3. Dynamika ruchu postępowego

Transkrypt

1 . Dnaka ruchu postępowego Zasad dnak Newtona Zasad dnak Newtona opsują zagadnena echank klascznej. Zasad te pozwalają w szczególnośc znaleźć wszstke paraetr opsujące ruch cała, take jak położene, prędkość jego przspeszene w dowoln oence czasu oraz równane trajektor, po której cało sę porusza. Z zasad dnak foralne wnkają równeż fundaentalne zasad zachowana: zasada zachowana pędu, zasada zachowana oentu pędu oraz zasada zachowana energ echancznej. Perwsza zasada dnak postuluje stnene układów nercjalnch, tj. takch układów odnesena, w którch gd na cało ne dzała sła (lub dzałające sł sę równoważą), to cało pozostaje w spocznku lub porusza sę ruche jednostajn prostolnow. Układ nercjaln w uproszczon sposób ożna określć, jako układ, któr ne doznaje przspeszena. Zasad dnak oraz wnkające z nch zaps obowązują w układach nercjalnch. Druga zasada dnak wąże słę F dzałającą na cało o ase ze zaną pędu p tego cała: dp F, p v. (.) dt Gd asa cała ne ulega zane w trakce ruchu, druga zasada dnak przjuje postać: gdze dv d r F a, a, (.) dt dt r, v a jest odpowedno wektore wodząc, prędkoścą przspeszene cała. Trzeca zasada dnak głos, że jeżel cało j dzała na cało z słą F j, to cało dzała na cało j z słą F o tej saej wartośc t sa kerunku dzałana, lecz o przecwn zwroce: j F j F j. (.) Z zasad tej wnka, że F 0, czl że cało sao z sobą ne oże oddzałwać. F j F j j Rs... Ilustracja do trzecej zasad dnak w przpadku obektów oraz j wzajene sę przcągającch Równane ruchu Newtona Równane to jest prostą konsekwencją drugej zasad dnak przedstawa, dla określonej sł dzałającej na cało, różnczkową zależność proena wodzącego od czasu: d r. (.4) F dt

2 Dwukrotne całkowane tego równana prowadz do znalezena zależnośc wektora prędkośc oraz wektora wodzącego od czasu uożlwa określene trajektor, po której porusza sę cało. Jednoznaczne rozwązane tego równana waga znajoośc dwóch warunków początkowch określającch prędkość położene cała w dowolnch oentach czasu. Dla szczególnego przpadku a const, rozwązane tego równana są relacje (.) (.). Układ swobodnch punktów ateralnch. Środek as Rs.. przedstawa układ n punktów ateralnch o asach przeeszczać sę pod wpłwe sł wzajenego oddzałwana, które ogą swobodne F j oraz pod wpłwe sł zewnętrznch F 0, jeżel take wstępują. Rozwązane równań ruchu Newtona dla układu swobodnch punktów na ogół ne jest ożlwe. ożlwe jest natoast określene ruchu jego środka as, zdefnowanego przez wektor: R S n r, (.5) n, R X Y Z, r x z S S S S. (.6) Środek as porusza sę jak punkt o ase pod wpłwe sł równej sue wszstkch sł F dzałającch na układ - redukującej sę na oc trzecej zasad dnak do su sł zewnętrznch F 0 : d RS dt n n F, F F F 0. (.7) z r r F 0 r S O R S r n n x r n n Rs... Swobodn układ n punktów ateralnch. Środek as oznaczono przez S. Przez F 0 zewnętrznch w układze oznaczono jedną z sł Defncja (.5) środka as dla układu punktów równoważna jest trze zapso skalarn:

3 X S n x, YS n, Z S z n. (.8) Dla brł o skończonch rozarach, defncja środka as a postać: R S r d, (.9) X S xd, YS d, Z S zd, (.0) gdze całkowane rozcąga sę na całą objętość brł o ase. S R S z r d O x Rs... Ilustracja do defncj środka as brł o skończonch rozarach Tarce dnaczne Sła tarca dnacznego F t jest proporcjonalna do sł nacsku N na podłoże F t N (.) ne zależ od prędkośc oraz pola powerzchn stkającch sę cał. Współcznnk jest współcznnke tarca zależn od rodzaju aterału przeeszczającch sę cał stanu ch powerzchn. Sła tarca jest przecwne skerowana do wektora przeeszczena cała. Przkład Przkład.. Wahadło przczepone jest do dachu wagonu zjeżdżającego z przspeszene a /s z górk rozrządowej o kące nachlena 5. Jak jest kąt odchlena wahadła od ponu?

4 Rozwązane: Inercjaln układ odnesena. W układze t, zwązan z otoczene, wahadło wraz z wagone porusza sę z przspeszene a /s. W zadanu dobera taką orentację układu odnesena, ab oś x skerowana bła pozoo, a oś ponowo. Na wahadło dzałają dwe sł: sła cężkośc Q g oraz oddzałwane ze stron ln T. T T T x a a x a x Q Zgodne z drugą zasadą dnak Newtona, wpadkowa sła dzałająca na wahadło o ase wnos F w Q T a. Porównując odpowedne składowe wpadkowej sł wzdłuż os x znajdze: lub Po prostch przekształcenach otrza: T x ax, Q T a T sn acos, g T cos asn. a cos tan. g a sn Nenercjaln układ odnesena. W układze t, zwązan z wagone poruszając sę z przspeszene a /s, wahadło pozostaje w spocznku. W zadanu dobera taką orentację układu odnesena, ab oś x skerowana bła pozoo, a oś ponowo. Na wahadło dzałają dwe sł: sła cężkośc Q g oraz oddzałwane ze stron ln T. Ze względu na nenercjalność układu odnesena, wprowadza dodatkową słę pozorną - w rzeczwstośc ne dzałającą na wahadło pseudosłę bezwładnośc a. F b

5 T T F b F b x F bx T x Q Poneważ wahadło w rozważan układze pozostaje w spocznku, węc zgodne z perwszą zasadą dnak Newtona wpadkowa sła dzałająca na wahadło jest równa zeru: Fw Q T Fb 0. Porównując odpowedne składowe wpadkowej sł wzdłuż os x znajdze: lub Po prostch przekształcenach otrza: T x ax 0, Q T a 0 T sn acos 0, g T cos asn 0. a cos tan. g a sn Rezultat w obdwu układach odnesena jest tak sa ne zależ od as wahadła. Wahadło odchl sę o kąt arctan(0,8) 7, 7. Przkład.. Trz cężark o asach 5 kg, kg 0kg zaweszone są tak, jak na rsunku. Z jak przspeszene poruszają sę te as oraz jake jest naprężene lnek? as bloczków lnek ponąć. Rozwązane: Defnuje kerunek dodatn, zorentowan ponowo w górę. Bloczk lnk ają zanedbwalne as, węc naprężene lnk po obu stronach ruchoego bloczka jest take sao wnos N, natoast naprężene lnk przerzuconej przez bloczek nerucho jest dwukrotne wększe. Zgodne z drugą zasadą dnak, ruch każdego z cężarków o asach, będze w układze zwązan z nerucho bloczke opsan odpowedno równane:

6 N g a, N g a, N g a. N N a N N g a g a g Przedstawon układ trzech równań zawera czter newadoe. Brakujące równane otrza porównując wartośc przspeszena as względe ruchoego bloczka, któr porusza sę w ujen kerunku z przspeszene o wartośc a. Wartość przspeszena as względe ruchoego bloczka wnos a a (przecwne ruch - wartośc przspeszeń sę suują), natoast asa porusza sę względe ruchoego bloczka z przspeszene o wartośc a a (zgodne ruch - wartośc przspeszeń sę odejują). Poneważ obdwe wartośc względnch przspeszeń as względe ruchoego bloczka są take sae, węc brakujące równane a postać: a a a a. Rozwązując powższ układ czterech równań otrza: a a a 4 4 g, 4 N g a 4 g, N g 4 g 4 g N 4 g. 4 Uwzględnając dane lczbowe znajdze: N,8 N. a,9 /s, a 0,80 /s, a 6,6 /s,

7 Przkład.. Trz as punktowe leżą w płaszczźne x w chwl t 0 0 znajdują sę w spocznku. as, położena początkowe as oraz dzałające na ne sł przedstawone są w tabel. a) Znaleźć położena poszczególnch punktów po upłwe t 5 s. b) W oparcu o uzskane wnk oblczć położene środka as układu po upłwe t 5 s. c) Oblczć położene środka as układu w chwl t 0. d) Stosując twerdzene o ruchu środka as układu punktów ateralnch, oblczć położene środka as układu po upłwe t 5 s. Porównać wnk z punktów b) d). Rozwązane: Punkt kg x N F P - P j P a) Na poszczególne as punktowe dzałają stałe sł, węc ch położena t (.). Przjując t v otrza: F r r 0 at r 0 t. Uwzględnając dane z tabel, znajduje położena punktów po czase r 0 t 5 5 7, r 0 t 5 5 5, r 0 t r t 5 s : opsane są równane b) Położene środka as po czase t 5 s wznacza, zgodne z defncją środka as, wektor: Rs ( t 5) 0 r t c) Położene środka as w oence t 0 s określa wektor: Rs ( t 0) 0 r t

8 d) Twerdzene o ruchu środka as głos, że środek as przeeszcza sę jak punkt o ase równej ase całego układu, na któr dzała sła równa sue wszstkch sł dzałającch na poszczególne punkt. Prz uwzględnenu warunków początkowch, położene środka as opsuje węc wektor położena: gdze przspeszene środka as wnos a s F Uwzględnając rezultat z punktu c) otrza: Rs ( t) Rs ( t 0) ast, R s ( t 5) Wnk ten jest dentczn z wnke uzskan w punkce b). Otrzan dwoa sposoba rezultat na położene środka as układu po upłwe pewnego czasu jest tak sa, co potwerdza twerdzene o ruchu środka as układu.. Zadana.. Saochód porusza sę z przspeszene na oparce sedzena? a /s. Jaką słą człowek o ase 70kg dzała.. Oblcz asę cała poruszającego sę po torze prostolnow, które pod wpłwe sł F 40 N zenło swoją prędkość z v 0 /s do v 4 /s w czase t 60s... Dwutonow saochód poruszając sę ze stał przspeszene osąga prędkość v 00k/h w czase t s. Jaka sła dzała na ten saochód?.4. Jaka sła dzała na strzelca karabnu asznowego wstrzelwującego w cągu nut n 00 pocsków o ase 50g każd? Prędkość początkowa pocsku v 000/s..5. Na cało o ase 5 kg dzała pozoa sła F 4 N. Jak jest kerunek, zwrot wartość przspeszena, z jak porusza sę to cało? Jak zen sę przspeszene, gd na cało zaczne dzałać dodatkowa sła F N, równoległa do sł F : a) skerowana zgodne ze zwrote sł F, b) skerowana przecwne do zwrotu sł F..6. Cało o ase kg w czase perwszch t 0s przebło drogę s 00. Znaleźć wartość stałej sł dzałającej na cało..7. Saochód o ase 00kg jedze po pozoej ulc z prędkoścą v 7k/h. Jaka us bć wartość stałej sł haującej F dzałającej na ten saochód, ab zatrzał sę on na odcnku drog s 0?

9 .8. Lokootwa na pozo, prostolnow odcnku o długośc s 600 rozpędzła pocąg z prędkośc v 6 k/h do v 54 k/h. Jaka bła wartość sł tarca F t, jeżel całkowta asa pocągu 000t, a sła cągu lokootw F 4,7 0 N?.9. Statek o ase, w oence zastopowana slnka, ał prędkość v. Znaleźć odległość, jaką przebędze statek do oentu, gd jego prędkość osągne połowę wartośc prędkośc początkowej. Jak dstans pokona statek do oentu zatrzana sę? Nastatek dzała sła oporu proporcjonalna do prędkośc: F kv?.0. Na pojazd o ase dzała haująca sła oporu zan jego prędkość zaleje do połow? 4 F kv. Jaką odległość s przejedze pojazd,.. Cało o ase kg porusza sę po trajektor opsanej równane: r 5t t 4t j. Jaka sła dzała na to cało? Jak ruche porusza sę ono wzdłuż os x - jednostajn, przspeszon, cz opóźnon?.. Na cało o ase kgdzała sła F j oraz neznana sła F. Jaka jest neznana sła, jeśl położene cała zena sę zgodne z równane: r 6 t 4 t j?.. Człowek o ase 70kg dzała na dno kosza balonu z słą N 500N. Wznaczć wartość zwrot przspeszena, z jak porusza sę balon..4. Balon o ase 500kg opada ze stałą prędkoścą v /s. Jak balast należ odrzucć, ab balon wznosł sę z taką saą prędkoścą? Sła wporu dla tego balonu F 4500N..5. Ab wznaczć cężar pudełka, położono go na jednej szalce wag, a na drugej szalce ueszczono jednocześne odważnk o ase 00 g. Pudełko zaczęło opadać z pewn przspeszene. Gd zwększono asę odważnków do 500 g, pudełko zaczęło sę wznosć z tak sa przspeszene. Jak jest cężar pudełka? W.6. Człowek o ase 70kg sto na wadze w poruszającej sę wndze. Jake będą wskazana wag, gd: a) wnda sto, b) wnda porusza sę do gór ruche jednostajn, z prędkoścą v 5 /s, c) wnda porusza sę do gór z przspeszene a,5 /s, d) wnda porusza sę w dół przspeszene a,5 /s, e) poruszająca sę do gór wnda zatrzuje sę z przspeszene f) poruszająca sę w dół wnda zatrzuje sę z przspeszene a 9,8/s, a 4 9,8/s?.7. Wnda porusza sę do gór z przspeszene a /s. Do suftu wnd przczepono, za poocą lnk o długośc l ase 00g, cężarek o ase 00g. Jak zena sę wzdłuż lnk jej naprężene?.8. Wnda z pasażera a łączną asę 000 kg. Wznaczć kerunek przspeszene ruchu wnd, jeśl naprężene ln, na której zaweszona jest wnda wnos N 5000N..9. Człowek o ase 80kg wspna sę po lne z przspeszene naprężene ln. a 0, /s. Oblczć

10 .0. Jake jest naprężene N ln, do której jest podczepon cężar o ase 50 kg, gd: a) cężar podnoszon jest z przspeszene b) cężar opuszczan jest z przspeszene a,6 /s, a 0,8 /s?.. Człowek o ase 80kg zsuwa po lne o długośc l 0 ase 0kg ze stałą prędkoścą v /s. Jake będze naprężene ln w połowe jej długośc, gd człowek zsune sę do tego ejsca?.. Człowek o ase 75kg sedz na desce wcąga sę do gór cągnąc za lnę przeweszoną przez bloczek. Z jaką słą człowek cągne za lnę, jeżel porusza sę z przspeszene asę desk ln ponąć. a 0,5 /s?.. Z kosza poruszającego sę w pone balonu zwsa lna z cężarke o ase kg. Do tego cężarka przwązana jest kolejna lna, z cężarke o ase kg. Oblczć naprężene górnej ln, jeśl naprężene ln poędz cężarka wnos N 9,8N..4. Cało o ase zaweszone jest na sznurku. Gd podnoszono je z przspeszene naprężene sznurka wnosło N 00N. Gd zaczęto podnosć cało z przspeszene sznurek pękł. Oblczć asę cała oraz naprężene sznura, gd pękł. a /s a 8 /s.5. Dwe skrznk, o asach 0 kg 5 kg, połączono stalową lnką o ase kg wcągano do gór z słą F 00N. Jake jest naprężene lnk a) w punkce zaczepena do skrznk perwszej, b) w punkce zaczepena do skrznk drugej, c) w połowe długośc lnk? F

11 .6. aksaln cężar, jak ożna podneść za poocą stalowej lnk, prz któr ne ulegne ona zerwanu, wnos 500kg. Z jak przspeszene ożna podnosć cężar o ase 400kg, ab lnka ne zerwała sę?.7. Dźwg podnos cężar Q zaweszon na lne, której dopuszczalne naprężene wnos N ax. Znaleźć najkrótsz czas, w któr ożna podneść ten początkowo spoczwając cężar na wsokość h. Cężar ln ponąć..8. Na końcach belk, o długośc l 5, ase kg nachlonej pod kąte 0, znajdują sę as kg 5 kg. Jaka pownna bć wartość dodatkowej sł, jej zwrot punkt zaczepena, ab belka ne wkonwała ruchu obrotowego oraz poruszała sę z przspeszene zesk g do gór? g.9. Na końce belk o ase kg długośc l 4 dzałają sł P 0 N R 0 N. W któr punkce należ przłożć dodatkową słę F jaka pownna bć jej wartość, ab belka spadała w dół pod kąte 0 z przspeszene zesk g? R P a.0. Trz klock o asach: 5 kg, 5kg, 5kg są połączone ze sobą lnką wprawane w ruch po podłodze o gładkej powerzchn. Naprężene ostatnego odcnka lnk N 5 N. Znaleźć naprężene N lnk oraz słę P wprawającą układ w ruch. N N P.. Oblczć przspeszene, z jak odbwa sę ruch układu cał o asach 7 kg kg pokazan na rsunku. Tarce ponąć.

12 .. Na gładk stole połączono lnką as kg, kg kg, a do końca lnk podweszono asę kg. Oblczć: a) przspeszene a układu, b) naprężene wszstkch odcnków lnk. Tarce ponąć... Trz pudełka zostałał połączone lnka tak, jak na rsunku. Jake jest naprężene obu lnek oraz wartość kerunek przspeszena poszczególnch pudełek, jeżel ch as wnoszą: 0 kg, 4 kg, 6 kg? W rozwązanu ponąć tarce..4. Dwa odważnk o asach kg kg połączono lnką o długośc l położono na gładk stole o wsokośc h 0,75. Prz naprężonej lnce przesunęto nejszą asę poza krawędź stołu, pozwalając jej na spadek. Oblczć czas t t, po którch odpowedno asa zetkne sę z podłogą. h.5. Jaką słą należ przcsnąć klocek o ase 5 kg do ścan, ab ne ześlznął sę on w dół? Współcznnk tarca poędz ścaną a klocke wnos 0, Cało o ase kg spoczwa na pozoej powerzchn. Jakej należ użć sł, ab cało to poruszało sę z przspeszene wnos 0,. a 5c/s? Współcznnk tarca poędz całe, a podłoże.7. Jak daleko od środka talerza graofonu wkonującego n obrotu na nutę ożna położć onetę bez obaw, że z tego talerza spadne. Współcznnk tarca poędz onetą tarczą wnos 0, 5?

13 .8. Z jaką aksalną prędkoścą saochód oże bez wpadana w poślzg pokonać zakręt o proenu krzwzn r 50, jeżel nawerzchna drog nachlona jest pod kąte 5? Współcznnk tarca kół o asfalt wnos 0, Jaką drogę pokona saochód, któr wpadł w poślzg prz prędkośc v 00 k/h z zablokowan koła? Współcznnk tarca kół o jezdnę wnos 0, Drewnan klocek spoczwa na desce. Gd deska zostane nachlona pod kąte 40, klocek zaczna sę zsuwać. Ile wnos współcznnk tarca poędz klocke deską?.4. Współcznnk tarca poędz drewnan klocke o ase 00g, a podłoże wnos 0,4. Z jaką słą należ pocągnąć za klocek, ab go poruszć, jeżel sła jest skerowana pod kąte 5 do pozou?.4. Robotnk cągne skrznę o ase 0kg z słą F 5 N skerowaną pod kąte 0 do powerzchn podłoża. Jak jest współcznnk tarca, jeżel skrzna porusza sę ruche jednostajn?.4. Na klocek o ase kg dzała sła F skerowana pod kąte do pozou. Znejszane kąta powoduje wzrost wartośc sł F nezbędnej do poruszena klocka. Prz pewn granczn kące, nezależne od wartośc przłożonej sł, klocek pozostane w spocznku. Ile wnos ten kąt, jeżel współcznnk tarca poędz klocke, a podłoże 0, 5? F.44. Wózek cągnęt przez dwe osob porusza sę ruche jednostajn wzdłuż przerwanej ln. Jedna z osób cągne wózek z słą F 500N pod kąte 0. Druga osoba cągne wózek z słą F pod kąte 60. Jaka jest wartość sł F oraz wartość kerunek sł tarca poędz wózke, a podłoże? F.45. Sła F 00N wprawa w ruch pudełka o asach: kg, kg 6 kg. Jaka jest wartość kerunek sł składowch oraz wpadkowch dzałającch na poszczególne pudełka? Z jak przspeszena pudełka sę poruszają? Współcznnk tarce poędz pudełka a podłoże 0,5. F F

14 .46. Na desce o ase 5 kg leż klocek o ase kg. Współcznnk tarca poędz deską a podłoże oraz poędz deską klocke wnos 0,. Jaka pownna bć wartość sł F, ab: a) deska ne poruszała sę, b) deska poruszała sę, a klocek ne ślzgał sę po desce, c) poędz deską klocke wstępował poślzg? F.47. Sła F 00N przesuwa ruche jednostajn pudełka o asach kg, kg 6 kg. Jaka jest wartość kerunek sł składowch oraz wpadkowch dzałającch na poszczególne pudełka? Ile wnos współcznnk tarce poędz pudełka a podłoże? F.48. W układze przedstawon na rsunku, cężarek o ase sprawa, że klock o asach kg kg przesuwają sę ruche jednostajne przspeszon. Oblczć aksalną asę cężarka, prz której oba klock ają take sae przspeszene (ne poruszają sę względe sebe). Współcznnk tarca poędz klocka wnos 0, 5, a poędz doln klocke, a podłoże 0, Sła F 00N powoduje przesuwane sę pudełek o ase kg, kg 6 kg z tak sa przspeszene pozo. Jaka jest wartość kerunek sł składowch oraz wpadkowch dzałającch na poszczególne pudełka? Z jak przspeszena pudełka sę poruszają? Współcznnk tarca poędz pudełka a podłoże wnos 0,5. Cał układ znajduje sę w wndze poruszającej sę na dół z przspeszene a 4 /s. a F

15 .50. Z jak przspeszene w którą stronę pownna poruszać sę skrzna, ab cężark o asach kg 5 kg pozostawał w spocznku? Współcznnk tarca obdwu as o ścank skrzn 0,..5. Jaką słę należ przłożć do as, ab asa ta poruszała sę z przspeszene a g /, jeżel tarce o współcznnku, 5 wstępuje tlko ędz asa 0 kg 5 kg? Jaka sła dzała na podstawę bloczka? F.5. Z jak przspeszene poruszają sę klock z poprzednego zadana jake jest naprężene ln, jeżel F 00N, a współcznnk sł tarca poędz wszstk powerzchna są take sae wnoszą 0.?.5. W wesoł asteczku znajduje sę wrująca wokół ponowej os beczka o proenu r 5. Ile obrotów na nutę wkonuje beczka, jeżel znajdując w nej ludze sę są przklejen do ścanek poo obnżena podłog? Współcznnk tarca poędz ludź a beczką wnos 0, Układ przedstawon na rsunku znajduje sę w stane spocznku. Zaznaczć wszstke sł dzałające na oba klock, bloczek oraz równę. Oblczć składowe sł wpadkowej dzałającej na każde cało w obdwu układach odnesena. a b x x.55. Klocek o ase 5 kg znajduje sę na równ o kące nachlena 60. Jaką słą prostopadłą do równ należ go przcsnąć, ab pozostawał w spocznku? Współcznnk tarca poędz równą a klocke 0,..56. Cało zsuwa sę z wsokośc h 0 wzdłuż zbocza gór nachlonego do pozou pod kąte 0. Jaką prędkość końcową osągne to cało, jeżel współcznnk tarca 0,?.57. Jaką prędkość początkową v 0 należ nadać cału o ase, ab wsunęło sę na szczt równ o długośc s kące nachlena? Współcznnk tarca wnos.

16 .58. Cało przesuwa sę ku górze wzdłuż równ pochłej nachlonej do pozou pod kąte 0 z prędkoścą początkową v 0 /s. Jaką prędkość uzska to cało po powroce do podstaw równ? Współcznnk tarca 0,..59. Skrzna o ase 00kg znajduje sę w cężarówce jadącej po wzgórku o kące nachlena 5. Z jak przspeszene oże poruszać sę cężarówka wjeżdżając na wzgórek oraz zjeżdżając ze wzgórka, ab skrzna ne zaczęła sę przesuwać. Współcznnk tarca poędz skrzną cężarówką 0, Z jak przspeszene porusza sę po równ skrzna o ase 0kg, jeżel dzała na ną słą F 00N równoległą do równ. Kąt nachlena równ 5.Współcznnk tarca skrzn o równę 0,. F 0.6. Narcarz zjeżdża z górk, której nachlene wnos 45, a jej zbocze a długość s 5. Jaką odległość l przejedze narcarz na pozo odcnku po zjechanu z tej górk? Na całej drodze, jaką przebwa narcarz, współcznnk tarca wnos 0, Cało zsunęło sę z równ pochłej o kące nachlena 0 w czase t 0. Gdb poędz całe, a równą ne wstępował sł tarca, zsunęłob sę ono dwa raz szbcej. Ile wnos współcznnk tarca?.6. Dwa klock połączone są lnką poruszają sę po powerzchn równ o kące nachlena 5. Jake jest przspeszene obu klocków oraz naprężene lnk, gd: a) kg kg, b) kg kg? Współcznnk tarca perwszego klocka o równę wnos 0,, a drugego 0, Na równ pochłej nachlonej do pozou pod kąte znajduje sę klocek, którego współcznnk tarca o równę wnos. Z jak naln przśpeszene a w kerunku pozo us poruszać sę równa, ab klocek ógł przeeszczać sę w górę, wzdłuż równ? a

17 .65. Na równ o kące nachlena 0, poruszającej sę pozoo z przspeszene a 0/s, znajduje sę klocek o ase 5 kg. Klocek porusza sę względe równ z przspeszene a w górę równ. Współcznnk tarca klocka o równę 0, 5. Znaleźć przspeszene a oraz nacsk N klocka na równę..66. Z jak przspeszene w kerunku pozo us poruszać sę równa o kące nachlena 0, ab znajdując sę na nej cężarek bł względe nej w spocznku? Współcznnk tarca cężarka o równę 0,..67. Cężar o ase 50kg a bć przecągnęt prz pooc ln. Jaką nalną wtrzałość na zerwane us eć ta lna, ab ne uległa przerwanu? Pod jak kąte względe podłoża pownna bć zorentowana lna podczas przesuwana cężaru? Współcznnk tarca ędz przecąganą asą, a podłoże 0, Robotnk chce wcągnąć skrznę na pochlnę o kące nachlena 5. Pod jak kąte względe pochln pownna bć zorentowana sła, ab ała nalną wartość? Jaka jest wartość tej sł? Ile będze wnosł kąt, gd 0? asa skrzn 00kg, współcznnk tarca skrzn o pochlnę. F.69. Jaka jest asa, jeżel asa 0 kg porusza sę a) z przspeszene a 5 /s do gór, b) z przspeszene a 5 /s do dołu? Kąt nachlena równ 5, a współcznnk tarca klocka o równę 0, Dwa cężark o asach kg 5 kg połączono neważką, nerozcąglwą lnką przeweszono przez bloczek. Kąt nachlena równ wnoszą: 60, 45. Oblczć: a) przspeszene z jak poruszają sę cężark, b) naprężene lnk, c) słę z jaką lnka dzała na bloczek. Tarce poędz cężarka, a równą ponąć.

18 .7. Trz as połączono lnka. Oblczć przspeszene, z jak poruszają sę as oraz naprężene każdej z lnek. Kąt nachlena równ 45. Tarce ponąć..7. Układ trzech klocków o asach: kg, 4 kg, 0kg, porusza sę z pewn przspeszene. Wznaczć to przspeszene oraz naprężena poszczególnch lnek łączącch klock. Oblczć także prace, jake wkonują poszczególne sł. Kąt nachlena równ: 0, 60. Rozważć dwa przpadk: a) ruch odbwa sę bez tarca, b) współcznnk tarca poędz każd z klocków, a podłoże wnos 0,..7. Skrzna o ase 50kg wcągana jest za poocą bloczka. Jaką słą należ cągnąć za lnę, ab skrzna wcągana bła z przspeszene a 0, /s? F.74. Dwa cężark o asach kg kg połączono lnką przeweszoną przez neważk bloczek. Oba cężark spoczwają na ze. Jake będze ch przspeszene, gd na bloczek zaczne dzałać sła F równa: 5 N, 0 N, 60 N? F

19 .75. Dwa cała o asach kg 5 kg połączone są lnką przeweszoną przez bloczek podweszon poprzez dnaoetr do suftu. Z jak przspeszene poruszają sę te as? Jake jest naprężene lnk z obu stron bloczka jake jest wskazane dnaoetru? Co wskazwałb dnaoetr gdb bloczek ne ógł sę obracać, uneożlwając ruch cężarko? asa bloczka lnk jest do zanedbana. D.76. Na lne przerzuconej przez nerucho blok przczeponej do cężarka o ase znajduje sę ałpa o ase. Z jak przspeszene a będze poruszał sę cężarek, gd: a) ałpa ne porusza sę względe ln, b) ałpa wspna sę ze stałą prędkoścą v 0 względe ln, c) ałpa porusza sę ze stał przspeszene a 0 względe ln? asę bloku tarce ponąć..77. Do neważkej nc przerzuconej przez nerucho bloczek podweszono cało o ase kg, na które położono nne cało o ase 0,5kg. Jake przśpeszene a nada t cało sła F 40 N, przłożona do drugego końca nc skerowana ponowo w dół? Z jaką słą F asa dzała na asę?.78. Oblczć przspeszene cał o asach kg kg oraz naprężene lnk w układze pokazan na rsunku. asę bloczków tarce ponąć.

20 .79. Określć położene środka as układu punktów ateralnch rozeszczonch tak, jak na rsunku. Satka jest wskalowana w etrach, a as poszczególnch punktów podane są w klograach. Zapsać wektor położena środka as x.80. Określć położene środka as przestrzennego układu punktów ateralnch o współrzędnch asach zaeszczonch w tabel. Zapsać wektor położena środka as. Punkt x z kg P 5-8 P P -9-6 P P P Na rufe, stojącej na wodze łodz, znajduje sę człowek. Na jaką odległość przesune sę względe wod łódź, jeżel człowek przejdze z ruf łodz na jej dzób? asa łodz 0kg, asa człoweka 80kg, długość łodz l W jakej odległośc od środka Ze znajduje sę środek as układu Ze Ksężc? Cz jest on jeszcze we wnętrzu Ze, cz na zewnątrz naszej planet? Dane: 4 asa Ze: 6 0 kg, asa Ksężca: Z 7, 0 kg, Średna odległość Ksężca od Ze: K 6 d,840, Średn proeń Ze: R Z 6,70. W jakej odległośc od Ze usałb znajdować sę Ksężc, ab środek as układu znajdował sę na powerzchn Ze? 8

21 .8. Znaleźć położene środka as dla układu czterech as: kg, kg, 7 kg, 4 kg, rozeszczonch w werzchołkach kwadratu o boku a. as w werzchołkach kwadratu roześcć saodzelne..84. Posługując sę całkową defncją środka as sprawdzć, że środek as kwadratowej płt o boku a leż w punkce przecęca sę przekątnch płt..85. Znaleźć środk as jednorodnch, płaskch płt pokazanch na rsunku. War płt oraz układ odnesena x dobrać saodzelne..86. Wznaczć położene środka as jednorodnej, kwadratowej płt z wcęca przedstawon na rsunku. Długość boku płt wnos a 0c. Każde z kwadratowch wcęć a bok o długośc b 5 c. Środk tch wcęć znajdują sę w odległośc r 5 c od środka płt..87. Znaleźć środek as jednorodnego półokręgu o proenu r..88. Oblczć współrzędne środka as okrągłej płtk opsanej równane: x a, jeżel jej gęstość w punkce P x, jest proporcjonalna do odległośc punktu P od punktu x a, 0 A..89. Znaleźć położene środka as stożka o wsokośc h proenu podstaw r..90. Znaleźć środek as jednorodnej kul o proenu R 50c, we wnętrzu której znajduje sę kulste wdrążene o proenu r 0c, prz cz środek kul nejszej oddalon jest o d 5 c,od środka kul wększej.