Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6
|
|
|
- Teodor Zając
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 1/15
2 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Znajomość funkcji falowej cząstki o masie m znajdującej się w polu siły F( r,t) = V( r,t)powinnanamdaćmożliwiedokładny,na tyle na ile pozwalają na to relacje nieoznaczoności, Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 2/15
3 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Znajomość funkcji falowej cząstki o masie m znajdującej się w polu siły F( r,t) = V( r,t)powinnanamdaćmożliwiedokładny,na tyle na ile pozwalają na to relacje nieoznaczoności, opis jej ruchu. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 2/15
4 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Znajomość funkcji falowej cząstki o masie m znajdującej się w polu siły F( r,t) = V( r,t)powinnanamdaćmożliwiedokładny,na tyle na ile pozwalają na to relacje nieoznaczoności, opis jej ruchu. Funkcja falowa ψ( r, t) jest rozwiązaniem równania falowego Schrödingera i ψ( r,t) t = 2 2m 2 ψ( r,t)+v( r,t)ψ( r,t). Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 2/15
5 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Znajomość funkcji falowej cząstki o masie m znajdującej się w polu siły F( r,t) = V( r,t)powinnanamdaćmożliwiedokładny,na tyle na ile pozwalają na to relacje nieoznaczoności, opis jej ruchu. Funkcja falowa ψ( r, t) jest rozwiązaniem równania falowego Schrödingera i ψ( r,t) t = 2 2m 2 ψ( r,t)+v( r,t)ψ( r,t). Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 2/15
6 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat I. Zmienne dynamiczne opisujące ruch cząstki reprezentujemy przez operatory liniowe działające w przestrzeni Hilberta H wszystkich możliwych stanów kwantowych cząstki. Np.operatorpędu i,albooperatorpołożenia r. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 3/15
7 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat I. Zmienne dynamiczne opisujące ruch cząstki reprezentujemy przez operatory liniowe działające w przestrzeni Hilberta H wszystkich możliwych stanów kwantowych cząstki. Np.operatorpędu i,albooperatorpołożenia r. Rozważmy równanie własne operatora liniowego Ω reprezentującego pewną zmienną dynamiczną Ω µ =ω µ µ, gdzie µ jest pewną(jedną lub więcej) liczbą kwantową, od której zależywartośćwłasnaω µ. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 3/15
8 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat I. Zmienne dynamiczne opisujące ruch cząstki reprezentujemy przez operatory liniowe działające w przestrzeni Hilberta H wszystkich możliwych stanów kwantowych cząstki. Np.operatorpędu i,albooperatorpołożenia r. Rozważmy równanie własne operatora liniowego Ω reprezentującego pewną zmienną dynamiczną Ω µ =ω µ µ, gdzie µ jest pewną(jedną lub więcej) liczbą kwantową, od której zależywartośćwłasnaω µ. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 3/15
9 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat II. W wyniku dokładnego pomiaru zmiennej dynamicznej reprezentowanej przez operator Ω możemy otrzymać tylko jedną z jegowartościwłasnychω µ. Jeżeliwartośćwłasnaω µ podlegapomiarowi,tomusibyćona liczbą rzeczywistą, co implikuje, że operator Ω reprezentujący zmienną dynamiczną musi być hermitowski. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 4/15
10 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat II. W wyniku dokładnego pomiaru zmiennej dynamicznej reprezentowanej przez operator Ω możemy otrzymać tylko jedną z jegowartościwłasnychω µ. Jeżeliwartośćwłasnaω µ podlegapomiarowi,tomusibyćona liczbą rzeczywistą, co implikuje, że operator Ω reprezentujący zmienną dynamiczną musi być hermitowski. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 4/15
11 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii identycznych, niezależnych, nie nakładających się obszarów przestrzeni. Każdy obszar jest dostatecznie duży, aby były w nim widoczne wszystkie fizycznie interesujące własności ruchu cząstki. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 5/15
12 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii identycznych, niezależnych, nie nakładających się obszarów przestrzeni. Każdy obszar jest dostatecznie duży, aby były w nim widoczne wszystkie fizycznie interesujące własności ruchu cząstki. W każdym obszarze rozpatrywanego układu funkcja falowa ψ( r, t) bedąca rozwiązaniem równania Schrödingera daje pełny kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energii potencjalnej V( r,t). Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 5/15
13 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii identycznych, niezależnych, nie nakładających się obszarów przestrzeni. Każdy obszar jest dostatecznie duży, aby były w nim widoczne wszystkie fizycznie interesujące własności ruchu cząstki. W każdym obszarze rozpatrywanego układu funkcja falowa ψ( r, t) bedąca rozwiązaniem równania Schrödingera daje pełny kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energii potencjalnej V( r, t). Położenie cząstki mierzymy względem umownego środka danego obszaru. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 5/15
14 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii identycznych, niezależnych, nie nakładających się obszarów przestrzeni. Każdy obszar jest dostatecznie duży, aby były w nim widoczne wszystkie fizycznie interesujące własności ruchu cząstki. W każdym obszarze rozpatrywanego układu funkcja falowa ψ( r, t) bedąca rozwiązaniem równania Schrödingera daje pełny kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energii potencjalnej V( r, t). Położenie cząstki mierzymy względem umownego środka danego obszaru. Alternatywnie możemy rozpatrywać wiele niezależnych powtórzeń tego samego ruchu w jednym obszarze przestrzeni, mierząc czas zawsze od pewnej konkretnej chwili początkowej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 5/15
15 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii identycznych, niezależnych, nie nakładających się obszarów przestrzeni. Każdy obszar jest dostatecznie duży, aby były w nim widoczne wszystkie fizycznie interesujące własności ruchu cząstki. W każdym obszarze rozpatrywanego układu funkcja falowa ψ( r, t) bedąca rozwiązaniem równania Schrödingera daje pełny kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energii potencjalnej V( r, t). Położenie cząstki mierzymy względem umownego środka danego obszaru. Alternatywnie możemy rozpatrywać wiele niezależnych powtórzeń tego samego ruchu w jednym obszarze przestrzeni, mierząc czas zawsze od pewnej konkretnej chwili początkowej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 5/15
16 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Taki ruch będzie opisywany przez funkcję falową ψ( r, t). Zakładamy, że zbiór wszystkich wektorów własnych{ µ } operatora liniowego Ω tworzy układ ortogonalny zupełny w przestrzeni Hilberta H. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 6/15
17 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Taki ruch będzie opisywany przez funkcję falową ψ( r, t). Zakładamy, że zbiór wszystkich wektorów własnych{ µ } operatora liniowego Ω tworzy układ ortogonalny zupełny w przestrzeni Hilberta H. Każdystan ψ HmożnarozwinąćwszeregFouriera względem{ µ }. ψ = µ c µ µ, Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 6/15
18 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Taki ruch będzie opisywany przez funkcję falową ψ( r, t). Zakładamy, że zbiór wszystkich wektorów własnych{ µ } operatora liniowego Ω tworzy układ ortogonalny zupełny w przestrzeni Hilberta H. Każdystan ψ HmożnarozwinąćwszeregFouriera względem{ µ }. ψ = µ c µ µ, gdzie oznacza sumowanie po dyskretnym i całkowanie po µ ciągłym zakresie widma operatora Ω. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 6/15
19 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Taki ruch będzie opisywany przez funkcję falową ψ( r, t). Zakładamy, że zbiór wszystkich wektorów własnych{ µ } operatora liniowego Ω tworzy układ ortogonalny zupełny w przestrzeni Hilberta H. Każdystan ψ HmożnarozwinąćwszeregFouriera względem{ µ }. ψ = µ c µ µ, gdzie oznacza sumowanie po dyskretnym i całkowanie po µ ciągłym zakresie widma operatora Ω. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 6/15
20 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat III. Liczba pomiarów zmiennej dynamicznej reprezentowanejprzezoperatorliniowy Ω,któredadząwynikω µ jestproporcjonalnado c µ 2. Postulat ten został zaproponowany przez Maxa Borna ( ). Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 7/15
21 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat III. Liczba pomiarów zmiennej dynamicznej reprezentowanejprzezoperatorliniowy Ω,któredadząwynikω µ jestproporcjonalnado c µ 2. Postulat ten został zaproponowany przez Maxa Borna ( ). Pozwala on powiązać każdą zmienną dynamiczną z pewnym rozkładem prawdopodobieństwa. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 7/15
22 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat III. Liczba pomiarów zmiennej dynamicznej reprezentowanejprzezoperatorliniowy Ω,któredadząwynikω µ jestproporcjonalnado c µ 2. Postulat ten został zaproponowany przez Maxa Borna ( ). Pozwala on powiązać każdą zmienną dynamiczną z pewnym rozkładem prawdopodobieństwa. Wynik pomiaru zmiennej dynamicznej reprezentowanej przez Ω jest pewny tylko wtedy, gdy stan kwantowy cząstki jest stanem własnym. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 7/15
23 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat III. Liczba pomiarów zmiennej dynamicznej reprezentowanejprzezoperatorliniowy Ω,któredadząwynikω µ jestproporcjonalnado c µ 2. Postulat ten został zaproponowany przez Maxa Borna ( ). Pozwala on powiązać każdą zmienną dynamiczną z pewnym rozkładem prawdopodobieństwa. Wynik pomiaru zmiennej dynamicznej reprezentowanej przez Ω jest pewny tylko wtedy, gdy stan kwantowy cząstki jest stanem własnym. W pozostałych sytuacjach możemy mówić tylko o prawdopodobieństwie, z którym możemy uzyskać jakąś określoną wartość zmiennej dynamicznej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 7/15
24 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Postulat III. Liczba pomiarów zmiennej dynamicznej reprezentowanejprzezoperatorliniowy Ω,któredadząwynikω µ jestproporcjonalnado c µ 2. Postulat ten został zaproponowany przez Maxa Borna ( ). Pozwala on powiązać każdą zmienną dynamiczną z pewnym rozkładem prawdopodobieństwa. Wynik pomiaru zmiennej dynamicznej reprezentowanej przez Ω jest pewny tylko wtedy, gdy stan kwantowy cząstki jest stanem własnym. W pozostałych sytuacjach możemy mówić tylko o prawdopodobieństwie, z którym możemy uzyskać jakąś określoną wartość zmiennej dynamicznej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 7/15
25 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Jeśli operatory Ω i Γ reprezentujące zmienne dynamiczne komutują, to jak pokazaliśmy wcześniej, mają wspólne wektory własne, a więc reprezentowane przez nie zmienne są jednocześnie mierzalne. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 8/15
26 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Jeśli operatory Ω i Γ reprezentujące zmienne dynamiczne komutują, to jak pokazaliśmy wcześniej, mają wspólne wektory własne, a więc reprezentowane przez nie zmienne są jednocześnie mierzalne. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 8/15
27 Operator całkowitej energii Przeanalizujmy znaczenie postulatów interpretacyjnych mechaniki kwantowej na przykładzie operatora całkowitej energii cząstki. Załóżmy że energia potencjalna nie zależy jawnie od czasu, V ( r,t) V ( r), Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 9/15
28 Operator całkowitej energii Przeanalizujmy znaczenie postulatów interpretacyjnych mechaniki kwantowej na przykładzie operatora całkowitej energii cząstki. Załóżmy że energia potencjalna nie zależy jawnie od czasu, V ( r,t) V ( r),tzn.,żeoperatorhamiltonamapostać H = 2 2m 2 +V ( r). Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 9/15
29 Operator całkowitej energii Przeanalizujmy znaczenie postulatów interpretacyjnych mechaniki kwantowej na przykładzie operatora całkowitej energii cząstki. Załóżmy że energia potencjalna nie zależy jawnie od czasu, V ( r,t) V ( r),tzn.,żeoperatorhamiltonamapostać H = 2 2m 2 +V ( r). Wtedy równanie Schrödingera możemy sprowadzić do równania własnego operatora Hamiltona Hu E ( r) =Eu E ( r), Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 9/15
30 Operator całkowitej energii Przeanalizujmy znaczenie postulatów interpretacyjnych mechaniki kwantowej na przykładzie operatora całkowitej energii cząstki. Załóżmy że energia potencjalna nie zależy jawnie od czasu, V ( r,t) V ( r),tzn.,żeoperatorhamiltonamapostać H = 2 2m 2 +V ( r). Wtedy równanie Schrödingera możemy sprowadzić do równania własnego operatora Hamiltona Hu E ( r) =Eu E ( r), Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 9/15
31 Operator całkowitej energii które w notacji Diraca można zapisać w postaci H E =E E. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 10/15
32 Funkcje własne energii Funkcje własne energii można podzielić na dwie klasy: funkcje dobrze zlokalizowane odpowiadające dyskretnym wartościom własnym energii funkcje niezlokalizowane odpowiadające ciągłym wartościom własnym energii. Połączmy oba przypadki w jeden. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 11/15
33 Funkcje własne energii Funkcje własne energii można podzielić na dwie klasy: funkcje dobrze zlokalizowane odpowiadające dyskretnym wartościom własnym energii funkcje niezlokalizowane odpowiadające ciągłym wartościom własnym energii. Połączmy oba przypadki w jeden. Zamknijmy cząstkę w sześciennym pudełku o dużym, ale skończonym rozmiarze L i sztywnych ścianach. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 11/15
34 Funkcje własne energii Funkcje własne energii można podzielić na dwie klasy: funkcje dobrze zlokalizowane odpowiadające dyskretnym wartościom własnym energii funkcje niezlokalizowane odpowiadające ciągłym wartościom własnym energii. Połączmy oba przypadki w jeden. Zamknijmy cząstkę w sześciennym pudełku o dużym, ale skończonym rozmiarze L i sztywnych ścianach. Takie ściany odpowiadają nieskończonemu skokowi energii potencjalnej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 11/15
35 Funkcje własne energii Funkcje własne energii można podzielić na dwie klasy: funkcje dobrze zlokalizowane odpowiadające dyskretnym wartościom własnym energii funkcje niezlokalizowane odpowiadające ciągłym wartościom własnym energii. Połączmy oba przypadki w jeden. Zamknijmy cząstkę w sześciennym pudełku o dużym, ale skończonym rozmiarze L i sztywnych ścianach. Takie ściany odpowiadają nieskończonemu skokowi energii potencjalnej. Wewnątrz pudełka energia może przyjmować wartości dyskretne, a na granicach funkcja falowa musi znikać. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 11/15
36 Funkcje własne energii Funkcje własne energii można podzielić na dwie klasy: funkcje dobrze zlokalizowane odpowiadające dyskretnym wartościom własnym energii funkcje niezlokalizowane odpowiadające ciągłym wartościom własnym energii. Połączmy oba przypadki w jeden. Zamknijmy cząstkę w sześciennym pudełku o dużym, ale skończonym rozmiarze L i sztywnych ścianach. Takie ściany odpowiadają nieskończonemu skokowi energii potencjalnej. Wewnątrz pudełka energia może przyjmować wartości dyskretne, a na granicach funkcja falowa musi znikać. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 11/15
37 Periodyczne warunki brzegowe Alternatywnie można założyć, że funkcja falowa i(dla wygody) składowa normalna jej gradientu przyjmują dokładnie takie same wartości na przeciwległych ścianach pudełka. Są to tzw. periodyczne warunki brzegowe, które na skutek znoszenia się wkładów do obserwabli fizycznych pochodzących od przeciwległych ścian mają taki sam skutek co założenie sztywnych ścian. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 12/15
38 Periodyczne warunki brzegowe Alternatywnie można założyć, że funkcja falowa i(dla wygody) składowa normalna jej gradientu przyjmują dokładnie takie same wartości na przeciwległych ścianach pudełka. Są to tzw. periodyczne warunki brzegowe, które na skutek znoszenia się wkładów do obserwabli fizycznych pochodzących od przeciwległych ścian mają taki sam skutek co założenie sztywnych ścian. Wkłady do obserwabli fizycznych pochodzące od przeciwległych ścian znoszą się, gdyż wektory powierzchni przeciwległych ścian są skierowane w przeciwnych kierunkach, co przy jednakowych wartościach funkcji falowej i jej gradientu powoduje kasowanie się odpowiednich wkładów do całki powierzchniowej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 12/15
39 Periodyczne warunki brzegowe Alternatywnie można założyć, że funkcja falowa i(dla wygody) składowa normalna jej gradientu przyjmują dokładnie takie same wartości na przeciwległych ścianach pudełka. Są to tzw. periodyczne warunki brzegowe, które na skutek znoszenia się wkładów do obserwabli fizycznych pochodzących od przeciwległych ścian mają taki sam skutek co założenie sztywnych ścian. Wkłady do obserwabli fizycznych pochodzące od przeciwległych ścian znoszą się, gdyż wektory powierzchni przeciwległych ścian są skierowane w przeciwnych kierunkach, co przy jednakowych wartościach funkcji falowej i jej gradientu powoduje kasowanie się odpowiednich wkładów do całki powierzchniowej. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 12/15
40 Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
41 Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie H = Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
42 Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie H = ( ) p 2 +V ( r) = 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
43 Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie H = ( ) p 2 +V ( r) = 2m ( ) p 2 +(V ( r)) 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
44 Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie H = = ( ) p 2 +V ( r) = 2m ( ) p 2 +(V ( r)) 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
45 Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie ( ) p H 2 ( ) p 2 = +V ( r) = +(V ( r)) 2m 2m = 1 ( p ) 2 +V ( r) = 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
46 Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie ( ) p H 2 ( ) p 2 = +V ( r) = +(V ( r)) 2m 2m = 1 ( p ) 2 +V ( r) =H 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
47 Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie ( ) p H 2 ( ) p 2 = +V ( r) = +(V ( r)) 2m 2m = 1 ( p ) 2 +V ( r) =H p = p i V ( r) =V ( r). 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
48 Hermitowskość operatora całkowitej energii Operator Hamiltona H = p2 +V ( r) 2m jest operatorem hermitowskim, gdyż operator pędu p = i jest operatorem hermitowskim, a energia potencjalna jest rzeczywista. Istotnie ( ) p H 2 ( ) p 2 = +V ( r) = +(V ( r)) 2m 2m = 1 ( p ) 2 +V ( r) =H p = p i V ( r) =V ( r). 2m Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 13/15
49 Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
50 Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
51 Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = ϕ (x) ( i d ) ψ(x)dx = dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
52 Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i ϕ (x) dψ(x) dx dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
53 Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i ϕ (x) dψ(x) dx dx = Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
54 Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
55 Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i = ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
56 Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i = i ϕ (x)ψ(x) + + ( i dϕ(x) dx ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx ) ψ(x)dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
57 Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i = i ϕ (x)ψ(x) + + = ( i dϕ(x) dx ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx ) ψ(x)dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
58 Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i = i ϕ (x)ψ(x) + + = 0+(p x ϕ ψ), ( i dϕ(x) dx ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx ) ψ(x)dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
59 Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i = i ϕ (x)ψ(x) + + = 0+(p x ϕ ψ), dla dowolnych funkcji ϕ(x) i ψ(x), cnd. ( i dϕ(x) dx ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx ) ψ(x)dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
60 Hermitowskość operatora pędu Udowodnimyhermitowskośćskładowejp x operatorapędu. (ϕ p x ψ) = = i ϕ (x) ( i d ) dx ψ(x)dx = i d dx (ϕ (x)ψ(x))dx +i = i ϕ (x)ψ(x) + + = 0+(p x ϕ ψ), dla dowolnych funkcji ϕ(x) i ψ(x), cnd. ( i dϕ(x) dx ϕ (x) dψ(x) dx dx dϕ (x) ψ(x)dx dx ) ψ(x)dx Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 14/15
61 Hermitowskość operatora pędu i energii Zadanie.Udowodnićhermitowskośćoperatorapędu p = i w trzech wymiarach. Hermitowskość operatora pędu i energii oznacza, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi, Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 15/15
62 Hermitowskość operatora pędu i energii Zadanie.Udowodnićhermitowskośćoperatorapędu p = i w trzech wymiarach. Hermitowskość operatora pędu i energii oznacza, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi, a więc operatory te reprezentują mierzalne wielkości fizyczne. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 15/15
63 Hermitowskość operatora pędu i energii Zadanie.Udowodnićhermitowskośćoperatorapędu p = i w trzech wymiarach. Hermitowskość operatora pędu i energii oznacza, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi, a więc operatory te reprezentują mierzalne wielkości fizyczne. Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej 15/15
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Wstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan Wstęp do QFT (tym razem trochę równań ) Funkcje falowe a pola Lagranżjan revisited Kilka przykładów Podsumowanie Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Mechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Wstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Równanie Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 3 1 Równanie Schrödingera Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną. Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy
po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Mechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
Postulaty mechaniki kwantowej
3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".
Normalizacja funkcji falowej
Normalizacja funkcji falowej Postulaty mechaniki kwantowej Zadanie. Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Ncosαx) dla x [, a] Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:.
Wykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na
Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe
Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały
WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe
Zad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.
Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.
Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model
V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ
V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ 1 1 Postulaty mechaniki kwantowej Istota teorii kwantowej może być sformułowana za pomocą postulatów, których spełnienie postulujemy i których nie można wyprowadzić z żadnych
Faculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów
Nazwa i kod przedmiotu Kierunek studiów Mechanika kwantowa, NAN1B0051 Nanotechnologia Poziom studiów I stopnia - inżynierskie Typ przedmiotu obowiąkowy Forma studiów stacjonarne Sposób realizacji na uczelni
Wykład 13 Mechanika Kwantowa
Wykład 13 Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński mrow@if.pw.edu.pl Wydział Fizyki Politechnika Warszawska 25 maja 2016 Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 13 25 maja 2016 1 / 21 Wprowadzenie Sprawy organizacyjne
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie
MONIKA MUSIAŁ POSTULATY
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIAŁ POSTULATY Ćwiczenia Literatura Lucjan Piela, Idee chemii kwantowej, PWN, Warszawa 2003. Włodzimierz Kołos, Chemia kwantowa, PWN, Warszawa 1978. Alojzy Gołębiewski, Elementy
Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg
Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(
MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki
MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej
Równanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.
Równanie falowe Schrödingera h Ψ( x, t) + V( x, t) Ψ( x, t) W jednym wymiarze ( ) ( ) gdy V x, t = V x x Ψ = ih t Gdy V(x,t)=V =const cząstka swobodna, na którą nie działa siła Fala biegnąca Ψ s ( x, t)
(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym
3.10.2004 35. U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 131 Rozdział 35 U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 35.1 Niezmienniczość ze względu na W rozdziale 16 wspominaliśmy jedynie o podstawowych
Reprezentacje położeniowa i pędowa
3.10.2004 9. Reprezentacje położeniowa i pędowa 103 Rozdział 9 Reprezentacje położeniowa i pędowa 9.1 Reprezentacja położeniowa Reprezentacja położeniowa jest szczególnie uprzywilejowana i najczęściej
Równanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
gęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału
Fizyka 2 Wykład 4 1 Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału Niezależne od czasu równanie Schödingera ma postać: 2 d ( x)
Wykład I.2 1 Kłopoty z mechaniką klasyczną. 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1. Stan układu funkcja falowa ψ(x), ψ(x) 2 interpretacja
Wykład I.2 1 Kłopoty z mechaniką klasyczną 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1. Stan układu funkcja falowa ψ(x), ψ(x) 2 interpretacja probabilistyczna 2. Wielkości fizyczne operatory hermitowskie (obserwable)
Stara i nowa teoria kwantowa
Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż
1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia
1 Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia Piotr Szańkowski Ćwiczenia nr 3 : Podstawowy aparatu matematycznego mechaniki kwantowej I OPERATORY Operator to odwzorowanie  : V V, które działa na stan,
Analiza wektorowa. Teoria pola.
Analiza wektorowa. Teoria pola. Pole skalarne Pole wektorowe ϕ = ϕ(x, y, z) A = A x (x, y, z) i x + A y (x, y, z) i y + A z (x, y, z) i z Gradient grad ϕ = ϕ x i x + ϕ y i y + ϕ z i z Jeśli przemieścimy
Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, Funkcja falowa
Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, t ) Tutaj upraszczamy
Wykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Chemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 2010/2011: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.
1 Chemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 21/211: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny - interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest licza
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30
Zał. nr do ZW 33/01 WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Podstawy fizyki kwantowej Nazwa w języku angielskim Fundamental of Quantum Physics Kierunek studiów (jeśli
Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera Fale materii de Broglie a (rok 193) De Broglie zaproponował, że każdy
Zasada nieoznaczoności
3.10.2004 5. Zasada nieoznaczoności 63 Rozdział 5 Zasada nieoznaczoności 5.1 Formalna zasada nieoznaczoności 5.1.1 Średnie i dyspersje. Pojęcia wstępne Niech Â, ˆB oraz Ĉ będą operatorami hermitowskimi
II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym
II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym Jan Królikowski Fizyka IVBC 1 II.4.1 Ogólne własności wektora kwantowego momentu pędu Podane poniżej własności kwantowych wektorów
Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkow Hamiltona energia funkcja falowa h d d d + + m d d dz
3 Ewolucja układu w czasie, trajektorie kwantowe
3 Ewolucja układu w czasie, trajektorie kwantowe Pytanie: jak ewoluuje funkcja falowa stanu kwantowego ψ? W tym rozdzoale zajmiemy się ruchem cząstki w jednym wymiarze. 3.1 Trajektorie klasyczne Klasyczne
Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2
Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna
Podstawy fizyki wykład 2
D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, tom 5, PWN, Warszawa 2003. H. D. Young, R. A. Freedman, Sear s & Zemansky s University Physics with Modern Physics, Addison-Wesley Publishing Company,
Metody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
(U.6) Oscylator harmoniczny
3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 47 Rozdział 7 U.6 Oscylator harmoniczny 7. Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg W głównej części wykładu rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu kwantowo-mechanicznego
Postulaty mechaniki kwantowej
Wyk lad 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1 wymiar Postulat Stan czastki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(x, t) zależna od po lożenia czastki x oraz czasu t. Interpretacje fizyczna ma jedynie kwadrat modu lu
Mechanika Analityczna
Mechanika Analityczna Wykład 2 - Zasada prac przygotowanych i ogólne równanie dynamiki Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej 29 lutego 2016 Plan wykładu
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Fale materii paczki falowe o różnej szerokości Dwa gaussowskie rozkład amplitud fal armonicznc o różnc szerokościac σ p i różnc wartościac średnic pędu p. Części rzeczwista ReΨ i urojona mψ funkcji falowc
Wykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 4 Najpiękniejszą rzeczą, jakiej możemy doświadczyć jest oczarowanie tajemnicą.
Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.
1 Pytania egzaminacyjne: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny- interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest liczba wybijanych elektronów
1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga
. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej
Chemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki
dr ab. Wacław Makowski Cemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki 1. Kwantowanie. Atom wodoru 3. Atomy wieloelektronowe 4. Termy atomowe 5. Cząsteczki dwuatomowe 6. Hybrydyzacja 7. Orbitale zdelokalizowane
5. Ruch harmoniczny i równanie falowe
5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5.1. Mamy dwie nieważkie sprężyny o współczynnikach sprężystości, odpowiednio, k 1 i k 2. Wyznaczyć współczynnik sprężystości układu tych dwóch sprężyn w przypadku,
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.
1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu
Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)
Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności
1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH
1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH Ośrodki materialne charakteryzują dwa rodzaje różniących się zasadniczo od siebie wielkości fizycznych: globalne (ekstensywne) przypisane obszarowi przestrzeni fizycznej,
Co ma piekarz do matematyki?
Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska Dolnośląski Festiwal Nauki Wrzesień 2009 x x (x 1, x 2 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ). x
17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek
Rozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 3 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA 3.1 Wstęp Metoda ta umożliwia opis układu złożonego z wielu jonów i elektronów w stanie podstawowym. Hamiltonian układu
Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Zadania kwalifikacyjne na warsztaty "Zjawiska krytyczne"
Zadania kwalifikacyjne na warsztaty "Zjawiska krytyczne" Maciej Kolanowski 1 maja 018 Lista zadań już jest zamknięta. Rozwiązania proszę wysyłać na maila (do znalezienia na moim WWW profilu) lub telepatycznie.
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia, pierwszy poziom Sylabus modułu: Chemia kwantowa 021 Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): 1. Informacje ogólne koordynator modułu
(U.11) Obroty i moment pędu
3.10.2004 32. U.11) Obroty i moment pędu 96 Rozdział 32 U.11) Obroty i moment pędu 32.1 Wprowadzenie Obroty w przestrzeni R 3 są scharakteryzowane przez podanie osi obrotu, którą określa wektor jednostkowy
Kinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Numeryczne rozwiązanie równania Schrodingera
Numeryczne rozwiązanie równania Schrodingera Równanie ruchu dla cząstki o masie m (elektron- cząstka elementarna o masie ~9.1 10-31 kg) Mechanika klasyczna - mechanika kwantowa 1. Druga zasada dynamiki
Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera
Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Statystyki kwantowe. P. F. Góra
Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie
1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Część Pierwsza
1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Część Pierwsza Notatki Piotra Szańkowskiego SŁOWO WSTĘPNE Mechanika kwantowa, w przeciwieństwie do klasycznych teorii fizycznych, wydaję się być zagmatwana, nieintuicyjna
falowa natura materii
10 listopada 2016 1 Fale de Broglie a Dyfrakcja promieni X 1895 promieniowanie X dopiero w 1912 dowód na ich falowa naturę - to promieniowanie elektromagnetyczne zjawiska falowe: ugięcia, dyfrakcji - trudne:
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Notacja Diraca. Rozdział Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu
3.10.2004 7. Notacja Diraca 84 Rozdział 7 Notacja Diraca 7.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu Do tej pory posługiwaliśmy się postulatem, że stan układu fizycznego jest w mechanice kwantowej w pełni
Atom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu:
ATOM WODORU Atom wodoru Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: U = 4πε Opis kwantowy: wykorzystując zasadę odpowiedniości
Wykład 5 - całki ruchu zagadnienia n ciał i perturbacje ruchu keplerowskiego
Wykład 5 - całki ruchu zagadnienia n ciał i perturbacje ruchu keplerowskiego 20.03.2013 Układ n ciał przyciągających się siłami grawitacji Mamy n ciał przyciągających się siłami grawitacji. Masy ciał oznaczamy
Informacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Równanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
MECHANIKA STOSOWANA Cele kursu
MECHANIKA STOSOWANA Cele kursu Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 9 października 2014 Karol Kołodziej Mechanika stosowana 1/6 Cele kursu Podstawowe cele zaprezentowanego
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Paradoksy mechaniki kwantowej
Wykład XX Paradoksy mechaniki kwantowej Chociaż przewidywania mechaniki kwantowej są w doskonałej zgodności z eksperymentem, interpretacyjna strona teorii budzi poważne spory. Przebieg zjawisk w świecie
Prawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada
Fizyka 3.3 WYKŁAD II
Fizyka 3.3 WYKŁAD II Promieniowanie elektromagnetyczne Dualizm korpuskularno-falowy światła Fala elektromagnetyczna Strumień fotonów o energii E F : E F = hc λ c = 3 10 8 m/s h = 6. 63 10 34 J s Światło
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................