Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013"

Transkrypt

1 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

2 Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y x n y n = n i=1 x iy i R. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

3 Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = ( 1) = 2 3 = 1 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

4 Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = ( 1) = 2 3 = 1 Własności iloczynu skalarnego Twierdzenie Niech v, w, v, w R n, zaś α R. Wówczas: (i) (v + v ) w = v w + v w, v (w + w ) = v w + v w Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

5 Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = ( 1) = 2 3 = 1 Własności iloczynu skalarnego Twierdzenie Niech v, w, v, w R n, zaś α R. Wówczas: (i) (v + v ) w = v w + v w, v (w + w ) = v w + v w (ii) (αv) w = α(v w) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

6 Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = ( 1) = 2 3 = 1 Własności iloczynu skalarnego Twierdzenie Niech v, w, v, w R n, zaś α R. Wówczas: (i) (v + v ) w = v w + v w, v (w + w ) = v w + v w (ii) (αv) w = α(v w) (iii) v w = w v Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

7 Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = ( 1) = 2 3 = 1 Własności iloczynu skalarnego Twierdzenie Niech v, w, v, w R n, zaś α R. Wówczas: (i) (v + v ) w = v w + v w, v (w + w ) = v w + v w (ii) (αv) w = α(v w) (iii) v w = w v (iv) v v > 0 dla v 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

8 Definicja Długościa wektora v = (x 1,..., x n ) R n nazywamy liczbę v = v v = x x n 2. uwaga Długość wektora jest liczba nieujemna. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

9 Definicja Długościa wektora v = (x 1,..., x n ) R n nazywamy liczbę v = v v = x x n 2. uwaga Długość wektora jest liczba nieujemna. Przykład Niech v = (3, 1, 2) R 3. Wtedy v = ( 2) 2 = = 14. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

10 Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

11 Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy a) αv = α v Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

12 Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy a) αv = α v 1 b) Jeśli v 0, to wektor v v ma długość 1. Będziemy go nazywać unormowaniem wektora v. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

13 Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy a) αv = α v 1 b) Jeśli v 0, to wektor v v ma długość 1. Będziemy go nazywać unormowaniem wektora v. Definicja Mówimy, że wektory v, w R n sa prostopadłe jeśli v w = 0. Będziemy wówczas pisać v w. Przykład v = (3, 2, 1), w = (7, 6, 9), w = (1, 6, 6). Mamy v w = ( ( 6) + 1 ( 9) = = 0 zatem v w, natomiast v w = = 3 0 czyli v i w nie sa prostopadłe. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

14 Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy a) αv = α v 1 b) Jeśli v 0, to wektor v v ma długość 1. Będziemy go nazywać unormowaniem wektora v. Definicja Mówimy, że wektory v, w R n sa prostopadłe jeśli v w = 0. Będziemy wówczas pisać v w. Przykład v = (3, 2, 1), w = (7, 6, 9), w = (1, 6, 6). Mamy v w = ( ( 6) + 1 ( 9) = = 0 zatem v w, natomiast v w = = 3 0 czyli v i w nie sa prostopadłe. Twierdzenie (Pitagorasa) Jeśli wektory v, w R n sa prostopadłe to v + w 2 = v 2 + w 2. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

15 Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

16 Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia i niech dimv = k. Wtedy dimv = n k oraz V V = {0} Uwagi : Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

17 Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia i niech dimv = k. Wtedy dimv = n k oraz V V = {0} Uwagi : a) Oznaczenia A można również używać dla zbioru A R n nie będacego podprzestrzenia, tzn. A = {w R n a A : a w = 0}. Zawsze A jest podprzestrzenia R n i A = (lina). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

18 Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia i niech dimv = k. Wtedy dimv = n k oraz V V = {0} Uwagi : a) Oznaczenia A można również używać dla zbioru A R n nie będacego podprzestrzenia, tzn. A = {w R n a A : a w = 0}. Zawsze A jest podprzestrzenia R n i A = (lina). b) Jeśli V jest podprzestrzenia R n, to (V ) = V. Dla dowolnego podzbioru A R n zachodzi (A ) = lin A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

19 Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia i niech dimv = k. Wtedy dimv = n k oraz V V = {0} Uwagi : a) Oznaczenia A można również używać dla zbioru A R n nie będacego podprzestrzenia, tzn. A = {w R n a A : a w = 0}. Zawsze A jest podprzestrzenia R n i A = (lina). b) Jeśli V jest podprzestrzenia R n, to (V ) = V. Dla dowolnego podzbioru A R n zachodzi (A ) = lin A c) Jeśli V = {(x 1,..., x n ) R n a 1 x a n x n = 0} to V = lin((a 1,..., a n )) (równoważnie: (lin((a 1,..., a n ))) = V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

20 Przykład a) Niech podprzestrzeń V R 2, opisana będzie przez 2x 1 + 5x 2 = 0, czyli V = lin((5, 2)). Mamy: V = lin((2, 5)) Ogólniej, jeśli przestrzeń V R n opisana jest układem równań a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = 0 liniowych jednorodnych a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = 0 V = lin((a 11,..., a 1n ),..., (a m1,..., a mn )). Przykład Niech { V R 4 będzie opisana układem 2x1 + 3x U : 2 +5x 3 + 2x 4 = 0 3x 1 + x 2 +6x 3 + 2x 4 = 0 Wtedy V = lin((2, 3, 5, 2), (3, 1, 6, 2)) to Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

21 Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa, zaś A = {v 1,..., v k } baza V. Powiemy, że A jest ortogonalna (= prostopadła ) jeśli v i v j dla i j, i, j = 1,..., k. Mówimy, że A jest ortonormalna (= ortogonalna i unormowana)jeśli jest ortogonalna i każdy wektor z A ma długość 1. Przykład 1. Baza standardowa jest baza ortonormalna przestrzeni R n 2. baza ( 1/3, 2/3, 2/3), (2/3, 1/3, 2/3), (2/3, 2/3, 1/3) jest baza ortonormalna przestrzeni R Baza (1, 2, 3), (2, 1, 0), (0, 0, 5) nie jest baza ortogonalna. Przykład 4. Niech V R 3, V : 2x 1 + x 2 x 3 = 0. Układ (1, 1, 3), (4, 7, 1) jest baza ortogonalna V. Układ 1 (1, 1, 3), (4, 7, 1) jest baza ortonormalna V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

22 Uwaga: Jeśli układ v 1,..., v k wektorów R n składa się z wektorów niezerowych parami prostopadłych, tzn. v i 0 dla i = 1,..., k, v i v j dla i j, to jest on liniowo niezależny i stanowi bazę ortogonalna lin(v 1,..., v k ). Mówimy również, że układ wektorów v 1, v 2,..., v k jest ortogonalny, jeśli spełnia v i v j dla i j. Twierdzenie Jeśli A = (v 1,..., v k ) jest baza ortonormalna przestrzeni V R n, to wówczas współrzędne dowolnego wektora v V w bazie A wynosza kolejno v v 1, v v 2,..., v v k. Dowód: Niech v = α 1 v 1 + α 2 v α k v k. Wtedy v v i = (α 1 v 1 + α 2 v α k v k ) v i = α 1 v 1 v i + α 2 v 2 v i + + α k v k v i = α i v i v i = α i. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

23 Twierdzenie Każda podprzestrzeń V R n ma bazę ortonormalna Przykład Niech V R 3, V : x 1 + x 2 x 3 = 0. Znajdujemy najpierw bazę ortogonalna w V. Metoda: indukcyjnie dobieramy wektory prostopadłe do już wybranych.weźmy np. v 1 = (1, 0, 1) V. Szukamy takiego niezerowego { wektora v 2 = (x 1, x { 2, x 3 ) V, że v 2 v 1. x1 +x Tzn. 3 = 0 x 1 +x 2 x 3 = 0 x1 +x 3 = 0 x 2 2x 3 = 0 { x1 = x 3. Np. v x 2 = 2x 2 = ( 1, 2, 1). Wiemy, że dimv = 2, zatem v 1, v 2 3 tworza bazę ortogonalna V. Wystarczy ja unormować: v 1 = 1 v 1 v 1 = 1 (1, 0, 1), v 2 2 = 1 v 2 v 2 = 1 6 ( 1, 2, 1) tworza bazę ortonormalna V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

24 Rzut prostopadły na przestrzeń i symetrie Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dowolny wektor w R n można wówczas jednoznacznie przedstawić jako sumę w = v + u wektorów v V i u V. Przyporzadkowanie P V : w v jest wówczas endomorfizmem R n nazywanym rzutem prostopadłym na V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

25 Rzut prostopadły na przestrzeń i symetrie Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dowolny wektor w R n można wówczas jednoznacznie przedstawić jako sumę w = v + u wektorów v V i u V. Przyporzadkowanie P V : w v jest wówczas endomorfizmem R n nazywanym rzutem prostopadłym na V. Uwaga Przy oznaczeniach z powyższego twierdzenia, mamy u = P V (w) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

26 Rzut prostopadły na przestrzeń i symetrie Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dowolny wektor w R n można wówczas jednoznacznie przedstawić jako sumę w = v + u wektorów v V i u V. Przyporzadkowanie P V : w v jest wówczas endomorfizmem R n nazywanym rzutem prostopadłym na V. Uwaga Przy oznaczeniach z powyższego twierdzenia, mamy u = P V (w) Definicja Endomorfizm S V : R n R n zdefiniowany przez S V (w) = P V (w) P V (w) = 2P V (w) w nazywamy symetria prostopadła względem V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

27 Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

28 Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Twierdzenie Niech V R n, będzie podprzestrzenia liniowa. Wtedy: a) P V (w) V dla w R n oraz P V (v) = v dla v V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

29 Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Twierdzenie Niech V R n, będzie podprzestrzenia liniowa. Wtedy: a) P V (w) V dla w R n oraz P V (v) = v dla v V. b) Wektor P V (w) jest jedynym takim wektorem v V, który minimalizuje na V wyrażenie w v (czyli jest najbliższym do w wektorem z V ) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

30 Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Twierdzenie Niech V R n, będzie podprzestrzenia liniowa. Wtedy: a) P V (w) V dla w R n oraz P V (v) = v dla v V. b) Wektor P V (w) jest jedynym takim wektorem v V, który minimalizuje na V wyrażenie w v (czyli jest najbliższym do w wektorem z V ) c) Jeśli {v 1,..., v k } jest baza ortogonalna V, to zachodzi P V (w) = w v 1 v 1 v 1 v w v k v k v k v k Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

31 Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Twierdzenie Niech V R n, będzie podprzestrzenia liniowa. Wtedy: a) P V (w) V dla w R n oraz P V (v) = v dla v V. b) Wektor P V (w) jest jedynym takim wektorem v V, który minimalizuje na V wyrażenie w v (czyli jest najbliższym do w wektorem z V ) c) Jeśli {v 1,..., v k } jest baza ortogonalna V, to zachodzi P V (w) = w v 1 v 1 v 1 v w v k v k v k v k d) Jeśli wektory v 1,... v k tworza bazę ortonormalna V to P V (w) = (w v 1 )v (w v k )v k Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

32 Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

33 Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

34 Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n c)p V + P V = id R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

35 Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n c)p V + P V = id R n d) S V = S V Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

36 Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n c)p V + P V = id R n d) S V = S V e) Jeśli v 1,... v k jest baza ortogonalna V to P V = P v1 + + P vk, gdzie oznaczyliśmy P v = P lin(v), dla v R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

37 Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n c)p V + P V = id R n d) S V = S V e) Jeśli v 1,... v k jest baza ortogonalna V to P V = P v1 + + P vk, gdzie oznaczyliśmy P v = P lin(v), dla v R n Przykład Czasami używamy c) w następujacy sposób: Niech V = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x 1 + x 2 + x 3 2x 4 = 0} R 4, niech w = (1, 2, 3, 4). Obliczyć P v (w). Zamiast liczyć rzut z definicji możemy skorzystać z tego, że V = lin((1, 1, 1, 2)). Zatem P V (w) = w P V (w) = w w (1,1,1, 2) (1, 1, 1, 2) = ( 2) 2 (1, 2, 3, 4) ( 2) 7 (1, 1, 1, 2) = (1 2 7, 2 2 7, 3 2 7, ) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

38 Ortogonalizacja Grama-Schmidta Twierdzenie Niech wektory v 1,..., v k tworza bazę podprzestrzeni V R n. Zdefiniujmy indukcyjnie wektory w 1,..., w k oraz przestrzenie W 1,..., W k następujaco (i) w 1 = v 1, W 1 = lin(w 1 ), (ii)jeśli w i 1 oraz W i 1 sa już zdefiniowane, to w i = v i P Wi 1 (v i ), W i = lin(w 1,..., w i ) dla i = 2,..., k. Wówczas wektory w 1,..., w i tworza bazę ortogonalna W i, W i = lin(v 1,..., v i ), dla i = 1,..., k oraz W k = V, czyli wektory w 1,..., w k tworza bazę ortogonalna V. Po zastapieniu każdego z wektorów w i przez jego unormowanie u i = w i w i otrzymujemy odpowiednie bazy ortonormalne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

39 Przykład Niech v 1 = (1, 0, 0, 1, 0), v 2 = (0, 0, 0, 1, 1), v 3 = (1, 0, 0, 0, 1) R 5. Definiujemy w 1 = v 1, W 1 = lin(w 1 ),następnie w 2 = v 2 P W1 (v 2 ) = v 2 w 1 v 2 w 1 w 1 w 1 = (0, 0, 0, 1, 1) 1 2 (1, 0, 0, 1, 0) = ( 1/2, 0, 0, 1/2, 1), oraz W 2 = lin(w 1, w 2 ) = lin(v 1, v 2 ).W końcu w 3 = v 3 P W2 (v 3 ) = v 3 w 1 v 3 w 1 w 1 w 1 w 2 v 3 w 2 w 2 w 2 = (1, 0, 0, 0, 1) 1 1/2 2 (1, 0, 0, 1, 0) 3/2 ( 1/2, 0, 0, 1/2, 1) = (2/3, 0, 0, 2/3, 2/3). Wektory w 1, w 2, w 3 tworza bazę ortogonalna V = lin(v 1, v 2, v 3 ). Zastapiwszy je przez ich unormowania, czyli 1 w 1 w 1 = 2 2 w 1 1, w 2 w 2 = w 2, w 3 w 3 = 3 2 w 3 otrzymamy bazę ortonormalna V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

R n jako przestrzeń afiniczna

R n jako przestrzeń afiniczna R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej (03-M01N-12-WALG)

Bardziej szczegółowo

Wstęp do komputerów kwantowych

Wstęp do komputerów kwantowych Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ). B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

Skrypt z Algebry Liniowej 2

Skrypt z Algebry Liniowej 2 Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny specjalność: matematyka nauczycielska Barbara Szczepańska Skrypt z Algebry Liniowej 2 Praca magisterska napisana pod kierunkiem

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe Rozdzia l 1 Przestrzenie wektorowe Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje pojęciami abstrakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów technicznych,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Wektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk

Wektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk Algebra Wektory Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Wektory Najnowsza wersja

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej B (03-MO1S-12-WALGB)

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn. WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicjach Sinus Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Układy współrzędnych

Układy współrzędnych Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.) XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo