicz, Metody krystalografii, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań Z. Bojarski, H. Habla i M. Surowiec, Materiały do nauki krystalografii, PWN, Warszawa M. Van Meerssche i J. Feneau-Dupont, Krystalografia i chemia strukturalna, PWN, Warszawa 1984.

8

Elementy symetrii makroskopowej.

Elementy symetrii makroskopowej. Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii Laboratorium z Krystalografii Elementy symetrii makroskopowej. 2 godz. Cel ćwiczenia: zapoznanie się z działaniem elementów symetrii makroskopowej

Bardziej szczegółowo

Międzynarodowe Tablice Krystalograficzne (International Tables for Crystallography)

Międzynarodowe Tablice Krystalograficzne (International Tables for Crystallography) Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii Laboratorium z Krystalografii Międzynarodowe Tablice Krystalograficzne (International Tables for Crystallography) 2 godz. Cel ćwiczenia: analiza

Bardziej szczegółowo

Międzynarodowe Tablice Krystalograficzne (International Tables for Crystallography)

Międzynarodowe Tablice Krystalograficzne (International Tables for Crystallography) Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii Laboratorium z Krystalografii Międzynarodowe Tablice Krystalograficzne (International Tables for Crystallography) 2 godz. Cel ćwiczenia: analiza

Bardziej szczegółowo

Kombinacje elementów symetrii. Klasy symetrii.

Kombinacje elementów symetrii. Klasy symetrii. Uniwersytet Śląski Instytut Cheii Zakład Krystalografii Laboratoriu z Krystalografii Kobinacje eleentów syetrii. Klasy syetrii. 2 godz. Cel ćwiczenia: tworzenie kobinacji eleentów syetrii akroskopowej

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii. Laboratorium z Krystalografii. 2 godz. Komórki Bravais go

Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii. Laboratorium z Krystalografii. 2 godz. Komórki Bravais go Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii Laboratorium z Krystalografii 2 godz. Komórki Bravais go Cel ćwiczenia: kształtowanie umiejętności: przyporządkowywania komórek translacyjnych Bravais

Bardziej szczegółowo

Rodzina i pas płaszczyzn sieciowych

Rodzina i pas płaszczyzn sieciowych Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii Laboratorium z Krystalografii 2 godz. Rodzina i pas płaszczyzn sieciowych Cel ćwiczenia: kształtowanie umiejętności posługiwania się modelami komórek

Bardziej szczegółowo

Układy krystalograficzne

Układy krystalograficzne Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii Laboratorium z Krystalografii 2 godz. Układy krystalograficzne Cel ćwiczenia: kształtowanie umiejętności wyboru komórki elementarnej i przyporządkowywania

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z Krystalografii. 2 godz.

Laboratorium z Krystalografii. 2 godz. Uniwersytet Śląski - Instytut Chemii Zakład Krystalografii ul. Bankowa 14, pok. 132, 40-006 Katowice tel. 0323591627, e-mail: ewa.malicka@us.edu.pl opracowanie: dr Ewa Malicka Laboratorium z Krystalografii

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia opisujące sieć przestrzenną

Podstawowe pojęcia opisujące sieć przestrzenną Uniwersytet Śląski Instytut Chemii akład Krystalografii Laboratorium z Krystalografii 2 godz. Podstawowe pojęcia opisujące sieć przestrzenną Cel ćwiczenia: kształtowanie umiejętności posługiwania się modelami

Bardziej szczegółowo

Układ regularny. Układ regularny. Możliwe elementy symetrii: Możliwe elementy symetrii: 3 osie 3- krotne. m płaszczyzny przekątne.

Układ regularny. Układ regularny. Możliwe elementy symetrii: Możliwe elementy symetrii: 3 osie 3- krotne. m płaszczyzny przekątne. Układ regularny Możliwe elementy symetrii: 3 osie 3- krotne m płaszczyzny równoległe do ścian m płaszczyzny przekątne 4 osie 4- krotne 2 osie 2- krotne Układ regularny Możliwe elementy symetrii: 3 osie

Bardziej szczegółowo

Podstawy krystalochemii pierwiastki

Podstawy krystalochemii pierwiastki Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii Laboratorium z Krystalografii Podstawy krystalochemii pierwiastki Cel ćwiczenia: określenie pełnej charakterystyki wybranych struktur pierwiastków

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Symetria Budowy Kryształów

Wykład 1. Symetria Budowy Kryształów Wykład Symetria Budowy Kryształów Ciała krystaliczne i amorficzne Każda substancja ciekła (z wyjątkiem helu) podczas oziębiania traci swoje własności ciekłe i przechodzi w ciało stałe. Jednakże proces

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY I OPERACJE SYMETRII Symbol Element symetrii Operacja symetrii

ELEMENTY I OPERACJE SYMETRII Symbol Element symetrii Operacja symetrii ELEMENTY I OPERACJE SYMETRII Symbol Element symetrii Operacja symetrii C n oś symetrii n-krotna (oś główna - oś o obrót wokół osi symetrii o kąt równy 360 0 /n najwyższej krotności) σ płaszczyzna symetrii

Bardziej szczegółowo

3. Operacje symetrii, macierze operacji symetrii. Grupy punktowe. Przypisywanie grupy punktowej dla zadanych obiektów

3. Operacje symetrii, macierze operacji symetrii. Grupy punktowe. Przypisywanie grupy punktowej dla zadanych obiektów 3. Operacje symetrii, macierze operacji symetrii. Grupy punktowe. Przypisywanie grupy punktowej dla zadanych obiektów Opracowanie: dr hab. inż. Jarosław Chojnacki, Politechnika Gdańska, Gdańsk 207 Każda

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Komórka elementarna. Sieci Bravais go

Wykład 5. Komórka elementarna. Sieci Bravais go Wykład 5 Komórka elementarna Sieci Bravais go Doskonały kryształ składa się z atomów jonów, cząsteczek) uporządkowanych w sieci krystalicznej opisanej przez trzy podstawowe wektory translacji a, b, c,

Bardziej szczegółowo

Elementy symetrii. obiekt geometryczny taki jak linia, płaszczyzna lub punkt, względem którego dokonuje się operacji symetrii.

Elementy symetrii. obiekt geometryczny taki jak linia, płaszczyzna lub punkt, względem którego dokonuje się operacji symetrii. ELEMENTY SYMETRII Element symetrii obiekt geometryczny taki jak linia, płaszczyzna lub punkt, względem którego dokonuje się operacji symetrii. ELEMENTY SYMETRII Elementy symetrii PŁASZZYZNA peracje symetrii

Bardziej szczegółowo

Grupy przestrzenne i ich symbolika

Grupy przestrzenne i ich symbolika Grupy przestrzenne i ich symbolika Po co mi (chemikowi) znajomość symboli grup przestrzennych? Informacje zawarte w symbolu układ krystalograficzny obecność operacji symetrii punktowej (spektroskopia)

Bardziej szczegółowo

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ I. Symetria budowy kryształów

ROZDZIAŁ I. Symetria budowy kryształów ROZDZIAŁ I Symetria budowy kryształów I Ciała krystaliczne i amorficzne Każda substancja ciekła z wyjątkiem helu) podczas oziębiania traci swoje własności ciekłe i przechodzi w ciało stałe Jednakże proces

Bardziej szczegółowo

KRYSTALOGRAFIA Crystallography. Poziom przedmiotu Studia I stopnia Liczba godzin/tydzień 2W, 1Ćw PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

KRYSTALOGRAFIA Crystallography. Poziom przedmiotu Studia I stopnia Liczba godzin/tydzień 2W, 1Ćw PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Inżynieria Materiałowa Rodzaj przedmiotu Kierunkowy do wyboru Rodzaj zajęć Wykład, ćwiczenia KRYSTALOGRAFIA Crystallography Poziom przedmiotu Studia I stopnia Liczba godzin/tydzień

Bardziej szczegółowo

BUDOWA KRYSTALICZNA CIAŁ STAŁYCH. Stopień uporządkowania struktury wewnętrznej ciał stałych decyduje o ich podziale

BUDOWA KRYSTALICZNA CIAŁ STAŁYCH. Stopień uporządkowania struktury wewnętrznej ciał stałych decyduje o ich podziale BUDOWA KRYSTALICZNA CIAŁ STAŁYCH Stopień uporządkowania struktury wewnętrznej ciał stałych decyduje o ich podziale na: kryształy ciała o okresowym regularnym uporządkowaniu atomów, cząsteczek w całej swojej

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Chemia budowlana, II stopień Sylabus modułu: Chemia ciała stałego 0310-CH-S2-B-065

Kierunek i poziom studiów: Chemia budowlana, II stopień Sylabus modułu: Chemia ciała stałego 0310-CH-S2-B-065 Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia budowlana, II stopień Sylabus modułu: Chemia ciała stałego 065 1. Informacje ogólne koordynator modułu rok akademicki 2014/2015

Bardziej szczegółowo

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup 1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 Zastosowanie teorii grup w analizie widm oscylacyjnych

WYKŁAD 5 Zastosowanie teorii grup w analizie widm oscylacyjnych WYKŁAD 5 Zastosowanie teorii grup w analizie widm oscylacyjnych Prof. dr hab. Halina Abramczyk Dr inż. Beata Brożek-Płuska POLITECHNIKA ŁÓDZKA Wydział Chemiczny, Instytut Techniki Radiacyjnej Laboratorium

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Krystalografia geometryczna

Wstęp. Krystalografia geometryczna Wstęp Przedmiot badań krystalografii. Wprowadzenie do opisu struktury kryształów. Definicja sieci Bravais go i bazy atomowej, komórki prymitywnej i elementarnej. Podstawowe typy komórek elementarnych.

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie teorii grup. Grupy symetrii w fizyce i chemii.

Zastosowanie teorii grup. Grupy symetrii w fizyce i chemii. Zastosowanie teorii grup Grupy symetrii w fizyce i chemii Katarzyna Kolonko Streszczenie Usystematyzowanie grup punktowych, omówienie ich na przykładzie molekuł Przedstawienie wkładu teorii grup w badanie

Bardziej szczegółowo

STRUKTURA IDEALNYCH KRYSZTAŁÓW

STRUKTURA IDEALNYCH KRYSZTAŁÓW BUDOWA WEWNĘTRZNA MATERIAŁÓW METALICZNYCH Zakres tematyczny y 1 STRUKTURA IDEALNYCH KRYSZTAŁÓW 2 1 Sieć przestrzenna kryształu TRANSLACJA WĘZŁA TRANSLACJA PROSTEJ SIECIOWEJ TRANSLACJA PŁASZCZYZNY SIECIOWEJ

Bardziej szczegółowo

Metody badań monokryształów metoda Lauego

Metody badań monokryształów metoda Lauego Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii ul. Bankowa 14, pok. 132, 40 006 Katowice, Tel. 0323591627 e-mail: joanna_palion@poczta.fm opracowanie: mgr Joanna Palion Gazda Laboratorium z Krystalografii

Bardziej szczegółowo

Elementy symetrii makroskopowej w ujęciu macierzowym.

Elementy symetrii makroskopowej w ujęciu macierzowym. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Element smetrii makroskopowej w ujęciu macierowm. 2 god. Cel ćwicenia: tworenie macier smetrii elementów smetrii makroskopowej

Bardziej szczegółowo

Monochromatyzacja promieniowania molibdenowej lampy rentgenowskiej

Monochromatyzacja promieniowania molibdenowej lampy rentgenowskiej Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakładu Krystalografii ul. Bankowa 14, pok. 133, 40 006 Katowice tel. (032)359 1503, e-mail: izajen@wp.pl, opracowanie: dr Izabela Jendrzejewska Laboratorium z Krystalografii

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Metody badań monokryształów metoda Lauego

Metody badań monokryształów metoda Lauego Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii ul. Bankowa 14, pok. 132, 40 006 Katowice, Tel. 0323591627 e-mail: joanna_palion@poczta.fm opracowanie: mgr Joanna Palion Gazda Laboratorium z Krystalografii

