STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
|
|
- Wojciech Kamil Kubiak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not justify the conclusion that all swans are white. Good tests kill flawed theories; we remain alive to guess again.
3 Hipoteza statystyczna Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące postaci rozkładu cechy w populacji generalnej (hipotezy nieparametryczne) lub wartości jego parametrów (hipotezy parametryczne). Postępowanie służące rozstrzygnięciu czy hipotezę należy odrzucić czy też nie, nazywamy weryfikacją lub testowaniem hipotezy. Weryfikowaną hipotezę nazywamy zerową (H 0 ). Oprócz niej formułujemy także drugą hipotezę: alternatywną (H 1 ), której prawdziwość przyjmujemy w przypadku odrzucenia hipotezy zerowej. Hipoteza mówiąca, że parametr przyjmuje pewną dokładną (punktową) wartość, nazywa się hipotezą prostą (np. θ = 3). Hipotezę określająca zbiór wartości parametru nazywamy hipotezą złożoną (np. θ < 0).
4 Test statystyczny Test statystyczny to reguła (procedura) postępowania służąca do podjęcia decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu sprawdzanej hipotezy, na podstawie wyników z próby. Formalnie procedura testowa to mierzalna funkcja ϕ : X {0, 1}, gdzie ϕ(x ) = 1 oznacza decyzję o odrzuceniu H 0 (i przyjęcie H 1 ), a wartość ϕ(x ) = 0 oznacza przyjęcie H0 (i odrzucenie H 1 ). Testy parametryczne służą do weryfikacji hipotez parametrycznych. Testy nieparametryczne służą do weryfikacji hipotez nieparametrycznych.
5 Błędy I i II rodzaju Hipoteza zerowa może być prawdziwa lub fałszywa. My możemy podjąć dwie decyzje: odrzucić H 0 albo nie odrzucać H 0. Hipoteza statystyczna jest weryfikowana w oparciu o dane z próby, więc istnieje prawdopodobieństwo popełnienia błędu. Możliwe są cztery sytuacje: Wynik testu Rzeczywistość H 0 jest prawdziwa H 0 jest fałszywa Odrzucamy H 0 Błąd I rodzaju decyzja poprawna Brak podstaw do odrzucenia H 0 decyzja poprawna Błąd II rodzaju
6 Obserwacja: Cecha X ma rozkład normalny N(m, 1) o nieznanej wartości przeciętnej m. Wysuwamy przypuszczenie, że H 0 : m = 0 (hipoteza zerowa). Załóżmy teraz, że z wylosowanej próby prostej zwierającej 10 elementów uzyskano wartość x = Wiemy, że jeśli X N(0, 1), to X 10 N(0, 1/10), zatem P( X ) = P( 10 X ) = = 2(1 Φ( )) Jeśli H 0 jest prawdziwa, to zdarzenie { X } jest mało prawdopodobne, jednakże możliwe.
7 Poziom istotności, testy istotności Musimy podjąć decyzję (czy też ustalić regułę decyzyjną), jak małe prawdopodobieństwo nastąpienia obserwowanego zdarzenia (przy zachodzeniu H 0 ) skłania nas do odrzucenia H 0. Takie krytyczne prawdopodobieństwo α (0, 1), że odrzucamy H 0, jeżeli (przy zachodzeniu H 0 ) prawdopodobieństwo nastąpienia zaobserwowanego zdarzenia jest nie większe niż α, nazywamy poziomem istotności. P(ϕ(X ) = 1 H 0 ) = P(odrzucamy H 0 H 0 ) α. Testy, przy których interesuje nas jedynie prawdziwość lub fałszywość H 0, i nie interesuje na błąd II rodzaju, nazywamy testami istotności. Testy istotności pozwalają na odrzucenie H 0, lub stwierdzenie, że zaobserwowane wartości nie dają podstaw do odrzucenia H 0.
