FILTRACJE W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI

Transkrypt

1 FILTRACJE W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI ( frequency domain filters) Każdy człon F(u,v) zawiera wszystkie wartości f(x,y) modyfikowane przez wartości członów wykładniczych Za wyjątkiem trywialnych przypadków zwykle nie można bezpośrednio kojarzyć elementów na obrazie z transformatą

2 Możliwe są jedynie pewne ogólne obserwacje określające zależności pomiędzy przestrzenną charakterystyką obrazu a składowymi transformaty Fouriera (częstotliwość związana ze zmiennością intensywności) Najwolniej zmieniająca się składowa dla u=0=v - to średni poziom szarości na obrazie Kiedy przesuwamy się od środka rośnie częstotliwość, czyli szybkość zmian intensywności na obrazie

3 Oryginalny obraz Transformata Fouriera

4 Oryginalny obraz Transformata Fouriera

5 Podstawy filtracji w dziedzinie częstotliwości (1) Mnożymy obraz wejściowy f(x,y) przez (-1) x+y (2) Obliczamy trnasformatę F(u,v) - DFT (3) Mnożymy F(u,v) przez funkcję filtrującą H(u,v) : G(u,v) = H(u,v) F(u,v) (4) Obliczamy transformatę odwrotną do G(u,v) z (3) (5) Bierzemy część rzeczywistą z (4) (6) Mnożymy wynik (5) przez (-1) x+y

6 Transformata Fouriera Filtrująca funkcja H(u,v) Odwrotna transformata Fouriera F(u,v) F(u,v) H(u,v) f(x,y) input g(x,y) output Funkcję H(u,v) nazywamy filtrem usuwa ona tylko określone częstotliwości transformaty, pozostawiając resztę bez zmian: G(u,v) = H(u,v) F(u,v) tu: mnożenie funkcji dwuwymiarowej element przez element

7 Uwaga: W filtrach Fouriera nie ma zależności od lokalnego kontekstu obrazu Oryginalne dane są zamieniane na elementy szybko i wolno zmieniające się - są to na ogół ważne kryteria przy projektowaniu filtrów Filtry Fouriera najczęściej stosowane do kompensacji efektów, związanych z układem optycznym kamery teleskopu itp..

8 Przykładowe filtry i ich właściwości Filtry wycinające ( notch filter) Filtry dolnoprzepustowe ( lowpass filter) Filtry górnoprzepustowe (highpass filter) Filtry pasmowe ( bandpass filter)

9 Filtry wycinające ( notch filter) H(u,v) = 0 dla (u,v) = (M/2,N/2) 1 dla pozostałych Filtr powoduje, że F(0,0) = 0, a pozostałe wartości pozostają bez zmian. Filtr jest przydatny dla identyfikacji określonych efektów przestrzennych na obrazie i kojarzeniu ich ze składowymi w przestrzeni Fouriera

10 Obraz oryginalny Transformata Fouriera DFT... po filtracji wycinającej Zmniejszenie poziomów kwantyzacji (wymuszana średnia wartość do zera; wartości ujemne progowane przy wyświetlaniu) Wyostrzenie krawędzi

11 Niskie częstotliwości w transformatach Fouriera są związane z ogólnym rozkładem skali szarości w regionie wygładzonym (o łagodnych zmianach) Wysokie częstości w transformatach Fouriera są zwykle odpowiedzialne za szczegóły, takie jak krawędzie, szum.

12 Filtry dolnoprzepustowe ( lowpass filter) Osłabianie wysokich częstotliwości, przepuszczanie niskich... Postać filtru...efekt działania

13 Filtry górnoprzepustowe (highpass filter) Osłabianie niskich częstotliwości, przepuszczanie wysokich... Postać filtru...efekt działania

14 Efekt działania filtru górnoprzepustowego modyfikacja poprzez dodanie wartości stałej do funkcji H

15 FILTRY WYGŁADZAJĄCE W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI

16 IDEALNY FILTR DOLNOPRZEPUSTOWY Ideal Lowpass Filters (ILPF) 1 dla D(u,v) D 0 H(u,v) = 0 dla H(u,v)> D 0 D 0 gdzie D jest odległością od środka transformaty odległością (częstotliwością ) obcięcia (cutoff)

17 Ilustracje funkcji H dla filtru typu ILPF Rzut 3D filtru H Obraz filtru H Przekrój funkcji H

18 Przykłady działania filtru typu ILPF Obraz oryginalny 500 x 500 pikseli

19 Przykłady działania filtru typu ILPF różne obcięcia (cutoff) Widmo Fouriera - zaznaczone okręgi dla: 92, 94.6, 98 oraz 99.5% widma mocy ( dla 5, 15, 30, 80, 230 pikseli)

20 Przykłady działania filtru typu ILPF różne obcięcia (cutoff) oryginał dla 5 dla 15 dla 30 dla 80 dla 230

21 FILTR DOLNOPRZEPUSTOWY BUTTERWORTH Butterworth Lowpass Filters (BLPF) Definicja funkcji H rzędu n dla BLPF H(u,v) = 1+[D(u,v)/D 0 ] 2n 1 gdzie D 0 jest odległością obcięcia (cutoff)

22 Ilustracje funkcji H dla BLPF Rzut 3D filtru H Obraz filtru H Przekrój funkcji H dla różnych n

23 Przykłady działania filtru typu BLPF różne obcięcia (cutoff) oryginał dla 5 dla 15 dla 30 dla 80 dla 230

24 FILTR DOLNOPRZEPUSTOWY GAUSSA Gauss Lowpass Filters (GLPF) Definicja funkcji H dla GLPF: H(u,v) = exp(-d 2 (u,v)/2d 02 ) gdzie D jest odległością od środka transformaty

25 Ilustracje funkcji H dla GLPF Rzut 3D filtru H Obraz filtru H Przekrój funkcji H dla różnych D 0

26 Przykłady działania filtru typu GLPF różne obcięcia (cutoff) oryginał dla 5 dla 15 dla 30 dla 80 dla 230

27 Przykłady zastosowań 1.

28 Obraz oryginalny 440 x 508..po zastosowaniu GLPF dla D 0 =80

29 Przykłady zastosowań 2. Obraz oryginalny 1028 x 732

30 ...po zastosowaniu filtru GLPF oryginał D 0 = 100 D 0 = 80

31 Przykłady zastosowań 3. Obraz NOAA (widoczne skanowania)

32 ...po zastosowaniu filtru GLPF oryginał D 0 = 30 D 0 = 10

33 FILTRY WYOSTRZAJĄCE W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI

34 Działanie przeciwne do filtrów wygładzających dolnoprzepustowych (lp( lp) filtry wyostrzające są górnoprzepustowymi (hp): Hhp(u,v) = 1 Hlp(u,v)

35 IDEALNY FILTR GÓRNOPRZEPUSTOWY Ideal Highpass Filter (IHPF) 0 dla D(u,v) D 0 H(u,v) = 1 dla H(u,v)> D 0 D 0 gdzie D jest odległością od środka transformaty odległością (częstotliwością ) obcięcia (cutoff)

36 Ilustracje funkcji H dla filtru typu IHPF Rzut 3D filtru H Obraz filtru H Przekrój funkcji H

37 Przykłady działania filtru typu IHPF Obraz oryginalny 500 x 500 pikseli

38 D 0 = 15 D 0 = 30 D 0 = 80

39 FILTR GÓRNOPRZEPUSTOWY BUTTERWORTH Butterworth Highpass Filters (BHPF) Definicja funkcji H rzędu n dla BHPF H(u,v) = 1+[D 0 /D(u,v )] 2n 1 gdzie D 0 jest odległością obcięcia (cutoff)

40 Ilustracje funkcji H dla filtru typu BHPF Rzut 3D filtru H Obraz filtru H Przekrój funkcji H

41 D 0 = 15 D 0 = 30 D 0 = 80

42 FILTR GÓRNOPRZEPUSTOWY GAUSSA Gauss Highpass Filters (GHPF) Definicja funkcji H dla HLPF: H(u,v) = 1- exp(-d 2 (u,v)/2d 02 ) gdzie D jest odległością od środka transformaty

43 Ilustracje funkcji H dla filtru typu GHPF Rzut 3D filtru H Obraz filtru H Przekrój funkcji H

44 D 0 = 15 D 0 = 30 D 0 = 80

45 Przykłady zastosowań

46 Przykłady zastosowań oryginał..po filtracji typu BHPF

47 ...po zastosowaniu filtru wzmocnionego w postaci: a+b H(u,v), gdzie a i b Const..i wyrównaniu histogramu