Krótki wstęp do mechaniki kwantowej

Transkrypt

1 Piotr Kowalczewski III rok fizyki, Krótki wstęp do mechaniki kwantowej Spotkanie Sekcji Informatyki Kwantowej Mechanika kwantowa w cytatach If quantum mechanics hasn t profoundly shocked you, you haven t understood it yet Niels Bohr ( , duński fizyk, twórca modelu atomu) I think I can safely say that nobody understands Quantum Mechanics Richard Feynman (98-988, fizyk teoretyk amerykański) I do not like it, and I am sorry I ever had anything to do with it Erwin Schroedinger (887-96, fizyk austriacki, pionier mechaniki kwantowej) 2 Notacja Diraca Niech H będzie pewną przestrzenią Hilberta Elementem tej przestrzeni jest wektor ψ określany jako ket Iloczyn skalarny przedstawiany jest jako: ψ, ϕ H ψ ϕ C () Wektor ψ nosi nazwę bra Iloczyn skalarny jest więc bra-ketem od słowa bracket (nawias) Związek pomiędzy ketem i bra ma postać: ψ = ψ, (2) przy czym operacja określona jest jako sprzężenie hermitowskie Bra ψ jest więc obiektem matematycznym, który działając na ket ϕ produkuje liczbę zespoloną równą iloczynowi skalarnemu wektorów (ketów) ψ i ϕ Zachodzą przy tym związki aϕ + bψ = a ϕ + b ψ (3) aϕ + bψ = ā ϕ + b ψ (4) dla a, b C; ϕ, ψ H Przy czym ā, b - sprzężenia zespolone

2 Przyjmijmy, że wektory ϕ i tworzą bazę w przestrzeni H Wówczas wektor ψ przedstawiony jest jako: Ket ψ można również przedstawić macierzowo: ψ = ϕ i ψ ϕ i (5) i= ψ = ϕ ψ ϕ 2 ψ Wówczas element bra będzie miał postać: (6) ψ = ψ ϕ ψ ϕ 2 (7) Czyli będzie to macierz sprzężona i transponowana względem macierzy (6) Niech operator  w działaniu na ket ϕ daje wektor ψ, tzn ψ =  ϕ (8) Przedstawmy tą operację jako działanie operatora  na poszczególne wektory bazy ϕ i Zgodnie ze wzorem (5) mamy: ψ = ϕ i ψ ϕ i = ϕ i Âϕ ϕ i (9) i= i= Wstawiając do wyrażenia (9) operator jednostkowy ˆ = j= ϕ j ϕ j otrzymujemy: ψ = ϕ i  ϕ j ϕ j ϕ ϕ i (0) i,j= Operator  w zapisie macierzowym ma więc postać: ϕ  ϕ ϕ  ϕ 2 ϕ 2  ϕ ϕ 2  ϕ 2 () Innymi słowy, tak jak wektor przedstawiamy w pewnej abstrakcyjnej bazie za pomocą n liczb, tak samo za pomocą n 2 liczb (a konkretnie macierzy n n) przedstawić możemy operator Równanie (8) będzie wyglądało więc następująco: ϕ ψ ϕ 2 ψ = ϕ  ϕ ϕ  ϕ 2 ϕ 2  ϕ ϕ 2  ϕ 2 ϕ ϕ ϕ 2 ϕ (2) Przykład Operacja logiczna negacja działająca dla bramki -qubitowej (a więc w przestrzeni C 2 ) reprezentowana jest przez operator NOT, który ma postać macierzy 2 2: 2

3 0 0 (3) Działanie operatora NOT na element przestrzeni C 2, w tym wypadku wektor 0 odpowiadający wartości logicznej 0 klasycznego bitu algebry Boole a, tj 0 = 0 ma postać analogicznego do (2) równania: = 0 W skrócie, jak można było przypuszczać, mamy więc: (4) NOT 0 = (5) 3 Postulaty mechaniki kwantowej Podstawą mechaniki kwantowej jest kilka postulatów, które przyjęte są na wiarę - tj nie wiadomo dlaczego te postulaty są słuszne, natomiast wyniki doświadczalne są z nimi zgodne W ten sposób zbudowana jest każda teoria fizyczna, np mechanika klasyczna bazuje na trzech zasadach dynamiki Newtona Postulat Przestrzenią stanów układu jest ośrodkowa przestrzeń Hilberta H W każdej chwili t stan układu reprezentowany jest przez ket ψ(t) H W bazie H, tj B = { ϕ i } i charakteryzujemy stan ψ przez podanie układu liczb: { ϕ i ψ } i (współrzędne ψ w bazie B) Postulat 2 Każda mierzalna wielkość fizyczna (obserwabla) reprezentowana jest przez operator hermitowski, którego wektory własne tworzą bazę w H Niech A będzie pewną wielkością fizyczną, której odpowiada operator  o wartościach własnych a i Postulat 3 Wynikiem pomiaru wielkości fizycznej A może być tylko jedna z wartości własnych  Wynik pomiaru jest zawsze liczbą rzeczywistą, dlatego operatory reprezentujące obserwable muszą być hermitowskie (wartości własne operatorów hermitowskich są zawsze rzeczywiste) Postulat 4 Prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru obserwabli  wartości a i wynosi: P (a i ) = ϕ i ψ 2 ψ ψ (6) 3

4 Dla stanu unormowanego ψ ψ = będzie: P (a i ) = ϕ i ψ 2 (7) Przykład 2 Niech unormowany stan qubitu ψ C 2 przedstawiony będzie w postaci liniowej kombinacji: ψ = α 0 + β (8) Prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wartości logicznej 0 wynosi: 0 ψ 2 = α β 0 2 = α 2 Przy czym wykorzystaliśmy fakt, że skoro wektory 0 i stanowią bazę, to są względem siebie ortogonalne, czyli 0 0 = i 0 = 0 Analogicznie liczymy prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wartości logicznej : ψ 2 = α 0 + β 2 = β 2 Ponieważ prawdopodobieństwo otrzymania czegokolwiek wynosi (układ musi znajdować się w jakimś stanie), dochodzimy do następującej tożsamości: α 2 + β 2 = (9) Przyjmijmy, że dokonaliśmy pomiaru obserwabli Â, jako wynik otrzymując wartość własną a n, odpowiadającą wektorowi własnemu ϕ n Postulat 5 Stanem układu po przeprowadzeniu pomiaru jest unormowany rzut stanu ψ na unormowany wektor własny ϕ n ϕ n ψ ψ ϕ n ϕ n ψ (20) 2 Jednym słowiem w wyniku pomiaru następuje redukcja stanu ψ do stanu ϕ n Klasycznie pomiar rejestruje rzeczywistość (która istnieje tak czy inaczej) Kwantowo pomiar rzeczywistość kreuje Przykład 3 Wśród proponowanych fizycznych realizacji obliczeń kwantowych ważną rolę odgrywa koncepcja Jądrowego Rezonansu Magnetycznego (ang NMR - Nuclear Magnetic Resonance) Wykorzystuje ona wewnętrzny moment magentyczny cząsteczki - spin Mówiąc obrazowo - cząsteczki posiadające spin zachowują się jak niewielkie magnesy, przy czym dwa możliwe ustawienia (równoległe i antyrównoległe) odpowiadają dwóm stanom kwantowym tworzącym qubit (przyjmijmy: ustawienie równoległe -, ustawienie antyrównoległe - 0 ) Pokazuje to doświadczenie Sterna-Gerlacha Idea doświadczenia wyglądała następująco: atom złota Ag lub wodoru H (oba atomy mają po jednym elektrnonie walencyjnym, więc tylko ten jeden elektron decyduje o kierunku spinu) wpadał pomiędzy dwa magnesy o specjalnie ukształtowanych biegunach 4

5 Spin w stanie 0 zostaje odchylony do góry i pozostaje w stanie 0 Analogicznie spin w stanie zostanie odchylony do dołu i pozostaje w stanie Natomiast spin w stanie ψ = 2 ( 0 + ) z prawdopodobieństwem P = 2 zostanie odchylony ku górze i znajdzie się w stanie 0 i z takim samym prawdopodobieństwem zostanie odchylony ku dołowi i znajdzie się w stanie Postulat 6 Ewolucję układu fizycznego w czasie określa równanie Schroedingera (z czasem) i d ψ(t) = Ĥ(t) ψ(t) (2) dt Dla pełnego rozwiązania tego równania konieczne jest określenie stanu dla pewnej chwili t 0 (warunek początkowy) 4 Funkcja falowa, równanie Schroedingera Tak samo jak zwykły wektor w przestrzeni R n można określić przez zestaw liczb (x,, x i,, x n ), x i R, tak wektor stanu określa się przez zestaw liczb C W reprezentacji położeniowej (reprezentacja - baza, w której rozkładamy odpowiednie wektory) wektor stanu ψ jest jednoznacznie określony przez podanie wszystkich iloczynów skalarnych x ψ Skoro każdej wartości x przypisujemy liczbę, można mówić o funkcji: ψ(x) = x ψ (22) Funkcja określona wyrażeniem 22 nosi nazwę funkcji falowej (w reprezentacji położeniowej) Funkcja ψ mogłaby być miarą znalezienia cząstki w określonym punkcie w przestrzeni, jednak prawdopodobieństwo ma być liczbą rzeczywistą i nieujemną Pod uwagę brany jest więc kwadrat modułu wartości ψ, tzn ψ(x) 2 = ψ(x)ψ(x) Wyrażenie ψ(x) 2 określone jest jako gęstość prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo P znalezienia cząstki w nieskończenie małej objętości dxdydz wokół punktu wyznaczonego przez wektor r wynosi w takim razie P = ψ(x) 2 dxdydz (23) Pewne jest, że cząstka znajduje się gdziekolwiek Zachodzi więc (tzw warunek normalizacyjny): R 3 ψ(x) 2 dxdydz = (24) Hamiltonian (operator energii) cząstki klasycznej ma postać: H( r, p) = p 2 + V ( r) (25) 2m Po skwantowaniu (tj zastąpieniu odpowiednich wartości z mechaniki klasycznej operatorami), otrzymujemy: 5

6 Ĥ = ˆ p 2 2m + ˆV ( r) (26) W reprezentacji położeniowej operatory pędu i potencjału mają odpowiednio postać (co podaję bez dowodu): ˆ p 2 = i (27) ˆV ( r) = V ( r) (28) Tak więc ze związków 27 i 28, równanie 26 przyjmuje postać: Ĥ = 2 + V ( r) (29) 2m Równanie 29 nosi nazwę równania Schroedingera (bez czasu) Innymi słowy, jest to równanie na wektory ϕ E ( r i wartości własne E operatora energii Mamy więc: 2 2m ϕ E( r) + V ( r)ϕ E ( r) = Eϕ E ( r) (30) 6