W dotychczasowych rozważaniach dotyczących różnych układów fizycznych (w tym i atomu wodoropodobnego)
|
|
- Szczepan Czech
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Teoria spinu 1/ 196 Rozdział 17 Teoria spinu 1/ 17.1 Wprowadzenie braki dotychczasowej teorii W dotychczasowych rozważaniach dotyczących różnych układów fizycznych w tym i atomu wodoropodobnego wielokrotnie zastrzegaliśmy się, że mówimy o cząstce bezspinowej. Omawiając strukturę atomu opisywaliśmy elektron w układzie środka masy jako cząstkę punktową scharakteryzowaną przez funkcję falową ψ r = ψx, y, z. Uzyskane wyniki, choć ścisłe matematycznie, są niedokładne fizycznie. Brak bowiem, na przykład uwzględnienia faktu, że elektron posiada spin. poprawek relatywistycznych, itp., itd.. Można uniknąć wielu z tych braków jeżeli rozważać będziemy w pełni relatywistyczne równania Diraca. Wtedy też, niejako automatycznie, pojawia się spin. Spin został jednak odkryty doświadczalnie przed opublikowaniem równania Diraca. Pauli zbudował odpowiednią teorię, która jak się okazuje, jest granicznym przypadkiem teorii Diraca. W niniejszym wykładzie nie będziemy posługiwać się równaniem Diraca. Omówimy więc teorię Pauliego, a poprawki relatywistyczne rozważymy później, w ramach rachunku zaburzeń. Przesłanki doświadczalne wskazujące na istnienie spinu są następujące. Doświadczenie Sterna Gerlacha. Wiązka atomów srebra ulega w niejednorodnym polu magnetycznym rozszczepieniu na dwie składowe. Linie widmowe atomów są na ogół rozszczepione, czego nie wyjaśnia dotychczas omawiana teoria atomu wodoropodobnego. W normalnym efekcie Zeemana linia widmowa jest rozszczepiona na nieparzystą ilość linii. Wielkość rozszczepienia jest wprost proporcjonalna do natężenia pola B. Efekt ten wyjaśnialiśmy wiążąc z ruchem elektronu moment magnetyczny M = µ B L, 17.1 gdzie µ B = e /µ e magneton Bohra. Niekiedy jednak występuje tzw. "anomalny" efekt Zeemana, w którym linia widmowa ulega rozszczepieniu na parzystą liczbę składowych. Orbitalna liczba kwantowa l jest całkowita, magnetyczna liczba kwantowa m przyjmuje więc l + 1 wartości ilość nieparzystą. To wyjaśnia normalny efekt Zeemana. W efekcie anomalnym liczba linii jest parzysta, co sugeruje istnienie połówkowych wartości momentu pędu. Ogólna teoria momentu pędu dopuszcza taką możliwość, podczas gdy dla orbitalnego momentu pędu liczba kwantowa l jest zawsze całkowita. Fakty te pozwalają domniemywać, że istnieje w atomach i nie tylko moment pędu połówkowy. Wymaga to jednak przyjęcia dodatkowych założeń lub rozbudowania postulatów. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 196
2 Teoria spinu 1/ Postulaty teorii Pauliego Wyjaśnienie omówionych faktów doświadczalnych wymaga postulatu, że elektron posiada wewnętrzny moment pędu spin taki, że związany z nim jest moment magnetyczny µ S = µ B S gdzie µ B = e m e, 17. bowiem elektron ma ujemny ładunek. Zwróćmy tu uwagę na dodatkowy czynnik, sprawiający, że spinowy moment magnetyczny jest, formalnie rzecz biorąc, dwukrotnie większy niż orbitalny. Współczynnik ten zwany współczynnikiem giromagnetycznym dla elektronu, daje się wyjaśnić dopiero na gruncie elektrodynamiki kwantowej. Istnienie spinu sprawia, że do dotychczasowych postulatów musimy dodać następne. Niezależnie od zmiennych r i p, które nazwiemy zmiennymi orbitalnymi, musimy jeszcze mieć jakieś zmienne spinowe. 1. Wielkość fizyczna zwana spinem jest momentem pędu. Wobec tego odpowiadająca jej obserwabla ma charakter wektora S = S 1, S, S 3, którego składowe są operatorami hermitowskimi, tj. S k = S k, a także muszą spełniać kanoniczne relacje komutacyjne [ Sk, S m ] = i εkmn S n W świetle ogólnej teorii momentu pędu, stwierdzamy, że istnieją stany spinowe s, m s spełniające równania własne S s, m s = ss + 1 s, m s 17.4a S 3 s, m s = m s s, m s, 17.4b gdzie wartości własne s są całkowite lub połówkowe nie przesądzamy tego na razie, zaś m s zmienia się co 1 od minimalnej wartości m s min = s do m s max = s.. Cząstka danego typu np. elektron ma jednoznacznie określoną liczbę kwantową s. Mówimy wtedy, że cząstka ta ma spin s. Przestrzeń stanów spinowych dla tej cząstki jest więc s + 1-wymiarowa, ze względu na dopuszczalne wartości liczby m s. Wszystkie stany spinowe cząstki odpowiadają tylko jednej wartości własnej S równej ss + 1, zaś różnią się liczbą kwantową m s. 3. Istnieją cząstki z s =, wtedy zmienne orbitalne, a więc "zwykła" funkcja falowa, wystarcza do opisu stanu cząstki bezspinowej. Dla cząstki o spinie s pojęcie funkcji falowej określonej zmiennymi orbitalnymi trzeba rozszerzyć. Odpowiedni ZZOK musi również zawierać operatory spinowe S oraz S 3. Stan cząstki opisuje więc wektor stanu będący złożeniem stanu orbitalnego funkcji falowej i stanu spinowego. 