STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5. 2 listopada 2009

Transkrypt

1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 2 listopada 2009

2 Poprzedni wykład: przedział ufności dla µ, σ nieznane

3 Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane Testowanie H : µ = µ 0, K : µ < µ 0 Jeżeli H jest prawdziwa, to statystyka testu ma rozkład t Studenta z (n 1) stopniami swobody: X µ 0 n 1 tn 1 S Obszar krytyczny testu na poziomie istotności α: { } X µ 0 n 1 < tn 1 (α) S

4 Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane Testowanie H : µ = µ 0, K : µ < µ 0 Moc testu: { } X µ 0 β(µ, σ) = P N(µ,σ) n 1 < tn 1 (α) S

5 Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane Testowanie H : µ = µ 0, K : µ < µ 0 Moc testu: { } X µ 0 β(µ, σ) = P N(µ,σ) n 1 < tn 1 (α) S Jeżeli X N(µ, σ), to X µ 0 X µ n 1 = σ n + µ µ 0 σ n S ns 2 /(n 1) σ 2 ( jest ilorazem zmiennej losowej N µ µ0 ) σ n, 1 i zmiennej losowej χ 2 n 1 /(n 1)

6 Moc testu t Studenta H : µ = µ 0, K : µ < µ 0 Przypominam: Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład normalny N(0, 1), zmienna losowa η ma rozkład chi-kwadrat o ν stopniach swobody i jeżeli te zmienne losowe są niezależne, to rozkład zmiennej losowej ξ t = η/ν nazywa się rozkładem t Studenta o ν stopniach swobody

7 Moc testu t Studenta H : µ = µ 0, K : µ < µ 0 Przypominam: Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład normalny N(0, 1), zmienna losowa η ma rozkład chi-kwadrat o ν stopniach swobody i jeżeli te zmienne losowe są niezależne, to rozkład zmiennej losowej ξ t = η/ν nazywa się rozkładem t Studenta o ν stopniach swobody DEFINICJA: Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład normalny N(µ, 1), zmienna losowa η ma rozkład chi-kwadrat o ν stopniach swobody i jeżeli te zmienne losowe są niezależne, to rozkład zmiennej losowej t = ξ η/ν nazywa się NIECENTRALNYM ROZKŁADEM t STUDENTA O ν STOPNIACH SWOBODY I PARAMETRZE NIECENTRALŚCI µ

8 Moc testu t Studenta H : µ = µ 0, K : µ < µ 0 Gęstość rozkładu t Studenta z ν stopniami swobody oznaczyliśmy przez g ν (x). Gęstość niecentralnego rozkładu t Studenta z ν stopniami swobody i parametrem niecentralności λ oznaczymy przez g ν,λ (x) i dystrybuantę przez G ν,λ (x) R: nct1.r

9 Moc testu: β(µ, σ) = G µ µ n 1, 0 σ n (t n 1 (α)) R: nct1-moc.r ( ) test dwustronny

10 POZIOM KRYTYCZNY TESTU Poziom krytyczny testu = najmniejszy poziom istotności, przy którym następuje odrzucenie weryfikowanej hipotezy

11 α - założony poziom istotności testu wk - wartość krytyczna testu T (T ) - zaobserwowana wartość statystyki testu pk (pk ) - poziom krytyczny testu

12 α - założony poziom istotności testu wk - wartość krytyczna testu T (T ) - zaobserwowana wartość statystyki testu pk (pk ) - poziom krytyczny testu pk α pk T wk T.

13 POZIOM KRYTYCZNY TESTU Poziom krytyczny testu = najmniejszy poziom istotności, przy którym następuje odrzucenie weryfikowanej hipotezy

14 POZIOM KRYTYCZNY TESTU Poziom krytyczny testu = najmniejszy poziom istotności, przy którym następuje odrzucenie weryfikowanej hipotezy największy poziom istotności, przy którym jeszcze przyjmujemy sprawdzamy hipotezę (WK s. 214)

15 POZIOM KRYTYCZNY TESTU Poziom krytyczny testu = najmniejszy poziom istotności, przy którym następuje odrzucenie weryfikowanej hipotezy największy poziom istotności, przy którym jeszcze przyjmujemy sprawdzamy hipotezę (WK s. 214) jak mało prawdopodobny jest wynik, który otrzymaliśmy, gdy H jest prawdziwa

16 POZIOM KRYTYCZNY TESTU Poziom krytyczny testu = najmniejszy poziom istotności, przy którym następuje odrzucenie weryfikowanej hipotezy największy poziom istotności, przy którym jeszcze przyjmujemy sprawdzamy hipotezę (WK s. 214) jak mało prawdopodobny jest wynik, który otrzymaliśmy, gdy H jest prawdziwa Gdyby zaobserwowana wartość statystyki testu była wartością krytyczną, to jaki byłby poziom istotności tego testu

17 POZIOM KRYTYCZNY TESTU Poziom krytyczny testu = najmniejszy poziom istotności, przy którym następuje odrzucenie weryfikowanej hipotezy największy poziom istotności, przy którym jeszcze przyjmujemy sprawdzamy hipotezę (WK s. 214) jak mało prawdopodobny jest wynik, który otrzymaliśmy, gdy H jest prawdziwa Gdyby zaobserwowana wartość statystyki testu była wartością krytyczną, to jaki byłby poziom istotności tego testu Popularny termin angielski: p-value

18 PRZYKŁAD Dla testowania H : µ = µ 0, K : µ > µ 0 na poziomie istotności α skonstruowaliśmy test z obszarem krytycznym { X > µ 0 + z 1 α σ n } Poziom krytyczny tego testu: ( ) { } X obs µ 0 PK( X obs ) = P µ0 X > X obs = 1 Φ n σ R: PK-t1.R

19 Komputerowe pakiety statystyczne: Przykład: R: test-t1.r

20 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) Porównanie średnich (1) σ x, σ y - znane (2) σ x = σ y = σ - znane (3) σ x = σ y = σ - nieznane (4) σ x = k σ y = σ, k - znane (5) σ x, σ y - nieznane (6) Obserwacje powiązane w pary

21 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (1) Porównanie średnich, σ x, σ y - znane X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) = X Y N(µ x µ y, σx 2 + σy 2 )

22 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (1) Porównanie średnich, σ x, σ y - znane X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) = X Y N(µ x µ y, σx 2 + σy 2 ) X 1, X 2,..., X m, Y 1, Y 2,..., Y n

23 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (1) Porównanie średnich, σ x, σ y - znane X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) = X Y N(µ x µ y, σx 2 + σy 2 ) X 1, X 2,..., X m, Y 1, Y 2,..., Y n X m N(µ x,σ x / m), Ȳ n N(µ y,σ y / n) = ( ) X m Ȳ n N µ x µ y, σx/m 2 + σy 2 /n

24 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (1) Porównanie średnich, σ x, σ y - znane ( X m Ȳn) (µ x µ y ) N(0, 1) σx 2 m + σ2 y n

25 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (1) Porównanie średnich, σ x, σ y - znane WERYFIKACJA HIPOTEZ:

26 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (1) Porównanie średnich, σ x, σ y - znane WERYFIKACJA HIPOTEZ: H : µ x = µ y, K : µ x > µ y

27 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (1) Porównanie średnich, σ x, σ y - znane WERYFIKACJA HIPOTEZ: H : µ x = µ y, K : µ x > µ y H : µ x = µ y, K : µ x µ y > 0

28 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (1) Porównanie średnich, σ x, σ y - znane PRZYKŁAD: Zadanie 13 Test dwustronny (!?): H : µ x = µ y, K : µ x µ y > 0 X m Ȳn σx 2 m + σ2 y n N(0, 1)

29 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (1) Porównanie średnich, σ x, σ y - znane PRZYKŁAD: Zadanie 13 (cd) Obszar krytyczny testu na poziomie istotności α: X m Ȳ n σx 2 z 1 α/2 m + σ2 y n Tutaj : = 2.54, z = 1.96 #

30 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (1) Porównanie średnich, σ x, σ y - znane PRZYKŁAD: Zadanie 13 (cd) MOC TESTU β(µ x, µ y ) = P µx X m Ȳn,µ y σx 2 z 1 α/2 m + σ2 y n = 1 Φ z 1 α/2 µ x µ y σx 2 m + σ2 y n + Φ z α/2 µ x µ y σx 2 m + σ2 y n R: por2siznane.r

31 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (2) Porównanie średnich, σ x = σ y = σ znane ( X m Ȳ n ) (µ x µ y ) N(0, 1) σ 1 m + 1 n

32 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (3) Porównanie średnich, σ x = σ y = σ nieznane ( X m Ȳ n ) (µ x µ y ) 1 σ m + 1 n N(0, 1) ms 2 x σ 2 χ 2 m 1, ns2 y σ 2 χ2 n 1, ms 2 x + ns 2 y σ 2 χ 2 m+n 2

33 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (3) Porównanie średnich, σ x = σ y = σ nieznane ( X m Ȳ n ) (µ x µ y ) ( ) t m+n 2 1 m + 1 n ms 2 x +ns2 y m+n 2 Obszar krytyczny testu hipotezy H : µ x = µ y, K : µ x µ y : ms 2 x +ns2 y m+n 2 X m Ȳ n ( ) > t m+n 2 (1 α 1 m ) n

34 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (3) Porównanie średnich, σ x = σ y = σ nieznane Moc testu hipotezy H : µ x = µ y, K : µ x µ y : ms 2 x +ns 2 y m+n 2 X m Ȳn ( ) > t m+n 2 (1 α 1 m ) n Moc(µ x, µ y ) : niecentralny test Studenta ( )

35 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (4) Porównanie średnich, σ x = kσ y, k znane ( )

36 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (5) Porównanie średnich, σ x, σ y nieznane

37 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (5) Porównanie średnich, σ x, σ y nieznane Problem Behrensa Fishera

38 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (5) Porównanie średnich, σ x, σ y nieznane Problem Behrensa Fishera Jarosław Bartoszewicz (1996): Nie znaleziono dotychczas dokładnego rozwiązania tego problemu, istnieją jedynie rozwiązania przybliżone

39 Problem dwóch prób: X N(µ x,σ x ), Y N(µ y,σ y ) (5) Porównanie średnich, σ x, σ y nieznane TEST WELCHA Statystyka t Studenta: Liczba stopni swobody: ν = 1 c 2 m 1 + (1 c)2 n 1 X m Ȳ n S 2 x m 1 + S2 y n 1, c = S 2 x m 1 S 2 x m 1 + S2 y n 1 R: Welch.R ( 9)

40 Wyk5: tu koniec 2.XI.09