(U.16) Dodawanie momentów pędu

Transkrypt

1 (U.6) Dodawanie momentów pędu 5 Rozdział 7 (U.6) Dodawanie momentów pędu 7. Złożenie orbitalnego momentu pędu i spinu / 7.. Przejście do bazy sprzężonej W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy często złożenia orbitalnego momentu pędu i spinu /. Rozważamy więc operator całkowitego momentu pędu J L S, (7.) przy czym l 0, zaś s. Problem z l 0 jest trywialny, co zresztą dalej przedyskutujemy, bowiem dla tego przypadku mamy jedyną możliwość J s, M m s ±. Bez straty ogólności możemy więc przyjąć l > 0. Chcemy skonstruować bazę sprzężoną za pomocą wektorów bazy niesprzężonej. Przypominamy, że liczby kwantowe l > 0 i s są ustalone. Szukamy więc związków j l, j ; JM C JM l,m m l m l ; l, m l ; s,ms, m s, (7.) gdzie liczby kwantowe J oraz M są połówkowe. W sumie tej efektywnie są tylko dwa składniki. Wynika to stąd, że musi być spełniony warunek (8.84), który mówi, że nie znikają tylko te współczynniki Clebscha-Gordana (CG), dla których M m m m l m s. Ponieważ mamy tylko dwie możliwości m s ±, więc przy wybranym M (ustalonym po lewej stronie) automatycznie m l M ±. Wobec tego zamiast (7.) piszemy j l, j ; JM CJM l,m ;, l, M ;, C JM l,m ;, l, M ;,. (7.) Dla danych J i M mamy tylko dwa niezerowe współczynniki CG. Liczba J może przyjmować (co wynika z nierówności trójkąta) tylko dwie wartości J l ±, więc problem sprowadza się do obliczenia czterech współczynników CG. Zmierzamy zatem do wypełnienia tabelki C J,M l m l, ms j l j s j l j s m l M m s m l M m s J l, M (7.4) J l, M Zanim przystąpimy do konstrukcji elementów tabeli, przypomnijmy zasadnicze warunki: S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 5

2 (U.6) Dodawanie momentów pędu 5 liczby kwantowe j l, j s są ustalone; J przyjmuje tylko dwie wartości: J l i J l. Stąd wynika, że tabela ma tylko dwa wiersze. Wybierając M i wiedząc, że m s ±, automatycznie ustalamy m l M. Stąd mamy tylko dwie kolumny. Fakty te wyczerpują dostępne parametry, a więc określają rozmiar poszukiwanej tabelki. Cztery wolne miejsca zajmą współczynniki CG, które będziemy teraz obliczać. 7.. Obliczenia współczynników CG A. Obliczenia dla J l Niech J l. Maksymalne dopuszczalne M to M l. Stan taki jest tylko jeden. Nietrudno więc dokonać utożsamienia wektorów bazy sprzężonej i niesprzężonej l, ; J l, M l l, m l l;, m s. (7.5) Podziałajmy na lewą stronę powyższej relacji operatorem obniżającym Ĵ, a na prawą równym mu operatorem ˆL Ŝ, a zatem mamy Ĵ l, ; J l, M l (ˆL Ŝ ) l, ml l;, m s. (7.6) W myśl ogólnych reguł obniżania magnetycznej liczby kwantowej dostajemy (l )(l ) (l )(l ) l, ; J l, M l l(l ) l(l ) l, m l l ;, m s ( ) ( ) l, m l l;, m s. (7.7) W wyniku elementarnych uproszczeń otrzymujemy l, ; J l, M l l l, m l l ;, m s l, m l l;, m s. (7.8) Powtarzamy procedurę. Z lewej strony (7.8) działamy operatorem Ĵ, a z prawej sumą ˆL Ŝ. Zwróćmy uwagę, że Ŝ działając na stan l, m l l;, m s daje zero. Wobec tego, z (7.8) mamy dalej Ĵ l, ; J l, M l l ˆL l, m l l ;, m s l Ŝ l, m l l ;, m s ˆL l, m l l;, m s. (7.9) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 5

3 (U.6) Dodawanie momentów pędu 54 Wiemy, jak działają operatory obniżające. A więc uzyskujemy (l )(l ) (l )(l ) l, ; J l, M l l l(l ) (l )(l ) l, m l l ;, m s l ( ) ( ) l, m l l ;, m s l(l ) l(l ) l, m l l ;, m s. (7.0) Dwa ostatnie składniki zawierają ten sam wektor, różnią się jedynie współczynnikiem liczbowym. Powyższa relacja zawiera więc faktycznie tylko dwa wektory (tak jak to wynika z dyskusji odnośnie tabelki, którą mamy uzupełnić). Wykonujemy elementarne przekształcenia uproszczenia współczynników i otrzymujemy l, ; J l, M l l l, m l l ;, m s l, m l l ;, m s. (7.) Na podstawie dwóch kroków zgadujemy l l, ; J l, M M l, m l M ;, m s l M l, m l M ;, m s. (7.) Oczywiście dopuszczalna wartość liczby kwantowej M przebiega od (l ) do (l ), zmieniając się z krokiem. Powyższą relację trzeba sprawdzić. Zrobimy to metodą indukcji matematycznej względem liczby M. Nietrudno zauważyć, że wzory (7.5) dla M l, a także (7.) dla M l są szczególnymi przypadkami (7.). Pierwszy krok indukcji jest zatem spełniony, relacja (7.) jest słuszna dla dwóch wartości M. Zakładamy więc słuszność (7.) dla pewnego M. Pokażemy, że wynika stąd analogiczna relacja dla M o jeden mniejszego. Aby to wykazać, działamy jak poprzednio. Działamy operatorem J z lewej, a operatorem L S z prawej. Wobec tego z (7.) otrzymujemy Ĵ l, ; J l, M l M ˆL l, m l M ;, m s l M Ŝ l, m l M ;, m s l M ˆL l, m l M ;, m s, (7.) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 54

4 (U.6) Dodawanie momentów pędu 55 gdzie znowu operator S w działaniu na ostatni dał zero. Dalej dostajemy (l )(l ) M(M ) l, ; J l, M l M l M l M l(l ) (M )(M ) l, m l M ;, m s ( ) ( ) l, m l M ;, m s l(l ) (M )(M ) l, m l M ;, m s. (7.4) Znów zauważamy, że ostatnie dwa człony łączą się. Przez wymnożenie sprawdzamy słuszność wzoru j(j ) m(m ) (j m)(j m ), dzięki czemu otrzymujemy dalej (l M )(l M ) l, ; J l, M Czynnik l M (l M )(l M ) l, m l M ;, m s l M l M (l M )(l M ) l M l, m l M ;, m s. (7.5) się upraszcza l M l, ; J l, M (l M )(l M ) l, m l M ;, m s [ ] l M l, m l M ;, m s. (7.6) Znów upraszcza się czynnik, tym razem l M, więc otrzymujemy l, ; J l, M l M l, m l M ;, m s l M l, m l M ;, m s. (7.7) Przepiszmy powyższy rezultat w nieco innej postaci, a mianowicie l, ; J l, M l (M ) l, m l M ;, m s l (M ) l, m l M ;, m s, (7.8) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 55

5 (U.6) Dodawanie momentów pędu 56 co stanowi dokładnie zgadniętą formułę (7.) tyle, że teraz mamy w niej M. Na mocy zasady indukcji "zgadnięty" wzór jest udowodniony. Zestawiając formułę (7.) ze wzorem (7.) odczytujemy dwa współczynniki CG (dla J l ) C Jl, M l,m ;, C Jl, M l,m ;, l M, (7.9a) l M. (7.9b) Obliczenia dla J l wiersz tabeli (7.4). zostały zakończone. Możemy w zasadzie już teraz wypełnić pierwszy B. Obliczenia dla J l Przechodzimy do obliczeń współczynników CG w rozkładzie (7.), w którym tym razem, po lewej stronie występuje J l. Obliczenia znów rozpoczynamy od przypadku, gdy M jest maksymalne. Sytuacja jest teraz nieco gorsza, bowiem maksymalna wartość M max l, odpowiada dwóm możliwościom: m l l i m s, lub m l l i m s. Spodziewamy się więc rozkładu l, ; J l, M l A l, m l l,, m s B l, m l l,, m s, (7.0) gdzie liczby A i B trzeba obliczyć. Powyższa kombinacja liniowa zawiera te same wektory co stan l, ; J l, M l obliczony w (7.8). Wektory te powinny więc być ortogonalne. Co więcej stan (7.0) musi być unormowany. Mamy zatem dwa równania na stałe A i B A l B 0, oraz A B. (7.) Układ ten nie wystarcza do wyznaczenia obu liczb A i B, które są w ogólności zespolone. Ich faza jest jednakowa (co widać z pierwszego równania), lecz nie określona. Obliczenia modułów prowadzą do A e iα, oraz B eiα l, (7.) zaś fazę ustalimy później. Podstawmy te rezultaty do wzoru (7.0), otrzymujemy l, ; J l, M l e iα l, m l l,, m s eiα l l, m l l,, m s. (7.) W myśl konwencji o fazie współczynników CG C JJ j m, j m J j j m j ; j m J j j j ; J M J, (7.4) powinien być rzeczywisty i dodatni. W naszym przypadku mamy odpowiedniości: j l, m l, j oraz m J j (l ) l. Widzimy więc, że w myśl konwencji, współczynnik S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 56

6 (U.6) Dodawanie momentów pędu 57 przy drugim z wektorów kombinacji (7.) powinien być rzeczywisty, dodatni. Wynika stąd wybór fazy: e iα i z (7.) dostajemy l, ; J l, M l l, m l l,, m s l l, m l l,, m s. (7.5) Znaleźliśmy więc współczynniki CG dla J l, gdy liczba M l jest maksymalna. Możemy więc teraz stosować (jak poprzednio) operatory obniżające, aby wyznaczyć następne współczynniki. Wybierzemy jednak inny sposób obliczeń. Zauważmy, że z (7.) wynika, że l, ; J l, M A l, m l M ;, m s B l, m l M ;, m s. (7.6) gdzie A i B są odpowiednimi współczynnikami CG, zaś M leży pomiędzy (l ) a (l ). Wektor ten musi być unormowany i ortogonalny do wektora l, ; J l, M o tej samej liczbie M, ale o J o jeden większym wyznaczonego już w (7.). Otrzymamy w ten sposób dwa równania, które pozwolą obliczyć moduły liczb A i B. Fazy znajdziemy na podstawie uważnej dyskusji. Możemy domyślać się, że A będzie ujemne, zaś B > 0, jak to miało miejsce powyżej. Trzeba jednak przeprowadzić obliczenia. Normowanie wektora (7.6) daje warunek A B. (7.7) Ortogonalność wektorów (7.) i (7.6) prowadzi zaś do równania l M l M A B 0. (7.8) Rozwiązania układu dwóch powyższych równań są teraz następujące A e iα l M l, B e iα M. (7.9) Podstawiając je do (7.6) dostajemy l, ; J l, M l M eiα l, m l M ;, m s e iα l M l, m l M ;, m s. (7.0) Fazę określimy, żądając, aby uzyskany wynik odtwarzał (7.5) jeśli położymy M l pol. Widzimy, że musi być e iα (czyli A < 0 i B > 0, tak jak oczekiwaliśmy). A zatem mamy l l, ; J l, M M l, m l M ;, m s l M l, m l M ;, m s, (7.) co oczywiście kończy obliczenia współczynników CG dla J l. Współczynniki w (7.) tworzą drugi wiersz tabeli (7.4). S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 57

7 (U.6) Dodawanie momentów pędu 58 C. Tabela współczynników Clebscha Gordana Skonstruowaliśmy współczynniki Clebscha-Gordana składając orbitalny moment pędu L oraz spinowy S, przy czym liczby kwantowe określające L są dowolne (oczywiście l 0 jest całkowite, zaś m, dla ustalonego l, przebiega zbiór ( l, l,..., l, l)), natomiast spin ma wartość s /, a jego rzut na oś z wynosi m s ±/. Jedyne dopuszczalne wartości liczby J to (l ± ), przy M przebiegającym od (l ± ) do (l ± ). Uzyskane współczynniki pozwalają wypełnić tabelę (7.4), która przybiera postać C J,M l m l, ms j l j s j l j s m l M m s m l M m s J l, M l M J l, M l M l M l M (7.) Współczynniki zebrane w tabeli pozwalają jawnie zapisać relację (7.) dla dwóch możliwych przypadków J l ±. Zapiszemy je w postaci macierzowej w następujący sposób l, ; J l, M l, ; J l, M l M l M l M l M l, m l M ;, m s,(7.) l, m l M ;, m s dzięki czemu możemy zobaczyć, że współczynniki CG, mimo skomplikowanego zapisu, tworzą macierz pozwalająca przechodzić od jednej bazy do drugiej (w tym wypadku od niesprzężonej l, m l ; s, m s do sprzężonej l, s; J, M ). Przypadek l 0 W powyższych rozważaniach zakładaliśmy l > 0. Trzeba więc je uzupełnić uwzględniając przypadek l 0. Gdy l 0, wówczas m l 0, a ponadto jedyną możliwością dla liczby J jest J. Tym samym wektor wynikający z drugiego wiersza (7.) nie ma sensu i pozostaje tylko pierwszy wiersz. Biorąc go dla l 0 dostajemy 0, ; J, M M 0, m l M ;, m s M 0, m l M ;, m s. (7.4) Ponieważ J, więc M ±. Mamy więc dwa możliwe przypadki. M. Współczynnik w drugim składniku zeruje się, co jest o tyle pomyślne, że składnik ten zawierałby ket, w którym l 0, zaś m l, co jest niemożliwe. tak więc pozostaje nam 0, ; J, M 0, m l 0;, m s s, m s. (7.5) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 58

8 (U.6) Dodawanie momentów pędu 59 M. Teraz zeruje się współczynnik pierwszego składnika, co zapewnia, że ket z l 0 i m l nie daje wkładu. Zostaje więc 0, ; J, M 0, m l 0;, m s s, m s. (7.6) Oczywiście wyniki te są trywialne, wektory bazy sprzężonej po prostu pokrywają się ze stanami spinowymi (bowiem nie ma orbitalnego momentu pędu). Równania (7.5) i (7.6) trudno więc nazwać nieoczekiwanymi.wynikają one jednak z ogólnego formalizmu, co potwierdza jego wewnętrzną spójność. 7.. Stany bazy sprzężonej w reprezentacji położeniowej Stany bazy niesprzężonej występujące po prawej stronie wzoru (7.) są złożeniem stanów l m l orbitalnego momentu pędu i stanów spinowych s, m s. Stany własne L formalne wektory z przestrzeni Hilberta możemy wyrazić w reprezentacji położeniowej, zaś stany spinowe w reprezentacji (7.0), tj. "słupków" z C. Wobec tego, pierwszy wiersz relacji (7.) zapisujemy w postaci Ψ l,s ; Jl,M( r) l M θ ϕ l, m l M s z, m s l M θ ϕ l, m l M s z, m s, (7.7) gdzie s z s, m s oznacza odpowiedni wektor z C. Stany własne L w reprezentacji położeniowej to harmoniki sferyczne, zatem l M ( ) Y (θ ϕ) l,m 0 Ψ l,s ; Jl,M( r) Ψ l,s ; Jl,M( r) l M Y (θ ϕ) l,m ( 0 ). (7.8) W pełni analogiczne podstawienia przeprowadzamy w drugim wierszu wyrażenia (7.), otrzymując tym razem l M θ ϕ l, m l M s z, m s l M l M θ ϕ l, m l M s z, m s Y (θ ϕ) l,m l M ( 0 ) Y (θ ϕ) l,m ( 0 ). (7.9) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 59

9 (U.6) Dodawanie momentów pędu 60 Podsumowując, stany bazy sprzężonej w reprezentacji położeniowej zapisujemy w postaci spinorów Ψ l,s ; Jl,M( r) Ψ l,s ; Jl,M( r) lm l Y l,m l M l Y l,m lm l Y l,m l M l Y l,m (θ ϕ) (θ ϕ) (θ ϕ) (θ ϕ),. (7.40a) (7.40b) 7..4 Przykład zastosowania: l i s Zastosujmy nasze ogólne rozważania do konkretnego przypadku. Zbadajmy złożenie momentu pędu L ze spinem S dla l (m, 0, ) i s (czyli m s ± ). Liczba J określająca całkowity moment pędu przyjmuje tylko dozwolone wartości J,, dla których odpowiednio M,,, lub M,. W tym przypadku przestrzenie stanów niesprzężonych i sprzężonych są 6-cio wymiarowe ((l )(s) 6). Każdy z sześciu stanów sprzężonych jest kombinacją liniową stanów niesprzężonych, m ;, m s. Współczynnikami kombinacji są oczywiście współczynniki CG. Sporządzimy teraz tabelę tych współczynników. Przede wszystkim skorzystamy z tabeli (7.) zaadaptowanej do badanego przypadku. Dla l otrzymujemy C J,M m, J, M m M m M ms m s m s M M (7.4) J, M M M Przestrzenie stanów są 6-cio wymiarowe, więc tabela wszystkich możliwych (dla l i s ) współczynników CG będzie macierzą 6 6. Kolumny macierzy uporządkujemy według malejącej liczby M. Przy jednakowym M, bardziej z lewa stoi kolumna z większym J. Wiersze macierzy porządkujemy według malejącego m, przy tym samym m wiersze są uporządkowane według S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 60

10 (U.6) Dodawanie momentów pędu 6! " #!$ " % % % % %! " #! $ &% ' ' % % %! (% #!$ % ' ' % % %! (% #!$ % % % ' ' %! " #! $ % % % ' ' %! " #!$ % % % % % " malejących liczb m s. Tabela (macierz) współczynników CG dla złożenia l i s ma postać (7.4) Współczynniki CG wypisane w tabeli obliczamy w następujący sposób. Jeśli warunek M m m s nie jest spełniony, to odpowiednie współczynniki CG są zerami. Sprawdzenie tego warunku dla poszczególnych pól tabeli prowadzi od razu do pojawienia się wielu zer. Co więcej, macierz dzieli się na 4 podmacierze (klatki) odpowiadające różnym wartościom M. J, M. Sytuacji tej odpowiada lewy górny wyraz tabeli pomocniczej (7.4). Daje on w pierwszym wierszu pierwszej kolumny macierzy (7.4). Górna podmacierz (w której M ) wynika bezpośrednio z tabeli pomocniczej, którą jednak trzeba stosować uważnie ze względu na inny układ wierszy i kolumn. Dolna podmacierz (w której M ) także wynika z uważnego zastosowania tabeli pomocniczej. Ostatnia kolumna J, M wynika z prawego górnego wyrazu tabeli pomocniczej. Przedstawiliśmy tu konstrukcję współczynników CG dla złożenia l i s. Nie ma przeszkód, by analogicznymi metodami przebadać złożenie np. l i s. Wymiar odpowiedniej macierzy rośnie i wynosi (l )(s) 0. Wyliczenie elementów takiej macierzy jest bardziej pracochłonne, lecz koncepcyjnie nietrudne Stany bazy niesprzężonej via stany sprzężone Współczynniki CG pozwalają przejść z bazy niesprzężonej do sprzężonej i na odwrót. Odwołujemy się do wzoru (8.94), który w rozważanej sytuacji pozwala napisać relację odwrotną do (7.) l, m l ; s, m s Jl± C Jl±,M l,m l ; l,ms ; J M, (7.4) gdzie suma ma tylko dwa składniki. Musi być spełniony warunek M m l m s, wobec tego mamy l, m l M m s ;, m s C Jl,M l,m l M m s;,ms l, ; J l, M C Jl,M l,m l M m l, s;,ms ; J l, M. (7.44) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 6

11 (U.6) Dodawanie momentów pędu 6 Zwróćmy uwagę, że kładąc kolejno m s ± musimy z tabeli (7.) odczytywać współczynniki CG kolumnami. W rezultacie otrzymujemy formułę podobną do (7.) l, m l M ;, m s l, m l M ;, m s l M l M l M l M co znów pokazuje macierzowy charakter współczynników CG Unitarność współczynników Clebscha Gordana l, ; J l, M, (7.45) l, ; J l, M Formuła (7.) daje transformację od bazy niesprzężonej (N) do sprzężonej (S), zaś wzór (7.45) zadaje przejście w odwrotną stronę: S N. Macierze występujące w tych wyrażeniach mają strukturę ( ) ( ) a b a b M N S oraz M b a S N. (7.46) b a Elementarne wymnożenie tych macierzy prowadzi do wniosku, że ( ) a M N S M S N M S N M N S b 0 0 a b ( l M l M ) ( ) ( ). (7.47) Widzimy więc, że macierze te są wzajemnie odwrotne. Transformacja pomiędzy bazami jest ortogonalna, więc i unitarna. Nietrudno też sprawdzić, że relacje ortogonalności (8.86) pomiędzy wierszami macierzy M N S (patrz tabela (7.)), lub analogiczna relacja (8.89) pomiędzy jej kolumnami, są ewidentnie spełnione Przykład zastosowania Rozważymy stan atomu wodoropodobnego, który jest opisany funkcją falową ψ( r) R (r) Y, (θ, ϕ) χ R (r) Y, (θ, ϕ) χ, (7.48) gdzie R to radialna funkcja falowa, y lm są harmonikami sferycznymi, zaś χ ± to stany spinowe. Celem naszych rozważań jest obliczenie dwóch wartości oczekiwanych J z ψ J z ψ, oraz J ψ J ψ. (7.49) Funkcja falowa (7.48) jest zapisana w reprezentacji położeniowej. Przedstawia ona stan, który jest kombinacją liniową ψ n, l, m l ; s, m s n, l, m l ; s, m s. (7.50) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 6

12 (U.6) Dodawanie momentów pędu 6 Przy obliczeniach wartości oczekiwanych (7.49) główna liczba kwantowa nie odgrywa roli, więc pominiemy je w dalszym ciągu naszych obliczeń. Stan ψ jest kombinacją liniową stanów bazy niesprzężonej, dla której liczba kwantowa J odpowiadająca operatorowi J jest nieokreślona, choć wiemy, że może ona przyjmować tylko dwie wartości J l ±. Aby obliczyć drugą z podanych wartości oczekiwanych musimy przejść do bazy sprzężonej. Wartość oczekiwaną J z można obliczać w obu bazach, bowiem ich wektory są stanami własnymi operatora J z (patrz (8.45) i (8.46)). Obliczenia J z w bazie niesprzężonej Ponieważ J z L z S z więc z (7.50) od razu dostajemy J z ψ ( Lz S z ) l, ml ; s, m s ( ) Lz S z l, ml ; s, m s. (7.5) Stany bazy niesprzężonej są stanami własnymi L z oraz S z, więc J z ψ ( ) l, m l ; s, m s ( ) l, m l ; s, m s. (7.5) Po uporządkowaniu, obliczamy wartość oczekiwaną (nieco skracając notację) J z ψ J z ψ {, ;, { }, ;, 4, ;, 4, ;, } (7.5) Obliczając iloczyny skalarne wektorów bazy niesprzężonej korzystamy z ich ortonormalności i dostajemy J z 8 8 4, (7.54) co kończy obliczenia w bazie niesprzężonej. Stan ψ w bazie sprzężonej Stan ψ dany w (7.50) w bazie niesprzężonej musimy teraz wyrazić w bazie sprzężonej. W tym celu musimy jedynie dopasować liczby kwantowe i skorzystać ze wzoru (7.45). Stan l, m l ; s, m s. Musimy zawsze mieć M m l m s, zatem M i wobec tego m l M. Korzystamy z pierwszego wiersza wzoru (7.45) l, m l ; s, m s l M l, s ; J l, M l M l, s ; J l, M (7.55) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 6

13 (U.6) Dodawanie momentów pędu 64 Podstawiając właściwe liczby kwantowe i porządkując mamy l, m l ; s, m s l, s ; J, M l, s ; J, M (7.56) Stan l, m l ; s, m s. Ponieważ zawsze M m l m s, zatem w tym przypadku M. Wobec tego m l M. Korzystamy z drugiego wiersza wzoru (7.45) i dostajemy l, m l ; s, m s l M l, s ; J l, M l M l, s ; J l, M (7.57) Biorąc liczby kwantowe właściwe dla tego przypadku, otrzymujemy l, m l ; s, m s l, s ; J, M l, s ; J, M (7.58) Analizowany stan ψ jest kombinacją (7.50) stanów w bazie niesprzężonej. Podstawiamy więc (7.56) i (7.58) otrzymując kombinację ψ l, s ; J, M l, s ; J, M l, s ; J, M l, s 6 ; J, M. (7.59) Stan ψ jest więc kombinacją liniową czterech stanów bazy sprzężonej. Współczynniki w powyższym wzorze są amplitudami prawdopodobieństwa wystąpienia odpowiednich stanów. Niech P(J, M) będzie prawdopodobieństwem wystąpienia stanu określonego liczbami kwantowymi J i M. Na podstawie (7.59) możemy więc napisać P(J, M ) 4, P(J, M ), P(J, M ), P(J, M ) 6. (7.60) Prawdopodobieństwa te sumują się do jedynki, jak być powinno. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 64

14 (U.6) Dodawanie momentów pędu 65 Obliczenia J z i J w bazie sprzężonej Baza sprzężona jest bazą stanów własnych operatora J z. Wobec tego możemy napisać J z M M P(J, M) ( 4 ) ( ) 6 4, (7.6) co oczywiście jest w zgodzie z wynikiem (7.54) uzyskanym w bazie niesprzężonej. Analogicznie obliczamy wartość oczekiwaną operatora J. A zatem J J(J ) P(J, M) J 5 ( 4 ) ( ) (7.6) Tym samym, przechodząc od bazy niesprzężonej do sprzężonej, odpowiedzieliśmy na postawione na wstępie pytania. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 65