Transformacje Fouriera * podstawowe własności

Transkrypt

1 Transformacje Fouriera * podstawowe własności * podejście mało formalne

2 Funkcja w domenie czasowej Transformacja Fouriera - wstęp Ta sama funkcja w domenie częstości Transformacja Fouriera polega na rozkładzie sygnału na funkcje sin i cos czyli na wyznaczeniu wkładu danej składowej częstotliwościowej do sygnału W podobny sposób funkcje zdefiniowanie w domenie położenia możemy przedstawiać w domenie częstości przestrzennych (wektora falowego)

3 Obie domeny są równoważne, ale. Funkcja w domenie czasowej Ta sama funkcja w domenie częstości Dodajemy biały szum W tym przypadku domena częstotliwości jest dużo wygodniejsza

4 Przykłady bezpośredniej realizacji transformacji Fouriera Rozpraszanie Elementy optyczne k k 0 r(r) A(q) Obraz rozproszenie jest transformatą Fouriera obiektu Obraz w tylnej płaszczyźnie ogniskowej jest TF obrazu w przedniej płaszczyźnie ogniskowej

5 Iloczyn skalarny (rzut)

6 Pewne całki z funkcjami sinus i kosinus Transformacja Fouriera polega na rozkładzie sygnału na funkcje sin i cos czyli na wyznaczeniu wkładu danej składowej częstotliwościowej do sygnału Zatem, składowe fourierowskie są niezależne [funkcje sin/cos są ortogonalne] Te własności czynią transformacje Fouriera użytecznymi/możliwymi

7 Prosta zagadka 1 Całka z iloczynu dwóch funkcji która z poniższych całek jest większa? I 1 I 2

8 Prosta zagadka 1 Całka z iloczynu dwóch funkcji która z poniższych całek jest większa? I 1 I 2 I 1 <I

9 Prosta zagadka 2 Całka z iloczynu dwóch funkcji f(x) - gauss I 1 g(x)=cos(x) I 2 g(x)=cos(5x) 2009

10 Prosta zagadka 2 Całka z iloczynu dwóch funkcji f(x) - gauss I 1 g(x)=cos(x) I 2 g(x)=cos(5x) I 1 >I 2

11 Prosta zagadka 3 Całka z iloczynu dwóch funkcji f(x) - gauss I g(x)=cos(5x) 1 I 2 g(x)=sin(5x)

12 Prosta zagadka 3 Całka z iloczynu dwóch funkcji f(x) - gauss I g(x)=cos(5x) 1 I 2 g(x)=sin(5x) I 1 >I 2 I 2 =0 2009

13 Definicja transformacji Fouriera Rozkład funkcji na funkcje harmoniczne: sinus i cosinus 2p/k x F(k) jest także funkcją [w przestrzeni odwrotnej] W ogólności jest funkcją zespoloną!

14 Terminologia Transformacja Fouriera operacja na funkcji Transformata Fouriera funkcja uzyskana po zastosowaniu transformacji

15 Konwencja Generalnie: Inne nasza Mathematica Wolfram MathWorld Uwaga 1: Mathematica umożliwia liczenie w dowlolnej konwencji Uwaga 2: Pewne transformaty i tożsamości zależą od konwencji. Tutaj warto użyć Wiki [generalnie zawsze z rozwagą!]:

16 Transformacja Fouriera: Odwrotna transformacja Fouriera Mając do dyspozycji F(k) dla wszystkich wartości k możemy odzyskać (czyli zrekonstruować )oryginalną funkcję f(x)! Odwrotna transformacja: Jest to jedna z najważniejszych cech transformacji Fouriera!!!!

17 Prezentacja Transformata Fouriera jest funkcją zespoloną! część rzeczywista część urojona amplituda faza

18 Symetria i rzeczywistość f(x) rzeczywiste to F(k)=F * (-k) f(x) urojone to F(k)=-F * (-k) f(x) rzeczywiste i f(x) = f(-x) to F(k) rzeczywiste i F(k)=F(-k) f(x) rzeczywiste i f(x) =- f(-x) to F(k) urojona i F(k)=-F(-k)

19 Delta Diraca Robocza definicja Własności Symboliczny wykres Wysokość jest miarą stałej mnożącej deltę.

20 Delta Diraca definicja przez granicę

21 Transformacje pewnych prostych funkcji Aby zilustrować pewne podstawowe własności transformaty Fouriera poznajmy najpierw transformaty podstawowych funkcji 1 k=0 k=k 0-1 k=0 1 k=0 0 Stała wartość (np. tło) występuje dla k=0 kolory -Re, Im

22 Transformacje pewnych prostych funkcji k=0 k=-k 0 k=k 0 k=0 k=-k 0 k=k 0 kolory -Re, Im

23 Transformacje pewnych prostych funkcji Gauss k=0 Dx Dk Transformata Fouriera gaussa jest gaussem. Mała lokalizacja w przestrzeni rzeczywistej oznacza dużą lokalizację w przestrzeni odwrotej. [por. Heisenberg] kolory -Re, Im

24 Transformacje pewnych prostych funkcji Funkcja prostokątna k=0 1 0 x=-1/2 x=1/2 Bardzo ważna funkcja. Granice w całce Fouriera są nieskończone. Funkcja prostokątna często służy do opisu sygnałów zlokalizowanych w przestrzeni lub w czasie [jako czynnik mnożący] kolory -Re, Im

25 Transformacje pewnych prostych funkcji kolory -Re, Im

26 Transformacje pewnych prostych funkcji 1/2 x=0 k=0 0-1/2 kolory -Re, Im

27 Grzebień Diraca

28 Funkcje periodyczne i szeregi Fouriera Funkcja periodyczna z okresem : Obliczmy jej transformatę: Zdefiniujmy: Otrzymujemy: Taką funkcję można zapisać jako szereg:

29 Licznenie np. Mathematica

30 Ogólne własności - liniowość k=0

31 Ogólne własności skalowanie

32 Ogólne własności - przesunięcie kolory Re, Im, x=x 0 x=x 0 Cała informacja o przesunięciu Optyka zawarta rentgenowska jest w -fazie. P. Korecki Nie wpływa ono na amplitudę!

33 Ogólne własności twierdzenie o mocy Uwaga: spełnione nie dla wszystkich konwencji!

34 Splot Ważna operacja: sygnał + poszerzenie aparaturowe, rozmycie obrazów

35 Ważny splot

36 Twierdzenie o splocie Transformata Fouriera splotu funkcji jest proporcjonalna do iloczynu transformat Fouriera tych funkcji!!! Pozwala to na łatwe obliczanie splotu Analogicznie Transformata Fouriera iloczynu funkcji jest splotem transformacji Fouriera tych funkcji!!!

37 Przykład 1 1 0

38 Przykład 2 Typowy przykład: impuls o podstawowej częstość w (energii E) i skończonej długości Dt ma rozmycie energetyvze Dw DE 1/Dt

39 Twierdzenie o korelacji i autokorelacji (szczegółowa dyskusja póżniej) Definicja korelacji Twierdzenie Autokorelacja Łatwy sposób na liczenie

40 Dyskretna transformacja Fouriera dane eksperymentalne W eksperymencie dyskretnie próbkujemy ciągły sygnał: f(x) L x Całka Fouriera jest wtedy aproksymowana sumą

41 Próbkowanie

42 Próbkowanie

43 Próbkowanie

44 Próbkowanie

45 Próbkowanie

46 Próbkowanie

47 Twierdzenie Shannona o próbkowaniu Jeżeli próbkowana funkcja jest ograniczona pasmowo tzn. jej transformata Fouriera jest zero powyżej pewnej częstości k c to funkcje i jej transformatę można bezstratnie odzyskać stosując próbkowanie Nyquista D=p/k c -k c k c D=p/k c

48 Szybka transformacja Fouriera Dyskretna postać transformacji [uwaga inna konwencja!] 1D 2D N punktów N 2 operacji N 1 x N 2 punktów FFT (N całkowita liczba danych) Pozwala na niesamowite przyspieszenie obliczeń 1D N 2 Nlog 2 (N) 2D N 4 2 N 2 log 2 (N) Przykład N=1000 [macierz 1024x1024] N 1 2 x N 22 operacji W FFT macierz wyjściowa ma taki sam wymiar jak macierz wejściowa: konsekwencja twierdzenia Shannona N 4 = N 2 log 2 (N)=2x10 7

49 Transformacja Fouriera w n-wymiarach

50 Transformacja Fouriera w 2D

51 Prosty przykład w 2D y k y (-k 0,0) (k 0,0) (0,0) x k x (k 0, k 0 ) y k y (0,0) (-k 0, -k 0 ) x k x

52 Przykład filtracja przestrzenna

53 Wizualizacja zespolonych funkcji 2D Dowolna zespolona funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych [np. zespolony obraz] Zwykle do wizualizacji używamy dwóch obrazów Sposób 1: Część rzeczywista i urojona Sposób 2: Moduł i faza

54 Sposób 1 Sposób k y -1 k x 0 1 2p -1 0 Nie widać amplitudy Problemy ze skokami fazy : funkcja arctan lub arctan2 zwraca kąt [ p/2,p/2] lub [-p/p]

55 Model HSV RGB [red,blue,green] mieszanie kolorów podstawowych Alternatywny sposób opisu kolorów HSV (hue, saturation,value) barwa, nasycenie, jasność Odzwierciedla fizyczną percepcję kolorów Barwa Widmo światła widzialnego Nasycenie Kolor nasycony [czysty czerwony] wąskie widmo Długość fali [nm] Długość fali [nm] Kolor nienasycony [prawie biały] szerokie widmo

56 Prezentacja HS(V=1) Im f f f Re f f odpowiada saturacji [zero to biały] f odpowiada barwie 0 - rzeczywiste, dodatnie rzeczywiste, ujemne [dopełnienie RGB czerwonego] 90 - urojone, dodatnie urojone, ujemne

57 Przykłady rzeczywisty gauss rzeczywisty kosinus urojony sinus

58 W tym obszarze brak koloru białego Funkcja nie ma zer!

59 Trochę bardziej skomplikowana funkcja Superpozycja prostopadłych fal Re F Prążki: tylko odległość. F F Brak zer w tym kierunku! Czysto zespolone wartości! Mała symetria. Zera (biały): sinus lub cosinus. Symetria względem tej prostej! k y k x Im F f

60 Kevin Cowtan's Picture Book of Fourier Transforms