Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Transkrypt

1 Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie" w sensie wyciągania wniosków itp. Tu "logika" oznacza "formalne reguły dotyczące prawdziwości zdań". Zdanie Zdaniem w sensie logiki (zdaniem logicznym) nazywamy wyrażenie, któremu możemy jednoznacznie przyporządkować jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę (1) lub fałsz (0). Uwaga W sensie logiki zdaniami nie są zdania pytające i rozkazujące. "Warszawa jest stolicą Polski" jest zdaniem (prawdziwym), "Pcim jest stolicą Polski" jest zdaniem (fałszywym), "najładniejsze kwiaty to malwy" nie jest zdaniem. Zdania złożone Z jednego (lub kilku) zdań możemy utworzyć nowe zdania zdania złożone przy pomocy operatorów logicznych (zw. czasem też spójnikami zdaniowymi, funktorami zdaniotwórczymi). Podstawowe operatory Zaprzeczenie (negacja) zdania: " ". Dla zdania jest operacją jednoargumentową; czytamy: "nieprawda, że ". Zaprzeczenie Zaprzeczenie (negacja) Koniunkcja zdań : " ". ("Mnożenie" logiczne). Operacja dwuargumentowa: czytamy " i ". Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba są prawdziwe, co ilustrujemy przy pomocy tabelki logicznej: Koniunkcja 1 1 1

2 Alternatywa zdań : " ". ("Dodawanie" logiczne). Operacja dwuargumentowa: czytamy " lub ". Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedno z nich jest prawdziwe. Zapisujemy to przy użyciu tabelki: Alternatywa Implikacja zdań : " ". Operacja dwuargumentowa: czytamy "jeżeli to ". Implikacja Równoważność zdań: : " ". Operacja dwuargumentowa: czytamy " wtedy i tylko wtedy gdy ". Dwa zdania są równoważne, gdy są oba jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe: Równoważność Alternatywa wykluczająca zdań: : " ". Operacja dwuargumentowa. Jest to operacja działająca odwrotnie niż równoważność: Wynik zadziałania alternatywy wykluczającej jest prawdziwy wtedy i tylko wtedy gdy jedno ze zdań jest fałszywe, a drugie prawdziwe: Alternatywa wykluczająca

3 Tautologia Tautologią nazywamy zdanie złożone, które jest prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań, z których jest złożone. (W językoznawstwie "tautologią" nazywa się wyrażenie w stylu "masło maślane", czyli powtórzenie tego samego, może innymi nieco słowami; tu definicja jest nieco szersza, gdyż dotyczy zdań złożonych.) Niektóre prawa rachunku zdań Prawo podwójnego przeczenia:. Prawo wyłączonego środka: Przykł: Niech będzie zdaniem: "Legia wygrała"; wtedy to "Legia przegrała lub zremisowała". Zdanie: jest zawsze prawdziwe. Prawa de Morgana: Prawo zaprzeczenia koniunkcji:. (o tym można się przekonać bezpośrednim rachunkiem, wstawiając możliwe wartości logiczne zdań i patrząc czy po lewej i prawej stronie dostanie się to samo. Jest to uniwersalna metoda sprawdzania, czy dwa zdania złożone są równoważne.) Prawo zaprzeczenia alternatywy:. Prawo zaprzeczenia implikacji:. Prawo transpozycji:. Prawa łączności: Łączność koniunkcji: Łączność alternatywy: Prawa rozdzielności: koniunkcji względem alternatywy: alternatywy względem koniunkcji: Kwantyfikatory Dotyczą form zdaniowych. Dla każdego zachodzi Istnieje taki, że zachodzi Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów

4 Powiedzieć, że "nieprawda, że wszystkie liczby naturalne są parzyste" jest tym samym, co powiedzieć, że "istnieje taka liczba naturalna, która jest nieparzysta". Zbiory Zbiór Zbiór jest pojęciem pierwotnym, niedefiniowalnym. Aby jednak na tym nie poprzestać i powiedzieć o co tu chodzi, to taką pseudodefinicją mogłoby być: "coś, co zawiera elementy". Zbiór pusty Zbiorem pustym nazywamy zbiór, który nie zawiera żadnego elementu. Oznacza się go. Zbiór skończony Zbiorem skończonym nazywamy zbiór posiadający skończoną ilość elementów. Ilość elementów zbioru skończonego oznaczamy jako, czasem też. Równość zbiorów Mówimy, że zbiory i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru należy do zbioru i każdy element zbioru należy do zbioru. Zapisujemy to tak: Zawieranie się zbiorów Zbiór zawiera się w zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru jest jednocześnie elementem zbioru. Sytuację taką oznaczamy, a o zbiorze mówimy, że jest podzbiorem zbioru. Zapisujemy to tak:. A jest podzbiorem B Zbiór liczb parzystych jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych.

5 Niektóre proste własności inkluzji (zawierania się ) zbiorów Podzbiór właściwy (zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru ) (każdy zbiór jest swoim podzbiorem). Jeśli i, to mówimy, że jest podzbiorem właściwym zbioru. Pytanie Ile podzbiorów ma zbiór skończony zawierający elementów? Odp.. Suma zbiorów Sumą zbiorów i nazywamy zbiór tych elementów, które należą do co najmniej jednego z tych zbiorów. Zapisujemy to jako: Suma A i B, oznaczana A B Przecięcie zbiorów Przecięciem (iloczynem) zbiorów i nazywamy zbiór tych elementów, które należą do obu zbiorów. (Przecięcie nazywamy też częścią wspólną). Zapisujemy to jako:

6 Przecięcie A i B, oznaczane A B. Różnia zbiorów Różnicę zbiorów i zapiszemy już tylko wzorem i zilustrujemy: Różnica A\B Rozłączność zbiorów Mówimy, że zbiory i są rozłączne wtedy i tylko wtedy, gdy nie mają wspólnych elementów, tzn. gdy. Dopełnienie zbioru Każdy zbiór możemy uważać za podzbiór jakiegoś większego zbioru (wtedy nazywamy nadzbiorem zbioru ). Def. Dopełnieniem zbioru do zbioru nazywamy zbiór. (Czasem dopełnienie oznacza się też od "complement").

7 Iloczyn kartezjański zbiorów Iloczynem kartezjańskim zbiorów i nazywamy zbiór par uporządkowanych, gdzie : Niech. Wtedy parę liczb rzeczywistych można interpretować jako współrzędne punktu na płaszczyźnie. Tak więc to płaszczyzna. Niech zbiór dat, zbiór miejsc na Ziemi; wtedy = zbiór zdarzeń historycznych. Iloczyn kartezjański zbiorów Analogicznie definiujemy iloczyn kartezjański zbiorów jako zbiór -ek uporządkowanych: Nasza przestrzeń, w której żyjemy, to. Podstawowe zbiory liczbowe i ich oznaczenia zbiór liczb naturalnych ("natural"), zbiór liczb całkowitych ("Zahlen"), ("quotient"), zbiór liczb rzeczywistych ("real"). względnie pierwsze zbiór liczb wymiernych Przedziały liczbowe i ich oznaczenia Przedziały ograniczone Niech i. 3. (przedział obustronnie otwarty)

8 4. (przedział obustronnie domknięty) Przedziały nieograniczone Niech