Bardziej szczegółowo

RYSUNEK TECHNICZNY BUDOWLANY RZUTOWANIE AKSONOMETRYCZNE

RYSUNEK TECHNICZNY BUDOWLANY RZUTOWANIE AKSONOMETRYCZNE RYSUNEK TECHNICZNY BUDOWLANY RZUTOWANIE AKSONOMETRYCZNE MOJE DANE dr inż. Sebastian Olesiak Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki Pokój 309, pawilon A-1 (poddasze) e-mail: olesiak@agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Projekt ROZWÓJ PRZEZ KOMPETENCJE jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt ROZWÓJ PRZEZ KOMPETENCJE jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Projekt ROZWÓJ PRZEZ KOMPETENCJE jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013 CZŁOWIEK NAJLEPSZA INWESTYCJA

Bardziej szczegółowo

STRUKTURA MATERIAŁÓW

STRUKTURA MATERIAŁÓW STRUKTURA MATERIAŁÓW ELEMENTY STRUKTURY MATERIAŁÓW 1. Wiązania miedzy atomami 2. Układ atomów w przestrzeni 3. Mikrostruktura 4. Makrostruktura 1. WIĄZANIA MIĘDZY ATOMAMI Siły oddziaływania między atomami

Bardziej szczegółowo

Prof. nzw. dr hab. Jarosław Mizera & dr inż. Joanna Zdunek

Prof. nzw. dr hab. Jarosław Mizera & dr inż. Joanna Zdunek Prof. nzw. dr hab. Jarosław Mizera & dr inż. Joanna Zdunek Krystalografia to nauka zajmująca się opisem i badaniem periodycznej budowy wewnętrznej materiałów krystalicznych oraz ich klasyfikacją. Plan

Bardziej szczegółowo

STRUKTURA CIAŁA STAŁEGO

STRUKTURA CIAŁA STAŁEGO STRUKTURA CIAŁA STAŁEGO Podział ciał stałych Ciała - bezpostaciowe (amorficzne) Szkła, żywice, tłuszcze, niektóre proszki. Nie wykazują żadnych regularnych płaszczyzn ograniczających, nie można w nich

Bardziej szczegółowo

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu Oznaczenia A, B, 1, 2, I, II, punkty a, b, proste α, β, płaszczyzny π 1, π 2, rzutnie k kierunek rzutowania d(a,m) odległość punktu od prostej m(a,b) prosta przechodząca przez punkty A i B α(1,2,3) płaszczyzna

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z Krystalografii specjalizacja: Fizykochemia związków nieorganicznych

Laboratorium z Krystalografii specjalizacja: Fizykochemia związków nieorganicznych Uniwersytet Śląski - Instytut Chemii Zakład Krystalografii ul. Bankowa 14, pok. 133, 40-006 Katowice tel. 0323591197, e-mail: izajen@wp.pl opracowanie: dr Izabela Jendrzejewska Laboratorium z Krystalografii

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

2. Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności oraz kompetencji społecznych (jeśli obowiązują):

2. Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności oraz kompetencji społecznych (jeśli obowiązują): WYŻSZA SZKOŁA UMIEJĘTNOŚCI SPOŁECZNYCH SYLABUS PRZEDMIOT Perspektywa i aksonometria I. Informacje ogólne 1. Nazwa przedmiotu: Perspektywa i aksonometria 2. Rodzaj przedmiotu - obowiązkowy 3. Poziom i kierunek

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE VI

SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE VI SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE VI Temat: Oś symetrii figury. Cele operacyjne: Uczeń: - zna rodzaje trójkątów i ich własności, - zna rodzaje czworokątów ich własności, - odkrywa i formułuje definicję

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium GRAFIKA KOMPUTEROWA Computer Graphics Forma studiów: studia

Bardziej szczegółowo

KRYSTALOGRAFIA Studia pierwszego stopnia, stacjonarne II rok

KRYSTALOGRAFIA Studia pierwszego stopnia, stacjonarne II rok Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Odlewnictwa Katedra Inżynierii Stopów i Kompozytów Odlewanych Nr ćwiczenia: 1 Opracowała Temat: Cel ćwiczenia: Zakres wymaganego materiału Przebieg ćwiczenia Materiały

Bardziej szczegółowo

Część A wprowadzenie do programu Mercury

Część A wprowadzenie do programu Mercury Część A wprowadzenie do programu Mercury Mercury program graficzny do wizualizacji i analizy geometrii cząsteczek i kryształów. Zbiory wejściowe do tego programu o rozszerzeniu res, cif (mol lub pdb) zawierają

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne sposób i potrzebę zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Sieć przestrzenna. c r. b r. a r. komórka elementarna. r r

Sieć przestrzenna. c r. b r. a r. komórka elementarna. r r Sieć przestrzenna c r b r r r u a r vb uvw = + + w c v a r komórka elementarna V = r r a ( b c) v Układy krystalograficzne (7) i Sieci Bravais (14) Triclinic (P) a b c, α β γ 90 ο Monoclinic (P) a b c,

Bardziej szczegółowo

ROZWINIĘCIA POWIERZCHNI STOPNIA DRUGIEGO W OPARCIU O MIEJSCA GEOMETRYCZNE Z ZA- STOSOWANIEM PROGRAMU CABRI II PLUS.

ROZWINIĘCIA POWIERZCHNI STOPNIA DRUGIEGO W OPARCIU O MIEJSCA GEOMETRYCZNE Z ZA- STOSOWANIEM PROGRAMU CABRI II PLUS. Anna BŁACH, Piotr DUDZIK, Anita PAWLAK Politechnika Śląska Ośrodek Geometrii i Grafiki Inżynierskiej ul. Krzywoustego 7 44-100 Gliwice tel./ fax: 0-32 237 26 58, e-mail: anna.blach@polsl.pl, piotr.dudzik@polsl.pl,

Bardziej szczegółowo

KARTA PRACY NAUCZYCIELA

KARTA PRACY NAUCZYCIELA KARTA PRACY NAUCZYCIELA Przedmiot: Klasa: Temat: Data Uwagi: Matematyka III gimnazjum Objętość brył podobnych Nie wszystkie zadania muszą zostać wykonane. Wszystko zależy od poziomu wiadomości danej klasy.

Bardziej szczegółowo

Bezpośredni opiekunowie laboratorium: Prof. dr hab. Marek Szafrański. Prof. dr hab. Maciej Kozak, dr Marceli Kaczmarski.

Bezpośredni opiekunowie laboratorium: Prof. dr hab. Marek Szafrański. Prof. dr hab. Maciej Kozak, dr Marceli Kaczmarski. Bezpośredni opiekunowie laboratorium: Prof. dr hab. Marek Szafrański Prof. dr hab. Maciej Kozak, dr Marceli Kaczmarski. Ćwiczenia w tym laboratorium polegają na analizie obrazu dyfrakcyjnego promieni rentgenowskich.

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 1. Oprocentowanie lokat i kredytów - zna pojęcie procentu prostego i składanego; - oblicza

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Mathematics

KARTA KURSU. Mathematics KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

SUROWCE I RECYKLING. Wykład 2

SUROWCE I RECYKLING. Wykład 2 SUROWCE I RECYKLING Wykład 2 Układ krystalograficzny grupuje kryształy o pewnych wspólnych cechach symetrii geometrycznej Postacie krystalograficzne Kryształy ograniczone ścianami jednoznacznymi stanowią

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii powierzchni metali

Elementy teorii powierzchni metali prof. dr hab. Adam Kiejna Elementy teorii powierzchni metali Wykład 2 v.16 Sieci płaskie i struktura powierzchni 1 Typy sieci dwuwymiarowych (płaskich) Przecinając monokryształ wzdłuż jednej z płaszczyzn

Bardziej szczegółowo

Krystalografia. Dyfrakcja na monokryształach. Analiza dyfraktogramów

Krystalografia. Dyfrakcja na monokryształach. Analiza dyfraktogramów Krystalografia Dyfrakcja na monokryształach. Analiza dyfraktogramów Wyznaczanie struktury Pomiar obrazów dyfrakcyjnych Stworzenie modelu niezdeformowanej sieci odwrotnej refleksów Wybór komórki elementarnej

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja potęgowa - zna i stosuje tw. o potęgach - zna wykresy funkcji potęgowej o dowolnym

Bardziej szczegółowo

Rentgenowska analiza strukturalna Synteza Fouriera. Synteza Pattersona. Rozwiązywanie modelowych struktur na podstawie analizy map Pattersona.