8 Poziom istotności, rozmiar i moc testu Rozmiarem testu nazywamy liczbę P(błędu I rodzaju) = P(odrzucenie H 0 H 0 jest prawdziwa). Test na poziomie istotności α ma rozmiar α. Mocą testu nazywamy liczbę 1 β, gdzie β = P(błędu II rodzaju) = = P(nieodrzucenie H 0 H 1 jest prawdziwa), czyli moc testu = P(odrzucenie H 0 H 1 jest prawdziwa).
9 Obszar krytyczny Test istotności składa się: ze statystyki testowej (T ) zwanej także sprawdzianem hipotezy, oraz obszaru krytycznego (K), który wyznaczamy tak, aby α = P(T K H 0 ). ( ) Jeśli zachodzi T K, to H 0 odrzucamy, na korzyść H 1. Jeśli T K, to nie ma podstaw do odrzucenia H 0. Hipoteza zerowa w testach parametrycznych ma zwykle postać: H 0 : θ = θ 0, gdzie θ 0 jest ustaloną liczbą rzeczywistą. Hipotezę alternatywną w testach istotności możemy sformułować na trzy sposoby; każdemu z nich odpowiada inny typ obszaru krytycznego: H 1 : θ θ 0, obszar krytyczny dwustronny: K = (, a) (b, ), H1 : θ > θ 0, obszar krytyczny prawostronny: K = (b, ), H1 : θ < θ 0, obszar krytyczny lewostronny: K = (, a) (gdzie a, b należy wyznaczyć z warunku ( )).
10 Schemat weryfikacji hipotez Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej, Wybór statystyki testowej, Określenie poziomu istotności α, Wyznaczenie obszaru krytycznego testu, Obliczenie oceny statystyki testowej na podstawie próby, Podjęcie decyzji.
11 Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o znanej wariancji, H 1 : µ m 0 Zakładamy, że X N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest znane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0 wobec H 1 : µ m 0. Statystyką testową jest Z = X m 0 n. σ Ustalamy poziom istotności α (0, 1). Z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny jest dwustronny: K = (, z α ) (z α, ), gdzie wartość krytyczną z α dobieramy tak, aby P( Z z α H 0 ) = α. Pod założeniem H 0 mamy Z N(0, 1), zatem ( α 2 = P(Z z α H 0 ) = 1 Φ(z α ) z α = Φ 1 1 α ). 2 Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej z K, czyli z z α.
12 Przykład Czas pracy pewnego rodzaju baterii ma rozkład N(µ, 70 2 ). Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że przeciętny czas pracy tego typu baterii jest równy 500 godz., jeżeli dla 16 losowo wybranych baterii otrzymano x = 530 godz. H 0 : µ = 500 H 1 : µ 500, α = 0.05 z α = Φ 1 (1 0.05/2) = 1.96, K = (, 1.96) (1.96, ), x = 530, σ = 70, n = 16, z = x m n = 16 = K. σ 70 Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Wniosek: Przeciętny czas pracy tego typu baterii nie jest istotnie różny od 500 godzin (na poziomie istotności 0.05).
13 p-value Gdybyśmy w powyższym przykładzie przyjęli α = 0.1, to wówczas z α = Φ(0.95) = 1.645, Wtedy z = K = (, 1.645) (1.645, ), więc H 0 należałoby odrzucić. Najmniejszy poziom istotności α dla którego odrzucamy H 0 (lub największy dla którego nie odrzucamy H 0 ) nazywamy p-wartością testu (p-value). p-value dostarcza dodatkową informację o dowodach za lub przeciw H 0, ułatwiając podejmowanie decyzji o jej przyjęciu lub odrzuceniu. W naszym przykładzie: = Φ 1 (1 p/2) p = 2(1 Φ( )) = Zauważmy, że w tym przykładzie ( ) p = P Z z H 0, gdzie z jest wartością statystyki Z zaobserwowaną w próbie.
14 Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o znanej wariancji, H 1 : µ > m 0 Zakładamy, że X N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest znane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0 wobec H 1 : µ > m 0. Statystyką testową jest Z = X m 0 n. σ Ustalamy poziom istotności α (0, 1). Z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny jest prawostronny: K = (z 2α, ), gdzie z 2α dobieramy tak, aby P(Z z 2α H 0 ) = α. Pod założeniem H 0 mamy Z N(0, 1), zatem α = P(Z z 2α H 0 ) = 1 Φ(z α ) z 2α = Φ 1 (1 α). Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej z K, czyli z > z 2α.
15 Przykład Czas pracy pewnego rodzaju baterii ma rozkład N(µ, 70 2 ). Odpowiedz na pytanie, czy przeciętny czas pracy tego typu baterii wynosi ponad 500 godz., jeżeli dla 16 losowo wybranych baterii otrzymano x = 530 godz. Przyjmij poziom istotności α = H 0 : µ = 500 H 1 : µ > 500, α = 0.05 z α = Φ 1 (1 0.05) = 1.645, K = (, 1.645) (1.645, ), x = 530, σ = 70, n = 16, z = x m n = 16 = K. σ 70 Odrzucamy H 0 : Przeciętny czas pracy tego typu baterii jest istotnie większy niż 500 godzin (na poziomie istotności 0.05). ( ) p = P Z > H 0 = 1 Φ( ) =
16 Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o znanej wariancji, H 1 : µ < m 0 Zakładamy, że X N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest znane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0 wobec H 1 : µ < m 0. Statystyką testową jest Z = X m 0 n. σ Ustalamy poziom istotności α (0, 1). Z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny jest lewostronny: K = (, z 2α ), gdzie z 2α dobieramy tak, aby P(Z z 2α H 0 ) = α. Pod założeniem H 0 mamy Z N(0, 1), zatem α = P(Z z 2α H 0 ) = 1 Φ(z 2α ) z 2α = Φ 1 (1 α). Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej z K, czyli z < z 2α.
17 Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o nieznanej wariancji, H 1 : µ m 0 Zakładamy, że X N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest nieznane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0 wobec H 1 : µ m 0. Statystyką testową jest T = X m 0 n 1. S Ustalamy poziom istotności α (0, 1). Z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny jest dwustronny: K = (, t α ) (t α, ), gdzie wartość krytyczną t α dobieramy tak, aby P( T t α H 0 ) = α. Pod założeniem H 0 mamy T t n 1, zatem α = P( T t α H 0 ) t α = Ft,n 1 1 (1 α/2), gdzie F t,n 1 oznacza dystrybuantę rozkładu t-studenta o n 1 stopniach swobody. Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej t K, czyli t > t α.
18 Przykład Na podstawie 10 elementowej próby obliczono średnią czasu toczenia detalu na tokarce równą 27 minut i odchylenie standardowe 5 minut. Na poziomie istotności α = 0.02 zweryfikować hipotezę, że przeciętny czas toczenia na tej tokarce wynosi 30 minut, przy założeniu, że czas toczenia detalu ma rozkład normalny. H 0 : µ = 30 H 1 : µ 30, α = 0.02, n = 10 t α = Ft,9 1 (1 0.05/2) = 2.821, K = (, 2.821) (2.821, ), x = 27, S = 5, t = x m n 1 = 10 1 = 1.8 K. S 5 Nie ma podstaw do odrzucenia H 0 : Przeciętny czas toczenia detalu na tokarce nie różni się istotnie od 30 minut. ( ) p = P T > 1.8 H 0 = 2(1 F t,9 (1.8)) =
19 Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o nieznanej wariancji, H 1 : µ > m 0 Zakładamy, że X N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest nieznane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0 wobec H 1 : µ > m 0. Statystyką testową jest T = X m 0 n 1. S Ustalamy poziom istotności α (0, 1). Z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny jest prawostronny: K = (t 2α, ), gdzie t 2α dobieramy tak, aby P(T t 2α H 0 ) = α. Pod założeniem H 0 mamy T t n 1, zatem α = P(T t 2α H 0 ) P( T t 2α ) = 2α t 2α = F 1 t,n 1 (1 α), gdzie F t,n 1 oznacza dystrybuantę rozkładu t-studenta o n 1 stopniach swobody. Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej t K, czyli t > t 2α.
20 Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o nieznanej wariancji, H 1 : µ < m 0 Zakładamy, że X N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest nieznane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0 wobec H 1 : µ < m 0. Statystyką testową jest T = X m 0 n 1. S Ustalamy poziom istotności α (0, 1). Z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny jest lewostronny: K = (, t 2α ), gdzie t 2α dobieramy tak, aby P(T t 2α H 0 ) = α. Pod założeniem H 0 mamy T t n 1, zatem α = P(T t 2α H 0 ) P( T t 2α ) = 2α t 2α = F 1 t,n 1 (1 α), gdzie F t,n 1 oznacza dystrybuantę rozkładu t-studenta o n 1 stopniach swobody. Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej t K, czyli t < t 2α.
21 Test dla wartości oczekiwanej w dowolnej populacji o nieznanej wariancji, dla dużej próby Dysponujemy liczną próbą (n > 120). X ma dowolny rozkład o skończonej wariancji σ 2, gdzie σ 2 jest nieznane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0, gdzie µ = E(X ). Jako statystyki testowej używamy Z = X m 0 n, która przy S prawdziwości H 0 ma asymptotyczny rozkład N(0, 1). Dalej postępujemy jak w przypadku testu w populacji o znanej wariancji.
22 Test równości wartości oczekiwanych w dwóch populacjach normalnych o znanych wariancjach Badamy dwie populacje generalne: X 1 N(µ 1, σ1 2), X 2 N(µ 2, σ2 2). Parametry µ 1, µ 2 są nieznane, σ1 2, σ2 2 są znane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 wobec H 1 : µ 1 µ 2. Próby wylosowane z populacji ( mają liczebności n 1 i n 2. Ponieważ X 1 X 2 N µ 1 µ 2, σ2 1 n 1 + σ2 2 n 2 ), więc sprawdzianem jest statystyka Z = X 1 X 2, σ1 2 n 1 + σ2 2 n 2 która przy prawdziwości H 0 ma rozkład N(0, 1). Przy poziomie istotności α (0, 1), obszar krytyczny ma postać K = (, z α ) (z α, ), gdzie wartość krytyczną z α dobieramy tak, aby P( Z z α H 0 ) = α. H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość z K, czyli z z α.
23 Test równości wartości oczekiwanych w dwóch populacjach normalnych o nieznanych wariancjach Badamy dwie populacje generalne: X 1 N(µ 1, σ1 2), X 2 N(µ 2, σ2 2). Parametry µ 1, µ 2, a także σ1 2, σ2 2 są nieznane, jednakże σ2 1 = σ2 2. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 wobec H 1 : µ 1 µ 2. Próby wylosowane z populacji mają liczebności n 1 i n 2. Przy prawdziwości H 0 ma statystyka t = X 1 X 2 n1 n 2 (n 1 + n 2 2), n 1 S1 2 + n 2S2 2 n 1 + n 2 ma rozkład t-studenta o (n 1 + n 2 2) stopniach swobody. Przy poziomie istotności α (0, 1), obszar krytyczny ma postać K = (, t α ) (t α, ), gdzie wartość krytyczną t α dobieramy tak, aby P( t t α H 0 ) = α. H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość t K, czyli t t α.
24 Przykład (Jóźwiak, Podgórski, przykład 10.4) Przypuszcza się, że młodsze osoby łatwiej decydują się na zakup nowych, nieznanych produktów. Zapytano o wiek 20 wybranych przypadkowo nabywców nowego produktu i 22 nabywców znanego już wyrobu pewnej firmy. Otrzymano dane: nowy produkt: średnia 27.7 lat, odchylenie standardowe 5.5 lat, stary produkt: średnia 32.1 lat, odchylenie standardowe 6.3 lat. Weryfikujemy hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 wobec H 1 : µ 1 < µ 2, α = Zakładamy, że wiek kupujących jest normalny o takim samym zróżnicowaniu t = ( ) = dla = 40 stopni swobody, oraz 2α = 0.1 odczytujemy t 0.1,40 = 1.684, obszar krytyczny K = (, 1.684). Ponieważ t K, więc H 0 odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej: wyniki próby potwierdzają przypuszczenie.
25 Test dla wariancji w populacji normalnej Zakładamy, że cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ), o nieznanych parametrach. Weryfikujemy hipotezę, że wariancja ma ustaloną wartość σ 2 0 : H 0 : σ 2 = σ 2 0, wobec H 1 : σ 2 > σ 2 0. Statystyką testową jest χ 2 = ns2 σ 2 0 = 1 σ 2 0 ni=1 (X i X ) 2, która przy prawdziwości H 0 ma rozkład χ 2 o n 1 stopniach swobody. Na poziomie istotności α (0, 1), z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny ma postać: K = (χ 2 α, ), gdzie wartość krytyczną χ 2 α dobieramy tak, by P(χ 2 χ 2 α H 0 ) = α. Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej χ 2 K, czyli χ 2 χ 2 α.
26 Test dla wariancji w populacji normalnej Tygodniowe wydatki na żywność per capita mają rozkład N(µ, σ 2 ). Dla 10 losowo wybranych rodzin otrzymano x = 48 i s = Czy na poziomie istotności α = 0.05 można uważać, że odchylenie standardowe wydatków wynosi 9? Weryfikujemy H 0 : σ 2 = 9 2 wobec H 0 : σ 2 > 9 2. Mamy n = 10, σ 2 0 = 92, s 2 = , więc χ 2 = ns 2 σ 2 0 = = 14.4, oraz χ ,9 = Ponieważ χ 2 = 14.4 < = χ ,9, więc nie ma podstaw do odrzucenia H 0.
27 Test dla wariancji w populacji normalnej, n > 30 Zakładamy, że cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ), o nieznanych parametrach. Dysponujemy dużą próbą: n > 30. Weryfikujemy hipotezę, że wariancja ma ustaloną wartość σ 2 0 : H 0 : σ 2 = σ 2 0, wobec H 1 : σ 2 > σ 2 0. Statystyką testową jest Z = 2χ 2 2n 3, gdzie χ 2 = ns2, która przy prawdziwości H 0 ma asymptotyczny rozkład N(0, 1). Na poziomie istotności α (0, 1), z uwagi na postać H 1, obszar krytyczny ma postać: K = (z α, ), gdzie wartość krytyczną z α dobieramy tak, by P(Z z α H 0 ) = α. Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej z K, czyli z z α. σ 2 0
28 Test równości wariancji w dwóch populacjach normalnych Badamy dwie populacje generalne: X 1 N(µ 1, σ 2 1 ), X 2 N(µ 2, σ 2 2 ). Wszystkie parametry są nieznane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : σ 2 1 = σ2 2 wobec H 1 : σ 2 1 σ2 2. Próby wylosowane z populacji mają liczebności n 1 i n 2. Statystyką testową jest F = Ŝ 2 1 Ŝ 2 2 = n 1S 2 1 /(n 1 1) n 2 S 2 2 /(n 2 1), która przy prawdziwości H 0 ma rozkład F -Snedecora o (n 1 1) oraz (n 2 1) stopniach swobody. Obszar krytyczny ma postać: gdzie K = (, F 1 α/2 ) (F α/2, ), P(F F α/2 ) = α/2, P(F F 1 α/2 ) = α/2.
29 Test równości wariancji w dwóch populacjach normalnych, c.d. Dla H 1 : σ1 2 σ2 2 zwykle postępujemy następująco: umieszczamy w liczniku większą wariancję, niezależnie czy jest obliczona z pierwszej czy drugiej próby, tak by obliczona z próby wartość F > 1, wyznaczamy liczbę Fα/2 taką, że P(F F α/2 ) = α/2, odrzucamy H0, jeżeli F F α/2. Jeśli H 1 : σ1 2 > σ2 2, to obszar krytyczny jest prawostronny i wyznaczany z relacji P(F F α ) = α. Jeśli H 1 : σ 2 1 < σ2 2, to najlepiej przenumerować populacje uzyskując poprzedni przypadek.
30 Przykład Sprawdzimy czy założenie o takim samym zróżnicowaniu wieku nabywców było słuszne. Weryfikujemy hipotezę: H 0 : σ 2 1 = σ 2 2, wobec H 1 : σ 2 1 σ 2 2. Ponieważ odchylenie standardowe wieku nabywców znanego wyrobu jest większe, więc tą populację będziemy traktować jako pierwszą. W tych oznaczeniach: Statystyka testowa: n 1 = 22, n 2 = 20, s 1 = 6.3, s 2 = 5.5. F = / /19 = Dla α = 0.05, n 1 = 22, n 2 = 19 odczytujemy F 0.025,21,19 = Ponieważ F < F 0.025,21,19, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji.
31 Test dla wskaźnika struktury Zakładamy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p. Dysponujemy dużą próbą n > 100. Weryfikujemy hipotezę H 0 : p = p 0 wobec H 1 : p p 0. Statystyka testowa Z = m n p 0 p0 (1 p 0 ) n ma przy prawdziwości H 0 asymptotyczny rozkład N(0, 1). m jest liczbą wyróżnionych elementów w próbie posiadających daną cechę. Na poziomie istotności α (0, 1) obszar krytyczny ma postać K = (, z α ) (z α, ), gdzie z α dobieramy tak, aby P( Z z α H 0 ) = α. Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej z K, czyli z > z α.
32 Test równości wskaźników struktury Badamy dwie populacje X 1 i X 2 o rozkładach zero-jedynkowych z parametrami p 1 i p 2. Dysponujemy dużymi próbami n 1, n 2 > 100. Weryfikujemy hipotezę H 0 : p 1 = p 2 wobec H 1 : p 1 p 2. Niech m 1 i m 2 oznacza liczbę wyróżnionych elementów w próbach. Liczymy: w 1 = m 1, w 2 = m 2, p = m 1 + m 2, n = n 1n 2. n 1 n 2 n 1 + n 2 n 1 + n 2 Statystyka testowa Z = w 1 w 2 p(1 p) n ma przy prawdziwości H 0 asymptotyczny rozkład N(0, 1). Obszar krytyczny wyznaczamy i decyzję podejmujemy tak jak przy teście dla pojedynczego wskaźnika struktury.
33 Test zgodności χ 2 Weryfikujemy hipotezę, że badana populacja ma rozkład określony dystrybuantą F 0 : H 0 : F = F 0 wobec H 1 : F F 0. Wyniki dużej próby porządkujemy w r klas o liczebnościach n i. Niech p i oznaczają teoretyczne prawdopodobieństwo przyjęcia wartości z i-tej klasy (przy założeniu H 0 ), i = 1,..., r. Statystyka testowa χ 2 = r (n i np i ) 2 i=1 ma przy prawdziwości H 0 asymptotyczny rozkład χ 2 o (r k 1) stopniach swobody, gdzie k jest liczbą parametrów rozkładu oszacowanych na podstawie rozkładu empirycznego metodą największej wiarygodności. Wartość krytyczną χ α wyznaczamy z relacji: P(χ 2 χ 2 α) = α. Hipotezę zerową odrzucamy, jeśli χ 2 χ 2 α. np i
34 Przykład Rejestrując liczbę zgłoszeń w 300 losowo wybranych, pięciosekundowych odcinkach pracy pewnej centrali telefonicznej otrzymano dane: Liczba zgłoszeń Liczba odcinków Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby zgłoszeń napływających do tej centrali jest rozkładem Poissona: P(X = k) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,....
35 Przykład, c.d. Estymatorem NW parametru λ jest średnia arytmetyczna: ˆλ = Dla x i = 0, 1, 2, 3, 4, obliczamy p i z powyższego wzoru. Dla ostatniej klasy p i liczymy jako dopełnienie do 1. Otrzymujemy χ 2 = x i n i p i np i (n i np i ) 2 np i i więcej Ponieważ r = 6, k = 1, więc χ ,4 = Nie ma podstaw do odrzucenia H 0.
36 Test niezależności χ 2 Rozważamy dwie cechy X i Y. Weryfikujemy hipotezę, że: H 0 : zmienne X i Y są niezależne, wobec H 1 : zmienne X i Y nie są niezależne. Przypomnienie: do oceny zależności służy wielkość Z = r s i=1 j=1 (n ij ˆn ij ) 2 ˆn ij, gdzie n ij są liczebnościami z tablicy korelacyjnej, zaś ˆn ij = n i n j. n Statystyka Z przy prawdziwości H 0 ma asymptotyczny rozkład χ 2 o (r 1)(s 1) stopniach swobody, i nie powinna przyjmować zbyt dużych wartości. Obszar krytyczny wyznaczamy z relacji: P(Z χ 2 α) = α, a hipotezę zerową odrzucamy, jeśli Z χ 2 α. Uwaga: stosujemy, gdy ˆn ij 5 dla wszystkich i, j.
37 Przykład Dane dotyczące jakości wyrobu A produkowanego w ciągu I i II zmiany są następujące: Zmiana Jakość I II Dobra Zła 8 22 Zweryfikuj hipotezę, że jakość wyrobu nie zależy od zmiany, na której jest produkowany. Przyjmij poziom istotności α = Mamy ˆn ij I II n i Dobra Zła n j (n ij ˆn ij ) 2 ˆn ij I II Dobra 100/42 100/28 Zła 100/18 100/12 skąd Z = 19.84, (r 1)(s 1) = 1, χ ,1 = Hipotezę o niezależności odrzucamy. (p = )
Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoStatystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowoWykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu
Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoVI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady
Bardziej szczegółowoSIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Przypuśdmy, że mamy do czynienia z następującą sytuacją: nieznany jest rozkład F rządzący pewnym zjawiskiem losowym. Dysponujemy konkretną próbą losową ( x1, x2,..., xn
Bardziej szczegółowo), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0
Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI 1. Test dla dwóch średnich P.G. 2. Testy dla wskaźnika struktury 3. Testy dla wariancji DECYZJE Obszar krytyczny od pozostałej
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoVII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,
Bardziej szczegółowoUwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez cz. I
Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka
Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez Statystyka Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną
Bardziej szczegółowoZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.
Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie
Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde badanie naukowe rozpoczyna
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności
Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 9 i 10 Magdalena Alama-Bućko 14 i 21 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 14 i 21 maja 2018 1 / 25 Hipotezy statystyczne Hipoteza statystyczna nazywamy
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03
Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy
Bardziej szczegółowoTESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.
TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez
Bardziej szczegółowoWykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym
Wiesława MALSKA Politechnika Rzeszowska, Polska Anna KOZIOROWSKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wstęp Wnioskowanie statystyczne
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Bardziej szczegółowoWyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności
Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 8. Wnioskowanie. Weryfikacja hipotez. Wanda Olech
TATYTYKA wykład 8 Wnioskowanie Weryfikacja hipotez Wanda Olech Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną
Bardziej szczegółowoWyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności
Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych cd.
Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:
Bardziej szczegółowoWykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji
Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 23 maja 2018 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych
Bardziej szczegółowoZad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:
Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności
Bardziej szczegółowoWykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji
Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 24 maja 2017 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem
Bardziej szczegółowo1 Estymacja przedziałowa
1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
Bardziej szczegółowoMatematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.
WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?
Bardziej szczegółowoWykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym
Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną
Bardziej szczegółowoTEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.
TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
9 października 2008 ...czyli definicje na rozgrzewkę n-elementowa próba losowa - wektor n zmiennych losowych (X 1,..., X n ); intuicyjnie: wynik n eksperymentów realizacja próby (X 1,..., X n ) w ω Ω :
Bardziej szczegółowoDokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,
Bardziej szczegółowoGdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).
PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Aktualizacja 2017 Plan wykładu 1. Metody wnioskowania statystycznego vs. metody opisu 2. Testowanie hipotez
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowo2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności
Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5. 2 listopada 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 2 listopada 2009 Poprzedni wykład: przedział ufności dla µ, σ nieznane Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane Testowanie H : µ = µ 0, K : µ
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowo