Wykłady z Mechaniki Kwantowej
|
|
- Kazimiera Wrona
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykłady z Mechaniki Kwantowej
2
3 Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 7 Jesteśmy uczniami w szkole natury i kształtujemy nasze pojęcia z lekcji na lekcję. P. Peebles Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski Katowice, 2017
4 Własności stanów splątanych, algebra w przestrzeni stanów splątanych
5 mówimy że taki stan jest splątany. Każdy stan układu wielu stopni swobody, który nie da się przedstawić w postaci iloczynu prostego stanów dla pojedynczych stopni swobody nazywamy stanem splątanym Na przykładzie stanów dwucząstkowych: Stan, który może być zapisany jako iloczyn stanów czystych: ψ s = ψ 1 ψ 2 H s = H 1 H 2 jest stanem separowalnym ( nie jest stanem splątanym) Jeżeli to nie jest możliwe, tzn. w przestrzeniach H 1 oraz H 2 nie istnieją takie stany ψ 1 H 1 oraz ψ 2 H 2 iż pełny stan może być zapisany w postaci: ψ = ψ 1 ψ 2
6 Przykład dla dwóch podukładów: ψ = α +, + + β +, + γ, + + δ, Stan splątany: ψ ψ 1 2 Stan niesplątany: ψ = a + + b 1 ψ = c + + d 2 ψ ψ = ac +, + + ad +, + bc, + + bd, 1 2 α β = ac ad = c d γ δ = bc bd = c d α β = γ δ
7 Przykłady stanów niesplątanych: ψ = 1 6 +, , , , ψ = αe iα 1 + A,+ B + βe iβ 1 + A, B + α 1 α 2 β 2 α 2 + β 2 e i(χ+α1) A,+ B + β 1 α 2 β 2 α 2 + β 2 e i(χ+β1) A, B gdzie: = ψ 1 ψ 2 ψ 1 = α 2 + β 2 e i(b 1 χ ) + A + 1 α 2 β 2 e ib 1 A ψ 2 = α α 2 + β 2 ei(d1+α1 β1) + B + β α 2 + β 2 eid1 B oraz: χ = b 1 + d 1 β 1
8 W dalszym ciągu bardzo często będziemy utożsamiać: + = + A,B = 0 A,B = 0 = A,B = 1 A,B = 1 Gdy łączymy układy A oraz B razem i dajemy im możliwość oddziaływania, stan czysty tego układu będzie opisany wektorem w przestrzeni H AB = H A H B z wektorami bazy w H A oraz w H B. Dla układów dwuwymiarowych (takie dla przejrzystości opisu będziemy na wykładzie rozpatrywać) bazę w H AB stanowią wektory: Gdy układ jest na przykład w stanie: i A j B N A N B Ψ AB = c ij i A j B i=1 j=1 0 A 0 B, 0 A 1 B, 1 A 0 B, 1 A 1 B. Ψ AB = 1 ( ) Ψ A B A B A Ψ B wtedy nie ma sposobu aby jednoznacznie przypisać liczby kwantowe układowi A lub B oddzielnie.
9 Przypomnijmy jeszcze działanie operatorów w przestrzeni H AB : Twierdzenie spektralne działa w sposób: Nie wszystkie operatory w przestrzeni H AB są faktoryzowalne: O AB = A m B m C D m c m Mnożenie operatorów w przestrzeni H AB (przypominamy):
10 Iloczyn stanów mieszanych: ρ = ρ (1) ρ (2) nie ma korelacji pomiędzy podukładami. Mieszane układy separowalne. Jeżeli natomiast mamy: i ρ = p i ρ i (1) ρ i (2) p i > 0 ; ; p i = 1 p to korelacje pomiędzy podukładami występują. Są to jednak korelacje klasyczne i taki stan dalej jest separowalnym stanem mieszanym. Stan mieszany jest stanem splątanym jeżeli nie istnieją lokalne stany oraz i prawdopodobieństwa, takie że stan można zapisać: ρ i (2) i p i > 0 ρ = p i ρ i (1) ρ i (2) ρ i (1)
11 Zbadamy różnicę pomiędzy stanami separowalnymi i splątanymi, jak zobaczymy będą one znaczne. Zachowanie świata klasycznego i kwantowego dla stanów splątanych różni się od siebie znacznie bardziej niż dla stanów separowalnych Kryteria rozróżniania stanów wydają się proste. Sprawdzenie splątania dla stanów mieszanych nie jest jednak takie trywialne. Poszukujemy prostych kryteriów aby jednoznacznie odróżnić stany separowalne od splątanych: -- dla stanów czystych takie proste kryteria istnieją, -- dla stanów mieszanych nie ma jednego prostego kryterium dla dowolnej liczby cząstek Zajmiemy się też miarą splątania, czy można stwierdzić że jeden stan jest bardziej splątany od drugiego?
12 Operatory statystyczne można mieszać. Mając ten sam układ fizyczny w stanie ρ A lub ρ B z prawdopodobieństwami odpowiednio p oraz 1-p pełny operator statystyczny układu ma postać: Mieszanie nie splątanie Gdy ρ = Ψ Ψ A A A A p i i i ; i oraz ρ = Ψ Ψ B B B B p i i i ; i Wtedy mieszanina opisana operatorem ρ oznacza: Prawdopodobieństwo, że układ jest w A stanie ψ 1 Prawdopodobieństwo, że układ jest w B stanie ψ 1 Stany nie muszą być ortogonalne
13 Stany mieszane połączonych układów (stany niesplątane): Ale mogą też być bardziej ogólne niefaktoryzowalne operatory statystyczne : ρ = p ( ρ ρ ); gdzie p i = 1 AB i Ai Bi i i Możemy też utworzyć połączone operatory statystyczne ze stanów czystych: gdy to odpowiadający operator statystyczny ma postać (stan splątany): a ogólnie
14 Przypomnijmy reprezentacje macierzową operatorów w H AB. Operator O AB może być reprezentowany macierzą o kl Zwykle numerujemy wektory bazowe tak, że: Porządek LEKSYKOGRAFICZNY
15 Dla dwóch cząstek w dwóch stanach, porządek leksykograficzny: 0 A,0 B 1 AB 1 0 A,1 B 2 AB 2 1 A,0 B 3 AB 3 Wtedy: 1 A,1 B 4 AB 4 ψ = α 0 A,0 B + β 0 A,1 B + γ 1 A,0 B + δ 1 A,1 B α 1 AB + β 2 AB + γ 3 AB + δ 4 AB α 1 + β 2 + γ 3 + δ 4 ψ = α * 0 A,0 B + β * 0 A,1 B + γ * 1 A,0 B + δ * 1 A,1 B α * 1 AB + β * 2 AB + γ * 3 AB + δ * 4 AB
16 Wtedy stan czysty splątany wyrażony za pomocą operatora statystycznego: ψ ψ = α 2 0 A,0 B 0 A,0 B + αβ * 0 A,0 B 0 A,1 B + αγ * 0 A,0 B 1 A,0 B + αδ * 0 A,0 B 1 A,1 B + βα * 0 A,1 B 0 A,0 B + β 2 0 A,1 B 0 A,1 B + βγ * 0 A,1 B 1 A,0 B + βδ * 0 A,1 B 1 A,1 B + γα * 1 A,0 B 0 A,0 B + γβ * 1 A,0 B 0 A,1 B + γ 2 1 A,0 B 1 A,0 B + γδ * 1 A,0 B 1 A,1 B + δα * 1 A,1 B 0 A,0 B + δβ * 1 A,1 B 0 A,1 B + δγ * 1 A,1 B 1 A,0 B + δ 2 1 A,1 B 1 A,1 B α 2 1 AB 1 AB + αβ * 1 AB 2 AB + αγ * 1 AB 3 AB + αδ * 1 AB 4 AB + βα * 2 AB 1 AB + β 2 2 AB 2 AB + βγ * 2 AB 3 AB + βδ * 2 AB 4 AB + γα * 3 AB 1 AB + γβ * 3 AB 2 AB + γ 2 3 AB 3 AB + γδ * 3 AB 4 AB + δα * 4 AB 1 AB + δβ * 4 AB 2 AB + δγ * 4 AB 3 AB + δ 2 4 AB 4 AB I w bazie wektorów i AB ; i = 1,2,3,4 α 2 αβ * αγ * αδ * βα * β 2 βγ * βδ * ρ AB i,k i ( AB ψ ψ ) k AB = γα * γβ * γ 2 γδ * δα * δβ * δγ * δ 2
17 Stan czysty niesplątany wyrażony przy pomocy operatora statystycznego: ψ = ψ A ψ B ψ A = a 0 A + b 1 A ψ B = c 0 B + d 1 B ψ = ψ A ψ B = ( a 0 A + b 1 A ) ( c 0 B + d 1 ) B = ac 0 A,0 B + ad 0 A,1 B + bc 1 A,0 B + bd 1 A,1 B Korzystamy z relacji : ψ ψ = ( ψ A ψ )( B ψ A ψ ) B = Gdzie: ψ A ψ A ψ B ψ B = ρ A ρ B ρ A = ψ A ψ A a 2 ab * ba * b 2 ρ B = ψ B ψ B c 2 cd * dc * d 2
18 Wtedy: ψ 2 2 a 11 a 12 2 = a 13 a 14 2 ψ = ρ A ρ B a 2 ab * ba * b 2 c 2 cd * dc * d 2 α = ac β = ad γ = bc δ = bd a 11 2 = a 12 2 = α 2 β 2 a 2 c 2 a 2 cd * ab * c 2 ab * cd * a 2 dc * a 2 d 2 ab * dc * ab * d 2 ba * c 2 ba * cd * b 2 c 2 b 2 cd * ba * dc * ba * d 2 b 2 dc * b 2 d 2 γ 2 δ 2 = a 13 2 a 14 2 α 2 αβ * αγ * αδ * βα * β 2 βγ * βδ * γα * γβ * γ 2 γδ * δα * δβ * δγ * δ 2 αγ * = acb * c * = ab * c 2 Stan mieszany jest niesplątany, gdy jego operator statystyczny jest iloczynem prostym operatorów
19 ψ ψ = α αβ * αγ * αδ * βα * β βγ * βδ * γα * γβ * γ γδ * δα * δβ * δγ * δ Obliczmy zredukowany operator statystyczny dla stanu A: 0 B ψ ψ 0 B = α αγ * γα * γ B ψ ψ 1 B = β βδ * δβ * δ ρ A = (α 2 + β 2 ) (αγ * + βδ * ) (γα * + δβ * ) (γ 2 + δ 2 ) 1 1 Oraz operator statystyczny dla stanu B: 0 A ψ ψ 0 A = α αβ * βα * β A ψ ψ 1 A = γ γδ * δγ * δ ρ B = (α 2 + γ 2 ) (αβ * + γδ * ) (βα * + δγ * ) ( β 2 + δ 2 ) 1 1
20 ψ ψ = α αβ * αγ * αδ * βα * β βγ * βδ * γα * γβ * γ γδ * δα * δβ * δγ * δ B ψ ψ 0 B = α αγ * γα * γ ψ ψ = α αβ * αγ * αδ * βα * β βγ * βδ * γα * γβ * γ γδ * δα * δβ * δγ * δ B ψ ψ 1 B = β βδ * δβ * δ 2 1 1
21 ρ A = (α 2 + β 2 ) (αγ * + βδ * ) (γα * + δβ * ) (γ 2 + δ 2 ) 1 1 ρ B = (α 2 + γ 2 ) (αβ * + γδ * ) (βα * + δγ * ) ( β 2 + δ 2 ) 1 1 Zredukowane macierze gęstości Stany z możliwym splątaniem α 2 + β 2 αγ * + βδ *!ρ A = γα * + δβ * γ 2 + δ 2 Macierze gęstości dla stanów bez splątania ρ A a 2 ab * ba * b 2!ρ B = α 2 + γ 2 αβ * + γδ * βα * + δγ * β 2 + δ 2 ρ B c 2 cd * dc * d 2 ρ 11 ρ 22 = ρ 12 ρ 21 ============================================================= α = ac β = ad γ = bc δ = bd (αγ * + βδ * )(γα * + δβ * ) (α 2 + β 2 )(γ 2 + δ 2 ) α 2 γ 2 + αγ * δβ * + βδ * γα * + β 2 δ 2 Spełnione dla stanu niesplątanego αγ * δβ * + βδ * γα * = α 2 δ 2 + β 2 γ 2
22 Będziemy często używać częściowych operatorów rzutowych określonych w sposób: Zobaczmy jak działają częściowe operatory rzutowe: N A ( 1 A B P ) k Ψ AB = c ij 1 A i=1 N B j=1 N A i A P k B j B = c ik i A k B = Ψ A k B i=1 gdzie: N A Ψ A = c ik i=1 i A Dla porównania gdy: wtedy Stan podukładu A zmienia się (stan splątany), lub nie zmienia się (stan niesplątany)
23 Przykłady Niech: Wtedy zachodzi: Można mówić o układzie zupełnym częściowych operatorów rzutowych, zachodzi bowiem: Tr(A B)=TrA TrB Wykonując pomiary w stanie splątanym na podukładach A lub B, prawdopodobieństwa otrzymania określonego wyniku będą obliczane w sposób:
24 Podobnie dokonując pomiaru na układach w splątanych stanach czystych, stany po pomiarze wyznaczamy w sposób: Ogólny operator statystyczny dla stanów splątanych ma postać (dla dwóch splątanych układów fizycznych): ρ AB = ( )( k A l ) B = ρ ijkl ρ ijkl i A j B i, j,k,l ( i A k A ) j B l B i, j,k,l ( ) Gdy dokonano pomiaru na podukładzie B i otrzymano wartość m, operator statystyczny przyjmuje postać = ρ ijkl i A k A ijkl ρ AB ρ AB = (1A P m B )ρ AB (1 A P m B ) Tr{ρ AB (1 A P m B )} ( ) P m B j B l B P m B i ( ) ρ imim = = ρ imkm i A k A ik ρ imim i Sprawdzić na ćwiczeniach ( ) m B m B ( )
25 Aby otrzymać operator statystyczny np. podukładu A gdy jest on splątany z drugim podukładem B obliczamy ślad po podukładzie B: ρ A = Tr B {ρ AB } ρ ijkl i A k A i, j,k,l ( ) Tr j B l B ( ) = = ( ρ i ijkl A k A )δ = ρ jl ijkj i A k A i, j,k,l i, j,k ( ) = N A = A ρ i,k i A k A i,k gdzie N B ρ A i,k = ρ ijkj j N A!ρ A = A ρ i,k i A k A i,k Zredukowany operator statystyczny podukładu A
26 Pomiary dokonujemy zawsze na podukładzie, wtedy odpowiednie operatory rzutowe mają postać (dla pomiarów na A): Wtedy prawdopodobieństwa otrzymania danego wyniku pomiaru można obliczać na dwa sposoby: Wykorzystując zredukowany operator statystyczny: 1 2 N A Tr{!ρ A P A n }= Tr{ ρ A i,k i A k A P A n }= N A lub pełny operator statystyczny: i,k = A ρ i,n Tr{ i A n A = A ρ i,n δ i,n = i N B N A = ρ A n,n ρ njnj j i W obydwu metodach obliczania otrzymujemy ten sam wynik Pr(n) = N B ρ njnj j Pr(n) = Tr ( ρ AB (P A n 1 B ))
27 Tr[ρ AB (P n A 1 B ) = Tr ρ ijkl i A k A j B l B (P A n 1 B ) = i, j,k,l = A ρ ijkl Tr i A k A P n i, j,k,l Tr j l B B 1 B = Tr(A B)=TrA TrB = ρ ijkl δ k,n Tr i A n A i, j,k,l Tr j l B B = N B = ρ ijkl δ k,n δ i,n δ j,l = ρ njnj i, j,k,l j=1 Tr ϕ ψ = ψ ϕ
28 Kryteria splątania stanów (dla stanów czystych). Mamy splątane dwa stany. Opisuje je operator statystyczny: ρ AB = ρ ijkl i A j B k A l B ρ ijkl ijkl ijkl ( i A k A ) j B l B ( ) Obliczamy stany podukładów A i B: ρ A Tr B [ρ AB ] = N B ρ A i,k = ρ ijkj j N A ρ A B i,k i A k A!ρ B Tr A [ρ AB ] = ρ j,l i,k j,l ρ AB N A ρ B j,l = ρ ijil Operator statystyczny (dla stanu czystego) opisuje układ splątany tylko wtedy gdy podukłady ρ A i ρ B są w stanach mieszanych. i N B j B l B ρ AB splątane Tr( ρ A ) 2 < 1 N A ρ A ρ A i,k < 1 k,i i,k=1 Tr( ρ B ) 2 < 1 N B ρ B ρ B j,l < 1 l, j j,l=1
29 Rozrzut wyników pomiaru jest mierzony średnim odchyleniem standardowym obliczanym w sposób 2 ΔA= A A 2 ψ ψ ψ Tylko w niewielu stanach rozrzut ΔA znika. Wtedy możemy zadać pytanie i uzyskać jednoznaczną odpowiedź. Istnieje mnóstwo pytań, na które, dla danego stanu ψ nie ma jednoznacznej odpowiedzi. Sytuacja jest zupełnie odmienna w porównaniu z fizyką klasyczną. Tutaj znajomość położenia i pędu punktu materialnego pozwala jednoznacznie przewidzieć wartość każdej obserwabli. Wiele różnych podukładów może być reprezentowanych przez ten sam operator statystyczny. Ale jedynie ten operator decyduje o wynikach różnych pomiarów. Żadne różnice w podukładach, poza tym co reprezentuje operator statystyczny, nie będą więc możliwe do eksperymentalnej weryfikacji. Koherentna superpozycja stanów może prowadzić do efektów interferencyjnych, probabilistyczna mieszanka nigdy nie da takich efektów. Rozpatrzmy dwa stany: ψ A = 1 ( ) ψ B = 1 ( ) Prawdopodobieństwo, że mierząc obserwablę A otrzymamy wartość 1 wynosi ( P 1 = 1 1 ) P1 = 1 2 Tak będzie, niezależnie czy układ jest w stanie A czy B.
30 Dlaczego operator statystyczny jest konieczny: Przypuścimy, że wiemy iż układ jest przygotowany w stanie A i B z równym prawdopodobieństwem. Układ nie może być w stanie czystym, mamy bowiem Musimy mieć do dyspozycji operator statystyczny. p coh 1 = Tr( Ψ coh Ψ coh P ) 1 = 0 Innym powodem wprowadzenia operatora statystycznego jest zjawisko splątania. Załóżmy, że mamy układ w stanie splątanym: ( ) 1 ( ,1 ) B A B Ψ AB = A 0 B + 1 A 1 B 1 B Nie można wtedy powiązać z podukładami A i B żadnego stanu czystego. Wyobraźmy sobie, że separujemy podukłady A i B i wykonujemy pomiar na podukładzie A lub na podukładzie B mierząc obserwable, które pozwalają nam stwierdzić czy układ jest w stanie 0 lub w stanie 1 (np. pomiar dla obserwabli B): Na ćwiczeniach
31 Po takich pomiarach układ AB będzie odpowiedni w stanach: Na ćwiczeniach A to oznacza, że układ A jest w stanie 0 A lub 1 A, w każdym przypadku z prawdopodobieństwem 50%. Gdy nie znamy wyniku pomiaru w podukładzie B, musimy przyjąć, że układ jest w stanie mieszanym: ρ A = 1 ( A A + 1 A 1 A ). Jest to dokładnie zredukowany operator statystyczny, otrzymamy go bezpośrednio obliczając stan podukładu A:
32 !ρ A = Tr ( B Ψ AB Ψ ) AB = 1 2 Tr ({ 0 B A 0 B + 1 A 1 B }{ 0 A 0 B + 1 A 1 b }) = = 1 2 Tr ( 0 B A 0 A 0 B 0 B + 0 A 1 A 0 B 1 B + 1 A 0 A 1 B 0 B + 1 A 1 A 1 B 1 ) B =!ρ A = 1 ( A A + 1 A 1 ) A Inny przykład Co się stanie gdy B zdecyduje się zbadać czy jego układ jest w stanie określonych w sposób: y B x B = 1 ( ) y B B B = 1 ( ) B B x B lub B dokonuje pomiarów, dla których operatory rzutowe mają postać: Obliczyć na ćwiczeniach Obydwa prawdopodobieństwa są równe
33 Stany układu AB po takich pomiarach będą równe: X: Ψ AB ( ) Ψ AB = 1 A B ( P x ) 1 ( A B A B ) =! 1 A P x B 1 A 0 A P B x 0 B +1 A 1 A P B x 1 B 0 A ( 0 B + 1 ) B + 1 A ( 0 B + 1 ) B! Stany układu A po takich pomiarach :! 1 ( A A ) ( 0 B + 1 B ) Y: Ψ AB! ( 1 A B P ) y Ψ AB = ( 1 A B P ) 1 ( y ) = A B A B 1 A 0 A P B y 0 B +1 A 1 A P B y 1 B 0 A ( 0 B 1 ) B + 1 A ( 0 B + 1 ) B! 1 ( ) 2 0 A + 1 A 1 ( ) 2 0 A 1 A! 1 ( A A ) ( 0 B 1 B ) A więc zredukowany operator statystyczny będzie równy
34 Widzimy, że dwie różne sytuacje pomiarowe doprowadzają nas do tego samego stany podukładu A Niezależnie od tego czy w podukładzie B mierzymy obserwable: o stanach własnych: 0 B 1 B x B = 1 ( ) B B czy też o stanach własnych: y B = 1 ( ) B B podukład A zawsze będzie w stanie mieszanym opisanym takim samym operatorem statystycznym:!ρ A = 1 ( A A + 1 A 1 ) A
35 1. Rozkład Schmidta Mamy stan: ψ = N N A B c ij i A j B i=1 j=1 N A i A = A U B ik k A j B = U jm k=1 N A k=1 m B ψ = N N A B i=1 j=1 c ij N A A U ik k=1! k A N B m=1 U B jm!m B ψ = N N N A,N A B B A B U ik c ij U jm ka m B i=1 j=1 k,m=1
36 ψ = N A i=1 N B j=1 N A,N B ( U AT ) ki c ij k,m=1 U jm B ka m B Tak więc w nowej bazie: gdzie: N A,N ψ = B c km ka m B k,m=1 c km = N A i=1 N B ( U AT ) B ki c ij U jm j=1 Gdy N A = N B, dla dowolnej macierzy c zawsze istnieją takie dwie macierze unitarne U A oraz U B takie, że λ k!c km = λ k δ km gdzie, zwane współczynnikami Schmidta, są rzeczywiste i dodatnie oraz jednoznacznie określone.
37 Teraz kryterium jest proste: --- jeżeli tylko jedno λ k jest różne od zera układ jest w stanie separowalnym, --- jeżeli więcej niż jedno jest różne od zera stan układu jest splątany, 2. Drugie kryterium - własność zredukowanej macierzy gęstości wtedy: oraz: N N N = N A = N B N k N ( ) ρ A Tr B [ρ AB ] = Tr B ψ ψ = λ k 2 ka k A λ k ψ ψ = λ k λ (! i ka k! )( B ia! i! ) B = λ k λ (! i ka ia! ) k! B ib! k=1 i=1 N i=1 ( ) ψ = λ k! ka! k B!ρ B Tr A [ρ AB ] = Tr A ψ ψ = λ m 2 m N k=1 N i=1 ( m B m ) B ( )
38 Gdy którakolwiek ze zredukowanych macierzy opisuje stan czysty stan układu nie jest splątany. Gdy jedna z macierzy opisuje stan mieszany, stan pełny układu znajduje się w stanie splątanym. Widać, że kryterium rozkładu Schmidta dla stanu splątanego jest równoważne kryterium stanu mieszanego lub czystego dla zredukowanej macierzy gęstości Dla stanów czystych rozkład Schmidta stanowi warunek konieczny i wystarczający splątania stanów
39 Dla stanów mieszanych takie eleganckie kryterium nie istnieje, w szczególności stopień zmieszania zredukowanych macierzy gęstości nie mówi nic o splątaniu. Dla stanów mieszanych wprowadzono inne kryteria splątania: -- świadkowie splątania (entanglement witnesses), -- pozytywne mapy (positive maps) -- kryterium Peresa (PPT dodatniej częściowej transpozycji) dla układu AB dwóch qubitów (2 2) lub qubit qutrit (2 3) (twierdzenie Horodeckich) -- kryterium ujemności (miara splątania)
40 Kryterium częściowej transpozycji {Positive Partial Transpose (PPT)} ρ T B ρ ( i ijkl A k A ) ( j B l B ) T = i, j,k,l ρ T B = ( ρ i ijkl A k A ( ) l B j B ) i, j,k,l Jeżeli ma ujemne wartości własne (nie jest operatorem dodatnim) to początkowy stan ρ był stanem splątanym. Dla separowalnego stanu mieszanego i ρ = p i ρ i (1) ρ i (2) ρ T 1 ρ T 2 zarówno jak i są dodatnio określone Na ćwiczeniach - Pokazać jak to pracuje dla stanów czystych
41 ρ = p ( ρ (1) ) ( ρ (2)) mµ,nν i i mn i µν i ( ρ T ) 1 nµ,mν = p ( ρ (1) ) i i nm ( ρ (2)) i µν i ( (1) ρ ) T (1) Macierz i ma takie same wartości własne jak ρ i. Kryterium ujemności (Negativity) Dla danego operatora statystycznego tworzymy ρ T 1 ρ T 2 lub ρ T znajdujemy wartości własne takiego.
42 ρ T λ i = λ i λ i Następnie obliczamy (Negativity) N[ρ] = i ( λ λ ) i i Gdy N[ρ] > 0 stan jest splątany
43 Związek pomiędzy zredukowanymi operatorami statystycznymi ρ A oraz ρ B a pełnym operatorem ρ AB. ρ A ρ B Pełny stan ρ AB czysty mieszany Obydwa czyste tak nie Jeden czysty drugi mieszany Obydwa mieszane nie tak tak tak L. E. Ballentine; Quantum Mechanics, A Modern Development, World Scientific, 2015
44 Jak operatory statystyczne ρ A oraz ρ B decydują o splątaniu pełnego operatora. ρ AB ρ A ρ B ρ AB splątany niesplątany Czysty, czysty czysty nie tak Czysty, mieszany, mieszany nie tak Mieszany, mieszany, czysty, tak nie Mieszany, mieszany, mieszany tak tak L. E. Ballentine; Quantum Mechanics, A Modern Development, World Scientific, 2015
45 Przejście ze stanu niesplątanego w stan splątany na skutek ewolucji w czasie. Początkowy faktoryzowalny stan może na skutek ewolucji czasowej przejść w stan splątany. Załóżmy, iż stan początkowy ma postać: Przyjmijmy też, iż Hamiltonian w naszej bazie przyjmuje kształt: H 1MeV = Wtedy operator ewolucji U(t,0) Ht i U(t,0) = e = cos 1MeV t i H 1MeV 1MeV t sin H 1MeV 2 = 1
46 Po czasie t spełniającym warunek: U t = ( h ),0 4 MeV 1MeV t = ih= = π 2 i i i i 0 A,0 B 1 AB 1 Przy oznaczeniach wektorów bazowych: 0 A,1 B 2 AB 2 1 A,0 B 3 AB 3 Wtedy: Ψ AB (0) = 1 ( ) 1 A,1 B 4 AB 4 i Ψ AB (0) =
47 Stan po czasie t: ψ AB () t = U(t,0) ψ (0) AB A więc: i Ψ AB (t) = 1 2 i i i i = 1 2 i i i i Czyli: Ψ AB (t) Jak łatwo widać jest to stan splątany: α β = 1 γ δ = 1 ψ = α +, + + β +, + γ, + + δ, α β = γ δ
48 Powstały stan jest stanem splątanym. Jak się o tym przekonać? Sprawdźmy ślad kwadratu zredukowanego operatora statystycznego. Pełny operator statystyczny ma postać: Zredukowany operator statystyczny dla podukładu A: Korzystamy z twierdzenia (dla stanów czystych): Tr{( ρ A ) 2 } = 1 2 < 1 0 A Gdy zredukowany operator statystyczny opisuje stan mieszany to układ początkowy był w stanie splątanym Podukład A jest w stanie mieszanym, a więc pełny układ AB był splątany
49 Wnioski: Ewolucja unitarna może zmienić splątanie stanów. Ze stanu niesplątanego może dać w konsekwencji stan splątany. Możliwa jest też ewolucja odwrotna ze stanu splątanego w stan niesplątany Ewolucja unitarne nie zmieni mieszania stanów. Stan czysty przejdzie w stan czysty, stan mieszany w dowolnej późniejszej chwili czasu pozostanie mieszany
50 Więcej o splątaniu Załóżmy, że układ jest w stanie mieszanym opisanym operatorem: Nie wiemy czy układ jest w stanie 00 czy też 11, ale wiemy tylko jedno, A i B są w takim samym stanie, co formalnie oznacza, że: Niech teraz układ będzie w stanie splątanym czystym:
51 Wtedy także formalnie mamy: Gdzie widać różnicę pomiędzy stanem czystym i mieszanym. Rozważmy zbiór operatorów rzutowych: Obliczmy wtedy wartości średnie:
52 Niech x oraz y będą wektorami bazy. Tworzymy dwie ich unormowane kombinacje. W jakich okolicznościach standardowe pomiary jednoznacznie rozróżnią stany ψ c oraz ψ d? Mierzymy jakieś ortogonalne operatory rzutowe (dwa bo przestrzeń jest dwuwymiarowa): P 1 = ϕ ϕ P 2 = 1 P 1 Aby spełnić pierwszy warunek musimy wybrać: Chcemy tak wybrać φ aby zachodziło: Warunek jest spełniony gdy I w konsekwencji:
53 Aby eksperymentalnie rozróżnić układy w dwóch stanach, musi zachodzić: Ψ c Ψ d = 0 Przykład wzięty z wykładów Hideo Mabuchi, Caltech ze strony Internetowej Ph195/entrypage.htm Możemy rozróżnić dwa układy gdy są w stanach ortogonalnych. WNIOSEK: Żadne pomiary nie rozróżnią dwóch nieortogonalnych stanów. Przygotowując stany układów wkładamy więcej informacji niż możemy odzyskać. Czemu tak się dzieje? Jest to jedno z najważniejszych pytań we współczesnych badaniach teorii kwantowej.
54 Dziękuję za uwagę 54
Wykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na
Miary splątania kwantowego
kwantowego Michał Kotowski michal.kotowski1@gmail.com K MISMaP, Uniwersystet Warszawski Studenckie Koło Fizyki UW (SKFiz UW) 24 kwietnia 2010 kwantowego Spis treści 1 2 Stany czyste i mieszane Matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Rozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Wstęp do komputerów kwantowych
Obwody kwantowe Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Obwody kwantowe Bramki kwantowe 1 Algorytmy kwantowe 2 3 4 Algorytmy kwantowe W chwili obecnej znamy dwie obszerne
Postulaty mechaniki kwantowej
3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Strategie kwantowe w teorii gier
Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI. Entropie złożonych operacji kwantowych
UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Zakład Optyki Atomowej Entropie złożonych operacji kwantowych Wojciech Roga Praca magisterska pod kierunkiem prof. dr hab. Karola Życzkowskiego.
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
O informatyce kwantowej
O informatyce kwantowej Piotr Gawron Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN Posiedzenie PTM Gliwice Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 1 / 33 Plan wystąpienia
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Wykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 4 Najpiękniejszą rzeczą, jakiej możemy doświadczyć jest oczarowanie tajemnicą.
Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych
Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych Lech Jakóbczyk Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytet Wrocªawski 1 / 17 Spl tanie stanów czystych Formalna denicja spl tania Ukªad zªo»ony: Hilberta
Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 13
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 13 Spis treści 19 Algorytmy kwantowe 3 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit)........... 3 19. Twierdzenie
Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Wstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Mechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce
Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce Aleksander Mądry Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Każdy kto będzie
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Wstęp do komputerów kwantowych
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność
1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek
Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek. Grupa SU(N) Unitarne (zespolone) macierze N N można sparametryzować pzez N rzeczywistych parametrów. Ale detu =, unitarność: U U = narzucają dodatkowe warunki. Rozważmy
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 24, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek
odstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 4, 5.05.0 wykład: pokazy: ćwiczenia: Michał Karpiński Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Wykład 3 - przypomnienie argumenty
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Dynamika relatywistyczna
Dynamika relatywistyczna Fizyka I (B+C) Wykład XVIII: Energia relatywistyczna Transformacja Lorenza energii i pędu Masa niezmiennicza Energia relatywistyczna Dla ruchu ciała pod wpływem stałej siły otrzymaliśmy:
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Równanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Komputery Kwantowe. Sprawy organizacyjne Literatura Plan. Komputery Kwantowe. Ravindra W. Chhajlany. 27 listopada 2006
Sprawy organizacyjne Literatura Plan Ravindra W. Chhajlany 27 listopada 2006 Ogólne Sprawy organizacyjne Literatura Plan Współrzędne: Pokój 207, Zakład Elektroniki Kwantowej. Telefon: (0-61)-8295005 Email:
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Wykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (017) Wykład 6 Długoletnie błądzenie w ciemnościach w poszukiwaniu prawdy odczuwanej, lecz nieuchwytnej,
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Rozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Praca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
V. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski
V. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski 1 1 Wprowadzenie Wykład ten poświęcony jest dokładniejszemu omówieniu własności kwantowych bramek logicznych (kwantowych operacji logicznych). Podstawowymi
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Informatyka kwantowa. Zaproszenie do fizyki. Zakład Optyki Nieliniowej. wykład z cyklu. Ryszard Tanaś. mailto:tanas@kielich.amu.edu.
Zakład Optyki Nieliniowej http://zon8.physd.amu.edu.pl 1/35 Informatyka kwantowa wykład z cyklu Zaproszenie do fizyki Ryszard Tanaś Umultowska 85, 61-614 Poznań mailto:tanas@kielich.amu.edu.pl Spis treści
Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej
3.10.2004 24. (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego 24.1.1 Założenia wstępne
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki
Splątanie a przesyłanie informacji
Splątanie a przesyłanie informacji Jarosław A. Miszczak 21 marca 2003 roku Plan referatu Stany splątane Co to jest splątanie? Gęste kodowanie Teleportacja Przeprowadzone eksperymenty Możliwości wykorzystania
; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
1 Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych
Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych 2. Wektory. 2.. Wektor jako n ka liczb W fizyce mamy do czynienia z pojęciami lub obiektami o różnym charakterze. Są np. wielkości,
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Algorytm Grovera. Kwantowe przeszukiwanie zbiorów. Robert Nowotniak
Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka 13 listopada 2007 Plan wystapienia 1 Informatyka Kwantowa podstawy 2 Opis problemu (przeszukiwanie zbioru) 3 Intuicyjna
Klasyczna teoria informacji
Klasyczna teoria informacji. Mamy monetę dającą wyniki z prawdopodobieństwami (, 3 ) Znajdź liczbę 4 4 średnią pytań na wynik w optymalnym systemie identyfikacji potrzebną do zidentyfikowania wyniku losowania
Symetrie i prawa zachowania Wykład 6
Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29 Rola symetrii Największym
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.
Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach
Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki
Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
VI. KORELACJE KWANTOWE Janusz Adamowski
VI. KORELACJE KWANTOWE Janusz Adamowski 1 1 Korelacje klasyczne i kwantowe Zgodnie z teorią statystyki matematycznej współczynnik korelacji definiujemy jako cov(x, y) corr(x, y) =, (1) σ x σ y gdzie x
http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy