Plan wykładu. Mnożenie wektorów

Transkrypt

1 Plan wykładu Wstęp do mechank dr nż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ /14 1 Algebra wektorów Knematyka 2 Układy nercjalne mechanka klasyczna Sła bezwładnośc I II 3 Praca w polu sł zachowawczych 1 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 2 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Wektory Algebra wektorów Mnożene wektorów Algebra wektorów przedstawa sę (na płaszczyźne lub w przestrzen) zazwyczaj w ujęcu: grafcznym, analtycznym, czyl w postac układu lczb. Każdy wektor można przedstawć w postac A=A x +A y j Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem (lczba): c= A B= A B cosφ=axb x+a yb y gdzeφjest katem pomędzy wektoram. Długość wektora A: A= A 2 x+a 2 y. Przykłady zastosowana: W= F s=f s cosφ E k = 1 2 m v v=1 2 m v2. C x=a x+b x C y=a y+b y 3 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 4 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

2 Mnożene wektorów... Algebra wektorów Mnożene wektorów... Algebra wektorów Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem: C= A B o zwroce określonym reguła śruby prawoskrętnej oraz o długośc C= C = A B snφ gdzeφjest katem pomędzy wektoram. Iloczyn wektora przez lczbę jest wektorem o długośc C= A b C= C = A b zwroce zgodnym ze zwrotem wektora A, gdy b jest dodatne oraz zwroce przecwnym dla b ujemnego. Ponadto, jeżelb>1to długość wektora C jest wększa nż wektora A. Przykłady zastosowana: M= r F, F L=q v B. Przykłady zastosowana: F=m a p=m v 5 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 6 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Knematyka Ops ruchu Knematyka Układ odnesena to cało lub zbór cał względem, których opsuje sę ruch nnego cała. Droga jest to długość toru zakreślonego podczas ruchu. Wektor położena Torem ruchu cał nazywa sę krzywa utworzona przez punkty określajace kolejne położena cał w przestrzen. Gdy tor jest lna prosta to cało porusza sę ruchem prostolnowym, gdy lna krzywa ruch jest ruchem krzywolnowym. r(t)=x(t) +y(t) j+z(t) k gdze, j, k sa wersoram odpowedno osx,y z. 7 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 8 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

3 Prędkość Knematyka Prędkość przyspeszene Knematyka Prędkość średna v sr= r(t) t = = x t + y t j+ z t k Prędkość chwlowa r(t) v ch = lm = d r t 0 t dt = = dx dt + dy dt j+ dz dt k Składowe prędkośc chwlowej v x= dx(t) dt, v y= dy(t) dt Wartość wektora prędkośc v= v 2 x+v 2 y+v 2 z., v dz(t) z=. dt Interpretacja geometryczna prędkośc średnej jest seczna. Wektor prędkośc chwlowej cała jest styczny do toru, po którym to cało sę porusza. Przyspeszene chwlowe v(t) a ch = lm = d v t 0 t dt =dvx dt + dvy dt j+ dvz dt k Wektor przyspeszena chwlowego jest styczny do toru tylko w ruchu prostolnowym. 9 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 10 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Zasada bezwładnośc Zasada bezwładnośc... Oddzaływane mędzy całam loścowo opsuje Sła to welkość wektorowa stanowaca marę oddzaływań pomędzy całam, które powoduja zmany kształtu lub stanu ruchu. Zasada bezwładnośc Każde cało trwa w swym stane spoczynku lub ruchu prostolnowego jednostajnego jeżel sły przyłożone ne zmuszaja cała do zmany tego stanu. Jednostka sły w układze SI jest nuton Perwsza zasada dynamk 1N= 1kg m s 2. Każde cało pozostaje w spoczynku lub w ruchu prostolnowym jednostajnym względem spoczywajacego lub poruszajacego sę ruchem jednostajnym prostolnowym układu odnesena, dopók dzałane nnych cał ne zmus je do zmany tego stanu. Sła jest przyczyna zman ruchu, a ne jest przyczyna samego ruchu, tzn. cało może sę poruszać nawet, gdy ne dzałaja na ne żadne sły (bezwładność). Wnosk Wszystke cała maja własność bezwładnośc. Istneja nercjalne układy odnesena. Zasada bezwładnośc lub perwsza zasada dynamk leży u podstaw statyk punktu materalnego, n F =0. 11 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 12 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

4 Układ nercjalne nenercjalne Układ nercjalne nenercjalne... Newton zakładał stnene "absolutnego" układu odnesena. Układ nercjalny to układ, w którym obowazuj a zasady dynamk Newtona. lub Jeżel na cało ne dzałaja sły zewnętrzne to Układ nercjalny to tak układ odnesena, w którym to cało spoczywa lub porusza sę ruchem jednostajnym prostolnowym. Każdy układ poruszajacy sę względem układu nercjalnego ze stała co do wartośc kerunku prędkośca jest też układem nercjalnym. Jak układ można uznać za nercjalny? Helocentryczny układ odnesena. Laboratoryjny układ odnesena. W układach nercjalnych F wyp= Czy Zema jest układem nercjalnym? Wartośc przyspeszena normalnego: ruch obrotowy wokół własnej os (obrót dobowy) 0,034 m s 2, ruch obrotowy wokół Słońca 0,0044 m s 2. małe w porównanu zg 9,81 m s 2. n F. F bezw =0. 13 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 14 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Układ nercjalne nenercjalne... Pojęca względne absolutne Układy nercjalne mechanka klasyczna W układach nercjalnych F wyp= n F. Zasada względnośc (Galleusza) prawa fzyk w dwóch nercjalnych układach odnesena sa take same. F bezw =0. Pojęca względne, np. ruch, prędkość, tor ruchu. Czy Zema jest układem nercjalnym? Wartośc przyspeszena normalnego: ruch obrotowy wokół własnej os (obrót dobowy) 0,034 m s 2, ruch obrotowy wokół Słońca 0,0044 m s 2. małe w porównanu zg 9,81 m s 2. Zema może z dobrym przyblżenem być traktowana jako układ nercjalny. 14 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 15 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

5 Przekształcene współrzędnych Układy nercjalne mechanka klasyczna Prędkość pęd Układy nercjalne mechanka klasyczna Nezależny postulat mechank klasycznej Czas długość sa welkoścam absolutnym. Z tych założeń wynka Transformacja Galleusza Jeżel osex X układów nercjalnych poruszaja sę ze względna prędkoścav zgodne z osax, to x=x +vt, y=y, z=z, t=t. Klasyczne prawo składana szybkośc u= u ±v. Prawo zachowana pędu w układzes Prędkośc w układzes wobec tego oraz m 1 u 1+m 2 u 2=const. u 1= v+ u 1, u 2= v+ u 2, m 1( v+ u 1 )+m2( v+ u 2 )=const. m 1 v+m 1 u 1 +m 2 v+m 2 u 2 =const. (m 1+m 2) v=const. Prawo zachowana pędu pozostaje nezmenncze we wszystkch układach nercjalnych m 1 u 1 +m 2 u 2 =const. 16 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 17 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Przyspeszene Układy nercjalne mechanka klasyczna Układy nenercjalne Sła bezwładnośc Dodawane prędkośc w transformacj Galleusza Po oblczenu pochodnych: u= u + v. d u dt =d u dt +d v dt. Poneważ układ porusza sę ze stała prędkośca to Przyspeszene d v dt =0 jest nezmenncze w transformacj Galleusza a= a. Sła bezwładnośc F bezw jest sła pozorna, gdyż ne wynka ona z żadnego oddzaływana mędzy całam. Układ nenercjalny porusza sę ze stałym przyspeszenem względem układu nercjalnego. W układach nenercjalnych n F wyp= F bezw + F F bezw = m a uk 0 18 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 19 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

6 Układy nenercjalne... Sła bezwładnośc Stan neważkośc cał Sła bezwładnośc Przykłady: sła bezwładnośc podczas ruszana pojazdu, sła bezwładnośc podczas hamowana pojazdu, sła Corolsa, sła odśrodkowa. Wypadkowa sła dzałajaca na cało znajdujace sę w swobodne spadajacej wndze, w polu grawtacyjnym, jest równa zeru. F n=m g+ w=m g+m a a) jazda do góry F n=mg+ma=m(g+a) b) jazda do dołu F n=mg ma=m(g a) 20 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 21 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Układ nenercjalny obracajacy sę Sła bezwładnośc Sła bezwładnośc Układ nenercjalny obracajacy sę... Zema obracajaca sę wokół własnej os jest nenercjalnym układem odnesena. Promeń krzywzny ruchu po okręgu określony jest przez szerokość geografcznaφ: F ods =mω 2 R Z cosφ. W układze nenercjalnym obracajacym sę z prędkośca katow aω występuje sła pozorna składajaca sę z dwóch częśc: sły odśrodkowej sły Corolsa F ods =m ω ( r ω), F Corr=2m v ω. Sła Corolsa pojawa sę tylko wtedy, gdy cało ma nezerowa prędkość w układze nenercjalnym jest prostopadła do prędkośc cała (obserwowanej w układze nenercjalnym). Sła odśrodkowa powoduje zmanę efektywnego przyspeszena zemskego g 0,033 cosφ m s 2. Efekt jest wększy od oczekwanego ze względu na spłaszczene Zem. m a= F m ω ( r ω) 2m v ω. 22 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 23 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

7 Sła bezwładnośc Układ nenercjalny obracajacy sę... Sła bezwładnośc Układ nenercjalny obracajacy sę... Sła Corolsa powoduje następujace efekty: na półkul północnej watr skręca w prawo, a na połudnowej w lewo; na półkul północnej mocnej podmywane sa prawe brzeg rzek (na połudnowej lewe); na półkul północnej wry wodne oraz cyklony poruszaja sę odwrotne do ruchu wskazówek zegara, a na połudnowej zgodne z ruchem wskazówek zegara. Na półkul północnej sła Corolsa odchyla tor cała w kerunku wschodnm. Spadek z5,5km zajmet=100s, a końcowe odchylene toru od ponu: dla Łodz około25m. l= act cosφm, Dla obserwatora na Zem płaszczyzna ruchu wahadła Foucault a obraca sę z prędkośca katow a dla Łodzφ=52 o ω 1=ω snφ, start wahadła z maksymalnego wychylena o ω 1 12 h. Pełny obrót płaszczyzny drgań:32h. M=28kg,l=67m,T=16,4s. 24 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 25 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Zasady dynamk I Zasady dynamk... I Masa jest mara bezwładnośc cała w ruchu postępowym. Jeżel dwa cała pod wpływem tej samej sły doznaja przyspeszeń, to loraz mas tych cał jest odwrotne proporcjonalny do ch przyspeszeń m 1 m 2 = a2 a 1. Druga zasada dynamk Cało, na które dzała sła nezrównoważona, porusza sę ruchem przyspeszonym z przyspeszenem proporcjonalnym do wartośc tej sły, skerowanym zwróconym tak samo, jak dzałajaca na cało sła: a= F m. lub w nnej postac: F=m d v dt = d dt (m v) Pęd cała to welkość wektorowa równa loczynow masy cała jego prędkośc. Fdt=d(m v)=d p 26 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 27 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

8 Zasady dynamk... I Zasady dynamk... II Druga zasada dynamk Przyrost pędu cała jest równy popędow sły dzałajacej na to cało. md v= Fdt. Trzeca zasada dynamk Gdy cało A dzała na cało B słaf AB wtedy cało B dzała jednocześne na cało A słaf BA równa co do wartośc, równoległa przecwne zwrócona do słyf AB: F AB= F BA. Sły zawsze występuja param, czyl ne można mówć o pojedynczej wyzolowanej sle. W przypadku ruchu bezwładnego, tj. gdy F=0, pęd cała jest stały czyl d dt (m v)= F=0 m v=const. 28 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Układ cał nazywamy odosobnonym albo zamknętym jeżel dla każdego cała tego układu wszystke sły, dzałajace na ne, pochodzace od cał zewnętrznych równoważa sę. W układze odosobnonym uwzględna sę tylko sły wzajemnego oddzaływana mędzy całam układu, zwane słam wewnętrznym. 29 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Pęd układu cał II Pęd układu cał... II Zgodne z trzeca zasada dynamk albo Zasada zachowana pędu d p dt = d dt m v p= m v =const. Wektor pędu zamknętego układu cał ne zmena sę z upływem czasu. lub Zasada zachowana pędu W nercjalnym układze odnesena pęd całkowty układu cał, na który ne dzałaja sły zewnętrzne lub suma sł zewnętrznych jest równa zero, jest stałym wektorem, nezależnym od zjawsk, zachodzacych wewnatrz układu. Klasyczne podstawowe założene sły zewnętrzne sa zanedbywane: 1 dzałaja krótko, 2 znaczne mnejsze od sł wewnętrznych. Przykłady: zderzena sprężyste nesprężyste, ops eksplozj, rozpad promenotwórczy, reakcje jadrowe, emsja absorpcja śwatła, napęd odrzutowy (raketowy). 30 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 31 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

9 Praca Praca w polu sł zachowawczych Praca... Praca w polu sł zachowawczych Proces zmany energ cała spowodowany dzałanem sły nazywamy procesem wykonana pracy, a przyrost energ cała w tym procese nazywamy praca, która ta sła wykonała. Praca elementarnadw wykonana przez słęf dla małego przesunęcad r Jednostka pracy w układze SI jestj (1J= 1N 1m). Często używa sę jednostkev (elektronowolt) (1eV=1, J). W= Fdx dw= F d r lub dw=fcosθ x Jeżel katθ<90, słę nazywamy sła napędowa. Jeżel katθ>90, tof jest sła oporu. Praca wykonana w jednostce czasu to moc P= dw dt = Fd r dt = F v. 32 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 33 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Sły zachowawcze Praca w polu sł zachowawczych Energa potencjalna Sła jest zachowawcza jeżel praca wykonana przez tę słę nad punktem materalnym, który porusza sę po dowolnej drodze zamknętej jest równa zeru. (W AB) 1+(W BA) 2=0 (W AB) 2= (W BA) 2 (W AB) 1=(W AB) 2 Jeśl praca dotyczy sł zachowawczych, wówczas jej wykonane powoduje zmanę energ. Energa potencjalna cała w danym punkce (względem określonego punktu odnesena) równa jest pracy jaka wykonuja sły zachowawcze przy przemeszczenu cała z danego punktu do punktu odnesena. Zwazek pracy na odcnkuab z energa potencjalna w punktachab: Praca sły zachowawczej ne zależy od drog, a tylko od położena punktu poczatkowego końcowego. Słam zachowawczym sa np. sła grawtacj, sła powodujaca ruch harmonczny, sła elektrostatyczna. Sła dysypatywna (rozpraszajaca) gdy praca sły po drodze zamknętej ne równa sę zeru. lub Ogólne W AB=E pa E pb = (E pb E pa )= E p dw= de p=f dx. B W AB= A F d r 34 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 35 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

10 Energa knetyczna Prawo zachowana energ Praca wykonana przez słę dzałajac a na cało równa jest zmane jego energ knetycznej. Energa knetyczna W AB=m v2 B 2 mv2 A 2 =E k B E ka. to energa cała zwazana z jego ruchem E k =m v2 2 Dlaczego energa knetyczna rośne bardzej ze wzrostem prędkośc nż masy? Praca sły zachowawczej przy przesunęcu z punktu A do B: W AB=E pa E pb =E kb E ka E pa +E ka =E pb +E kb E p+e k =const. Zasada zachowana energ mechancznej Całkowta energa mechanczna cała, na które dzałaja tylko sły zachowawcze, jest stała. E p= E k 36 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 37 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Prawo zachowana energ... Prawo zachowana energ... Ogólna zasada zachowana energ Energa całkowta układu odosobnonego jest stała. Układ odosobnony to tak układ, który ne wymena energ z otoczenem. Zasada zachowana energ całkowtej Energa może być przekształcona z jednej formy w nna, ale ne może być wytwarzana an nszczona; energa całkowta jest welkośca stała. lub Zasada zachowana energ całkowtej Całkowta energa zolowanego układu jest taka sama przed, jak po wystapenu przeman w tym układze. 38 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank 39 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank

11 Lteratura Hallday D., Resnck R, Walker J. Podstawy Fzyk t PWN, Praca zborowa pod red. A. Justa Wstęp do analzy matematycznej wybranych zagadneń z fzyk. Wydawnctwo PŁ, Łódź Jaworsk B., Detłaf A. Kurs Fzyk t PWN, Strona nternetowa prowadzona przez CMF PŁ e-fzyka. Podstawy fzyk. Kakol Z. Żukrowsk J. kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fzyk. 40 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank