Klasyfikacja stanów elektronowych (termów) molekuł dwuatomowych

Transkrypt

1 Klasfaca stanów eletronowch termów moleuł dwuatomowch na mśl mam neruchomą cąstecę formalne prechodm do uładu rotuąceo wra rotacą moleuł smetre moleuł AB to: - nemenncość wl. obrotów woół os wąana - odbce w płascźne aweraące oś wąana - nwersa dla cąstece homoądrowch AA nemennc est też hamltonan H => stneą operator wąane tm prestrennm operacam smetr o tm będe sceółowo późne tóre omutuą H atem maą H wspólne funce własne - nace stan własne H będą snowane numerowane wartoścam własnm tch operatorów; a nemenncość wl. obrotów woół os wąana odpowedaln est rut całowteo momentu pędu na oś Z L 2 ne est uż stałą ruchu L L ψ e = ħ φ ψ e = Λħψ e podobne a w atomach deeneraca e wl. na na Λ ±1 ±2 ±3 smbol a odbca operator a nwersę σ vψ e = ±ψ e ψ e = ±ψ e na wartośc własne σ v : Λ ± dla Λ stan są podwóne deenerowane - opusca sę na wart. własne σ v stan odpowadaące wartośc własne nwers +1 onacam smbolem erade parst a te do wartośc -1 u unerade neparst : Λ /u H omutue taże operatorem wadratu całowteo spnu rutu S 2

2 stan onacam rotnoścą 2S+1 : neamnętch powło 2S+1 Λ spn dotc eletronów prład stan podstawow cąstec H 2 Σ stan wbudon cąstec H 2 Σ u - stan podstawow cąstec He Σ u + - stan podstawow cąstec OH 2 Π pamętam że enere tch stanów są funcam R odlełośc męd ądram parabolcnm w poblżu odlełośc równowaowe dłuośc wąana Smetra w mechance wantowe element teor rup def. rup Zbór sońcon lub nesońcon elementów {} twor rupę d: - defnowana operaca mnożena łożena 1 2 = 3 G = stnee tlo eden element tożsamoścow e e = e = - ażd posada element odwrotn -1-1 = e lość elementów m = rąd rup rup abelowe premenne: 1 2 = 2 1 lub nace [ 1 2 ] = podbór G będąc rupą nawa sę podrupą prład podstawowe - bór elementów [1] dodawanem defnowanm ao +-> +1->1 1+1-> tu e = - element tożsamoścow 1 est odwrotnoścą dla sebe

3 - macere wadratowe A o elementach recwstch rędu n o det A e włm mnożenem macer nesońcona - rupa lcb espolonch {1-1 - } dałanem ao włm mnożenem - rupa nesońcona wetorów w 3 2 n dodawanem - rupa nesońcona wetorów dsretnch będącch ombnacam lnowm ne współlnowch wetorów baowch R = m 1 a 1 + m 2 a 2 + m 3 a 3 m całowte podrupa popredne Własnośc rup n =... - n ra dla rup sońconch tworąc cą e n... d perwsm powtaraącm sę elementem rup będe e = m to rupę nawam rupą clcną defnca defnca 1 2 nawaą sę sprężonm równoważnm d stnee ta G że 1-1 = 2 sprężene relaca równoważnośc est: a wrotne b prechodne ważne be dowodu relaca równoważnośc del rupę G na rołącne bor tw. las wsste element waemne sprężone należą do edne las - element tożsamoścow stanow awse lasę ednoelementową dż e est defnc premenne ażdm elementem rup - w rupach abelowch wsste las są ednoelementowe dż: 1-1 = 2 => -1 1 = 2 => e 1 = 2 => 1 = 2 Iomorfm we rup G H ednaoweo rędu są omorfcne eśl pomęd elementam tch rup stnee waemne ednonacne prporądowane tae że Jeśl 1 h 1 2 h 2 to 1 2 h 1 h 2 elementow e odpowada e -1 odpowada h -1

4 Homomorfm Grupa G est homomorfcna do rup H d ażdemu elementow G prporądowan est ednonacne element rup H ale ednemu elementow H może odpowadać węce nż eden element G homomorfm ne est wrotn Prestałcena smetr w 3 prestałcena elementarne a obrot b odbca w płascźne c translace prestałcena te tworą rup: rup smetr danch obetów atomów moleuł brł cał rstałów... lub po prostu operac smetr prestałcaącch prestreń prestałcena smetr element rup smetr preprowadaą obet w sebe punt obetów w punt równoważne lub w te same punt obrot odbca moą posadać punt neruchome rup puntowe ale ch łożena locn ne musą tach puntów posadać cała o sońconch romarach maą awse eden punt neruchom - ch rup smetr ne moą awerać translac; translace dotcą obetów nesońconch perodcnch; prład 1. rupa łożona obrotów o welorotnośc ątów 2π/4 9 o sońcona clcna posada 4 element C 4 = { e C 4 C 4 2 C 4 3 } 2. rupa łożona obrotów o welorotnośc ątów 2π/n sońcona clcna posada n-elementów 3. rupa smetr tróąta równobocneo C 3v = {e C 3 C } albo moleuł BH 3

5 4. rupa nesońcona łożona wsstch obrotów uładu współrędnch w arteańse prestren euldesowe 3 SO3 odbca w płascźne aweraące oś smetr onacam odbca w płascźne prostopadłe do os smetr onacam v h prestałcena w prestren płascźne można repreentować pre macere np. obrót wetora v = v v o ąt woół os prostopadłe do płascn XY v = v cos α v sn α v = v sn α + v cos α można repreentować cos α sn α Rα = [ sn α cos α ] a obrót uładu współrędnch o ąt - eden możlwch elementów rup SO3 - odpowadać będe obrotow wetora o ąt - odpowedna macer R 1 cos α sn α α = [ sn α cos α ] a obrót woół os Z w 3 [element rup SO3 ] cos α sn α [ sn α cos α ] 1 natomast prestałcene będące łożenem w 3 obrotu o ąt woół os odbca w płascźne prostopadłe do os : = h c 2 to po prostu nwersa ; 1 [ 1 ] 1 - dała na wetor w 3 a R na funce będące współrędnm tch wetorów f 1 = f 2 = f 3 = oólne: prestałcene współrędnch w prestren ma onsewence na postać func tch współrędnch funce uleną mane ta ab dałał na ne aeś operator

6 prład translaca - presunęce pocątu uładu współrędnch np. w ednm wmare o -a sutu tm że punt ma tera współrędne =+a tn. ta abśm presunęl o operacą t a o wetor a natomast funca f ma tera postać = f-a tn. ta abśm podałal na f pewnm operatorem Af = = f-a = ft -1 w mechance wantowe: prestrennm operacom smetr na ułade fcnm odpowadaą operator dałaące na funce własne np. hamltonanu teo uładu fcneo w oólnośc operac smetr prestrenne R odpowada mana func fr = f fr = fr 1 r eśl doonuem obrotu w 3 cl operac R r rup SO3 to operac te odpowada macer [33] ortoonalna waranca achowana locnu salarneo obrotom o dowoln ąt woół pewne os odpowada pewen operator wąan operatorem momentu pędu Roważm obrót o nesońcene mał ąt obrót o dowoln ąt - to cą obrotów o dowolne małe ąt obrót o ąt woół os można defnować popre wetor leżąc na os tóreo dłuość odpowada ątow obrotu w radanach; obrót prestałca płascnę prostopadłą do os; wetor r leżąc w te płascźne prechod w r' r r de można łożć 3 obrotów o ąt woół os odpowedno

7 obacm a mena sę funca różncowalna pr nesońcene małm obroce o [obacm a wląda operator menaąc funcę] r' roładaąc w sere Talora achowuąc tlo wra lnowe 1.. L de r L est doładnoścą do stałe Planca operatorem momentu pędu tu nawa sę operatorem nesońcene małeo obrotu pełne rownęce dae 2...! L L L L n e n / L e de L operator momentu pędu; welość fcna a tm samm repreentuąc ą operator eśl ne ależ awne od casu ne mena sę w case eśl [H ] = nawa sę stałą ruchu to sę wąże twerdenem Noether ażda cąła smetra enerue pewne prawo achowana w tm prpadu: asada achowana momentu pędu odwercedla nemenncość uładu wlędem obrotów o dowolne ąt woół dowolnch os

8 Elementarna weda aresu teor repreentac operace smetr repreentowalśm uż a pomocą macer ortoonalnch untarnch R eśl operace smetr tworą rupę G to pre omorfm macere R repreentuące też tworą rupę; możem edna pomśleć o funcach tóre są transformowane popre operator R odpowadaące operacom smetr. Weźm dowolną funcę = r po wonanu operac na r funca r stae sę nną funcą [tch samch współrędnch-arumentów] tn. s r φr = φ 1 r = φ s r tę nową funcę s można tratować ao otrmaną po dałanu na pewnm operatorem ależnm od UWAGA: 1 r r' r s s s r stosuąc oleno wsste operace rup G do func otrmam h rąd G func h tórch n nech będe lnowo neależnch tworą one prestreń funcną n-wmarową wbraną baą r dałane na r dae r r c r otrmuem macerowe repreentace a tm samm macerowe repreentace operac smetr postać macer ch wmar n ależ od wboru func [omentar może dałać też na funce wetorowe 3 funce prmuące wartośc współrędnch puntu r 1r = 2r = 3r = ; pr tam wbore = R ]

9 dla macer repreentac achod p q p s s - odne prawem mnożena macer pamętaąc że s = p q defnca Jeśl ażdemu elementow rup G prporądowana est macer wadratowa rędu n wże defnowanm locnem to bór macer twor n-wmarową repreentacę rup G. Onacam ą. bór operatorów twor repreentacę operatorową bór lnowo neależnch func twor baę repreentac dale prmuem że awse mówm o bae ortonormalne element macer repreentac są: dr transformaca untarna ortoonalna dla recwstch S S T S 1 powala preść ba do ba... prpomnm że dla macer untarne achod: S S A ortoonalność e wlędu na olumn werse dż S S SS I

10 Twerdene dla ba ortonormalne macere są untarne dowód: pamętam że achowue dłuośc wetorów a atem te element ob. l r r dr 1 l l r 1 r dr r l / r l / dr r dr / l bo to est warune A. sorstałem fatu że aoban transformac =1 bo obętość [dłuośc achowane] ddd ne ulea mane; łatwo poaać co est ocwste że pr preścu ba do ba B S 1 S ' tae repreentace nawaą sę równoważnm. Ponadto: ślad macer ora wnacn ne uleaą mane pr prestałcenach untarnch B eśl wsste macere repreentac są różne to repreentaca est werna eśl ne to mam homomorfm rup G rup macer Repreentace prwedlne reduowalne eśl transformaca untarna mana ba preprowad wsste macere repreentac do postac 1 2 ustalonm wmaram to repreentaca est reduowalna prwedlna;

11 eśl ne można uż doonać dalse reduc a pomocą transformac untarne to - nawaą sę repreentacam neprwedlnm nereduowalnm reduowalność repreentac onaca że można ta pretransformować e baę że podba transformuą sę tlo w sebe pod wpłwem operac rup G w oólnośc netóre moą bć waemne równoważne Podstawowe twerdena teor repreentac Twerdene Burnsde a dla rup sońconch n a wmar nereduowalne repreentac rup N - lcba wsstch nereduowalnch repreentac rup h - rąd wmar rup N a1 2 n a h lcba repreentac neprwedlnch N równa est lcbe las N r N N r wmar nereduowalnch repreentac są delnam rędu rup awse stnee edna repreentaca ednostowa - funca stała ne mena sę pod wpłwem żadne operac rup; twerdena te powalaą ednonacne wnacć wmar wsstch nereduowalnch repreentac dane rup poa tm: wsste nereduowalne repreentace rup abelowch są ednowmarowe dla sońconch rup puntowch repreentace moą bć co nawże 3- wmarowe e wl. na omorfm maceram prestałceń R eśl [H]= operator smetr należą do aeś rup G to funce należące do deenerowane wartośc własne H stanową baę aeś neprwedlne repreentac rup G będące rupą smetr H a tm samm rupą smetr daneo uładu fcneo

12 est ta dlateo poneważ: nemenncość H wlędem operac G rup smetr hamltonanu uładu fcneo onaca [] : albo nace H 1 r H r H r r H 1 r 1 r H r r a to onaca: H H H r 1 1 ale [] r E r ; wdać że funcom r 1 r odpowada ta sama wartość własna E; dałaąc operacam na dowolną funcą poostaem w bore func odpowadaącch E atem: funce własne H odpowadaące deenerowane wartośc własne H tworą baę repreentac rup smetr G hamltonanu; ażde repreentac neprwedlne pownna odpowadać nna wartość własna ener a w. deenerac tw. prpadowe; dana neprwedlna repreentaca rup G est na oół prwedlna reduowalna w podrupe G te rup [dż mnesa sę lcba las wmar] ma to podstawowe nacene w oreślanu roscepena deenerowanch poomów eneretcnch uładu fcneo pod wpłwem aburena tóre obnża smetrę teo uładu.