Propagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja)

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Propagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja)"

Kacper Jabłoński
4 lat temu
Przeglądów:

1 Fotonika Wykład 7 - Sposoby wyznaczania obrazu dyfrakcyjnego - Przykłady obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim obliczonych przy użyciu dyskretnej transformaty Fouriera - Elementy dyfrakcyjne

2 Propagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja) E x ( x, y, z =0) E x ( x, y, z =d) exp i k r h^ (v x, v y ) [ h z ( v)= exp ( π i z n / λ v x v y ) ]

3 Dyfrakcja w przybliżeniu Fresnela Dyfrakcja w bliskim polu: funkcja przenoszenia przestrzeni swobodnej: [ h z ( v)= exp ( π i z n / λ v x v y ) ] ( n λ v + v Przybliżenie Fresnela: n / λ v v λ 1 ( x y) n x y Warunek stosowalności przybliżenia Fresnela: N F n r t / 4z 1 Liczba Fresnela: N F = rt / λ z )

4 Dyfrakcja w przybliżeniu Fresnela Dyfrakcja w bliskim polu: Funkcja przenoszenia przestrzeni swobodnej: [ v = exp i z h z n / v x vy ] Przybliżenie Fresnela: [ v = exp i z h z n x / v v y n n / v v 1 v v x y n ] exp i k Odpowiedź impulsowa: 0 x y [ ] n z exp v n/i z IFT (-wym): [ ] exp i k 0 n z r t h z r t = exp i z/n i z/ n Warunek stosowalności przybliżenia Fresnela: N F n r t / 4z 1 Liczba Fresnela: N F = r t / z

5 Związek dyfrakcji Fresnela z transformatą Fouriera Odpowiedź impulsowa przestrzeni swobodnej (przybliżenie Fresnela): [ ( )] ik n z π r t e h z ( r t )= exp i λ z/n i λ z /n 0 Rozkład pola w obrazie dyfrakcyjnym: (Splot pola wejściowego z odpowiedzią impulsową) E ( r t ', z )= E( r t, z =0) h z ( r t ' r t ) d r t= [ ( ik nz π ( r t r t ' ) e = E ( r t, z=0) exp i λ z / n i λ z/n 0 )] d rt =

6 Związek dyfrakcji Fresnela z transformatą Fouriera Odpowiedź impulsowa przestrzeni swobodnej (przybliżenie Fresnela): i k0 n z h z r t = [ ] r t e exp i z/n i z/n Rozkład pola w obrazie dyfrakcyjnym: (Splot pola wejściowego z odpowiedzią impulsową) E r t ', z = E rt, z=0 h z r t ' r t d r t = [ ] ] ( )] ( ik nz r t r t ' e = E r t, z=0 exp i z/ n i z/ n 0 [ d rt= ik nz r t ' r t i r t r t ' e = exp E r t, z=0 exp exp d rt i z/n i z/n i z/ n z/ n 0 E (v t ', z)= i k0 n z e i π vt ' λ z / n e i λ z/n [ E( r t, z =0) exp π r t i λ z/ n exp π i r t v t ' ) d r t vt'= Jądro transformaty Fouriera rt ' z/n

7 Dyfrakcja w przybliżeniu (Dyfrakcja w dalekim polu) Fraunhofera Dyfrakcja Fresnela: E (v t ', z)= e i π vt ' λ z / n i k0 n z e i λ z/n [ E( r t, z=0) exp ( )] π r t i λ z/ n exp ( π i r t v t ' ) d r t r t / z 1 (Przybliżenie Fraunhofera dalekiego pola) Dyfrakcja Fraunhofera: i k0 n z E (v t ', z)= vt ' = e i π vt ' λ z / n e i λ z /n E (r t, z=0) exp ( π i r t v t ' ) d r t rt ' z/n Warunek stosowalności przybliżenia Fraunhofera: N F = r t / z 1 N n r / 4z 1 + F t

8 Przykłady numerycznego wyznaczania dyfrakcji w polu dalekim Dyfrakcja Fraunhofera: i k0 n z E (v t ', z)= vt ' = e rt ' z/n i π λ z v t ' / n e i λ z/ n E( r t, z=0) exp ( π i r t v t ' ) d r t

9 Tw. o przesunięciu Apertura kołowa Rozkład natężenia w polu dalekim Szum numeryczny związany z dyskretyzacją (zaburzona symetria obrotowa!) circ(r) J 1 ( π v )/ v f (r r 0 ) exp( π ir 0 v ) F (v )

10 Tw. o przesunięciu Apertura Pole dalekie część rzeczywista

11 Tw. o przesunięciu dla dyskretnej T.F. Apertura Pole dalekie natężenie

12 Tw. o skalowaniu Apertura Rozkład natężenia w polu dalekim f r/ s s n F s v f x / sx,y /sy sx sy F sx v x,sy v y

13 Tw. o skalowaniu (jeden wymiar) Apertura Rozkład natężenia w polu dalekim f x / sx,y / sy sx sy F sx v x,sy v y

14 Symetria Apertura Rozkład natężenia w polu dalekim - T.F. Funkcji rzeczywistej jest hermitowska (rozkład natężenia ma symetrię środkową ) f r ℝ F v =F v - obrót apertury obraca obraz dyfrakcyjny - wąsy (wysokie cz. przestrzenne) w kierunku prostopadłym do brzegów apertury

16 Tw. o splocie Apertura Kształt piksela Rozkład natężenia w polu dalekim f r =f 1 r f r = f 1 r ' f r r ' d r ' F v =F1 v F v Kształt obwiedni

17 DOE znaczenie kształtu pikseli f 1 r = r r0 r r0 f r =rect x rect y f r =circ r Apertura Kształt piksela Rozkład natężenia w polu dalekim i v r 0 i v r 0 F 1 v =e e =cos v r0 F x,y =sinc x sinc y sin x sin y = x y F v = F v =F 1 v F v J 1 v v

18 Siatka sinusoidalna f 1 r =cos r v 0 f r =rect x rect y f r =circ r Kształt apertury Funkcja rozmycia F 1 v = v v 0 v v 0 F x,y =sinc x sinc y F v = F v =F 1 v F v J 1 v v

19 Rodzaje siatek dyfrakcyjnych f r =exp i r v 0 f r =cos r v 0 Binarna fazowa Binarna Sinusoidalna Fazowa f r =H cos r v 0 f r =sgn cos r v 0 f r = an exp i nr v 0 n= v 0 =1/ F v = v v 0 F v = v v 0 v v 0 F v = an v v 0 n= +

20 Dyskretna transformata Fouriera Ciągła transformata Fouriera: v ' h r exp i r v d r h Dyskretyzacja (przyp. 1-wymiarowy): h l mod N =h l x k v = h h =h k mod N Dyskretna transformata Fouriera : Zapis w postaci sumy: h^k l =0 Szybka transformata Fouriera (FFT): F h Zapis macierzowy: h= F= F1 F F lg N N 1 k x N v= 1 N r h l exp ( π i k l / N ) [ F ]k, l exp i k n / N Fi są macierzami rzadkimi (po N elementów) Liczba mnożeń: N N lg N

21 Dyskretna transformata Fouriera Ciągła transformata Fouriera: v ' h r exp i r v d r h Dyskretna transformata Fouriera : Zapis w postaci sumy: h k Δ r Δ v =N 1 Gęstości próbkowania obrazu i widma N 1 l=0 h l exp i k l / N (N Δ r ) (N Δ v)= N Szerokości obrazu i widma

22 Gęstość próbkowania i nachodzenie widma (ang. aliasing) x'= x Apertura 18x18 x N ' /N 51x51 x ' = x 51x51 Gęstsze próbkowanie zanurzenie w macierzy zer Szerszy zakres widma Gęstsze próbkowanie widma Rozkład natężenia w polu dalekim Aliasing! Aliasing! v= 1 N x v ' = v v '= v N ' /N

23 Elementy dyfrakcyjne - idea d1 Wiązka padająca DOE (diffractive optical element) d t(x, y ) U i (x, y ) Oczekiwany obraz dyfrakcyjny Transmitancja amplitudowa cienkiego elementu dyfrakcyjnego U o (x, y ) Projektowanie (duże uproszczenie): U i (x, y ) d1 U 'i ( x, y ) U o '( x, y) t(x, y ) d U o (x, y ) Uo ' = A(x, y ) exp(i k0 (n 1) d(x, y )) U i'

Podobne dokumenty

Różne reżimy dyfrakcji

Różne reżimy dyfrakcji Fotonika Wykład 7 - Sposoby wyznaczania obrazu dyfrakcyjnego - Przykłady obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim obliczonych przy użyciu dyskretnej transformaty Fouriera - Elementy dyfrakcyjne Różne reżimy