Rentgenowska analiza strukturalna Synteza Fouriera. Synteza Pattersona. Rozwiązywanie modelowych struktur na podstawie analizy map Pattersona. entgenowska analiza strukturalna Synteza Fouriera. Synteza Pattersona. ozwiązywanie modelowych struktur na podstawie analizy map Pattersona. Zakres materiału do opanowania Tranformacja Fouriera i odwrotna

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Krystalografia i rentgenografia Rok akademicki: 2012/2013 Kod: MIM-1-505-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Inżynieria Materiałowa Specjalność:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO 2016-09-01 MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO SZKOŁY BENEDYKTA Ramowy rozkład materiału Klasa II I. Trójmian kwadratowy II. Wielomiany III. Funkcja wymierna IV. Funkcje dowolnego argumentu V.

Bardziej szczegółowo

Położenia, kierunki, płaszczyzny

Położenia, kierunki, płaszczyzny Położenia, kierunki, płaszczyzny Dalsze pojęcia Osie krystalograficzne; Parametry komórki elementarnej; Wskaźniki punktów kierunków i płaszczyzn; Osie krystalograficzne Osie krystalograficzne: układ osi

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

3.3. dwie płaszczyzny równoległe do siebie α β Dwie płaszczyzny równoległe do siebie mają ślady równoległe do siebie

3.3. dwie płaszczyzny równoległe do siebie α β Dwie płaszczyzny równoległe do siebie mają ślady równoległe do siebie Widoczność A. W rzutowaniu europejskim zakłada się, że przedmiot obserwowany znajduje się między obserwatorem a rzutnią, a w amerykańskim rzutnia rozdziela przedmiot o oko obserwatora. B. Kierunek patrzenia

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE BRYŁY FOTOMETRYCZNEJ LAMP I OPRAW OŚWIETLENIOWYCH

WYZNACZANIE BRYŁY FOTOMETRYCZNEJ LAMP I OPRAW OŚWIETLENIOWYCH 6-965 Poznań tel. (-61) 6652688 fax (-61) 6652389 STUDIA NIESTACJONARNE II STOPNIA wersja z dnia 2.11.212 KIERUNEK ELEKTROTECHNIKA SEM 3. Laboratorium TECHNIKI ŚWIETLNEJ TEMAT: WYZNACZANIE BRYŁY FOTOMETRYCZNEJ

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej - scenariusz lekcji. ( czas realizacji: 2- wie godziny lekcyjne)

Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej - scenariusz lekcji. ( czas realizacji: 2- wie godziny lekcyjne) Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej - scenariusz lekcji. ( czas realizacji: 2- wie godziny lekcyjne) Opracowała: Marlena Lisiecka Cele realizowane podczas lekcji: - znajdowanie potrzebnych informacji

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU DLA STUDIÓW PODYPLOMOWYCH

KARTA KURSU DLA STUDIÓW PODYPLOMOWYCH KARTA KURSU DLA STUDIÓW PODYPLOMOWYCH Nazwa Nazwa w j. ang. Geometria Geometry Punktacja ECTS* 9 Opis kursu (cele kształcenia) Celem przedmiotu jest powtórzenie i pogłębienie wiadomości słuchaczy z geometrii

Bardziej szczegółowo

Synteza Fouriera. Synteza Pattersona. Rozwiązywanie modelowych struktur na podstawie analizy map Pattersona.

Synteza Fouriera. Synteza Pattersona. Rozwiązywanie modelowych struktur na podstawie analizy map Pattersona. entgenowska analiza strukturalna Synteza Fouriera. Synteza Pattersona. ozwiązywanie modelowych struktur na podstawie analizy map Pattersona. Zakres materiału do opanowania Tranformacja Fouriera i odwrotna

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 2 - Rysowanie precyzyjne

Ćwiczenie nr 2 - Rysowanie precyzyjne Ćwiczenie nr 2 - Rysowanie precyzyjne Materiały do kursu Skrypt CAD AutoCAD 2D strony: 37-46. Wprowadzenie Projektowanie wymaga budowania modelu geometrycznego zgodnie z określonymi wymiarami, a to narzuca

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Mówimy, że odcinki i CD są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli CD = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli

Bardziej szczegółowo

1.Funkcja logarytmiczna

1.Funkcja logarytmiczna Kryteria oceniania z matematyki dla klasy IV TI poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 1.Funkcja logarytmiczna -potrafi obliczyć logarytm liczby dodatniej; -zna i potrafi stosować

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Podstawy Projektowania Foundation of design in technical engineering Kierunek: Zarządzanie i Inżynieria Produkcji Rodzaj przedmiotu: Poziom studiów: obowiązkowy studia I stopnia Rodzaj

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje ułamki dziesiętne zna kolejność

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona

Bardziej szczegółowo

Wykład II Sieć krystaliczna

Wykład II Sieć krystaliczna Wykład II Sieć krystaliczna Podstawowe definicje Wiele z pośród ciał stałych ma budowę krystaliczną. To znaczy, Ŝe atomy z których się składają ułoŝone są w określonym porządku. Porządek ten daje się stosunkowo

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

AUTOR : HANNA MARCINKOWSKA. TEMAT : Symetria osiowa i środkowa UWAGA:

AUTOR : HANNA MARCINKOWSKA. TEMAT : Symetria osiowa i środkowa UWAGA: SCENARIUSZ ZAJĘĆ Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM PRZYGOTOWANY W PROGRAMIE NARZĘDZIOWYM EXE LEARNING - SYMETRIA OSIOWA I ŚRODKOWA. Szkoła z klasą 2.0 Zastosowanie technologii informacyjnej AUTOR : HANNA

Bardziej szczegółowo

Projekt matematyczny

Projekt matematyczny Projekt matematyczny Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki Katowice VI Święto Liczby π 15 marca 2012 r. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 1 / 32 Wielkie twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii. Ćwiczenie 4. Badanie optycznej transformaty Fouriera

Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii. Ćwiczenie 4. Badanie optycznej transformaty Fouriera Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii Ćwiczenie 4. Badanie optycznej transformaty Fouriera Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska Gdańsk

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa III zakres rozszerzony

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa III zakres rozszerzony Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa III zakres rozszerzony Program nauczania zgodnie z: Kurczab M., Kurczab E., Świda E., Program nauczania w liceach i technikach. Zakres Rozszerzony., Oficyna Edukacyjna

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Projektowanie Produktu Product Design PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Projektowanie Produktu Product Design PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu Kierunek: Projektowanie Produktu Product Design Zarządzanie i Inżynieria Produkcji Management and Production Engineering Rodzaj przedmiotu: specjalnościowy Rodzaj zajęć: Wykład, laboratorium

Bardziej szczegółowo

Projektowanie Produktu Product Design PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Projektowanie Produktu Product Design PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu Kierunek: Rodzaj przedmiotu: specjalnościowy Projektowanie Produktu Product Design Zarządzanie i Inżynieria Produkcji Management and Production Engineering Rodzaj zajęć: Wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1 KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA I LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać

Bardziej szczegółowo

Z-ID-103 Algebra liniowa Linear Algebra

Z-ID-103 Algebra liniowa Linear Algebra KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Z-ID-0 Algebra liniowa Linear Algebra Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 0/06 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

R n jako przestrzeń afiniczna

R n jako przestrzeń afiniczna R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa III

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa III Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa III Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja potęgowa - zna i stosuje tw. o potęgach - zna wykresy funkcji potęgowej

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum w roku szkolnym 2011/2012 opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum w roku szkolnym 2011/2012 opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum w roku szkolnym 2011/2012 opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P

Bardziej szczegółowo