4. Zmienne spinowe charakteryzujące cząstkę działają w przestrzeni spinów, a więc z definicji komutują z obserwablami działającymi w przestrzeni charakteryzowanej zmiennymi orbitalnymi [ Sk,  r, p ] =, 17.5 dla dowolnego operatora  r, p =  r, i. 5. Elektron ma spin s = 1/ i moment magnetyczny dany wzorem 17.. Komentarze dodatkowe Proton i neutron też mają spin s = 1/. Ich współczynniki giromagnetyczne są jednak inne. Znamy cząstki zarówno o spinie całkowitym tzw. bozony i cząstki o spinie połówkowym fermiony. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 197
3 Teoria spinu 1/ 198 Elektron uważamy za cząstkę punktową. W szkolnych podręcznikach czasami przedstawia się elektron jako cząstkę rozciągłą i tłumaczy istnienie spinu wewnętrznego momentu pędu jako efekt wirowania. JEST TO BZDURA!! Uzasadnienie jest następujące. Załóżmy, że elektron rzeczywiście jest cząstką rozciągłą, która wiruje wokół własnej osi. Wirowanie to ma być przyczyną powstawania wewnętrznego momentu pędu spinu. Rodzi to jednak serię problemów. Po pierwsze, cząstka rozciągła wymaga więcej niż 3 zmienne do jej pełnego opisu np. trzy składowe położenia i trzy kąty Eulera opisujące orientację w przestrzeni. Po drugie, obroty bryły rozciągłej miałyby charakter przestrzenny. Związany z tym moment pędu powinien być opisywany całkowitymi liczbami kwantowymi. Wnioskujemy więc, że spin elektronu nie może być powiązany z obrotami przestrzennymi. Aby się jeszcze lepiej o tym przekonać, przeprowadzimy proste oszacowanie. Załóżmy, że elektron jest małą kulką o promieniu R e i masie m e. Kulka taka ma klasyczny moment bezwładności I e = m e R e /5. Załóżmy dalej, że kulka ta wiruje z pewną prędkością kątową ω e tak, że ma moment pędu równy S = I e ω e. Z drugiej strony wartość oczekiwaną S możemy przyjąć za równą = 3 / patrz 17.4a. Z rozważań tych wynika oszacowanie 3 5 m ere ω e. Prędkość liniowa ruchu obrotowego na równiku kulki wynosi v = ω e R e, zatem m er e v = v m e R e, 17.7 przy czym warto zauważyć, że im mniejszy promień R e, tym większa prędkość v. Dla oszacowania liczbowego v weźmy R e = m co jest tzw. klasycznym promieniem elektronu. Wartości liczbowe pozostałych stałych są znane, więc otrzymujemy v m s c Prędkość równikowa wirującego elektronu zapewniająca właściwą wartość wewnętrznego momentu pędu tj. spinu jest więc prawie 3 razy większa od prędkości światła. Jest to oczywista bzdura. Ponownie przekonujemy się, że spin elektronu nie może być związany z wirowaniem czegokolwiek. Wniosek : Spin jest wielkością czysto kwantowo-mechaniczną i nie ma żadnego odpowiednika klasycznego. Możemy powiedzieć, że elektron ma spin, tak samo zresztą jak ma masę i ładunek. Innymi słowy spin elektronu jest jego własnością, w tym samym sensie co masa czy ładunek Własności momentu pędu spinu 1/ Sformułowanie abstrakcyjne Ograniczymy się teraz do przypadku s = 1/ zresztą najczęstszego w praktycznych zastosowaniach. Przestrzeń E 1/ stanów jest więc s + 1 = -wymiarowa. Bazę w tej przestrzeni tworzą dwa stany wektory + = s = 1, m s = + 1, 17.9a = s = 1, m s = b S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 198
4 Teoria spinu 1/ 199 Stany te tworzą bazę w przestrzeni E 1/, a zatem spełniają relację zupełności = ˆ Przyjmujemy ponadto, że stany te są unormowane i ortogonalne + + = = a + = + = b Dowolny wektor χ E 1/ ma więc postać kombinacji liniowej χ = C C Zgodnie więc z postulowanym przepisem 17.4 możemy napisać S ± = ± = 3 4 ±, 17.13a S 3 ± = ± ± b Mówimy, że stany ± są stanami własnymi spinu 1/. Stan + nazywany bywa "spinem w górę", zaś stan "spinem w dół". Nazwy te wynikają z relacji 17.13b. Idąc dalej, adaptujemy ogólną teorię momentu pędu do przypadku spinu 1/. Tworzymy więc operatory podnoszący i obniżający S ± = S 1 ± i S Korzystając z ogólnych, uprzednio wyprowadzonych relacji, możemy dalej napisać S + + = ss + 1 m s m s + 1 s = 1, =, 17.15a S + = ss + 1 m s m s + 1 s = 1, = s = 1, = = b Pierwsza z powyższych równości wynika stąd, że w przestrzeni E 1/ nie ma wektora s = 1, = s = 1, m s = 3. ponadto wyrażenie pod pierwiastkiem daje zero. Zupełnie analogicznie, dla operatora obniżającego otrzymamy S + =, S = Z określeń wynika oczywiście, że S 1 = 1 S+ + S, S = i S S Korzystając z wzorów i natychmiast otrzymujemy S 1 + = 1 S+ + S + =, 17.18a S 1 = 1 S+ + S = b Zupełnie tak samo mamy S + = i S = i S S + + = i S S + = i, 17.19a b S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 199
5 Teoria spinu 1/ S jako składowa operatora spinu momentu pędu jest z założenia operatorem hermitowskim. Nie powinien jednak niepokoić fakt, że w powyższych wzorach S działając na stany ± produkuje liczby zespolone. Stany ± nie są stanami własnymi operatora S więc liczby ±i / nie są wartościami własnymi i nie muszą być rzeczywiste. Podkreślmy raz jeszcze, że po prostu adaptujemy ogólną teorię momentu pędu do przypadku szczególnego, w którym ze względów historycznych stosujemy nieco inną notację. Oczywiście kluczową rolę odgrywają kanoniczne relacje komutacyjne 17.3, charakterystyczne dla momentu pędu Macierze Pauliego i operatory spinu 1/ Wymiar przestrzeni E 1/ wynosi. Przestrzeń ta jest izomorficzna z przestrzenią wektorową C. Wobec tego dowolny wektor z tej przestrzeni można reprezentować dwuwymiarowym " słupkiem". Dlatego też przyjmiemy odpowiedniość + = 1, = 1, 17. Oczywiście te dwa wektory tworzą bazę w dwuwymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem liczb zespolonych. Dowolny wektor z rozważanej przestrzeni można więc zapisać jako kombinację liniową ψ = α = α+ Wektor sprzężony do ψ to bra ψ o postaci "wiersza" ψ = α = α +, α. 17. Iloczyn skalarny dwóch wektorów zapisujemy zgodnie z regułami mnożenia macierzy ϕ ψ = β+, α + β = β α + α + + β I wreszcie, warunek normowania przyjmuje postać 1 = ψ = ψ ψ = α Operatory działające w rozważanej przestrzeni są macierzami. Przestrzeń operatorów jest więc 4-wymiarowa. Jako bazę w przestrzeni operatorów można wybrać macierz jednostkową oraz trzy macierze zwane macierzami Pauliego σ x = 1 1, σ y = i i gdzie indeksację x, y, z stosujemy wymiennie z 1,, 3. Operatorem spinu 1/ np. elektronu jest wówczas, σ z = 1 1, 17.5 S = 1 σ, 17.6 czyli więc każdej ze składowych spinu odpowiada S k = 1 σ k, k = 1,, Łatwo sprawdzić, że przy tak zadanej reprezentacji: stany spinowe przez 17., zaś S k przez 17.6 i 17.7 wszystkie, powyżej wprowadzone własności operatora spinu są spełnione. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA
6 Teoria spinu 1/ 1 Własności macierzy Pauliego Macierze Pauliego są w sposób jawny zadane wzorami Wszystkie podane niżej własności można sprawdzić bezpośrednimi i bardzo prostymi rachunkami, dlatego też podamy je tutaj bez dowodów, czy wyprowadzeń. Macierze Pauliego spełniają relacje komutacyjne [ σj, σ k ] = i εjkn σ m, które, wraz z definicją 17.6, zapewniają spełnienie kanonicznych relacji 17.3 dla operatora spinu 1/. Kwadraty macierzy Pauliego to macierz jednostkowa σ x = σ y = σ z = 1 1 Macierze Pauliego antykomutują, to znaczy = ˆ { σ j, σ k } = σ j σ k + σ k σ j = Macierze Pauliego są bezśladowe i unimodularne Tr {σ k } =, det {σ k } = Wartości własne wszystkich trzech macierzy Pauliego są równe ±1. Dzięki temu, dla wszystkich trzech operatorów S k mamy λ 1, = ± wartości własne operatorów S k, k = x, y, z W zasadzie rezultat ten jest zaskakujący, możnaby się go jednak spodziewać. Wynika on stąd, że wszystkie kierunki w przestrzeni są równouprawnione. Który z nich umówimy się nazywać osią z jest właśnie kwestią umowy. Równie dobrze może pełnić tę samą rolę dowolny inny kierunek stąd rezultat Macierze Pauliego są często spotykane w praktycznych zastosowaniach i mają cały szereg pożytecznych własności. Przedstawimy tu niektóre z nich. Lemat 17.1 Iloczyn dwóch macierzy Pauliego dany jest wzorem σ j σ k = δ jk + i ε jkm σ m Dowód. Jeśli j = k to δ jj = 1, zaś ε jjm = i wtedy teza wynika z Jeżeli j k to δ jk =, wówczas teza wynika z dodania stronami relacji komutacyjnej 17.8 i antykomutacyjnej Lemat 17. Niech A i B będą dwoma wielkościami wektorowymi, które komutują z macierzami Pauliego. Zachodzi relacja σ A σ B = A B + i σ A B Wielkości A i B mogą być operatorami, które nie komutują między sobą. Ich porządek po lewej i prawej stronie równości jest utrzymany. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 1
7 Teoria spinu 1/ Dowód. W dowodzie korzystamy z relacji Otrzymujemy więc σ A σ B = σ k A k σ m B m = δ km + i ε kmn σ n Ak B m = A k B k + i σ n ε nkm A k B m = A B + i σ n A B n = A B + i σ A B Zatem lemat jest udowodniony. W wielu zagadnieniach fizycznych opis stanu układu można sprowadzić do dwuwymiarowej przestrzeni wektorowej. Wektory ± i macierze Pauliego stanowią wówczas bardzo pożyteczne narzędzie badawcze. Podane wyżej relacje, spełniane przez macierze Pauliego są punktem wyjścia do wyprowadzenia całego szeregu innych bardzo użytecznych relacji. Podamy dwa przykłady wyrażeń, których dowody są umieszczone w Uzupełnieniach: e iβσ k = cos β + i σ k sin β σ j, gdy j = k, e iβσ k σ j e iβσ k = σ j cosβ + ε jkm σ m sinβ, gdy j k Spin w dowolnym kierunku Kierunek w przestrzeni jest wyznaczony przez wektor jednostkowy n = sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ, gdzie θ i ϕ są zwykłymi kątami sferycznymi. Operator rzutu spinu na dowolny kierunek, to rzut operatora spinu na tenże kierunek S n = n S = S x sin θ cos ϕ + S y sin θ sin ϕ + S z cos θ = σx sin θ cos ϕ + σ y sin θ sin ϕ + σ z cos θ Korzystając z jawnej postaci macierzy Pauliego możemy operator S n zapisać w postaci macierzowej S n = cos θ e iϕ sin θ, 17.4 e iϕ sin θ cos θ Wartości własne operatora S n Znajdźmy najpierw wartości własne operatora S n. Sprowadza się to do znalezienia wartości własnych macierzy 17.4 z dokładnością do czynnika / cos θ λ e iϕ sin θ det = e iϕ sin θ cos θ λ Skąd wynika równanie cos θ + λ cos θ λ sin θ = Trywialne rozwiązanie trójmianu kwadratowego prowadzi do λ 1, = ± wartości własne operatora S n Wniosek ten jest zgodny z dyskusją równości Kierunek n jest "równie dobry" jak każdy inny. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA
8 Teoria spinu 1/ 3 Wektory własne operatora S n Szukamy teraz wektorów własnych operatora S n. Dla pierwszej wartości własnej λ 1 = / mamy równanie S n φ 1 = α φ 1 = S n = α, β β gdzie wektor własny φ 1 przedstawiliśmy w reprezentacji 17.. Po podstawieniu macierzy 17.4 otrzymujemy równanie cos θ 1 e iϕ sin θ α e iϕ sin θ cos θ 1 β = Powstały układ równań jest zależny, więc bierzemy tylko jedno równanie α cos θ 1 + β e iϕ sin θ =, skąd otrzymujemy β = α 1 cos θ sin θ e iϕ = α sinθ/ cosθ/ eiϕ, co wynika z elementarnej trygonometrii i gdzie α jest dowolne. A więc wartości własnej λ 1 = / odpowiada wektor własny 1 φ 1 = α, e iϕ tgθ/ który trzeba jeszcze unormować co pozwoli pozbyć się stałej dowolnej α. A zatem 1 = φ 1 φ 1 = α 1 + tg θ/ = α 1 cos θ/ = α = cosθ/ Wybieramy czynnik fazowy równy e iϕ/ i pierwszy unormowany wektor własny operatora S n zapisujemy w postaci φ 1 = e iϕ/ cosθ/ e iϕ/ sinθ/ Drugi wektor własny odpowiadający λ = / obliczamy w analogiczny sposób S n φ = α φ 1 = S n β = α β, skąd wynika równanie macierzowe cos θ + 1 e iϕ sin θ α e iϕ sin θ cos θ + 1 β = Wobec liniowej zależności równań, bierzemy pierwsze i przekształcamy je korzystając z elementarnej trygonometrii α cos θ β e iϕ sin θ = α cos θ/ + β e iϕ sinθ/ cosθ/ =, S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 3
9 Teoria spinu 1/ 4 skąd otrzymujemy α = β e iϕ tgθ/ gdzie β jest dowolne. Wartości własnej λ = / odpowiada wektor własny e iϕ tgθ/ φ = β, Normując, pozbywamy się stałej dowolnej β. A zatem 1 = φ φ = β 1 cos θ/ = β = cosθ/ Znów wybieramy czynnik fazowy e iϕ/ i drugi wektor własny operatora S n φ = e iϕ/ sinθ/ e iϕ/ cosθ/ Dla porządku sprawdźmy, czy otrzymane wektory rzeczywiście są wektorami własnymi operatora S n. S n φ 1 = cos θ e iϕ sin θ e iϕ/ cosθ/ e iϕ sin θ cos θ e iϕ/ sinθ/ = = e iϕ/ cos θ cosθ/ + e iϕ/ sin θ sinθ/ e iϕ/ sin θ cosθ/ e iϕ/ cos θ sinθ/ e iϕ/ cosθ 1 θ e iϕ/ sinθ 1 θ = φ 1, czyli wszystko jest jak trzeba. Sprawdzenie dla drugiego wektora przebiega identycznie, więc je pominiemy. Podsumowując stwierdzamy, że operator S n = n S = σx sin θ cos ϕ + σ y sin θ sin ϕ + σ z cos θ, ma wartości własne λ 1, = ± /, którym odpowiadają wektory własne + n φ 1 = e iϕ/ cosθ/, n φ = e iϕ/ sinθ/ e iϕ/ sinθ/ e iϕ/ cosθ/, 17.6 gdzie znaki wewnątrz ketów wskazują znak wartości własnej, zaś indeks n określa, na jaki kierunek rzutujemy. Zauważmy tutaj, że iloczyn skalarny z + + n = 1, e iϕ/ cosθ/ e iϕ/ sinθ/ = e iϕ/ cosθ/, jest amplitudą prawdopodobieństwa tego, że spin 1/ mający rzut + / na kierunek n, w wyniku pomiaru rzutu na oś z da wartość + /. Analogiczne interpretacje można przypisać i innym, podobnym iloczynom skalarnym. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 4
10 Teoria spinu 1/ 5 Wartości oczekiwane Pouczające jest jawne obliczenie wartości oczekiwanych dla operatorów S k, gdy cząstka o spinie 1/ jest przygotowana w jednym ze stanów Wykonajmy więc przynajmniej niektóre obliczenia. Zgodnie z omówionymi wyżej regułami mamy φ 1 S x φ 1 = e iϕ/ cosθ/, e iϕ/ sinθ/ / e iϕ/ cosθ/ / e iϕ/ sinθ/ = e iϕ/ cosθ/, e iϕ/ sinθ/ eiϕ/ sinθ/ e iϕ/ cosθ/ = e iϕ cosθ/ sinθ/ + e iϕ sinθ/ cosθ/ = 1 sin θ e iϕ + e iϕ = sin θ cos ϕ Zupełnie analogicznie obliczamy wartość oczekiwaną S x dla układu w stanie φ φ S x φ = e iϕ/ sinθ/, e iϕ/ cosθ/ / e iϕ/ sinθ/ / e iϕ/ cosθ/ = e iϕ/ sinθ/, e iϕ/ cosθ/ eiϕ/ cosθ/ e iϕ/ sinθ/ = e iϕ cosθ/ sinθ/ e iϕ sinθ/ cosθ/ = sin θ cos ϕ Takie same obliczenia przeprowadzamy dla pozostałych składowych operatora spinu. Korzystając z elementarnych wzorów trygonometrycznych dla operatora S y otrzymujemy φ 1 S y φ 1 = sin θ sin ϕ, φ S y φ = sin θ sin ϕ Natomiast dla operatora S z łatwo pokazać, że φ 1 S z φ 1 = cos θ, φ S z φ = cos θ Warto tu przypomnieć, że zgodnie z postulatami mechaniki kwantowej, pojedynczy pomiar którejkolwiek z obserwabli S k, k = x, y, z zawsze daje rezultat ± / jedną z wartości własnych. Dopiero wielokrotny pomiar w układzie przygotowanym zawsze tak samo, prowadzi do wartości średnich wartości oczekiwanych podanych w powyższych wzorach Nierelatywistyczny opis cząstki o spinie 1/ Wektory stanu spinory Fakt, że cząstki mają spin sprawia, że musimy rozszerzyć zbiór obserwabli niezbędnych do pełnego opisu stanu cząstki. Zupełne zbiory obserwabli komutujących ZZOK jakimi posługiwaliśmy się S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 5
11 Teoria spinu 1/ 6 do tej pory muszą zostać powiększone o operatory S oraz S 3. Zazwyczaj dla cząstki danego typu liczba kwantowa s wartość własna S, jest ustalona. Wszystkie kety dla danej cząstki odpowiadają tej jednej wartości s, więc operator S, choć potrzebny do utworzenia ZZOK, służy tylko do ustalenia s. Operator S 3 określa liczbę kwantową m s, która może przyjmować s + 1 różnych wartości. Liczbę m s musimy uwzględnić przy opisie stanu cząstki. Przestrzeń zmiennych określających stan cząstki musi zatem "wzrosnąć", aby uwzględnić zmienne spinowe. W reprezentacji położeniowej zapisujemy to tak ψ = m s d 3 r r, m s r, m s ψ Występująca tu wielkość r, m s ψ jest uogólnieniem " zwykłej" funkcji falowej, bowiem jest dodatkowo numerowana wartością m s rzutem spinu na oś z. Aby scharakteryzować stan układu musimy podać s + 1 funkcji falowych, dodatkowo numerowanych indeksem m s. Mamy więc s + 1 funkcji, które wygodnie jest zapisać w postaci wektora kolumny ψ ms=s r = r, m s = s ψ ψ ms=s 1 r = r, m s = s 1 ψ Ψ r = , ψ ms= s+1 r = r, m s = s + 1 ψ ψ ms= s r = r, m s = s ψ który umówimy się nazywać spinorem spinową funkcją falową dla cząstki o spinie s. W szczególnym przypadku s = spinor jak już wspominaliśmy redukuje się do kolumny z jednym elementem, a więc pozostaje "zwykłą" funkcją falową. Spinor funkcja falowa sprzężony do Ψ r to "wiersz" mający s + 1 elementów Ψ r = ψ m s=s r, ψ m s=s 1 r,......, ψ m s= s+1 r, ψ m s= s r = ψ r, m s = s......, ψ r, m s = s Zgodnie z zasadami algebry iloczyn skalarny dwóch spinorów spinowych funkcji falowych opisujących cząstkę o spinie s zapisujemy jako Φ Ψ = d 3 r Φ r Ψ r = d 3 r φ m s r ψ ms r m s Warunek normalizacji przyjmuje więc postać 1 = Ψ = Ψ Ψ = d 3 r Ψ r Ψ r = d 3 r m s ψ m s r ψ ms r Powyższe wyrażenia dotyczą cząstki o spinie s, gdy spinowa funkcja falowa ma s + 1 składowych. W dalszych rozważaniach ograniczymy się do przypadku cząstki o spinie s = 1, bowiem interesować nas będzie przede wszystkim elektron. Uzyskane dalej relacje nie jest jednak trudno uogólnić na przypadek cząstki o dowolnym spinie s. Dla elektronu s = 1, i odpowiedni spinor ma dwie składowe jest dwuwymiarowy. Zapisujemy go w postaci Ψ r = ψ+ r = r, m s = + 1 ψ ψ r = r, m s = 1 ψ S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 6
12 Teoria spinu 1/ 7 Postać iloczynu skalarnego i warunku normowania takiego dwuskładnikowego spinora wynikają oczywiście z ogólnych relacji i 17.7 i ogranicza się do dwóch składników. Spinor jest zapisany w bardzo ogólnej postaci, bo funkcje ψ + i ψ mogą zupełnie różne. W wielu zastosowaniach mamy jednak do czynienia z sytuacją prostszą, gdy część przestrzenna i spinowa rozdzielają się tzw. iloczyn tensorowy. Wtedy możemy napisać Ψ = ψ χ s, 17.7 gdzie χ s jest dwuwymiarowym wektorem typu W reprezentacji położeniowej otrzymujemy wtedy Ψ r = ψ r α+, Porównując powyższe wyrażenie z widzimy, że w tym przypadku mamy ψ + r = r, m s = + 1 ψ = ψ r α + ψ r = r, m s = 1 ψ = ψ r Iloczyn skalarny dwóch takich spinorów to Φ Ψ = d 3 r Φ r Ψ r = d 3 r φ r β+, = d 3 r φ r ψ r [ β +α + + β ] β α+ ψ r = φ ψ [ β+ α + + β α ] Ponieważ zmienne przestrzenne i spinowe są niezależne, więc normując spinor Ψ r na ogół żądamy, aby α + + = a ψ = ψ ψ = d 3 r ψ r = b to jest aby każda część spinora była unormowana oddzielnie Operatory i ich działanie na spinory Przestrzeń zmiennych opisujących cząstkę elektron o spinie 1 została rozszerzona. Zamiast "zwykłej" funkcji falowej mamy dwuwymiarowy spinor postaci W związku z tym musimy też rozszerzyć koncepcję operatora. Operator działający na spinor złożony jest z części orbitalnej i części spinowej. Niech  oznacza operator orbitalny w reprezentacji położeniowej. Niech Ŝ będzie operatorem spinowym, który dla cząstki o spinie s = 1 jest reprezentowany przez hermitowską macierz, której współczynniki S jk, j, k = 1,, są liczbami zespolonymi. Złożenie tych dwóch operatorów zapiszemy jako  Ŝ, czyli jako tak zwany iloczyn tensorowy operatorów. Działanie tego operatora na spinor Ψ r zdefiniujemy następująco  Ŝ Ψ r =  Ŝ ψ + r S11 = ψ r  S 1 ψ+ r S 1 S ψ r =  = S11 ψ + r + S 1 ψ r S 1 ψ + r + S ψ r S 11  ψ + r + S 1  ψ r S 1  ψ + r + S  ψ r = Ψ r S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 7
13 Teoria spinu 1/ 8 Zauważmy, że gdybyśmy w drugim kroku powyższej formuły najpierw podziałali operatorem  na składowe spinora, a potem przemnożyli tak powstały spinor z lewa przez macierz Ŝ, to wynik byłby ten sam, bo współczynniki macierzy to liczby zespolone. Dwa przypadki szczególne warte są uwagi. Na spinor Ψ r działamy tylko operatorem orbitalnym. Wówczas bierzemy Ŝ = ˆ1 macierz jednostkowa, czyli S ij = δ ij. Wzór 17.6 redukuje się do ÂΨ r =  ˆ1 Ψ r =  ψ + r  ψ r Na spinor Ψ r działamy tylko operatorem spinowym. W tym wypadku kładziemy  = ˆ1. Wzór 17.6 daje wtedy ŜΨ r = ˆ1 Ŝ Ψ r = S11 ψ + r + S 1 ψ r S 1 ψ + r + S ψ r Zwróćmy uwagę, że po lewych stronach wyrażeń i pominęliśmy jawny zapis iloczynu tensorowego operatorów co zresztą zwykle robi się w praktyce. Jeżeli spinor Ψ r ma przedstawienie typu to ogólna formuła upraszcza się, bowiem część przestrzenna spinora jest wspólna dla obu składowych. Gdy więc spinor ma postać to wówczas możemy zapisać jako  Ŝ Ψ r =  Ŝ ψ r α+ = Âψ r S 11 α + + S 1 S 1 α + + S Oczywiście odpowiednim uproszczeniom ulegają formuły i Dla spinora postaci mamy α+ Â Ψ r =  ψ r =  ˆ1 α+ ψ r =  ψ r α + Ŝ Ψ r = Ŝ ψ r α+ = ψ r S11 α + + S 1 S 1 α + = ˆ1 Ŝ ψ r + S α a b Powyższe wzory są dość ogólne dlatego też podamy kilka prostych przykładów. Rozważymy spinory typu 17.73, są one bowiem często spotykane w praktyce. Przykład 1. Operator spinowy Omówimy działanie operatora S + por. wzory i następne na spinor Ψ r typu Na podstawie relacji wiemy, że 1 1 S + + = S + =, S + = S + = S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8
14 Teoria spinu 1/ 9 Operatorowi S + odpowiada więc macierz 1 S + = Odpowiedniość tę łatwo jest sprawdzić posługując się macierzami Pauliego. Istotnie S + = S 1 + i S = 1 σ x + i σ y = 1 [ i i i ] = 1, i znów mamy Teraz badamy działanie operatora S + na spinor Ψ r dany w Otrzymujemy S + Ψ r = α+ α+ ˆ1 S + ψ r = ψ r S + = ψ r α = ψ rα Rezultat ten wynika zarówno z 17.81b po uwzględnieniu postaci macierzy operatora S +, jak i z bezpośredniego mnożenia macierzy i wektora kolumnowego. Przykład. Operator orbitalny Składowej x-owej pędu w reprezentacji położeniowej odpowiada operator ˆp x = i x. Podziałajmy nim na spinor postaci Na mocy wzoru 17.81a możemy napisać ˆp x Ψ r = i ψ r α+ = i x ψ r α+, x ψ r x bowiem liczby α ± nie podlegają różniczkowaniu względem współrzędnej x. Możemy więc macierz o współczynnikach operatorowych ˆp x ˆ1 = i x, i x uznać za operator x-owej składowej pędu, działający na przestrzeni spinorów dwuskładnikowych. Przykład 3. Złożenie operatorów orbitalnego i spinowego W reprezentacji położeniowej z-owa składowa operatora momentu pędu to L z współrzędne sferyczne. Wobec tego dla spinora postaci dostajemy L z S z Ψ r = L z S z ψ r α+ Operator S z = 1 σ z, a więc odpowiada mu macierz S z = 1 1 = i / ϕ S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 9
15 Teoria spinu 1/ 1 Biorąc powyższą macierz i stosując regułę 17.8 otrzymujemy dalej L z S z Ψ r = i ψ r ϕ α Relację tę możemy zapisać w formie macierzowej L z S z Ψ r = i ϕ ψ r α+ ψ r i ϕ, Macierz o współczynnikach operatorowych występującą w powyższym wyrażeniu możemy więc utożsamić z operatorem L z S z działającym na przestrzeni spinorów dwuskładnikowych Obliczanie prawdopodobieństw i wartości oczekiwanych Rozważać będziemy spinory postaci 17.73, to jest Ψ r = ψ+ r ψ r = ψ r α Normowanie takiego spinora por i = d 3 r ψ + r + ψ r = α + + d 3 r ψ r, wskazuje, że ψ ± r = ψ r, jest gęstością prawdopodobieństwa tego, że cząstka znajduje się w punkcie r z rzutem spinu na oś z równym ± 1. Wartość oczekiwaną obserwabli reprezentowanej przez operator  Ŝ zgodnie z notacją wprowadzoną powyżej obliczamy w reprezentacji położeniowej w następujący sposób. Ψ Â Ŝ Ψ = d 3 r Ψ r  Ŝ Ψ r Stosując więc regułę oraz wyrażenie 17.8 otrzymujemy Ψ Â Ŝ Ψ = d 3 r α +, α ψ r [  ψ r ] S 11 α + + S 1 S 1 α + + S = α +, S 11 α + + S 1 α S 1 α + + S = [ α + S11 α + + S 1 + α ] S1 α + + S ψ  ψ d 3 r ψ r  ψ r Człon w nawiasie kwadratowym możemy zapisać jako χ s Ŝ χ s gdzie χ s jest spinorem χ s = α+, zaś Ŝ jest reprezentowane przez hermitowską macierz. Stwierdzamy więc, że dla stanu opisanego spinorem Ψ r = ψ r α+ = r ψ χ s, S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 1
16 Teoria spinu 1/ 11 wartość oczekiwaną obserwabli  Ŝ zapisujemy w postaci Ψ bigl  Ŝ Ψ = ψ  ψ χ s Ŝ χ s Ze wzoru tego w szczególności widzimy, że przy obliczaniu wartości oczekiwanej obserwabli spinowej Ψ ˆ1 Ŝ Ψ = ψ ψ χ s Ŝ χ s, lub obserwabli orbitalnej Ψ Â ˆ1 Ψ = ψ  ψ χ s χ s, 17.1 wygodnie jest, aby część spinowa i orbitalna były unormowane oddzielnie, to jest aby ψ ψ = 1, oraz χ s χ s = 1, zgodnie z uprzednio podanymi formułami * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 11
II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym
II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym Jan Królikowski Fizyka IVBC 1 II.4.1 Ogólne własności wektora kwantowego momentu pędu Podane poniżej własności kwantowych wektorów
Bardziej szczegółowoPostulaty mechaniki kwantowej
3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Bardziej szczegółowo(U.16) Dodawanie momentów pędu
.0.004 7. (U.6) Dodawanie momentów pędu 5 Rozdział 7 (U.6) Dodawanie momentów pędu 7. Złożenie orbitalnego momentu pędu i spinu / 7.. Przejście do bazy sprzężonej W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy
Bardziej szczegółowoNotacja Diraca. Rozdział Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu
3.10.2004 7. Notacja Diraca 84 Rozdział 7 Notacja Diraca 7.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu Do tej pory posługiwaliśmy się postulatem, że stan układu fizycznego jest w mechanice kwantowej w pełni
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoWłaściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków).
Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków). 1925r. postulat Pauliego: Na jednej orbicie może znajdować się nie więcej
Bardziej szczegółowo(U.15) Spin 1/2. Rozdział Spin 1/2 w polu magnetycznym Wprowadzenie Pole statyczne i pole zmienne w czasie
3.0.004 36. (U.5) Spin / 40 Rozdział 36 (U.5) Spin / 36. Spin / w polu magnetycznym 36.. Wprowadzenie Będziemy tu rozważać cząstkę obdarzoną spinem / oddziałującą z zewnętrznym polem magnetycznym. Cząstką
Bardziej szczegółowo(U.11) Obroty i moment pędu
3.10.2004 32. U.11) Obroty i moment pędu 96 Rozdział 32 U.11) Obroty i moment pędu 32.1 Wprowadzenie Obroty w przestrzeni R 3 są scharakteryzowane przez podanie osi obrotu, którą określa wektor jednostkowy
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoRysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych.
VII. SPIN 1 Rysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych. 1 Wstęp Spin jest wielkością fizyczną charakteryzującą cząstki
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowo(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym
3.10.2004 35. U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 131 Rozdział 35 U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 35.1 Niezmienniczość ze względu na W rozdziale 16 wspominaliśmy jedynie o podstawowych
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowo1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek
Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek. Grupa SU(N) Unitarne (zespolone) macierze N N można sparametryzować pzez N rzeczywistych parametrów. Ale detu =, unitarność: U U = narzucają dodatkowe warunki. Rozważmy
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoFizyka 2. Janusz Andrzejewski
Fizyka 2 wykład 14 Janusz Andrzejewski Atom wodoru Wczesne modele atomu -W czasach Newtona atom uważany była za małą twardą kulkę co dość dobrze sprawdzało się w rozważaniach dotyczących kinetycznej teorii
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoMoment pędu fali elektromagnetycznej
napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0
Bardziej szczegółowo(U.13) Atom wodoropodobny
3.10.200 3. U.13 Atom wodoropodobny 122 Rozdział 3 U.13 Atom wodoropodobny 3.1 Model Bohra przypomnienie Zaznaczmy na wstępie o czym już wspominaliśmy w kontekście zasady nieoznaczoności, że model Bohra
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowo21 Symetrie Grupy symetrii Grupa translacji
21 Symetrie 21.1 Grupy symetrii Spróbujmy odpowiedzieć sobie na pytanie, jak zmienia się stan układu kwantowego pod wpływem transformacji układu współrzędnych. Najprostszą taką transformacją jest np. przesunięcie
Bardziej szczegółowoBudowa atomów. Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków
Budowa atomów Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków Model atomu Bohra atom zjonizowany (ciągłe wartości energii) stany wzbudzone jądro Energia (ev) elektron orbita stan podstawowy Poziomy
Bardziej szczegółowoWielomiany Legendre a, itp.
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 25 Dodatek D Wieomiany Legendre a, itp. Wieomiany Legendre a i stowarzyszone z nimi funkcje są szeroko omawiane w wieu podręcznikach fizyki matematycznej.
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoReprezentacje położeniowa i pędowa
3.10.2004 9. Reprezentacje położeniowa i pędowa 103 Rozdział 9 Reprezentacje położeniowa i pędowa 9.1 Reprezentacja położeniowa Reprezentacja położeniowa jest szczególnie uprzywilejowana i najczęściej
Bardziej szczegółowoAtomowa budowa materii
Atomowa budowa materii Wszystkie obiekty materialne zbudowane są z tych samych elementów cząstek elementarnych Cząstki elementarne oddziałują tylko kilkoma sposobami oddziaływania wymieniając kwanty pól
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoII.6 Atomy w zewnętrznym polu magnetycznym
II.6 Atomy w zewnętrznym polu magnetycznym 1. Kwantowanie przestrzenne w zewnętrznym polu magnetycznym. Model wektorowy raz jeszcze 2. Zjawisko Zeemana Normalne zjawisko Zeemana i jego wyjaśnienie w modelu
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoobrotów. Funkcje falowe cząstki ze spinem - spinory. Wykład II.3 29 Pierwsza konwencja Condona-Shortley a
Wykład II.1 25 Obroty układu kwantowego Interpretacja aktywna i pasywna. Macierz obrotu w trzech wymiarach a operator obrotu w przestrzeni stanów. Reprezentacja obrotu w przestrzeni funkcji falowych. Transformacje
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowoZasada nieoznaczoności
3.10.2004 5. Zasada nieoznaczoności 63 Rozdział 5 Zasada nieoznaczoności 5.1 Formalna zasada nieoznaczoności 5.1.1 Średnie i dyspersje. Pojęcia wstępne Niech Â, ˆB oraz Ĉ będą operatorami hermitowskimi
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowoREZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA
REZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA Opis układu cząsteczek w mechanice kwantowej: 1. Funkcja falowa, 2. Wektora stanu ψ. TRANSFORMACJE UKŁADU CZĄSTEK: 1.
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowo5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga
. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoStara i nowa teoria kwantowa
Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoWstęp do komputerów kwantowych
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoPostulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoLiczby kwantowe elektronu w atomie wodoru
Liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru Efekt Zeemana Atom wodoru wg mechaniki kwantowej ms = magnetyczna liczba spinowa ms = -1/2, do pełnego opisu stanu elektronu potrzebna jest ta liczba własność
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoUkłady wieloelektronowe
Układy wieloelektronowe spin cząstki nierozróżnialność cząstek a symetria funkcji falowej fermiony i bozony przybliżenie jednoelektonowe wyznacznik Slatera konfiguracje elektronowe atomów ciało posiadające
Bardziej szczegółowoAtomy mają moment pędu
Atomy mają moment pędu Model na rysunku jest modelem tylko klasycznym i jak wiemy z mechaniki kwantowej, nie odpowiada dokładnie rzeczywistości Jednakże w mechanice kwantowej elektron nadal ma orbitalny
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na
Bardziej szczegółowoOddziaływanie z polem elektromagnetycznym
3.10.2004 16. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 180 Rozdział 16 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 16.1 Przypomnienie fizyki klasycznej 16.1.1 Równania Lagrange a Równania Lagrange a drugiego
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoVIII. VIII.1. ORBITALNY MOMENT MAGNETYCZNY ELEKTRONU, L= r p (VIII.1.1) p=m v (VIII.1.2) L= L =mvr (VIII.1.1a) r v. r=v (VIII.1.3)
VIII. VIII.1. ORBITALNY MOMENT MAGNETYCZNY ELEKTRONU, L= r p (VIII.1.1) p=m v (VIII.1.2) Z (VIII.1.1) i (VIII.1.2) wynika (VIII.1.1a): L= L =mvr (VIII.1.1a) r v r=v (VIII.1.3) Z zależności (VIII.1.1a)
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoEfekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoOPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA
OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA Wprowadzenie W robotyce przez pojęcie manipulacji rozumiemy przemieszczanie w przestrzeni przedmiotów i narzędzi za pomocą specjalnego mechanizmu. W związku z tym pojawia
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoAtom wodoru w mechanice kwantowej. Równanie Schrödingera
Fizyka atomowa Atom wodoru w mechanice kwantowej Moment pędu Funkcje falowe atomu wodoru Spin Liczby kwantowe Poprawki do równania Schrödingera: struktura subtelna i nadsubtelna; przesunięcie Lamba Zakaz
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoPodstawy Fizyki Jądrowej
Podstawy Fizyki Jądrowej III rok Fizyki Kurs WFAIS.IF-D008.0 Składnik egzaminu licencjackiego (sesja letnia)! OPCJA: Po uzyskaniu zaliczenia z ćwiczeń możliwość zorganizowania ustnego egzaminu (raczej
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowo