Wstęp do mechaniki. Wektory. Mnożenie wektorów... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek

Transkrypt

1 Wstęp do mechank dr nż. Ireneusz Owczarek CNMF PŁ 1 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Wektory Algebra wektorów przedstawa sę (na płaszczyźne lub w przestrzen) zazwyczaj w ujęcu: grafcznym, analtycznym, czyl w postac układu lczb. Każdy wektor można przedstawć w postac A = A x + A y j Długość wektora A: A = A 2 x + A 2 y. C x = A x + B x C y = A y + B y 2 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Mnożene wektorów Algebra wektorów Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem (lczba): c = A B = A B cos φ = AxB x + A yb y gdze φ jest katem pomędzy wektoram. Przykłady zastosowana: W = F s = F s cos φ E k = 1 2 m v v = 1 2 m v2. 3 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Mnożene wektorów... Algebra wektorów Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem: C = A B o zwroce określonym reguła śruby prawoskrętnej oraz o długośc C = C = A B sn φ gdze φ jest katem pomędzy wektoram. Przykłady zastosowana: M = r F, F L = q v B. 4 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

2 Mnożene wektorów... Algebra wektorów Iloczyn wektora przez lczbę jest wektorem o długośc C = A b C = C = A b zwroce zgodnym ze zwrotem wektora A, gdy b jest dodatne oraz zwroce przecwnym dla b ujemnego. Ponao, jeżel b > 1 to długość wektora C jest wększa nż wektora A. Przykłady zastosowana: F = m a p = m v 5 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Knematyka Układ odnesena to cało lub zbór cał względem, których opsuje sę ruch nnego cała. Torem ruchu cał nazywa sę krzywa utworzona przez punkty określajace kolejne położena cał w przestrzen. Gdy tor jest lna prosta to cało porusza sę ruchem prostolnowym, gdy lna krzywa ruch jest ruchem krzywolnowym. 6 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Ops ruchu Knematyka Droga jest to długość toru zakreślonego podczas ruchu. Wektor położena r(t) = x(t) + y(t) j + z(t) k gdze, j, k sa wersoram odpowedno os x, y z. 7 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Prędkość Prędkość średna v sr = r(t) t = = x t + y t j + z t k Knematyka Prędkość chwlowa r(t) v ch = lm = d r t 0 t = = dx + dy j + dz k Interpretacja geometryczna prędkośc średnej jest seczna. Wektor prędkośc chwlowej cała jest styczny do toru, po którym to cało sę porusza. 8 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

3 Prędkość przyspeszene Knematyka Składowe prędkośc chwlowej v x = dx(t), v y = dy(t) Wartość wektora prędkośc v = v 2 x + v 2 y + v 2 z., v z = dz(t). Przyspeszene chwlowe v(t) a ch = lm = d v t 0 t = dvx + dvy j + dvz k Wektor przyspeszena chwlowego jest styczny do toru tylko w ruchu prostolnowym. 9 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank I zasada dynamk Zasada bezwładnośc Oddzaływane mędzy całam loścowo opsuje Sła to welkość wektorowa stanowaca marę oddzaływań pomędzy całam, które powoduja zmany kształtu lub stanu ruchu. Jednostka sły w układze SI jest nuton 1 N = 1 kg m s 2. Perwsza zasada dynamk Każde cało pozostaje w spoczynku lub w ruchu prostolnowym jednostajnym względem spoczywajacego lub poruszajacego sę ruchem jednostajnym prostolnowym układu odnesena, dopók dzałane nnych cał ne zmus je do zmany tego stanu. Sła jest przyczyna zman ruchu, a ne jest przyczyna samego ruchu, tzn. cało może sę poruszać nawet, gdy ne dzałaja na ne żadne sły (bezwładność). 10 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Zasada bezwładnośc... I zasada dynamk Zasada bezwładnośc Każde cało trwa w swym stane spoczynku lub ruchu prostolnowego jednostajnego jeżel sły przyłożone ne zmuszaja cała do zmany tego stanu. Wnosk Wszystke cała maja własność bezwładnośc. Istneja nercjalne układy odnesena. Zasada bezwładnośc lub perwsza zasada dynamk leży u podstaw statyk punktu materalnego, n F = dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Układ nercjalne nenercjalne I zasada dynamk Newton zakładał stnene "absolutnego" układu odnesena. Układ nercjalny to układ, w którym obowazuj a zasady dynamk Newtona. lub Jeżel na cało ne dzałaja sły zewnętrzne to Układ nercjalny to tak układ odnesena, w którym to cało spoczywa lub porusza sę ruchem jednostajnym prostolnowym. Każdy układ poruszajacy sę względem układu nercjalnego ze stała co do wartośc kerunku prędkośca jest też układem nercjalnym. Jak układ można uznać za nercjalny? Helocentryczny układ odnesena. Laboratoryjny układ odnesena. 12 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

4 I zasada dynamk Układ nercjalne nenercjalne... W układach nercjalnych ~wyp = F n X ~. F ~bezw = 0. F Czy Zema jest układem nercjalnym? Wartos c przyspeszena normalnego: ruch obrotowy wokół własnej os m (obrót dobowy) 0,034 2, s ruch obrotowy wokół Słon ca m 0, s m małe w porównanu z g 9,81 2. s Zema moz e z dobrym przyblz enem byc traktowana jako układ nercjalny. 13 dr nz. Ireneusz Owczarek Wstep do mechank Układy nercjalne mechanka klasyczna Pojeca wzgledne absolutne Zasada wzglednos c (Galleusza) prawa fzyk w dwóch nercjalnych układach odnesena sa take same. Pojeca wzgledne, np. ruch, predkos c, tor ruchu. 14 dr nz. Ireneusz Owczarek Wstep do mechank Układy nercjalne mechanka klasyczna Przekształcene współrzednych Nezalez ny postulat mechank klasycznej Czas długos c sa welkos cam absolutnym. Z tych załoz en wynka Transformacja Galleusza Jez el ose X X 0 układów nercjalnych poruszaja se ze wzgledn a predkos c a v zgodne z osa X, to x = x0 + vt, y = y0, z = z0, t = t0. Klasyczne prawo składana szybkos c u = u0 ± v. 15 dr nz. Ireneusz Owczarek Wstep do mechank Układy nercjalne mechanka klasyczna Predkos c ped Prawo zachowana pedu w układze S m1 u~1 + m2 u~2 = const. Predkos c w układze S u~1 = ~v + u~01, u~2 = ~v + u~02, wobec tego m1 (~v + u~01 ) + m2 (~v + u~02 ) = const. oraz m1~v +m1 u~01 +m2~v +m2 u~02 = const. (m1 +m2 )~v = const. Prawo zachowana pedu pozostaje nezmenncze we wszystkch układach nercjalnych m1 u~01 + m2 u~02 = const. 16 dr nz. Ireneusz Owczarek Wstep do mechank

5 Przyspeszene Układy nercjalne mechanka klasyczna Dodawane prędkośc w transformacj Galleusza Po oblczenu pochodnych: u = u + v. d u = d u + d v. Poneważ układ porusza sę ze stała prędkośca to Przyspeszene d v = 0 jest nezmenncze w transformacj Galleusza a = a. 17 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Układy nenercjalne F bezw jest sła pozorna, gdyż ne wynka ona z żadnego oddzaływana mędzy całam. Układ nenercjalny porusza sę ze stałym przyspeszenem względem układu nercjalnego. W układach nenercjalnych F wyp = F bezw + n F F bezw = m a uk 0 18 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Układy nenercjalne... Przykłady: sła bezwładnośc podczas ruszana pojazdu, sła bezwładnośc podczas hamowana pojazdu, sła Corolsa, sła odśrodkowa. Odśrodkowa sła bezwładnośc F = m v2 r r r = mω2 r. Dla obserwatora neruchomego kulka polec po stycznej. Dla obserwatora znajdujacego sę na tarczy kulka oddal sę wzdłuż promena. 19 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Stan neważkośc cał F n = m g + w = m g + m a a) jazda do góry F n = mg + ma = m(g + a) b) jazda do dołu F n = mg ma = m(g a) 20 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

6 Układ nenercjalny obracajacy sę Zema obracajaca sę wokół własnej os jest nenercjalnym układem odnesena. Promeń krzywzny ruchu po okręgu określony jest przez szerokość geografczna φ: F ods = mω 2 R Z cos φ. Sła odśrodkowa powoduje zmanę efektywnego przyspeszena zemskego g 0, 033 cos φ m s 2. Efekt jest wększy od oczekwanego ze względu na spłaszczene Zem. 21 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Układ nenercjalny obracajacy sę... W układze nenercjalnym obracajacym sę z prędkośca katow a ω występuje sła pozorna składajaca sę z dwóch częśc: sły odśrodkowej sły Corolsa Sła Corolsa m a = F 2m v ω m ω ( r ω) m r d ω Sła odśrodkowa Sła styczna Sła Corolsa dla zewnętrznego obserwatora ne stneje. Dla nego to układ zmena położene, a poruszajace sę cało zachowuje swój stan ruchu zgodne z I zasada dynamk. 22 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Układ nenercjalny obracajacy sę... Sła Corolsa pojawa sę tylko wtedy, gdy cało ma nezerowa prędkość w układze nenercjalnym jest prostopadła do prędkośc cała (obserwowanej w układze nenercjalnym). Jeżel prędkość katowa cała w układze neruchomym jest mnejsza nż ω, to sła Corolsa zmnejsza słę odśrodkowa. W przecwnym przypadku zwększa jej wartość. Cało spadajace swobodne doznaje odchylena na wschód. Ruch wzdłuż połudnka na północ odchylene na zachód na półkul połudnowej na wschód na półkul północnej. 23 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Układ nenercjalny obracajacy sę... Na półkul północnej sła Corolsa odchyla tor cała w kerunku wschodnm. Spadek z 5,5 km zajme t = 100 s, a końcowe odchylene toru od ponu: dla Łodz około 25 m. l = act cos φ m, Dla obserwatora na Zem płaszczyzna ruchu wahadła Foucault a obraca sę z prędkośca katow a ω 1 = ω sn φ, start wahadła z maksymalnego wychylena dla Łodz φ = 52 o ω 1 12 h. Pełny obrót płaszczyzny drgań: 32 h. M = 28 kg, l = 67 m, T = 16,4 s. 24 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

7 Układ nenercjalny obracajacy sę... Sła Corolsa powoduje następujace efekty: na półkul północnej watr skręca w prawo, a na połudnowej w lewo; na półkul północnej mocnej podmywane sa prawe brzeg rzek (na połudnowej lewe); na półkul północnej wry wodne oraz cyklony poruszaja sę odwrotne do ruchu wskazówek zegara, a na połudnowej zgodne z ruchem wskazówek zegara. 25 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Zasady dynamk II zasada dynamk Masa jest mara bezwładnośc cała w ruchu postępowym. Jeżel dwa cała pod wpływem tej samej sły doznaja przyspeszeń, to loraz mas tych cał jest odwrotne proporcjonalny do ch przyspeszeń m 1 m 2 = a2 a dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Zasady dynamk... II zasada dynamk Druga zasada dynamk Cało, na które dzała sła nezrównoważona, porusza sę ruchem przyspeszonym z przyspeszenem proporcjonalnym do wartośc tej sły, skerowanym zwróconym tak samo, jak dzałajaca na cało sła: a = F m. lub w nnej postac: F = m d v = d (m v) Pęd cała to welkość wektorowa równa loczynow masy cała jego prędkośc. F = d(m v) = d p 27 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Zasady dynamk... Druga zasada dynamk II zasada dynamk Przyrost pędu cała jest równy popędow sły dzałajacej na to cało. md v = F. W przypadku ruchu bezwładnego, tj. gdy F = 0, pęd cała jest stały czyl d (m v) = F = 0 m v = const. 28 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

8 III zasada dynamk Zasady dynamk... Trzeca zasada dynamk Gdy cało A dzała na cało B sła F AB wtedy cało B dzała jednocześne na cało A sła F BA równa co do wartośc, równoległa przecwne zwrócona do sły F AB: F AB = F BA. Sły zawsze występuja param, czyl ne można mówć o pojedynczej wyzolowanej sle. Układ cał nazywamy odosobnonym albo zamknętym jeżel dla każdego cała tego układu wszystke sły, dzałajace na ne, pochodzace od cał zewnętrznych równoważa sę. W układze odosobnonym uwzględna sę tylko sły wzajemnego oddzaływana mędzy całam układu, zwane słam wewnętrznym. 29 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Pęd układu cał III zasada dynamk Zgodne z trzeca zasada dynamk d p = d m v albo p = m v = const. Zasada zachowana pędu Wektor pędu zamknętego układu cał ne zmena sę z upływem czasu. lub Zasada zachowana pędu W nercjalnym układze odnesena pęd całkowty układu cał, na który ne dzałaja sły zewnętrzne lub suma sł zewnętrznych jest równa zero, jest stałym wektorem, nezależnym od zjawsk, zachodzacych wewnatrz układu. 30 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Pęd układu cał... III zasada dynamk Klasyczne podstawowe założene sły zewnętrzne sa zanedbywane: 1 dzałaja krótko, 2 znaczne mnejsze od sł wewnętrznych. Przykłady: zderzena sprężyste nesprężyste, ops eksplozj, rozpad promenotwórczy, reakcje jadrowe, emsja absorpcja śwatła, napęd odrzutowy (raketowy). 31 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Praca Praca w polu sł zachowawczych Proces zmany energ cała spowodowany dzałanem sły nazywamy procesem wykonana pracy, a przyrost energ cała w tym procese nazywamy praca, która ta sła wykonała. Praca elementarna dw wykonana przez słę F dla małego przesunęca d r dw = F d r lub dw = F cos Θ x Jeżel kat Θ < 90, słę nazywamy sła napędowa. Jeżel kat Θ > 90, to F jest sła oporu. 32 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

9 Praca... Praca w polu sł zachowawczych Jednostka pracy w układze SI jest J (1 J= 1 N 1 m). Często używa sę jednostk ev (elektronowolt) (1 ev = 1, J). W = F dx Praca wykonana w jednostce czasu to moc P = dw = F d r = F v. 33 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Sły zachowawcze Sła jest zachowawcza Praca w polu sł zachowawczych jeżel praca wykonana przez tę słę nad punktem materalnym, który porusza sę po dowolnej drodze zamknętej jest równa zeru. (W AB) 1 + (W BA) 2 = 0 (W AB) 2 = (W BA) 2 (W AB) 1 = (W AB) 2 Praca sły zachowawczej ne zależy od drog, a tylko od położena punktu poczatkowego końcowego. Słam zachowawczym sa np. sła grawtacj, sła powodujaca ruch harmonczny, sła elektrostatyczna. Sła dysypatywna (rozpraszajaca) gdy praca sły po drodze zamknętej ne równa sę zeru. 34 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Energa potencjalna Zachowane energ Jeśl praca dotyczy sł zachowawczych, wówczas jej wykonane powoduje zmanę energ. Energa potencjalna cała w danym punkce (względem określonego punktu odnesena) równa jest pracy jaka wykonuja sły zachowawcze przy przemeszczenu cała z danego punktu do punktu odnesena. Zwazek pracy na odcnku AB z energa potencjalna w punktach A B: W AB = E pa E pb = (E pb E pa ) = E p lub Ogólne dw = de p = F dx. B W AB = F d r A 35 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Energa knetyczna Zachowane energ Praca wykonana przez słę dzałajac a na cało równa jest zmane jego energ knetycznej. W AB = m v2 B 2 m v2 A 2 = Ek B Ek A. Energa knetyczna to energa cała zwazana z jego ruchem E k = m v2 2 Dlaczego energa knetyczna rośne bardzej ze wzrostem prędkośc nż masy? 36 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

10 Prawo zachowana energ Zachowane energ Praca sły zachowawczej przy przesunęcu z punktu A do B: W AB = E pa E pb = E kb E ka E pa + E ka = E pb + E kb E p + E k = const. Zasada zachowana energ mechancznej Całkowta energa mechanczna cała, na które dzałaja tylko sły zachowawcze, jest stała. E p = E k 37 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Prawo zachowana energ... Zachowane energ Ogólna zasada zachowana energ Energa całkowta układu odosobnonego jest stała. Układ odosobnony to tak układ, który ne wymena energ z otoczenem. Zasada zachowana energ całkowtej Energa może być przekształcona z jednej formy w nna, ale ne może być wytwarzana an nszczona; energa całkowta jest welkośca stała. lub Zasada zachowana energ całkowtej Całkowta energa zolowanego układu jest taka sama przed, jak po wystapenu przeman w tym układze. 38 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Prawo zachowana energ... Zachowane energ 39 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Lteratura Zachowane energ Hallday D., Resnck R, Walker J. Podstawy Fzyk t PWN, Praca zborowa pod red. A. Justa Wstęp do analzy matematycznej wybranych zagadneń z fzyk. Wydawnctwo PŁ, Łódź Jaworsk B., Detłaf A. Kurs Fzyk t PWN, Strona nternetowa prowadzona przez CMF PŁ e-fzyka. Podstawy fzyk. Kakol Z. Żukrowsk J. kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fzyk. 40 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank