Fizyka dla wszystkich

Transkrypt

1 Fizyka dla wszystkich

2 Wykład popularny dla młodzieży szkół średnich Splątane kubity czyli rzecz o informatyce kwantowej Ryszard Tanaś 21 kwietnia 2004

3 Spis treści 1 Rozwój komputerów Początki Obwody scalone miniaturyzacja Prawo Moore a Zasada Landauera Od bitu do kubitu Superpozycja Sfera Blocha Algebra kubitów w pigułce Ewolucja kubitów Pomiar kwantowy

4 3.2 Reguła Feynmana Kwantowe, czyli nielogiczne bramki logiczne Zakaz klonowania Rejestry kwantowe Dwa kubity Kwantowy paralelizm Splątane kubity Stany Bella Kwantowe przesyłanie informacji Gęste kodowanie Teleportacja kwantowa

5 6 Czego się dowiedzieliśmy? 129

6 1 Rozwój komputerów 1.1 Początki ENIAC, luty 1946 (Electronic Numerical Integrator and Computer) lamp elektronowych 5000 dodawań/s 357 mnożeń/s 175 kw energii

7 1.2 Obwody scalone miniaturyzacja Komputery stają się coraz mniejsze szybsze tańsze

8 1.3 Prawo Moore a Tranzystorów/chip Itanium 2 Pentium 4 Pentium III Pentium II Pentium Lata Rozwój układów scalonych (Intel)

9 10 3 Rozmiary bramki [nm] Lata Rozmiary elementów obwodu scalonego (SIA Roadmap 2000/2001)

10 Jak długo prawo Moore a będzie jeszcze obowiązywać?

11 Jak długo prawo Moore a będzie jeszcze obowiązywać? Obecna technologia to 90 nm = 0.09 µm Już obecnie na jedną bramkę logiczną potrzeba mniej niż 1000 elektronów.

12 Jak długo prawo Moore a będzie jeszcze obowiązywać? Obecna technologia to 90 nm = 0.09 µm Już obecnie na jedną bramkę logiczną potrzeba mniej niż 1000 elektronów. Czy istnieją fizyczne granice miniaturyzacji?

13 Jak długo prawo Moore a będzie jeszcze obowiązywać? Obecna technologia to 90 nm = 0.09 µm Już obecnie na jedną bramkę logiczną potrzeba mniej niż 1000 elektronów. Czy istnieją fizyczne granice miniaturyzacji? Przewiduje się, że około roku 2020 technologia zejdzie do rozmiarów, przy których niezbędne jest uwzględnienie praw fizyki obowiązujących w mikroświecie, czyli mechaniki kwantowej.

14 Earth Simulator marzec 2002, Yokohama 5120 procesorów, 0.15µm 500 MHz NEC 640 węzłów po 8 CPU 40 TFLOPS, tera = wysokość szafy 2m miniaturyzacja?

15 1.4 Zasada Landauera Rolf Landauer ( ) Wymazanie jednego bitu informacji wymaga straty energii (wydzielenia ciepła) o wartości co najmniej kt ln 2 Informacja jest wielkością fizyczną!

16 2 Od bitu do kubitu 2.1 Superpozycja Klasyczny bit może przyjmować tylko dwie wartości {0, 1} ({orzeł,reszka}, {TAK,NIE}).

17 2 Od bitu do kubitu 2.1 Superpozycja Klasyczny bit może przyjmować tylko dwie wartości {0, 1} ({orzeł,reszka}, {TAK,NIE}). Układ fizyczny reprezentujący bit znajduje się w jednym z dwóch możliwych stanów: albo w stanie 0 (orzeł,tak) albo w stanie 1 (reszka,nie).

18 2 Od bitu do kubitu 2.1 Superpozycja Klasyczny bit może przyjmować tylko dwie wartości {0, 1} ({orzeł,reszka}, {TAK,NIE}). Układ fizyczny reprezentujący bit znajduje się w jednym z dwóch możliwych stanów: albo w stanie 0 (orzeł,tak) albo w stanie 1 (reszka,nie). Dowolną informację można zapisać w postaci ciągu bitów, np. bit =

19 George Boole ( ) pokazał, że logikę i matematykę można sprowadzić do ciągu odpowiedzi: TAK, NIE

20 Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest dowolny układ dwustanowy:

21 Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest dowolny układ dwustanowy: dwa poziomy atomu { g, e },

22 Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest dowolny układ dwustanowy: dwa poziomy atomu { g, e }, spin elektronu {, },

23 Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest dowolny układ dwustanowy: dwa poziomy atomu { g, e }, spin elektronu {, }, foton o dwóch wzajemnie ortogonalnych stanach polaryzacji {, },

24 Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest dowolny układ dwustanowy: dwa poziomy atomu { g, e }, spin elektronu {, }, foton o dwóch wzajemnie ortogonalnych stanach polaryzacji {, }, itp.

25 Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest dowolny układ dwustanowy: dwa poziomy atomu { g, e }, spin elektronu {, }, foton o dwóch wzajemnie ortogonalnych stanach polaryzacji {, }, itp. Taki układ to qubit (quantum bit); po polsku kubit.

26 Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest dowolny układ dwustanowy: dwa poziomy atomu { g, e }, spin elektronu {, }, foton o dwóch wzajemnie ortogonalnych stanach polaryzacji {, }, itp. Taki układ to qubit (quantum bit); po polsku kubit. Dwa stany układu, które możemy nazwać 0 i 1, przez analogię do klasycznego bitu, {0, 1}, tworzą bazę standardową albo obliczeniową { 0, 1 }.

27 Kubit to jednak nie klasyczny bit, dla podkreślenia tego faktu stosujemy specjalny, wprowadzony przez Diraca, zapis dla określenia kubitu,?.

28 Kubit to jednak nie klasyczny bit, dla podkreślenia tego faktu stosujemy specjalny, wprowadzony przez Diraca, zapis dla określenia kubitu,?. Kubit, w przeciwieństwie do klasycznego bitu, może być dowolną superpozycją stanów bazowych! Ψ = A A 1 1

29 Kubit to jednak nie klasyczny bit, dla podkreślenia tego faktu stosujemy specjalny, wprowadzony przez Diraca, zapis dla określenia kubitu,?. Kubit, w przeciwieństwie do klasycznego bitu, może być dowolną superpozycją stanów bazowych! Ψ = A A 1 1 Kubit reprezentuje obydwa stany: stan 0 z amplitudą A 0 stan 1 z amplitudą A 1

30 Kubit to jednak nie klasyczny bit, dla podkreślenia tego faktu stosujemy specjalny, wprowadzony przez Diraca, zapis dla określenia kubitu,?. Kubit, w przeciwieństwie do klasycznego bitu, może być dowolną superpozycją stanów bazowych! Ψ = A A 1 1 Kubit reprezentuje obydwa stany: stan 0 z amplitudą A 0 stan 1 z amplitudą A 1 Pomiar w bazie { 0, 1 } daje: stan 0 z prawdopodobieństwem A 0 2 stan 1 z prawdopodobieństwem A 1 2

31 Polaryzator ustawiony pionowo przepuszcza światło spolaryzowane pionowo.

32 Polaryzator ustawiony poziomo zatrzymuje światło spolaryzowane pionowo.

33 Polaryzator ustawiony ukośnie przepuszcza światło spolaryzowane ukośnie. Skąd się wzięło światło spolaryzowane ukośnie?

34 Pada światło spolaryzowane ukośnie, polaryzator ustawiony pionowo przepuszcza światło spolaryzowane pionowo.

35 Polaryzacja ukośna jest superpozycją polaryzacji pionowej i poziomej. Polaryzator przepuszcza tylko składową pionową!

36 Ψ A ( ) A ( ) Polaryzacja fotonu: Ψ = A ( ) + A ( )

37 տ Ψ ր A (ր) A (տ) Baza ukośna: Ψ = A ( ) + A ( )

38 Ustawienie polaryzatora określa bazę pomiarową. Zmieniając ustawienie polaryzatora zmieniamy bazę.

39 Ustawienie polaryzatora określa bazę pomiarową. Zmieniając ustawienie polaryzatora zmieniamy bazę. Matematycznie wygląda to tak! = 1 2 ( + ) = 1 2 ( ) = 1 2 ( + ) = 1 2 ( ) A ( ) = 1 2 ( A ( ) + A ( ) ) A ( ) = 1 2 ( A ( ) A ( ) ) A ( ) = 1 2 ( A ( ) + A ( ) ) A ( ) = 1 2 ( A ( ) A ( ) )

40 2.2 Sfera Blocha Kubitem jest też spin połówkowy, który w stałym polu magnetycznym może ustawić się zgodnie z kierunkiem pola lub przeciwnie do tego kierunku. Mamy więc dwa stany i, które możemy też nazwać 0 i 1. Ewolucja takiego spinu to ruch jego końca po sferze o jednostkowym promieniu, zwanej sferą Blocha.

41 2.2 Sfera Blocha Kubitem jest też spin połówkowy, który w stałym polu magnetycznym może ustawić się zgodnie z kierunkiem pola lub przeciwnie do tego kierunku. Mamy więc dwa stany i, które możemy też nazwać 0 i 1. Ewolucja takiego spinu to ruch jego końca po sferze o jednostkowym promieniu, zwanej sferą Blocha. Ale nie tylko spin połówkowy, lecz dowolny kubit może graficznie być reprezentowany jako punkt na takiej sferze. Ewolucja kubitu to ruch punktu po sferze Blocha.

42 2.2 Sfera Blocha Kubitem jest też spin połówkowy, który w stałym polu magnetycznym może ustawić się zgodnie z kierunkiem pola lub przeciwnie do tego kierunku. Mamy więc dwa stany i, które możemy też nazwać 0 i 1. Ewolucja takiego spinu to ruch jego końca po sferze o jednostkowym promieniu, zwanej sferą Blocha. Ale nie tylko spin połówkowy, lecz dowolny kubit może graficznie być reprezentowany jako punkt na takiej sferze. Ewolucja kubitu to ruch punktu po sferze Blocha. A wygląda to tak...

43 0 z x y

44 z x y 1

45 z x y Ψ = 1 2 ( )

46 Ψ = 1 2 ( 0 1 ) z x y

47 z x y Ψ = 1 2 ( 0 + i 1 )

48 Ψ = 1 2 ( 0 i 1 ) z x y

49 Ψ = cos θ eiϕ sin θ 2 1 z x y

50 z x y Ψ = sin θ 2 0 eiϕ cos θ 2 1

51 Przyjęliśmy tutaj następującą konwencję dotyczącą kolorowania kubitów:

52 Przyjęliśmy tutaj następującą konwencję dotyczącą kolorowania kubitów: Każdy kubit (punkt na sferze) ma własny kolor

53 Przyjęliśmy tutaj następującą konwencję dotyczącą kolorowania kubitów: Każdy kubit (punkt na sferze) ma własny kolor Dwa ortogonalne kubity (punkty na antypodach) mają kolory dopełniające (ich zmieszanie daje kolor biały lub odcień szarości)

54 2.3 Algebra kubitów w pigułce Ψ = A A 1 1

55 2.3 Algebra kubitów w pigułce 0 A A 1 = Ψ Ψ = A A 1 1

56 2.3 Algebra kubitów w pigułce 0 A A 1 = Ψ Ψ = A A 1 1 Ψ Ψ = ( 0 A A 1)(A A 1 1 )

57 2.3 Algebra kubitów w pigułce 0 A A 1 = Ψ Ψ = A A 1 1 Ψ Ψ = ( 0 A A 1)(A A 1 1 ) = A 0A A 1A A 0A A 1A 0 1 0

58 2.3 Algebra kubitów w pigułce 0 A A 1 = Ψ Ψ = A A 1 1 Ψ Ψ = ( 0 A A 1)(A A 1 1 ) = A 0A A 1A A 0A A 1A = A A 1 2

59 2.3 Algebra kubitów w pigułce 0 A A 1 = Ψ Ψ = A A 1 1 Ψ Ψ = ( 0 A A 1)(A A 1 1 ) = A 0A A 1A A 0A A 1A = A A 1 2 = 1

60 2.3 Algebra kubitów w pigułce 0 A A 1 = Ψ Ψ = A A 1 1 Ψ Ψ = ( 0 A A 1)(A A 1 1 ) = A 0A A 1A A 0A A 1A = A A 1 2 = = 1 1 = = 1 0 = 0

61 A A 1 1 = Ψ

62 A A 1 1 = Ψ Ψ = 0 A A 1

63 A A 1 1 = Ψ Ψ = 0 A A 1 Ψ Ψ = (A A 1 1 )( 0 A A 1)

64 A A 1 1 = Ψ Ψ = 0 A A 1 Ψ Ψ = (A A 1 1 )( 0 A A 1) = A 0 A A 1 A A 0 A A 1A 0 1 0

65 A A 1 1 = Ψ Ψ = 0 A A 1 Ψ Ψ = (A A 1 1 )( 0 A A 1) = A 0 A A 1 A A 0 A A 1A = = = = 0

66 A A 1 1 = Ψ Ψ = 0 A A 1 Ψ Ψ = (A A 1 1 )( 0 A A 1) = A 0 A A 1 A A 0 A A 1A = = = = = = = = 0

67 A A 1 1 = Ψ Ψ = 0 A A 1 Ψ Ψ = (A A 1 1 )( 0 A A 1) = A 0 A A 1 A A 0 A A 1A = = = = = = = = = = = = 0

68 A A 1 1 = Ψ Ψ = 0 A A 1 Ψ Ψ = (A A 1 1 )( 0 A A 1) = A 0 A A 1 A A 0 A A 1A = = = = = = = = = = = = = = = = 0

69 3 Ewolucja kubitów 3.1 Pomiar kwantowy Kubit, Ψ(t) = A 0 (t) 0 + A 1 (t) 1, ewoluując w czasie reprezentuje jednocześnie obydwa stany bazy, 0 i 1.

70 3 Ewolucja kubitów 3.1 Pomiar kwantowy Kubit, Ψ(t) = A 0 (t) 0 + A 1 (t) 1, ewoluując w czasie reprezentuje jednocześnie obydwa stany bazy, 0 i 1. Pomiar kwantowy w bazie { 0, 1 } powoduje przejście kubitu do jednego ze stanów bazowych. Następuje, jak mówimy, redukcja stanu kwantowego.

71 3 Ewolucja kubitów 3.1 Pomiar kwantowy Kubit, Ψ(t) = A 0 (t) 0 + A 1 (t) 1, ewoluując w czasie reprezentuje jednocześnie obydwa stany bazy, 0 i 1. Pomiar kwantowy w bazie { 0, 1 } powoduje przejście kubitu do jednego ze stanów bazowych. Następuje, jak mówimy, redukcja stanu kwantowego. Pomiar M 0 = 0 0 : Ψ(t m ) 0, P 0 = A 0 (t m ) 2

72 3 Ewolucja kubitów 3.1 Pomiar kwantowy Kubit, Ψ(t) = A 0 (t) 0 + A 1 (t) 1, ewoluując w czasie reprezentuje jednocześnie obydwa stany bazy, 0 i 1. Pomiar kwantowy w bazie { 0, 1 } powoduje przejście kubitu do jednego ze stanów bazowych. Następuje, jak mówimy, redukcja stanu kwantowego. Pomiar M 0 = 0 0 : Ψ(t m ) 0, P 0 = A 0 (t m ) 2 Pomiar M 1 = 1 1 : Ψ(t m ) 1, P 1 = A 1 (t m ) 2

73 Foton w stanie...

74 przechodzi przez polaryzator ustawiony pionowo i pozostaje w stanie. Prawdopodobieństwo przejścia równe 1.

75 Foton w stanie...

76 nie przechodzi przez polaryzator ustawiony pionowo. Prawdopodobieństwo przejścia równe 0.

77 Ψ Foton w stanie Ψ = A ( ) + A ( )...

78 przechodzi przez polaryzator ustawiony pionowo i staje się fotonem w stanie z prawdopodobieństwem równym A ( ) 2.

79 Ψ Foton w stanie Ψ = A ( ) + A ( )...

80 przechodzi przez polaryzator ustawiony poziomo i staje się fotonem w stanie z prawdopodobieństwem równym A ( ) 2.

81 Ψ A ( ) A ( ) Baza prosta: Ψ = A ( ) + A ( )

82 Pomiar : Ψ, P ( ) = A ( ) 2

83 Pomiar : Ψ, P ( ) = A ( ) 2

84 տ Ψ ր A (ր) A (տ) Baza ukośna: Ψ = A ( ) + A ( )

85 տ Pomiar : Ψ, P ( ) = A ( ) 2

86 ր Pomiar : Ψ, P ( ) = A ( ) 2

87 Pomiar kwantowy zmienia stan kubitu!

88 Pomiar kwantowy zmienia stan kubitu! Taka zmiana jest nieodwracalna!

89 Pomiar kwantowy zmienia stan kubitu! Taka zmiana jest nieodwracalna! Pomiędzy pomiarami kubity mogą ewoluować w sposób odwracalny!

90 Pomiar kwantowy zmienia stan kubitu! Taka zmiana jest nieodwracalna! Pomiędzy pomiarami kubity mogą ewoluować w sposób odwracalny! Trochę o ewolucji odwracalnej...

91 3.2 Reguła Feynmana W mechanice kwantowej dodają się amplitudy a nie prawdopodobieństwa. Richard P. Feynman ( ) Tam na dole jest jeszcze dużo miejsca! W 1982 r. Feynman pokazał, że nie da się symulować efektywnie procesów kwantowych na komputerach klasycznych.

92 0

93 0 i 2 0

94 i

95 i

96 i

97 i i Płytka światłodzieląca tworzy superpozycje stanów!

98 1 50 % % 1 Foton padający drogą 0...

99 1 50 % % 1 z prawdopodobieństwem 50% zostanie zarejestrowany przez detektor 0...

100 1 50 % % 1 lub przez detektor 1 Pomiar niszczy superpozycję!

101 Interferometr Macha-Zehndera Dwie płytki, pomiaru dokonujemy po drugiej płytce.

102 Dodajemy amplitudy! Foton padający drogą 0 jest kubitem w stanie 0

103 Przejście przez pierwszą płytkę: 1 2

104 Zmiana fazy: e iθ 2

105 Przejście przez drugą płytkę: e iθ 2 1 2

106 Dodajemy druga drogę. Odbicie na pierwszej płytce: 1 2 eiθ 2 + i 2

107 I znowu odbicie: 1 2 eiθ 2 + i i 2 2 = 1 2 (eiθ 1)

108 Amplituda stanu 0 w detektorze 0 jest równa A 0 = 1 2 (eiθ 1)

109 Amplituda stanu 0 w detektorze 0 jest równa A 0 = 1 2 (eiθ 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 0 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 0 = (eiθ 1) = 1 (1 cos θ) 2

110 Amplituda stanu 0 w detektorze 0 jest równa A 0 = 1 2 (eiθ 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 0 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 0 = (eiθ 1) = 1 (1 cos θ) 2 Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe zero.

111 Amplituda stanu 0 w detektorze 0 jest równa A 0 = 1 2 (eiθ 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 0 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 0 = (eiθ 1) = 1 (1 cos θ) 2 Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe zero. Foton nigdy nie trafi do detektora 0!

112 Amplituda stanu 0 w detektorze 0 jest równa A 0 = 1 2 (eiθ 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 0 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 0 = (eiθ 1) = 1 (1 cos θ) 2 Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe zero. Foton nigdy nie trafi do detektora 0! Zmieniając fazę θ możemy dowolnie zmieniać prawdopodobieństwo.

113 Teraz detektor 1. Znowu, foton padający drogą 0

114 Przejście przez pierwszą płytkę: 1 2

115 Zmiana fazy: e iθ 2

116 Odbicie: e iθ 2 i 2

117 I druga droga. Odbicie: e iθ 2 i 2 + i 2

118 e iθ 2 i 2 + i 2 Przejście: 1 2 = i 2 (eiθ + 1)

119 Amplituda stanu 0 w detektorze 1 jest równa A 1 = i 2 (eiθ + 1)

120 Amplituda stanu 0 w detektorze 1 jest równa A 1 = i 2 (eiθ + 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 1 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 1 = i 2 2 (eiθ + 1) = 1 (1 + cos θ) 2

121 Amplituda stanu 0 w detektorze 1 jest równa A 1 = i 2 (eiθ + 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 1 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 1 = i 2 2 (eiθ + 1) = 1 (1 + cos θ) 2 Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe jeden. Foton zawsze trafi do detektora 1!

122 Amplituda stanu 0 w detektorze 1 jest równa A 1 = i 2 (eiθ + 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 1 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 1 = i 2 2 (eiθ + 1) = 1 (1 + cos θ) 2 Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe jeden. Foton zawsze trafi do detektora 1! Interferometr Macha-Zehndera działa jak bramka logiczna NOT.

123 Skoro cały interferometr to bramka logiczna NOT, to jedna płytka światłodzieląca to NOT! NOT NOT = NOT NOT NOT

124 Interferencja kwantowa pozwala uzyskać operacje logiczne niedostępne w informatyce klasycznej

125 Interferencja kwantowa pozwala uzyskać operacje logiczne niedostępne w informatyce klasycznej Czy takie nielogiczne bramki logiczne mogą się do czegoś przydać?

126 Interferencja kwantowa pozwala uzyskać operacje logiczne niedostępne w informatyce klasycznej Czy takie nielogiczne bramki logiczne mogą się do czegoś przydać? Okazuje się, że tak!

127 Kwantowa interferencja?!

128 3.3 Kwantowe, czyli nielogiczne bramki logiczne 0 NOT 1

129 1 NOT 0

130 a 0 + b 1 NOT a 1 + b 0

131 a 0 + b 1 θ a 0 + be iθ 1 Bramka fazowa

132 0 H 1 2 ( ) Bramka Hadamarda

133 1 H 1 2 ( 0 1 )

134 0 NOT 1+i i 2 1

135 1 NOT 1 i i 2 1

136 Ψ U Ψ Ogólnie

137 0 0 CNOT 0 0 Sterowane zaprzeczenie

138 0 1 CNOT 0 1

139 1 0 CNOT 1 1

140 1 1 CNOT 1 0

141 1 2 ( 0 1 ) 1 CNOT?? O tym za chwilę!

142 3.4 Zakaz klonowania X

143 3.4 Zakaz klonowania X Załóżmy, że istnieje maszyna klonująca kubity Ψ 0 U Ψ Ψ

144 3.4 Zakaz klonowania X Załóżmy, że istnieje maszyna klonująca kubity Ψ 0 U Ψ Ψ wtedy U 0 0 = 0 0 U 1 0 = 1 1

145 Ale U Ψ 0 = U(A A 1 1 ) 0

146 Ale U Ψ 0 = U(A A 1 1 ) 0 = A 0 U A 1 U 1 0

147 Ale U Ψ 0 = U(A A 1 1 ) 0 = A 0 U A 1 U 1 0 = A A 1 1 1

148 Ale U Ψ 0 = U(A A 1 1 ) 0 = A 0 U A 1 U 1 0 = A A Ψ Ψ

149 Ale U Ψ 0 = U(A A 1 1 ) 0 = A 0 U A 1 U 1 0 = A A Ψ Ψ = A A 0 A A 1 A A

150 Ale U Ψ 0 = U(A A 1 1 ) 0 = A 0 U A 1 U 1 0 = A A Ψ Ψ = A A 0 A A 1 A A Nieznany stan kwantowy nie może być sklonowany!

151 4 Rejestry kwantowe 4.1 Dwa kubity Cztery możliwe stany bazowe: = 00 = 0 = 01 = 1 = 10 = 2 = 11 = 3 Cztery liczby {0, 1, 2, 3}, każda w innym rejestrze.

152 Ale kubity mogą być w stanie superpozycji, i nasz dwukubitowy rejestr może wyglądać tak = 1 2 ( ) 1 2 ( )

153 Ale kubity mogą być w stanie superpozycji, i nasz dwukubitowy rejestr może wyglądać tak = 1 2 ( ) 1 2 ( ) = 1 2 ( )

154 Ale kubity mogą być w stanie superpozycji, i nasz dwukubitowy rejestr może wyglądać tak = 1 2 ( ) 1 2 ( ) = 1 2 = 1 2 ( ) ( )

155 Ale kubity mogą być w stanie superpozycji, i nasz dwukubitowy rejestr może wyglądać tak = 1 2 ( ) 1 2 ( ) = 1 2 = 1 2 ( ) ( ) Cztery liczby {0, 1, 2, 3} w jednym rejestrze! Wszystkie z jednakowymi amplitudami.

156 A może być tak = 1 2 ( 0 1 ) 1 2 ( )

157 A może być tak = 1 2 ( 0 1 ) 1 2 ( ) = 1 2 ( )

158 A może być tak = 1 2 ( 0 1 ) 1 2 ( ) = 1 2 = 1 2 ( ) ( )

159 A może być tak = 1 2 ( 0 1 ) 1 2 ( ) = 1 2 = 1 2 ( ) ( ) Cztery liczby {0, 1, 2, 3} w jednym rejestrze! Dwie amplitudy mają znaki ujemne!

160 4.2 Kwantowy paralelizm Klasycznie na przechowanie czterech liczb potrzebujemy czterech rejestrów dwubitowych każda liczba w innym rejestrze.

161 4.2 Kwantowy paralelizm Klasycznie na przechowanie czterech liczb potrzebujemy czterech rejestrów dwubitowych każda liczba w innym rejestrze. Gdybyśmy dysponowali rejestrem kwantowym złożonym z N kubitów, to moglibyśmy przechować w takim rejestrze 2 N liczb!

162 4.2 Kwantowy paralelizm Klasycznie na przechowanie czterech liczb potrzebujemy czterech rejestrów dwubitowych każda liczba w innym rejestrze. Gdybyśmy dysponowali rejestrem kwantowym złożonym z N kubitów, to moglibyśmy przechować w takim rejestrze 2 N liczb! Przy N = 300 liczba ta przekraczałaby liczbę atomów we wszechświecie!

163 4.2 Kwantowy paralelizm Klasycznie na przechowanie czterech liczb potrzebujemy czterech rejestrów dwubitowych każda liczba w innym rejestrze. Gdybyśmy dysponowali rejestrem kwantowym złożonym z N kubitów, to moglibyśmy przechować w takim rejestrze 2 N liczb! Przy N = 300 liczba ta przekraczałaby liczbę atomów we wszechświecie! Komputer kwantowy wykonuje operacje na całym rejestrze, czyli na wszyskich 2 N liczbach jednocześnie. Nazywa się to kwantowym paralelizmem.

164 4.3 Splątane kubity Przypuśćmy, że udało nam się przygotować rejestr dwukubitowy w stanie Ψ = 1 2 ( ) = 1 2 ( 1 2 )

165 4.3 Splątane kubity Przypuśćmy, że udało nam się przygotować rejestr dwukubitowy w stanie Ψ = 1 2 ( ) = 1 2 ( 1 2 ) Taki stan nie daje się zapisać w postaci iloczynu dwóch kubitów! Ψ (α 0 0 α 1 1 ) (β β 1 1 )

166 4.3 Splątane kubity Przypuśćmy, że udało nam się przygotować rejestr dwukubitowy w stanie Ψ = 1 2 ( ) = 1 2 ( 1 2 ) Taki stan nie daje się zapisać w postaci iloczynu dwóch kubitów! Ψ (α 0 0 α 1 1 ) (β β 1 1 ) =α 0 β α 0 β 1 01 α 1 β 0 10 α 1 β 1 11

167 4.3 Splątane kubity Przypuśćmy, że udało nam się przygotować rejestr dwukubitowy w stanie Ψ = 1 2 ( ) = 1 2 ( 1 2 ) Taki stan nie daje się zapisać w postaci iloczynu dwóch kubitów! Ψ (α 0 0 α 1 1 ) (β β 1 1 ) =α 0 β α 0 β 1 01 α 1 β 0 10 α 1 β 1 11 α 0 β 0 = 0 α 0 = 0 β 0 = 0

168 4.4 Stany Bella = 1 2 ( ) = Φ + = 1 2 ( ) = Ψ + = 1 2 ( ) = Ψ = 1 2 ( ) = Φ Splątane kubity tworzące stany Bella nie mają indywidualnych kolorów są białe w naszej konwencji (kolor biały można otrzymać na wiele sposobów

169 mieszając ze sobą kolory dopełniające). Stany Bella stanowią bazę dla dwóch kubitów.

170 Wyobraźmy sobie, że mamy dwa splątane kubity w stanie Bella Ψ = 1 2 ( ) (para EPR)

171 Przesyłamy jeden kubit do Alicji a drugi do Bolka

172 Alicja dokonuje pomiaru na swoim kubicie 0 0 : Ψ = 1 2 ( ) 01

173 Alicja dokonuje pomiaru na swoim kubicie 1 1 : Ψ = 1 2 ( ) 10

174 Alicja dokonuje pomiaru na swoim kubicie 1 1 : Ψ = 1 2 ( ) 10 Pomiar wykonany na kubicie Alicji zmienia stan kubitu Bolka!

175 Bolek wykonując pomiar na swoim kubicie otrzyma wynik przeciwny niż otrzymała Alicja, jakkolwiek daleko nie byłby oddalony od Alicji.

176 Bolek wykonując pomiar na swoim kubicie otrzyma wynik przeciwny niż otrzymała Alicja, jakkolwiek daleko nie byłby oddalony od Alicji. Po wykonaniu pomiaru lokalnego przez Alicję obydwa kubity przestały być splątane.

177 Bolek wykonując pomiar na swoim kubicie otrzyma wynik przeciwny niż otrzymała Alicja, jakkolwiek daleko nie byłby oddalony od Alicji. Po wykonaniu pomiaru lokalnego przez Alicję obydwa kubity przestały być splątane. Mechanika kwantowa jest nielokalna!

178 Bolek wykonując pomiar na swoim kubicie otrzyma wynik przeciwny niż otrzymała Alicja, jakkolwiek daleko nie byłby oddalony od Alicji. Po wykonaniu pomiaru lokalnego przez Alicję obydwa kubity przestały być splątane. Mechanika kwantowa jest nielokalna! Jak uzyskać stan splątany?

179 1 2 ( 0 1 ) 1 CNOT?? Bramka CNOT

180 1 2 ( 0 1 ) 1 CNOT } Ψ Bramka CNOT

181 Otrzymujemy stan splątany Ψ = 1 2 ( )

182 Otrzymujemy stan splątany Ψ = 1 2 ( ) Bramka Hadamarda H oraz bramka CN OT pozwalają przejść z bazy standardowej do bazy Bella.

183 Otrzymujemy stan splątany Ψ = 1 2 ( ) Bramka Hadamarda H oraz bramka CN OT pozwalają przejść z bazy standardowej do bazy Bella. Potrafimy wytwarzać stany splątane!

184 Otrzymujemy stan splątany Ψ = 1 2 ( ) Bramka Hadamarda H oraz bramka CN OT pozwalają przejść z bazy standardowej do bazy Bella. Potrafimy wytwarzać stany splątane! Po co nam stany splątane?

185 5 Kwantowe przesyłanie informacji 5.1 Gęste kodowanie Przypuśćmy, że Alicja chce przesłać Bolkowi dwa klasyczne bity informacji.

186 5 Kwantowe przesyłanie informacji 5.1 Gęste kodowanie Przypuśćmy, że Alicja chce przesłać Bolkowi dwa klasyczne bity informacji. Przesłanie dwóch bitów informacji to przesłanie jednej z czterech liczb {0, 1, 2, 3}.

187 5 Kwantowe przesyłanie informacji 5.1 Gęste kodowanie Przypuśćmy, że Alicja chce przesłać Bolkowi dwa klasyczne bity informacji. Przesłanie dwóch bitów informacji to przesłanie jednej z czterech liczb {0, 1, 2, 3}. Mając do dyspozycji kanał kwantowy może to zrobić przesyłając tylko jeden kubit.

188 5 Kwantowe przesyłanie informacji 5.1 Gęste kodowanie Przypuśćmy, że Alicja chce przesłać Bolkowi dwa klasyczne bity informacji. Przesłanie dwóch bitów informacji to przesłanie jednej z czterech liczb {0, 1, 2, 3}. Mając do dyspozycji kanał kwantowy może to zrobić przesyłając tylko jeden kubit. W jaki sposób?

189 Przygotowujemy dwa splątane kubity w jednym ze stanów Bella, np. Φ + = 1 2 ( )

190 Przesyłamy jeden kubit do Alicji a drugi do Bolka

191 Alicja koduje liczbę, którą chce przesłać dokonując operacji na swoim kubicie ( ) { I } 1 2 ( )

192 Alicja koduje liczbę, którą chce przesłać dokonując operacji na swoim kubicie ( ) { θ } 1 2 ( )

193 Alicja koduje liczbę, którą chce przesłać dokonując operacji na swoim kubicie ( ) { NOT } 1 2 ( )

194 Alicja koduje liczbę, którą chce przesłać dokonując operacji na swoim kubicie ( ) { NOT θ } 1 2 ( )

195 Alicja przesyła swój kubit do Bolka Ψ = 1 2 ( )

196 Bolek wykonuje operację CN OT na obydwu kubitach 1 2 ( ) 1 2 ( ) = 1 2 ( 0 1 ) 1

197 Bolek wykonuje operację Hadamarda H kubicie. na pierwszym 1 ( 0 1 ) 1 1 { 1 ( ) 1 ( ) } = 11

198 Pomiar obydwu kubitów daje wynik (11) 2 = 3, zgodnie z tym co zakodowala Alicja!

199 Pomiar obydwu kubitów daje wynik (11) 2 = 3, zgodnie z tym co zakodowala Alicja! Przesyłając jeden kubit można przesłać dwa bity klasycznej informacji!

200 Pomiar obydwu kubitów daje wynik (11) 2 = 3, zgodnie z tym co zakodowala Alicja! Przesyłając jeden kubit można przesłać dwa bity klasycznej informacji! Gęste kodowanie!

201 5.2 Teleportacja kwantowa Wiemy już, że mechanika kwantowa zabrania klonowania nieznanych stanów kwantowych.

202 5.2 Teleportacja kwantowa Wiemy już, że mechanika kwantowa zabrania klonowania nieznanych stanów kwantowych. Alicja ma nieznany kubit, którego nie może bezpośrednio przesłać do Bolka, ale może się z Bolkiem komunikować klasycznie, np. przez telefon.

203 5.2 Teleportacja kwantowa Wiemy już, że mechanika kwantowa zabrania klonowania nieznanych stanów kwantowych. Alicja ma nieznany kubit, którego nie może bezpośrednio przesłać do Bolka, ale może się z Bolkiem komunikować klasycznie, np. przez telefon. Czy można klasycznie przesłać informację pozwalającą Bolkowi odtworzyć kubit Alicji?

204 Przygotowujemy dwa splątane kubity w jednym ze stanów Bella, np. Φ + = 1 2 ( )

205 Przesyłamy jeden kubit do Alicji a drugi do Bolka

206 Nieznany kubit φ zostaje dołączony do należącego do Alicji kubitu ze splątanej pary. φ Φ + = (A A 1 1 ) 1 2 ( ) = 1 2 { A0 ( ) + A 1 ( ) }

207 Alicja wykonuje operację CN OT będących w jej posiadaniu na obydwu kubitach 1 { A0 ( ) + A 1 ( ) } { A0 ( ) + A 1 ( ) }

208 Alicja wykonuje operację H na pierwszym kubicie. 1 { A0 ( ) + A 1 ( ) } { 00 (A0 0 + A 1 1 ) + 01 (A A 1 0 ) + 10 (A 0 0 A 1 1 ) + 11 (A 0 1 A 1 0 ) }

209 Alicja wykonuje pomiar na obydwu kubitach otrzymując, np. (11) 2 = 3 1 { 00 (A0 0 + A 1 1 ) + 01 (A A 1 0 ) (A 0 0 A 1 1 ) + 11 (A 0 1 A 1 0 ) } 11 (A 0 1 A 1 0 )

210 (11) Alicja przekazuje Bolkowi otrzymany wynik, np. (11) 2 = 3, kanałem klasycznym 11 (A 0 1 A 1 0 )

211 Bolek, znając wynik Alicji, dokonuje odpowiedniej operacji ( N OT θ ) na własnym kubicie odtwarzając kubit Alicji 11 (A 0 1 A 1 0 ) 11 (A A 1 1 ) = 11 φ

212 Bolek, znając wynik Alicji, dokonuje odpowiedniej operacji ( N OT θ ) na własnym kubicie odtwarzając kubit Alicji 11 (A 0 1 A 1 0 ) 11 (A A 1 1 ) = 11 φ Teleportacja kwantowa!

213 Anton Zeilinger W 1997 roku, wspólnie ze swoimi współpracownikami, pokazał eksperymentalnie, że teleportacja kubitów jest możliwa.

214 6 Czego się dowiedzieliśmy? Informacja kwantowa jest reprezentowana przez kubity Kubity mogą być w stanie superpozycji Kubity mogą być splątane Kubitów nie można klonować Kubity można teleportować Pomiar kwantowy to ewolucja nieodwracalna Bramki kwantowe to ewolucja odwracalna Na naszych oczach powstaje informatyka kwantowa!

215 6 Czego się dowiedzieliśmy? Informacja kwantowa jest reprezentowana przez kubity Kubity mogą być w stanie superpozycji Kubity mogą być splątane Kubitów nie można klonować Kubity można teleportować Pomiar kwantowy to ewolucja nieodwracalna Bramki kwantowe to ewolucja odwracalna Na naszych oczach powstaje informatyka kwantowa!

216 6 Czego się dowiedzieliśmy? Informacja kwantowa jest reprezentowana przez kubity Kubity mogą być w stanie superpozycji Kubity mogą być splątane Kubitów nie można klonować Kubity można teleportować Pomiar kwantowy to ewolucja nieodwracalna Bramki kwantowe to ewolucja odwracalna Na naszych oczach powstaje informatyka kwantowa!

217 6 Czego się dowiedzieliśmy? Informacja kwantowa jest reprezentowana przez kubity Kubity mogą być w stanie superpozycji Kubity mogą być splątane Kubitów nie można klonować Kubity można teleportować Pomiar kwantowy to ewolucja nieodwracalna Bramki kwantowe to ewolucja odwracalna Na naszych oczach powstaje informatyka kwantowa!

218 6 Czego się dowiedzieliśmy? Informacja kwantowa jest reprezentowana przez kubity Kubity mogą być w stanie superpozycji Kubity mogą być splątane Kubitów nie można klonować Kubity można teleportować Pomiar kwantowy to ewolucja nieodwracalna Bramki kwantowe to ewolucja odwracalna Na naszych oczach powstaje informatyka kwantowa!

219 6 Czego się dowiedzieliśmy? Informacja kwantowa jest reprezentowana przez kubity Kubity mogą być w stanie superpozycji Kubity mogą być splątane Kubitów nie można klonować Kubity można teleportować Pomiar kwantowy to ewolucja nieodwracalna Bramki kwantowe to ewolucja odwracalna Na naszych oczach powstaje informatyka kwantowa!

220 6 Czego się dowiedzieliśmy? Informacja kwantowa jest reprezentowana przez kubity Kubity mogą być w stanie superpozycji Kubity mogą być splątane Kubitów nie można klonować Kubity można teleportować Pomiar kwantowy to ewolucja nieodwracalna Bramki kwantowe to ewolucja odwracalna Na naszych oczach powstaje informatyka kwantowa!

221 6 Czego się dowiedzieliśmy? Informacja kwantowa jest reprezentowana przez kubity Kubity mogą być w stanie superpozycji Kubity mogą być splątane Kubitów nie można klonować Kubity można teleportować Pomiar kwantowy to ewolucja nieodwracalna Bramki kwantowe to ewolucja odwracalna Na naszych oczach powstaje informatyka kwantowa!

222 Więcej informacji:

223 Więcej informacji: Powodzenia!