Łamigłówka. p = mv. p = 2mv. mv = mv + 2mv po. przed. Mur zyskuje pęd, ale jego energia kinetyczna wynosi 0! Jak to jest możliwe?

Transkrypt

1 Łamigłówka p = mv p = 2mv p = mv przed mv = mv + 2mv po Mur zyskuje pęd, ale jego energia kinetyczna wynosi 0 Jak to jest możliwe?

2 Zastosowanie zasady zachowania pędu - zderzenia 2. Zderzenia elastyczne (sprężyste) niecentralne (2D) Na poziomej płaszczyźnie spoczywa kula. Zderza się z nią inna kula o takiej samej masie. Zderzenie jest idealnie sprężyste i niecentralne. Pod jakim kątem rozbiegną się kule? Rozwiązanie algebraiczne: m v A = m v A + m v B 1 2 mv 2 = 1 A 2 m v A m v B 2 α β v A = v A cosα + v B cosβ 0 = v A sinα v B sinβ v 2 A = v 2 2 A + v B v 2 A = v 2 A + v 2 B + 2v A v B (cosα cosβ sinα sinβ) v 2 A = v 2 2 A + v B (cosα cosβ sinα sinβ) = cos( α + β ) = 0 α + β = 90

3 Zastosowanie zasady zachowania pędu - zderzenia 2. Zderzenia elastyczne (sprężyste) niecentralne (2D) Na poziomej płaszczyźnie spoczywa kula. Zderza się z nią inna kula o takiej samej masie. Zderzenie jest idealnie sprężyste i niecentralne. Pod jakim kątem rozbiegną się kule? Rozwiązanie graficzne: v A γ γ = 180 α β α β v A α β v B Tw. Cosinusów: v 2 A = v 2 A + v 2 B 2 v A v B cosγ v 2 A = v 2 2 Zach. energii: A + v α + β = 90 B

4 Zastosowanie zasady zachowania pędu - zderzenia 3. Zderzenia całkowicie nieelastyczne (1D) obiekty łączą się w wyniku zderzenia przed zderzeniem m v 2 v 1 2 po zderzeniu (ciała łączą się i poruszają razem) v x przed zderzeniem m v1 1 + m v2 2 = ( ) v v 1 v 2 = ( ) v v = v 1 v 2 po zderzeniu wszystkie wektory leżą wzdłuż jednej linii, można pominąć zapis wektorowy, znaki będą informować o zwrocie wektorów

5 przed zderzeniem m v 2 v 1 2 po zderzeniu (ciała łączą się i poruszają razem) v = 1 kg m 2 = 2 kg v 1 = 5 m s v 2 = 3 m s v = m v + m v = 11 3 m s x E k = 1 przed 2 m v m v J E 2 2 k po > = 1 ( 2 m + m ) v J 1 2 przed zderzeniem m v v po zderzeniu (ciała łączą się i poruszają razem) v v 1 = 5 m s v 2 = 3 m s v = m v + m v = 1 3 m s x E k = 1 przed 2 m v m v J 2 2 E k po = 1 ( 2 m + 2 ) v J

6 Rodzaje zderzeń Energia kinetyczna: E k przed = E k po + Q inne formy energii (zwykle ciepło lub dźwięk) Q > 0 zderzenia nieelastyczne stosujemy tylko zasadę zachowania pędu Q = 0 zderzenia elastyczne stosujemy tylko zasadę zachowania pędu i zasadę zachowania energii Q < 0 zderzenia super elastyczne stosujemy tylko zasadę zachowania pędu

7 Zderzenie super elastyczne

8 Środek masy Środek masy układu cząstek: z r c = m r m r m rn n = 1 n + + m n M m r i i i=1 środek masy x c = m x + m x + + m x n n = m n M m x i i n i=1 y c = m y + m y + + m y n n = m n M m y i i n i=1 x y z c = m z + m z + + m z n n = m n M m z i i n i=1

9 Środek masy układu cząstek - przykład ( 1 2 l, 3 2 l) l r c l (l,0) x c = y c = m 0 + m 1 2 l + m l 3m 3 m 0 + m 2 l + m 0 3m = 1 2 l = 3 6 l (0,0) l z c = 0 r c = 1 2 lˆx lŷ

10 Środek masy ciał rozciągłych* dzielimy ciało na małe elementy Δm i i sumujemy po nich Przepis jak wyznaczyć (całki objętościowe): x c = 1 M n Δm x = i i i=1 Δm i 0 n 1 M x dm ŚM y c = 1 M n Δm y = i i i=1 Δm i 0 n 1 M y dm Halliday, Resnick, Walker, Principles of physics z c = 1 M n Δm z = i i i=1 Δm i 0 n 1 M z dm Obiekty symetryczne: Sears annd Zemansky s, University Physics with Modern Physics

11 Ruch środka masy r c == 1 M n m r i i i=1 Prędkość środka masy: v c = d r c dt = 1 M d r i n m = 1 n i i=1 dt M m v i i i=1 = 1 M p wyp pęd środka masy jest równy wypadkowemu pędowi układu: p wyp = M v c = n i=1 m i vi F wypzew = d p wyp dt = M d v c dt = M a c Środek masy ciała lub układu ciał to punkt, który porusza się tak, jakby była w nim skupiona cała masa układu, a wszystkie siły zewnętrzne były przyłożone w tym właśnie punkcie.

12 Ruch środka masy Niezależnie od tego jak bardzo skomplikowany jest byłby ruch elementów układu, środek masy zachowuje się w sposób przewidywalny. D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers

13 Ruch środka masy Niezależnie od tego jak bardzo skomplikowany jest byłby ruch elementów układu, środek masy zachowuje się w sposób przewidywalny.

14 Ruch środka masy Niezależnie od tego jak bardzo skomplikowany jest byłby ruch elementów układu, środek masy zachowuje się w sposób przewidywalny.

15 Środek masy, równowaga ciał Położenie środka masy decyduje o równowadze: by ciało zachowało równowagę środek masy musi leżeć dokładnie (w linii prostej) pod punktem podparcia zagadnieniu statyki ciał będzie poświęcony oddzielny wykład. P. G. Hewitt, Fizyka wokół nas, PWN

16 Zderzenia w układzie środka masy W układzie środka masy całkowity pęd zbioru cząstek zawsze wynosi zero, gdy wypadkowa sił zewnętrznych wynosi zero Całkowity pęd wynosi zero zarówno przed zderzeniem oraz po zderzeniu p tot = 0 Zderzenie elastyczne w układzie środka masy, Q = 0 (energia kinetyczna zachowana): przed zderzeniem po zderzeniu m u u m 2 1 ŚM 2 u 1 1 ŚM m 2 u 2 u 1 u 2 = 0, u 1 u 2 = m u m u 2 = m u m u u oznaczają prędkości w układzie środka masy u 1 = u 1 u 2 = u 2 w układzie środka masy, podczas zderzeń elastycznych centralnych, prędkości zmieniają znak i zachowują wartość

17 Przejście z układu laboratoryjnego do układu środka masy m 2 m układ laboratoryjny 1 układ środka masy v v m 1 ŚM u ŚM u2 v c v c = 0 ( + m ) 2 r c = m r1 1 + m r2 2 ( + m ) d r c 2 dt = d r 1 dt ( + m ) 2 v c = m v1 1 + m v2 2 prędkość środka masy w układzie laboratoryjnym d r 2 dt v c = m v m v2 2 Transformacja prędkości z układu laboratoryjnego do układu środka masy: u 1 = v 1 v c u 2 = v 2 v c

18 Zderzenia w układzie środka masy: przykład Przeanalizować następujące zderzenia w układzie laboratoryjnym oraz w układzie środka masy : Zderzenie elastyczne: m v 1 = 4 m s v = = 1 kg m = 3 kg 2

19 Energia kinetyczna w układzie środka masy W układzie środka masy, całkowita energia kinetyczna zderzających się cząstek zostaje w całości utracona (tzn. zamieniona na inne formy energii, głównie ciepło) podczas zderzenia całkowicie nieelastycznego: Zderzenie całkowicie nieelastyczne: przed zderzeniem m v 2 v = po zderzeniu v = v 1 x Zmiana energii kinetycznej ukł. laboratoryjnym: E k po lab ( ) E k przed ( lab) = 1 2 m 2 2 v + 2 Energia kinetyczna utracona w zderzeniu jest równa całkowitej energii kinetycznej dostępnej przed zderzeniem w układzie środka masy: Energia układu cząstek przed zderzeniem E k = 1 liczona w układzie środka jest maksymalną m 2 2 energią jaka może zostać zamieniona na v przed ( SM ) 2 + ciepło (nazywa się ją energią wewnętrzna 2 układu).

20 Popęd siły (ang. impulse, czyli impuls) Zmiana pędu ciała zależy od siły jaka nie działa i czasu oddziaływania tej siły. Iloczyn siły i czasu nazywamy popędem siły: Δ p = FΔt popęd siły = siła przedział czasu Dlaczego lepiej jest dla samochodu zostać wyhamowanym przez stóg siana niż przez ścianę betonową? przecież zmiana pędu (czyli popęd siły) jest taka sama P. G. Hewitt, Fizyka wokół nas, PWN

21 Popęd siły (ang. impulse, czyli impuls) bardziej formalny zapis matematyczny W rzeczywistości siły występujące podczas zderzeń (tzw. siły impulsowe) nie są stałe w czasie. Zmiana pędu wywołana przez siłę w bardzo krótkim (nieskończenie krótkim) odcinku czasu: d p = Fdt F impuls Popęd wywierany na ciało w dłuższym odcinku czasu: J wartość popędu to pole pod wykresem siły od czasu J = Δ p = p k p 0 = Δt 0 F dt D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers

22 Wartość średnia sił impulsowych Siły impulsowe są bardzo skomplikowane i dokładne wyznaczenie ich przebiegu czasowego jest jest na ogół bardzo trudne (aczkolwiek możliwe przy użyciu narzędzi współczesnej elektroniki). Użyteczne jest pojęcie siły średniej, którą definiujemy jako stałą siłę działającą na ciało w tym samym zakresie czasu Δt, która powoduje taką samą zmianę pędu (czyli daje ten sam popęd). J = F sr Δt J popęd to pole pod wykresem siły od czasu F sr J D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers

23 Wartość średnia sił impulsowych - przykład Piłka bejsbolowa upada na podłogę z wysokości h = 1m i odbija się od niej elastycznie: Zderzenie elastyczne: y m 0.1 kg przed po v Piłeczka uderza w podłogę z prędkością Wartość popędu (zmiana pędu): Typowy czas działania siły: v = 2gh 4.5 m s J = 2mv =0.9 kg m s Δt 6 ms v Siła średnia: F sr = J Δt = 150N W czasie kontaktu z podłożem ciężar piłki rośnie 150 razy Średnie przyspieszenie w czasie zderzenia wynosi 150g

24 Kiedy będziesz miał poważniejsze kłopoty: A) gdy spadający wazon odbije się od głowy czy B) gdy roztrzaska się na głowie?

25 Popęd w zderzeniach elastycznych i nieelastycznych Zrzucamy różne przedmioty: Zderzenie elastyczne: Zderzenie nieelastyczne: y y po po przed v przed v < v v v J = 2mv y Zderzenie całkowicie nieelastyczne: > J = mv przed po v=0 v > J = mv Największy popęd wywierany jest podczas zderzeń elastycznych siła potrzebna do odrzucenia ciała wstecz jest znacznie większa niż siła potrzebna do zatrzymania ciała.