Fizyka ćwiczenia laboratoryjne

Transkrypt

1 Fzyka ćwczena laboratoryjne JOLANTA RUTKOWSKA, TOMASZ KOSTRZYŃSKI, KONRAD ZUBKO SKRYPT WAT, WARSZAWA Teora zjawsk fzycznych została pogrupowana w następujące dzały (numery ćwczeń): Mechanka (, 3, 4, 5, 33, 36, 39, 40, 4, 4) Drgana Fale (4, 5, 6, 6,, 4, 30, 37) Elektryczność magnetyzm (3, 4, 5, 6,,, 4, 6, 7, 37, 38, 39) Optyka (7, 8, 9, 3, 3, 43, 44) Jądro, atom, cało stałe (7, 8, 9, 0, 3, 5, 8, 3, 3, 34, 35) Cecze gazy (, 7, 8, 9, 0,,, 30) Informacje przydatne w danym ćwczenu mogą znajdować sę w różnych dzałach. MECHANIKA Sps treśc I. Dzałane wag belkowej... II. Wyznaczane gęstośc cał...4 III. Sła Corolsa...6 IV. Zderzene centralne: sprężyste nesprężyste...8 V. Moduły Younga Krchoffa, współczynnk Possona...0 VI. Moment bezwładnośc bryły sztywnej... VII. Środek masy twerdzene Stenera...4 VIII. Wyznaczane deformacj, pracy, maksymalnej sły modułu Younga w czase zderzena sprężystego...7 IX. Wyznaczane modułu Krchoffa podczas drgań harmoncznych pręta...0 X. Wyznaczane transformacj energ mechancznej w krążku Maxwella... XI. Wyznaczane momentu bezwładnośc cał za pomocą maszyny Atwooda...5 XII. Wyznaczene prędkośc lotu cała...8

2 I. Dzałane wag belkowej Ops użyteczny do zrozumena ćwczena nr oraz nnych. Rys. I.. Odchylene cała od perwotnego toru OA 3 w prawo spowodowane słą Corolsa. Łuk A B, A B, A 3 B 3 są drogam przebytym przez cało pod wpływem tej sły odpowedno po czasach t, t, 3t. Analtyczne wag belkowe dzałają w oparcu o zasadę dźwgn równoramennej. Składa sę z belk opartej w środku na ostrzu pryzmatu szalek zaweszonych na jej końcach równeż na precyzyjnych ostrzach. Wahane wag odbywa sę w jednej płaszczyźne. Aby waga wytrącona z położena równowag samodzelne do nego powracała (stanowła układ o równowadze trwałej), belka wag mus meć tak kształt, aby jej środek cężkośc był położony ponżej punktu podparca. W zrównoważonej wadze równoramennej następuje zrównoważene momentów sł cężkośc m g l = m g l co gwarantuje równość mas m = m. (I.) Wynka stąd, że za pomocą wag belkowej porównujemy masy dwu cał: cała ważonego odważnków. Najważnejszym parametrem wag określającym zakres jej stosowalnośc jest tzw. czułość wag. Jeżel na jednej z szalek umeścmy nadmarową masę m, to belka odchyl sę od pozomego położena równowag o pewen kąt zatrzyma sę w tym położenu, jako w nowym położenu równowag (rys.). Warunek równośc momentów sł przyjme wówczas postać: G l cos mb g S sn G l cos m g l cos (I.) gdze: m b masa belk wag, l długość ramena belk, S odległość środka cężkośc belk od punktu podparca belk, G cężar szalk z odważnkam w stane zrównoważonym wag (patrz rys. I.). stąd: m l tg (I.3) mbs Jeżel kąt jest mały (co zwykle ma mejsce), możemy zastąpć tg przez, a za marę tego kąta przyjąć lość podzałek a o którą odchyla sę wskazówka wag. Przy tych uproszczenach otrzymujemy: l a m (I.3) m S b Z powyższej uproszczonej zależnośc wdzmy, że odchylene wskazówk wag jest proporcjonalne do nadmarowej masy m długośc ramena belk, a odwrotne proporcjonalne do masy belk odległośc środka cężkośc belk od punktu zaweszena belk. Parametry l, S m b są parametram konstrukcyjnym wag, dlatego powyższą równość najczęścej zapsuje sę w postac:

3 l gdze C nazywamy czułoścą wag. m S b a C m (I.4) a Jeśl zapszemy ją w jeszcze nnej forme: C, to jasno zobaczymy, że czułość wag m [mg] podaje o le dzałek przesune sę wskazówka wag przy nadwadze mg. Stosowane w pracown podzalka wag analtyczne pozwalają ważyć z dokładnoścą do 0, mg mają czułość rzędu. 0, mg Rys. I.. Równowaga belk wag odchylonej od pozomu. 3

4 II. Wyznaczane gęstośc cał Ops użyteczny do zrozumena ćwczena nr oraz nnych. Jedną z podstawowych metod laboratoryjnych wyznaczana gęstośc cał jest metoda pknometryczna. Pod pojęcem gęstośc cała rozumemy masę jednostkowej objętośc tego cała. Jeśl cało jest jednorodne, to jego gęstość możemy znaleźć dzeląc masę cała m przez jego objętość V: m V (II.) Pknometr jest specjalnym naczynem gwarantującym stałość objętośc wypełnającego go ośrodka, przy zachowanu stałośc temperatury. Jest to newelke naczyne szklane (o objętośc około 50 cm 3 ) na ogół w kształce kolby z dokładne doszlfowanym korkem. Przez środek korka przechodz otworek, którym wypływa nadmar ceczy. Średnca tego kanalka pownna być jak najmnejsza. Zabezpecza to zawartą w pknometrze cecz przed parowanem. Przy badanu ceczy o dużej lotnośc (jak np. eter) dodatkowo nakłada sę warstwę ochronną z oleju na powerzchnę kanalka. Metoda pknometryczna jest metodą porównawczą. W przypadku wyznaczane gęstośc ceczy należy określć następujące masy:. m C masę badanej ceczy umeszczonej w pknometrze. m W masę ceczy wzorcowej wypełnającej pknometr Znając gęstość ceczy wzorcowej W oraz masę m W można ustalć z dużą dokładnoścą objętość pknometru: mw Vp (II.) Jako ceczy wzorcowej najczęścej używa sę wody destylowanej, gdyż dobrze znana jest zależność jej gęstośc od temperatury. Gęstość badanej ceczy znajdujemy z wyrażena: C m V C P W praktyce należy wykonać następujące ważena: m P pustego pknometru Wówczas: W m m m PW pknometru wypełnonego ceczą wzorcową m PC pknometru wypełnonego ceczą o neznanej gęstośc m m C W m m PC PW m P m P C W W (II.3) (II.4) (II.5) zgodne z zależnoścą (II.3) po podstawenu powyższych relacj, gęstość ceczy określamy z wyrażena: mpc mp C W (II.6) m m PW P 4

5 W celu wyznaczena gęstośc cała stałego należy dodatkowo wykonać ważene: m S cała stałego m PWS pknometru z wodą z zanurzonym w nej całem stałym Oznaczając przez V S objętość cała stałego, jego masę można wyrazć zależnoścą: gdze m S m PWS ( mpw VS W V W jest masą wody wypartej z pknometru przez cało. Po przekształcenu otrzymujemy wzór na objętość cała stałego: ms mpws m VS W Na baze defncj gęstośc możemy ostateczne napsać: S S PWS PW ) PW (II.7) (II.8) ms ms S W (II.9) V m m m Poneważ objętość pknometru jest znaczne wększa od objętośc odważnków należy zastanowć sę czy w powyższych rozważanach ne należałoby uwzględnć sły wyporu, która powoduje, że masa rzeczywsta cała ważonego m * jest wększa nż masa odważnków m O : * m m ρ ( V V ) O p odw gdze: V objętość cała ważonego, V odw objętość odważnków, Poddajmy powyższy wzór klku przekształcenom: * * C odw CV m m m m O ρ p V Vodw C odw odw Vodw m gdze: ρ C gęstość cała ważonego, ρ odw gęstość odważnków. O O ρ p gęstość powetrza. m O P P C odw (II.0) Welkość poprawk (wyrażene w nawase) zależy od gęstośc cała ważonego ρ C. Ze względu na symetrę wzoru (II.7) dwe take poprawk uwzględnone przy ważenu ceczy badanej ceczy wzorcowej wzajemne znoszą sę, jeśl tylko gęstośc obu ceczy ne różną sę dużo (gdyż we wzorze II.7 występuje stosunek mas obu ceczy). Im ta różnca jest mnejsza, tym mnejszy jest błąd systematyczny metody pknometrycznej. Powyższy wnosek można uogólnć na wszystke metody porównawcze, przy stosowanu, których zawsze dążymy do takej sytuacj, aby welkośc szukana wzorcowa były możlwe zblżone wartoścam. Zastosowane metody porównawczej do wyznaczena gęstośc ceczy przynos dwe korzyśc: ne jest potrzebna znajomość dokładnej pojemnośc pknometru oraz ne zachodz koneczność uwzględnana poprawk spowodowanej wyporem powetrza. W przypadku wyznaczena gęstośc cała stałego ne ma potrzeby uwzględnana omawanej poprawk, gdyż jego objętość jest mała (blska objętośc odważnków). Zatem wyprowadzone wcześnej wzory (II.6) (II.9) są z dobrym przyblżenem słuszne stanową podstawę do oblczeń. 5

6 III. Sła Corolsa Ops użyteczny do zrozumena ćwczena nr 3 oraz nnych. Wyobraźmy sobe obserwatora sedzącego w środku obracającej sę tarczy nadającego płce prędkość początkową skerowaną wzdłuż promena tarczy. Obserwator zewnętrzny (znajdujący sę poza obracającym kołem) ne zobaczy w tym procese nc szczególnego. Płka poruszała sę po prostej ruchem jednostajnym (rys. III.a). Natomast obserwator sedzący na tarczy zauważył, że płka wcale ne poruszała sę (względem jego tarczy) po prostej OD, ale po łuku OLC (rys. III.b). Rys. III.. Ruch płk po wrującej tarczy: a) dla obserwatora zewnętrznego, b) dla obserwatora zwązanego z tarczą. W układze wrującym dla obserwatora zwązanego z tym układem pojawa sę pewna sła powodująca zakrzywene toru ruchu cała poruszającego sę po promenu na zewnątrz tarczy. Cało to odchylała sę od perwotnego toru OD w prawo (na tarczy obracającej sę nezgodne ze wskazówkam zegara), czyl sła dzała w prawo, czyl prostopadle do wektora prędkośc v. Słę tę od nazwska odkrywcy nazywamy słą Corolsa. Należy jeszcze raz mocno podkreślć, że ne stneje ona w układze neruchomego (zewnętrznego) obserwatora. Zajmjmy sę teraz matematycznym opsem tego zjawska; nech na tarczy obracającej sę ruchem jednostajnym, płka znajduje sę w jej środku (w punkce O, rys. III..). Nadajmy płce prędkość v o skerowaną ku punktow A 3. W układze neruchomym torem płk będze prosta OA A A 3, natomast na obracającej sę tarczy płka zakreśl łuk OB B B 3, odchylony od OA 3 w kerunku przecwnym do kerunku ruchu tarczy. Jeśl w układze neruchomym odcnek OA = s został przebyty przez płkę w czase t, to w tym samym czase punkt A tarczy przebył drogę A B. Fakt ten pozwala nam napsać dwa równana: s v t (III.) A B s t (III.) gdze oznacza prędkość kątową tarczy. Podstawając s wyrażone perwszym równanem do drugego, otrzymamy A B v ( t (III.3) ) Z zależnośc tej wdzmy, że w układze obserwatora zwązanego z tarczą drogę A B płka przebywa ruchem jednostajne przyśpeszonym, gdyż droga rośne z kwadratem czasu. Aby lepej to zrozumeć, zauważmy, że odcnk OA, A A A A 3 są sobe równe, zatem przesunęce płk w kerunku promena, pomędzy sąsednm okręgam kół, dokonuje sę w równych czasach t. 6

7 W tym samym czase t tarcza zakreśla kąt t, co na rys. III.. pokazano trzy razy. Kolejne drog A B, A B, A 3 B 3 pozostają do sebe w stosunku kwadratów kolejnych lczb całkowtych ( : 4 : 9 :...). Długość łuku AB = r. W tym samym czase t, gdy np. rośne dwa razy, także r rośne dwa razy, węc długość łuku rośne czterokrotne. Fakt tak obserwator ruchomy może przypsać tylko dzałanu stałej sły. W czase t ma ona kerunek A B, a węc jest prostopadła do wektora prędkośc v. Wywołuje ona przyśpeszene, które oblczymy ze wzoru na drogę przebytą w ruchu jednostajne przyspeszonym: A B ac ( t) (III.4) Przyrównując do sebe oba ostatne wzory (III.3) (III.4) otrzymujemy: a c v (III.5) Jest to wzór na tzw. przyśpeszene Corolsa. Sła Corolsa, która dzałając na cało wywołuje to przyśpeszene, opsana jest wzorem: F c m v (III.6) Wzór ten wyraża tylko wartość sły Corolsa, brak w nm jakchkolwek nformacj o tym, że sła ta jest prostopadła do os obrotu wektora prędkośc v, oraz jak jest jej zwrot. Obe te nformacje tkwć będą w samym wzorze, jeśl napszemy go w symbolce wektorowej. Przyśpeszene Corolsa jest loczynem wektorowym, ze współczynnkem, wektorów prędkośc lnowej v cała prędkośc kątowej obracającego sę układu: a v c (III.7) Jeśl obe strony tego wzoru pomnożymy przez masę cała, otrzymamy wzór na słę Corolsa F ( c m v ) (III.8) Łatwo sprawdzć, że kerunek zwrot sły Corolsa w omówonym przez nas wypadku zgadza sę z kerunkem zwrotem v (reguła śruby prawoskrętnej). Oblczmy odchylene AB cała pod wpływem sły Corolsa. Przez analogę do wzoru (III.4) można napsać: AB ac t (III.9) gdze: t czas ruchu cała od środka tarczy wynos s v. Podstawając tę zależność do (III.9) korzystając ze wzoru (III.5) otrzymujemy: AB s v (III.0) Funkcja AB f s ) jest lnowa. Na jej podstawe można wyznaczyć z pomarów przyśpeszene słę Corolsa podczas ruchu płk po obracającej sę tarczy. ( 7

8 IV. Zderzene centralne: sprężyste nesprężyste Ops użyteczny do zrozumena ćwczeń nr 33, 39 oraz nnych. Dwe jednorodne kule poruszają sę w tym samym kerunku ruchem postępowym wzdłuż prostej wyznaczonej przez ch środk geometryczne. Nech jedna z kul o mase m porusza sę z prędkoścą V, a druga o mase m z prędkoścą V V (rys. IV.). Przedstawone założena dotyczą zderzena centralnego kul. Rys. IV.. Zderzene centralne (sytuacja przed zderzenem). Jeżel kule wykonane są z materału nesprężystego tzn. po zderzenu odkształcene będze trwałe kule złączone w chwl zderzena poruszać sę będą ze wspólną prędkoścą V (rys. IV.). Zjawsko take nazywamy zderzenem nesprężystym. Rys. IV.. Zderzene nesprężyste (stan po zderzenu). Rozpatrując obydwe kule jako zamknęty układ cał, można z zasady zachowana pędu wyznaczyć wartość prędkośc V połączonych kul: stąd: V m V mv ( m m) V (IV.) m V m V m m (IV.) Jeżel zderzające sę kule wykonane są z materału sprężystego (np. ze stal) to w chwl zderzena następuje ch odkształcene, poruszają sę przez pewen czas razem z prędkoścą V, następne wskutek dzałana sł sprężystośc wracają do perwotnej postac odpychając sę od sebe, co powoduje, że poruszają sę z prędkoścam V V (rys. IV.3) przy czym prędkość V V, a prędkość V V. Rys. IV.3. Zderzene sprężyste (stan po zderzenu). 8

9 Zderzene sprężyste charakteryzuje sę tym, że oprócz pędu podczas pędu zostaje zachowana równeż energa knetyczna: m V m mv m ( V ) m ( V V m V m V m V Rozwązując ten układ równań względem prędkośc kulek po zderzenu V V : m (V V ) (V V ) m (V V ) (V V ) m (V V ) m (V V ) ) (IV.3) (IV.4) (IV.5) (IV.6) V (IV.7) V V V V V V V (IV.8) V m V m V m V m V m V m (IV.9) V m m ) ( m V m V m V m V otrzymuje sę ostateczne następujące wyrażena na prędkośc obu kulek po zderzenu: V V (m m ) m V V - V (m m) V V - V (IV.) (IV.) (IV.0) W czase zderzena sprężystego kulek ch energa knetyczna zostaje zmenona na energę sprężystośc kulek, którą po zderzenu znajdujemy z powrotem w ch energ knetycznej. Przekazywane energ odbywa sę w czase T. 9

10 V. Moduły Younga Krchhoffa, współczynnk Possona Ops użyteczny do zrozumena ćwczeń nr 36, 39, 40, 4 oraz nnych. Rozważmy przypadek, gdy sły dzałające na cało powodują jego sprężyste odkształcene tzn. deformacja zanka po ustąpenu sły odkształcającej F. W zależnośc od kąta utworzonego przez wektory sły dzałającej z powerzchną cała odkształconego rozróżnamy sły F n dzałające prostopadle do powerzchn (sły normalne)oraz sły F s dzałające styczne do powerzchn (sły styczne). Sły te przedstawone są na rys. V.. Rys. V.. Dzałane na cało sł stycznych F S do powerzchn. Naprężene normalne to stosunek sły normalnej do pola powerzchn, na którą ta sła dzała: F n S Marą odkształcena, jakego cało doznaje pod wpływem takej sły jest welkość odkształcene względnego, będąca stosunkem zmany długośc cała z w kerunku zgodnym z kerunkem dzałana sły do długośc początkowej z. z (V.) z Mędzy welkoścam zachodz zwązek znany jako prawo Hooke a Cauchy ego: E Współczynnk proporcjonalnośc E zwany modułem Younga jest równy lczbowo naprężenu, które powoduje odkształcene względem danego cała równe jednośc (dwukrotne wydłużene). Jest współczynnkem materałowym (charakterystyczny dla danego materału) o wymarze [Nm - ]. Równane (V.3) to podstawowe prawo teor sprężystośc wążące odkształcena mechanczne cała stałego z słam (naprężenam), które te odkształcena wywołują. W najprostszym (przytoczonym tu) sformułowanu stwerdza ono, że odkształcene cał jest wprost proporcjonalne do wywołującej je sły. Prawu Hooke a Cauchy ego podlegają wszystke cała sprężyste w zakrese naprężeń ne przekraczających pewnej wartośc zwanej grancą proporcjonalnośc. (V.) (V.3) Naprężene styczne jest to stosunek sły stycznej F s do powerzchn S, na którą ta sła dzała. Efekt dzałana takego naprężena nazywamy ścnanem prostym: 0

11 F s S Odkształcene względne merzy sę za pomocą tzw. kąta ścnana (kąta pomędzy płaszczyzną perwotną a płaszczyzną odwróconą na skutek ścnana (rys. V.)). Prawo Hooke a przyjmuje wówczas postać: G (V.5) Współczynnk G, zwany modułem sprężystośc lub modułem Krchhoffa, ma wymar [Nm - rad - ]. (V.4) Podczas odkształcena sprężystego następującego pod wpływem dzałana sł normalnych zachodz zmana wszystkch wymarów cała. Względne zwężene jest proporcjonalne do względnego wydłużena cała: y z (V.6) y z Welkość nazywana jest współczynnkem Possona. Pomędzy wprowadzonym współczynnkam G, oraz modułem Younga E zachodz zwązek: E G ( ) (V.7)

12 VI. Moment bezwładnośc bryły sztywnej Ops użyteczny do zrozumena ćwczeń nr 4, 5, 36, 39, 40, 4, 4 oraz nnych. Zdefnujmy moment bezwładnośc bryły sztywnej. Załóżmy, że bryła obraca sę wokół os L ze stałą prędkoścą kątową składa sę z n mas punktowych m (rys. VI.). Rys. VI.. Bryła sztywna w ruchu obrotowym wokół os L. Każda z tych mas posada prędkość lnową v zależną od jej odległośc od os obrotu r : oraz energę knetyczną E : k v r E k m v m r (VI.) Energa knetyczna całej bryły jest sumą energ knetycznych poszczególnych mas punktowych: n n E E m r (VI.) ko k Z porównana wzoru (VI.) z wyrażenem na energę knetyczną w ruchu postępowym: Ekp mv (VI.3) wynka wnosek, że odpowednkem prędkośc lnowej v jest prędkość kątowa, a masy całej bryły m welkość moment bezwładnośc J względem ustalonej os obrotu zdefnowany jako: J n m r (VI.4) Uwzględnając wyrażene (VI.4) wzór na energę knetyczną w ruchu obrotowym przyjmuje postać: E ko J (VI.5) Moment bezwładnośc względem wybranej os obrotu zgodne ze wzorem (VI.4) zależy od wyboru os obrotu oraz od sposobu rozłożena względem nej masy cała, czyl od kształtu cała. Wychodząc z defncj (VI.4) można teoretyczne oblczyć momenty bezwładnośc dla welu regularnych brył, uzależnając je od całkowtej masy m od ch rozmarów geometrycznych. Na przykład momenty bezwładnośc względem os przechodzących przez środek cężkośc wynoszą dla:

13 walca J m R gdze R promeń walca, kul J m R 5 gdze R promeń kul, perścena J m( R R ) gdze R, R promene perścena. 3

14 VII. Środek masy twerdzene Stenera Ops użyteczny do zrozumena ćwczeń nr 36, 39, 40, 4, 4 oraz nnych. Twerdzene Stenera zwane twerdzenem o osach równoległych dotyczy zwązku pomędzy momentem bezwładnośc danej bryły sztywnej względem dowolnej os równoległej do os przechodzącej przez środek masy bryły, a momentem bezwładnośc tej bryły względem os przechodzącej przez środek masy. Dla stosowane tego twerdzena nezbędna jest znajomość położena środka masy danej bryły sztywnej. Dla układu dyskretnego składającego sę z N mas o wartoścach m masa całego układu M jest sumą mas składowych m a środek masy układu wyznacza sę następująco. Należy obrać dowolny punkt w przestrzen, będący punktem odnesena, względem którego określone zostane położene środka masy. Wektory r x, y, z opsują położena poszczególnych mas m względem punktu odnesena. Odległość środka masy od punktu odnesena określona wektorem r x, y, z zgodne z defncją wyznaczana jest zależnośc: c c c c r c N r M którą można rozłożyć na trzy następujące wyrażena: m (VII.) x y z c c c M M M N N N x y z m m m (VII.a) (VII.b) (VII.c) W przypadku cała rozcągłego, aby wyznaczyć jego środek masy należy rozłożyć cało na neskończene wele mas dm, których położena względem punktu odnesena są określa wektor r x, y, z. Wówczas we wzorach (VII.) sumy przyjmują postać całek po wszystkch elementach dm, czyl po całej objętośc cała sztywnego: r c M r dm (VII.) to znaczy x c M x dm (VII.a) y c y dm M (VII.b) z c z dm M (VII.c) W szczególnym przypadku, gdy punkt odnesena pokrywa sę ze środkem masy, wówczas wektor r 0, 0, 0 spełnone są zależnośc: C x dm 0 ; y dm 0 ; z dm 0 (VII.3) 4

15 Welkość fzyczna zwana momentem bezwładnośc określa bezwładność cała sztywnego podczas wykonywana ruchu obrotowego. Wartość momentu bezwładnośc zależy od os, wokół której odbywa sę obrót cała. Jeżel znany jest moment bezwładnośc cała względem os obrotu przechodzącej przez środek masy cała, to za pomocą twerdzena Stenera można wyznaczyć momentem bezwładnośc tego cała względem nnej os równoległej do nej. Dla cała przedstawonego na powyższym rysunku znany moment bezwładnośc względem os obrotu przechodzącej przez jego środek masy (oś Z) wyraża sę całką: J Z ( x y ) dm (VII.4) Wyrażene x określa kwadrat odległośc elementu dm od os Z. y Moment bezwładnośc względem os obrotu Z * równoległej do os Z oddalonej od nej o d x c y c, gdze współrzędne x c y c określają położene środka masy rozpatrywanego cała w nowym układze współrzędnych zwązanym z osą Z * wyrazć można następująco: * J Z ( x y ) dm (VII.5) Rys. VII.. Rysunek do wyprowadzena twerdzena Stenera. Wyrażene x y określa odległość elementu dm od nowej os Z *, pomędzy współrzędnym zachodzą następujące zwązk: x xc x y yc y (VII.6) Podstawając wzory (VII.6) do (VII.5) otrzymuje sę wyrażene: J z x x y y dm x x x x y y y y c c c c c dalej grupując wyrażena * J x y dm xc yc dm xc xdm yc dm (VII.7) c y dm (VII.8) z 5

16 W wyrażenu (VII.8) perwsza całka (zgodne z VII.4) odpowada momentow bezwładnośc względem os przechodzącej przez środek masy J. Z kole poneważ spełnone są zależnośc x C yc d dm M druga całka w wyrażenu (VII.8) przyjmuje postać: x y dm d M C C z (VII.9) Natomast dwe ostatne całk w wyrażenu (VII.8) są równe zero, gdyż spełnony jest warunek (3) tzn. położene środka masy w układze odnesena zwązanym z osą Z określa wektor r 0, 0, 0. Reasumując równane (VII.7) przyjmuje ostateczne postać: c J z J z M d (VII.0) Zależność (VII.0) wyraża twerdzene Stenera opsujące zwązek mędzy momentam bezwładnośc J z J z. 6

17 VIII. Wyznaczane deformacj, pracy, maksymalnej sły modułu Younga w czase zderzena sprężystego Ops użyteczny do zrozumena ćwczeń nr 33, 39 oraz nnych. Rozpatrujemy centralne zderzene sprężyste jednorodnych kul. W czase zderzena kule deformują sę. Deformacja polega na wgnecenu do wnętrza kul częśc objętośc mającej kształt czaszy o wysokośc h promenu r (rys. VIII.). Promeń r jest najwększym promenem koła zetknęca kul. Rys. VIII.. Deformacja kul w czase zderzena. Welkość deformacj kul h można oblczyć zakładając, że od chwl zetknęca sę kul ch ruch jest T ruchem jednostajne opóźnonym po czase t prędkość kul maleje do zera: a t h vot (VIII.) Opóźnene ruchu jednostajne opóźnonego znajduje sę z zależnośc: Wobec tego: 0 a t (VIII.) v o v t v t h v t o o o (VIII.3) t Prędkość v o wyznacza sę z zasady zachowana energ mechancznej w polu grawtacyjnym Zem. Rozpatrzmy dwe kule, które w chwl początkowej kule znajdują sę o H wyżej od ch położena najnższego (rys. VIII.). Energa potencjalna kul zostaje w momence zderzena zamenona na energę knetyczną: mv m g h o (VIII.4) Stąd można wyznaczyć prędkość kulek w momence zderzena: v o g H (VIII.5) 7

18 Wstawając do wyrażena (VIII.3) w mejsce v o wyrażene określone wzorem (VIII.5), a w mejsce t połowę czasu trwana zdarzena otrzymuje sę wyrażene opsujące maksymalną welkość v wgnecena kul h jako: ot g H T h (VIII.6) Rys. VIII.. Określene różncy wysokośc położena kul przed podczas zderzena H=H -H. Zachodzące odkształcene kul podczas zderzena jest przypadkem złożonym ne da sę w prosty sposób wyprowadzć z prawa Hooke a Cauchy ego, ale można dopatrzyć sę tu pewnych analog. Występujące przy zderzenu skrócene promena kul o wartość h można powązać ze współczynnkam materałowym modułem Younga współczynnkem Possona wówczas: 3 Fh h (VIII.7) 4 E r Stąd przyblżony moduł Younga w analzowanym przypadku, gdy przyjmemy, że rozpatrywane kule wykonane są ze stal (μ=0,6) można wyrazć jako: mgh E,389 (VIII.8) rh Promeń r można wyznaczyć z twerdzena Ptagorasa (rys. VIII.): R k ( R h) r stąd: r Rk h h k (VIII.9) (VIII.0) Ze względu na małą wysokość czaszy kulstej h drug wyraz w powyższym wzorze można zanedbać jako bardzo mały w porównanu z perwszym stąd otrzymuje sę: r R h (VIII.) k 8

19 Zderzające sę kule dzałają na sebe słą F( x) kx rosnąco lnowo wraz z deformacją do wartośc F dla x h, wykonując przy tym pracę: h h h W F x dx ( ) kx dx k h Fh 0 0 h (VIII.) Zgodne z obowązującą podczas zderzena sprężystego zasadą zachowana energ praca ta w chwl zderzena jest równa energ knetycznej kulek, a ta energ potencjalnej: m g h Fh h (VIII.3) Stąd otrzymuje sę wyrażene na maksymalną słę nacsku kul podczas zderzena: m g H F h (VIII.4) h 9

20 IX. Wyznaczane modułu Krchoffa podczas drgań harmoncznych pręta Ops użyteczny do zrozumena ćwczena nr 40 oraz nnych. Jeśl jeden z końców długego jednorodnego pręta sztywno zamocować, a do drugego przyłożyć skręcający moment sł M, to konec ten przekręc sę o kąt, zgodne z zależnoścą: M D (IX.) Dla danego zamocowanego pręta stała welkość D nos nazwę modułu skręcena lub momentu kerującego. Lnowa zależność pomędzy M wyrażona wzorem (IX.) zachodz tylko dla newelkch wartośc M. W ogólnym przypadku zależność ta może być nelnowa lub nawet nejednoznaczna. Welkość D charakteryzuje badaną konstrukcję, ale ne właścwośc materału podczas skręcena. Dla scharakteryzowana właścwośc materału wprowadza sę welkość nazwaną modułem sprężystośc (modułem Krchoffa) G. Wprowadzmy teraz zależność wążącą moduł sprężystośc G oraz moduł skręcena D. Po odchylenu cała o kąt od położena równowag wytwarza sę nowy stan równowag, w którym reakcja pręta moment M równoważy moment sły zewnętrznej M z. Po uwolnenu cała powstają drgana pod wpływem momentu sły M z : D (IX.) M z zawsze zwracającego cało do położena równowag. Równane ruchu ma postać analogczną do równana ruchu (drgań) wahadła grawtacyjnego: d J D dt (IX.3) Okres drgań dla tego ruchu wyraża sę wzorem: T J D (IX.4) gdze J jest momentem bezwładnośc drgającej bryły względem zadanej os obrotu. Welkość modułu skręcena D należy określć w zależnośc od narzuconych warunków fzycznych. Welkość G może zostać wyznaczona przez wykorzystane drgań harmoncznych pręta metalowego zachodzących pod wpływem sł sprężystośc. Każdy z elementów badanego drutu, skręconego przez słę zewnętrzną, podlega deformacj ścnana prostego. Jako reakcja na tę słę pojawa sę w pręce sła sprężystośc powodująca powrót do położena równowag w konsekwencj wywołująca zjawsko drgań. Sposób wyznaczena zależnośc mędzy modułem sprężystośc G a momentem sł dzałającym na skręcony pręt przedstawono ponżej. Przedmotem rozważań jest cylndryczny element pręta o promenu wewnętrznym r, grubośc dr długośc całego pręta l r (rys. IX.). Dla perścena pokazanego na rysunku mamy: s G G (IX.5) l s gdze s jest elementem łuku, ale r, a węc spełnony jest zwązek G. r l 0

21 Rys. IX.. Skręcene pręta Powerzchna ds przekroju perścena ogranczonego obwodem o promenu r r dr. Wartość sły stycznej dzałającej na tak perśceń wyraża sę wzorem: r dr wynos r df s ds r dr G (IX.6) l a moment tej sły wyrażenem: 3 ( r ) dm dfs r G dr (IX.7) l Całkując wyrażene (IX.7) w grancach od zera do r, otrzymuje sę wartość momentu sły dzałającej na powerzchnę przekroju poprzecznego drutu: M 0 ( r ) G l 3 dr G r l Drugą zasadę Newtona można dla tego przypadku zapsać w postac: stąd: d G r M J dt l T J D 4 4 D l G r Merząc okres T można wyznaczyć wartość modułu sprężystośc G ze wzoru: 4 J (IX.8) (IX.9) (IX.0) 8 l J G 4 (IX.) T r Zależność mędzy modułem skręcena a modułem sprężystośc wynka z zależnośc (IX.0) jest następująca: G r D l 4 (IX.)

22 X. Wyznaczane transformacj energ mechancznej w krążku Maxwella Ops użyteczny do zrozumena ćwczena nr 4 oraz nnych. Krążek Maxwella jest to masywne cało (np. koło zamachowe) osadzone na cenkm pręce (ośce). Pręt przechodz przez środek masy krążka wystaje z obu jego stron. Do każdej częśc pręta (po obu stronach krążka) są umocowane cenke lnk. Pręt może wseć na dwu lnkach w ten sposób, że zachowuje pozycję pozomą, a lnk możemy nawjać na oś podnosząc krążek do góry. Gdy z górnego położena puścmy krążek swobodne, lnk zaczynają sę odwjać z os, a całość opada ku dołow ruchem jednostajne przyśpeszonym. Rys. VIII.. Przykładowe kształty cał, których momenty bezwładnośc można wyznaczyć opsaną metodą: a) oś obrotu przebja prostopadle walec w środku masy, b) oś obrotu przebja prostopadle trójkątną płytę w środku masy. Jednostajne przyśpeszonemu ruchow postępowemu ku dołow towarzyszy jednostajne przyśpeszony ruch obrotowy krążka. Przyśpeszene kątowe ruchu obrotowego zwązane jest z przyśpeszenem lnowym ruchu postępowego a zależnoścą: a ε (X.) R gdze R promeń os, na którą nawnęte są lnk. Zastosujmy zasadę zachowana energ mechancznej dla krążka Maxwella spadającego z wysokośc h. Jego początkowa energa potencjalna mgh podczas ruchu w dół zostaje całkowce mv zamenona na energę knetyczną ruchu postępowego oraz na energę knetyczną ruchu J obrotowego o : mv J0 mgh (X.) gdze: m masa krążka razem z osą, J o moment bezwładnośc krążka z ośką względem os obrotu, v prędkość lnowa ruchu postępowego, prędkość lnowa ruchu obrotowego Następuje węc podzał początkowej energ układu (mającej postać energ potencjalnej w jednorodnym polu grawtacyjnym Zem) na dwe postace energ knetycznej. W celu wyznaczena ch wartośc należy w perwszym kroku wyznaczyć moment bezwładnośc krążka J o względem centralnej os obrotu.

23 v Wstawając zwązek pomędzy prędkoścą ruchu postępowego obrotowego postac: do R zasady zachowana energ (X.) otrzymujemy: J o gh v (X.3) mr stąd po przekształcenach można oblczyć moment bezwładnośc J o : gh J o mr (X.4) v Moment bezwładnośc krążka Maxwella można określć też na nnej drodze. A manowce rozpatrując jego chwlowy ruch obrotowy względem os przebegającej przez punkt stycznośc nc z prętem (rys. X.). Rys. X.. Chwlowy ruch obrotowy krążka względem os przebegającej przez punkt stycznośc z ncą zaznaczony lterą A. Stosując drugą zasadę dynamk dla ruchu obrotowego otrzymujemy: mgr ε J (X.5) gdze: mgr moment sły obracający cało względem os A, J moment bezwładnośc krążka z osą względem os A. Na podstawe twerdzena Stenera o osach równoległych momenty bezwładnośc J J o są zwązane ze sobą zależnoścą: w efekce: stąd po przekształcenach: J J o mr (X.6) mgr ε (X.7) J o mr g J o mr R (X.8) ε 3

24 Wyznaczając ε można zatem znaleźć J o moment bezwładnośc cała (tu krążka z osą) względem os przechodzącej przez jego środek masy. Zaprezentowana metoda dobrze nadaje sę do eksperymentalnego wyznaczana momentów bezwładnośc względem os przechodzących przez środek masy cała, przy czym ne jest wymagana kołowa symetra badanego cała. 4

25 XI. Wyznaczane momentu bezwładnośc cał za pomocą maszyny Atwooda Ops użyteczny do zrozumena ćwczena nr 36 oraz nnych. Maszyna Atwooda służy do dośwadczalnego sprawdzana praw knematyk dynamk. W najprostszym wykonanu składa sę ona z bloczka (K) (rys. XI.) zamocowanego w górnej częśc ponowego pręta ze skalą (S). Przez bloczek przechodz cenka mocna nć z zaweszonym na końcach masam (M). Dodatkowe obcążene jednego z końców nc jest realzowane za pomocą jednakowych cężarków o mase m. Cężar tych dodatkowych cężarków jest przyczyną wprowadzającą układ cężark-nć-bloczek w ruch jednostajne przyśpeszony. W maszyne Atwooda mamy do czynena z dwoma rodzajam ruchu jednostajne przyśpeszonego: prostolnowym cężarków obrotowym bloczka. W ruchu prostolnowym bezwładność cała charakteryzowana jest przez jego masę m. Znajduje to odzwercedlene w drugej zasadze dynamk dla tego ruchu, zgodne z którą sła F nadaje cału ruch o przyśpeszenu a wprost proporcjonalnym do tej sły odwrotne proporcjonalnym do masy cała: F a (XI.) m W ruchu obrotowym bezwładność cała charakteryzowana jest przez jego moment bezwładnośc J względem os obrotu. Znajduje to odzwercedlene w drugej zasadze dynamk dla tego ruchu, zgodne z którą moment sły N nadaje cału ruch o przyśpeszenu kątowym wprost proporcjonalnym do momentu sły odwrotne proporcjonalnym do momentu bezwładnośc: N (XI.) J Na cężarek A dzałają sły: cężkośc M g naprężena nc T. Pod wpływem wypadkowej tych sł cężarek porusza sę do góry z przyśpeszenem a. Zgodne z II prawem Newtona dla ruchu postępowego (XI.) otrzymuje sę następujące równane ruchu: ( T M g) M a (XI.3) Cężarek B porusza sę, ale do dołu pod wpływem wypadkowej sły cężkośc równej ( M g m g) sły naprężena nc T. Analogczne zgodne z II prawem Newtona dla ruchu postępowego równane ruchu cężarka B przyjmuje postać: ( M m) g T ( M m) a (XI.4) 5

26 Rys. XI.. Maszyna Atwooda oraz sły dzałające na cężark bloczek Przyśpeszena obu cężarków są jednakowe wynoszą a (gdyż nć jest nerozcąglwa), ale mają jednak nne zwroty. Sły naprężena nc T T dzałają prostopadle do promena r bloczka. Wytwarzają wypadkowy moment sły równy ( T T ) r, który będze obracał krążek z przyśpeszenem kątowym. Zgodne z II prawem Newtona dla ruchu obrotowego (XI.) otrzymuje sę równane: ( T T ) r J (XI.5) Po wstawenu do wzoru (XI.5) zależnośc pomędzy przyspeszenem lnowym kątowym w postac otrzymuje sę: J ( T T ) a (XI.6) r Wylczając T T ze wzorów (XI.4), (XI.5) wstawając do wzoru (XI.6) otrzymuje sę wyrażene na przyśpeszene w ruchu cężarków w maszyne Atwooda : m g a J M m (XI.7) r Z analzy wzoru (XI.7) wynka, że dla m M przyśpeszene a jest znaczne mnejsze od przyśpeszena zemskego g. Fakt ten pozwala na łatwejszy, w stosunku do pomaru przyspeszena przy spadku swobodnym, pomar przyspeszena układu przy stosunkowo newelkej wysokośc przyrządu Atwooda. Jeżel dokona sę pomaru przyśpeszena a można wyznaczyć moment bezwładnośc bloczka K: 6

27 m g M a m a J r (XI.8) a Przyśpeszene a wyznaczamy merząc czas t, w którym cężark pokonują stałą drogę S. Otrzymane dokładnych wynków jest uzależnone od dokładnych pomarów czasu przeprowadzonych z newelkm nepewnoścam. Aby to osągnąć w zastosuje sę elektronczne mernk czasu. Poneważ cężark rozpoczynają ruch bez prędkośc początkowej, przyśpeszene a wyznaczamy z zależnośc: S a (XI.9) t Umeszczając na os bloczka dodatkowe cało (metalowy perśceń), korzystając z wyprowadzonych zależnośc, można wyznaczyć moment bezwładnośc J c, będący sumą momentu bezwładnośc bloczka J u dodatkowego cała J b : Jc Ju J b (XI.0) Dokonując pomarów momentu bezwładnośc bloczka bloczka razem z perścenem J c Ju można wyznaczyć momentu bezwładnośc perścena J b dodatkowo umeszczonego na os bloczka: J b J c J u (XI.) 7

28 XII. Wyznaczene prędkośc lotu cała Ops użyteczny do zrozumena ćwczena nr 33 oraz nnych. Bezpośredn pomar prędkośc lecącego cała jest nełatwym zadanem, jeżel prędkość ta osąga stosunkowo duże wartośc lub odbywa sę na krótkm odcnku. Dlatego do tego rodzaju pomarów stosuje sę metody pośredne. Jedna z takch metod wykorzystuje zjawsko zderzena nesprężystego cał. Nech lecące cało zderzy sę dealne nesprężyśce z nnym całem o znaczne wększej mase. Obe połączone masy zaczną sę poruszać z prędkoścą tyle razy mnejszą od prędkośc badanego cała, le razy jego masa jest mnejsza od masy cała wększego (co wynka z prawa zachowana pędu). Tą już znaczne mnejszą prędkość jest już łatwo określć na podstawe jej znajomośc można oblczyć szukaną prędkość badanego cała. Przedstawona pokrótce dea ma zastosowane w metodze wahadła balstycznego. Schemat wahadła balstycznego przedstawony jest na rysunku XII.. Lecąca pozomo z prędkoścą v kula o mase m zderza sę nesprężyśce z wahadłem balstycznym o mase M. Poneważ środek cężkośc układu wahadło kula ne pokrywa sę z promenem zderzena L, do wyznaczena prędkośc v kul należy zastosować zasadę zachowana momentu pędu w postac: stąd szukana prędkość: L mv R (M m)v (XII.) R (M m)v v (XII.) L m Rys. XII. Schematyczny rysunek wahadła balstycznego. Prędkość V jaką uzyskuje środek cężkośc układu wahadło-kula w chwl tuż po uderzenu kul można wyznaczyć z prawa zachowana energ napsanego dla środka cężkośc. Nabyta po zderzenu energa knetyczna w marę odchylana sę wahadła od ponu przekształca sę w postać potencjalną, aż przy maksymalnym wychylenu o kąt proces ten dobegne końca wahadło na 8

29 moment sę zatrzyma. W wynku środek cężkośc wahadła został unesony na wysokość h. To oznacza, że słuszna jest zależność: V g h (XII.3) Mędzy wysokoścą h, a kątem stneje prosty zwązek, a manowce: h R ( cos ) R sn (XII.4) Uwzględnając dwa powyższe zwązk wzór na szukaną prędkość uzyskuje ostateczną postać: R (M m) v g R sn (XII.5) L m Z zasady zachowana energ dla procesu zderzena wynka, że: E k kulk E wahadla E k (XII.6) gdze E jest stratą energ zużytej na odkształcene sę kul w wynku zderzena nesprężystego. Zgodne z wcześnejszym oznaczenam energa ta wynos: mv E M mgh (XII.7) Korzystając z wyznaczonej wartośc v (XII.5) zmerzonej wysokośc h (XII.4) można wyznaczyć energę strat zderzena nesprężystego. 9