STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2"

Transkrypt

1 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not justify the conclusion that all swans are white. Good tests kill flawed theories; we remain alive to guess again.

3 Hipoteza statystyczna Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące postaci rozkładu cechy w populacji generalnej (hipotezy nieparametryczne) lub wartości jego parametrów (hipotezy parametryczne). Postępowanie służące rozstrzygnięciu czy hipotezę należy odrzucić czy też nie, nazywamy weryfikacją lub testowaniem hipotezy. Weryfikowaną hipotezę nazywamy zerową (H 0 ). Oprócz niej formułujemy także drugą hipotezę: alternatywną (H 1 ), której prawdziwość przyjmujemy w przypadku odrzucenia hipotezy zerowej. Hipoteza mówiąca, że parametr przyjmuje pewną dokładną (punktową) wartość, nazywa się hipotezą prostą (np. θ = 3). Hipotezę określająca zbiór wartości parametru nazywamy hipotezą złożoną (np. θ < 0).

4 Test statystyczny Test statystyczny to reguła (procedura) postępowania służąca do podjęcia decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu sprawdzanej hipotezy, na podstawie wyników z próby. Formalnie procedura testowa to mierzalna funkcja ϕ : X {0, 1}, gdzie ϕ(x ) = 1 oznacza decyzję o odrzuceniu H 0 (i przyjęcie H 1 ), a wartość ϕ(x ) = 0 oznacza przyjęcie H0 (i odrzucenie H 1 ). Testy parametryczne służą do weryfikacji hipotez parametrycznych. Testy nieparametryczne służą do weryfikacji hipotez nieparametrycznych.

5 Błędy I i II rodzaju Hipoteza zerowa może być prawdziwa lub fałszywa. My możemy podjąć dwie decyzje: odrzucić H 0 albo nie odrzucać H 0. Hipoteza statystyczna jest weryfikowana w oparciu o dane z próby, więc istnieje prawdopodobieństwo popełnienia błędu. Możliwe są cztery sytuacje: Wynik testu Rzeczywistość H 0 jest prawdziwa H 0 jest fałszywa Odrzucamy H 0 Błąd I rodzaju decyzja poprawna Brak podstaw do odrzucenia H 0 decyzja poprawna Błąd II rodzaju

6 Obserwacja: Cecha X ma rozkład normalny N(m, 1) o nieznanej wartości przeciętnej m. Wysuwamy przypuszczenie, że H 0 : m = 0 (hipoteza zerowa). Załóżmy teraz, że z wylosowanej próby prostej zwierającej 10 elementów uzyskano wartość x = Wiemy, że jeśli X N(0, 1), to X 10 N(0, 1/10), zatem P( X ) = P( 10 X ) = = 2(1 Φ( )) Jeśli H 0 jest prawdziwa, to zdarzenie { X } jest mało prawdopodobne, jednakże możliwe.

7 Poziom istotności, testy istotności Musimy podjąć decyzję (czy też ustalić regułę decyzyjną), jak małe prawdopodobieństwo nastąpienia obserwowanego zdarzenia (przy zachodzeniu H 0 ) skłania nas do odrzucenia H 0. Takie krytyczne prawdopodobieństwo α (0, 1), że odrzucamy H 0, jeżeli (przy zachodzeniu H 0 ) prawdopodobieństwo nastąpienia zaobserwowanego zdarzenia jest nie większe niż α, nazywamy poziomem istotności. P(ϕ(X ) = 1 H 0 ) = P(odrzucamy H 0 H 0 ) α. Testy, przy których interesuje nas jedynie prawdziwość lub fałszywość H 0, i nie interesuje na błąd II rodzaju, nazywamy testami istotności. Testy istotności pozwalają na odrzucenie H 0, lub stwierdzenie, że zaobserwowane wartości nie dają podstaw do odrzucenia H 0.

8 Poziom istotności, rozmiar i moc testu Rozmiarem testu nazywamy liczbę P(błędu I rodzaju) = P(odrzucenie H 0 H 0 jest prawdziwa). Test na poziomie istotności α ma rozmiar α. Mocą testu nazywamy liczbę 1 β, gdzie β = P(błędu II rodzaju) = = P(nieodrzucenie H 0 H 1 jest prawdziwa), czyli moc testu = P(odrzucenie H 0 H 1 jest prawdziwa).

9 Obszar krytyczny Test istotności składa się: ze statystyki testowej (T ) zwanej także sprawdzianem hipotezy, oraz obszaru krytycznego (K), który wyznaczamy tak, aby α = P(T K H 0 ). ( ) Jeśli zachodzi T K, to H 0 odrzucamy, na korzyść H 1. Jeśli T K, to nie ma podstaw do odrzucenia H 0. Hipoteza zerowa w testach parametrycznych ma zwykle postać: H 0 : θ = θ 0, gdzie θ 0 jest ustaloną liczbą rzeczywistą. Hipotezę alternatywną w testach istotności możemy sformułować na trzy sposoby; każdemu z nich odpowiada inny typ obszaru krytycznego: H 1 : θ θ 0, obszar krytyczny dwustronny: K = (, a) (b, ), H1 : θ > θ 0, obszar krytyczny prawostronny: K = (b, ), H1 : θ < θ 0, obszar krytyczny lewostronny: K = (, a) (gdzie a, b należy wyznaczyć z warunku ( )).

10 Schemat weryfikacji hipotez Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej, Wybór statystyki testowej, Określenie poziomu istotności α, Wyznaczenie obszaru krytycznego testu, Obliczenie oceny statystyki testowej na podstawie próby, Podjęcie decyzji.

11 Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o znanej wariancji, H 1 : µ m 0 Zakładamy, że X N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest znane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0 wobec H 1 : µ m 0. Statystyką testową jest Z = X m 0 n. σ Ustalamy poziom istotności α (0, 1). Z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny jest dwustronny: K = (, z α ) (z α, ), gdzie wartość krytyczną z α dobieramy tak, aby P( Z z α H 0 ) = α. Pod założeniem H 0 mamy Z N(0, 1), zatem ( α 2 = P(Z z α H 0 ) = 1 Φ(z α ) z α = Φ 1 1 α ). 2 Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej z K, czyli z z α.

12 Przykład Czas pracy pewnego rodzaju baterii ma rozkład N(µ, 70 2 ). Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że przeciętny czas pracy tego typu baterii jest równy 500 godz., jeżeli dla 16 losowo wybranych baterii otrzymano x = 530 godz. H 0 : µ = 500 H 1 : µ 500, α = 0.05 z α = Φ 1 (1 0.05/2) = 1.96, K = (, 1.96) (1.96, ), x = 530, σ = 70, n = 16, z = x m n = 16 = K. σ 70 Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Wniosek: Przeciętny czas pracy tego typu baterii nie jest istotnie różny od 500 godzin (na poziomie istotności 0.05).

13 p-value Gdybyśmy w powyższym przykładzie przyjęli α = 0.1, to wówczas z α = Φ(0.95) = 1.645, Wtedy z = K = (, 1.645) (1.645, ), więc H 0 należałoby odrzucić. Najmniejszy poziom istotności α dla którego odrzucamy H 0 (lub największy dla którego nie odrzucamy H 0 ) nazywamy p-wartością testu (p-value). p-value dostarcza dodatkową informację o dowodach za lub przeciw H 0, ułatwiając podejmowanie decyzji o jej przyjęciu lub odrzuceniu. W naszym przykładzie: = Φ 1 (1 p/2) p = 2(1 Φ( )) = Zauważmy, że w tym przykładzie ( ) p = P Z z H 0, gdzie z jest wartością statystyki Z zaobserwowaną w próbie.

14 Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o znanej wariancji, H 1 : µ > m 0 Zakładamy, że X N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest znane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0 wobec H 1 : µ > m 0. Statystyką testową jest Z = X m 0 n. σ Ustalamy poziom istotności α (0, 1). Z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny jest prawostronny: K = (z 2α, ), gdzie z 2α dobieramy tak, aby P(Z z 2α H 0 ) = α. Pod założeniem H 0 mamy Z N(0, 1), zatem α = P(Z z 2α H 0 ) = 1 Φ(z α ) z 2α = Φ 1 (1 α). Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej z K, czyli z > z 2α.

15 Przykład Czas pracy pewnego rodzaju baterii ma rozkład N(µ, 70 2 ). Odpowiedz na pytanie, czy przeciętny czas pracy tego typu baterii wynosi ponad 500 godz., jeżeli dla 16 losowo wybranych baterii otrzymano x = 530 godz. Przyjmij poziom istotności α = H 0 : µ = 500 H 1 : µ > 500, α = 0.05 z α = Φ 1 (1 0.05) = 1.645, K = (, 1.645) (1.645, ), x = 530, σ = 70, n = 16, z = x m n = 16 = K. σ 70 Odrzucamy H 0 : Przeciętny czas pracy tego typu baterii jest istotnie większy niż 500 godzin (na poziomie istotności 0.05). ( ) p = P Z > H 0 = 1 Φ( ) =

16 Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o znanej wariancji, H 1 : µ < m 0 Zakładamy, że X N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest znane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0 wobec H 1 : µ < m 0. Statystyką testową jest Z = X m 0 n. σ Ustalamy poziom istotności α (0, 1). Z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny jest lewostronny: K = (, z 2α ), gdzie z 2α dobieramy tak, aby P(Z z 2α H 0 ) = α. Pod założeniem H 0 mamy Z N(0, 1), zatem α = P(Z z 2α H 0 ) = 1 Φ(z 2α ) z 2α = Φ 1 (1 α). Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej z K, czyli z < z 2α.

17 Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o nieznanej wariancji, H 1 : µ m 0 Zakładamy, że X N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest nieznane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0 wobec H 1 : µ m 0. Statystyką testową jest T = X m 0 n 1. S Ustalamy poziom istotności α (0, 1). Z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny jest dwustronny: K = (, t α ) (t α, ), gdzie wartość krytyczną t α dobieramy tak, aby P( T t α H 0 ) = α. Pod założeniem H 0 mamy T t n 1, zatem α = P( T t α H 0 ) t α = Ft,n 1 1 (1 α/2), gdzie F t,n 1 oznacza dystrybuantę rozkładu t-studenta o n 1 stopniach swobody. Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej t K, czyli t > t α.

18 Przykład Na podstawie 10 elementowej próby obliczono średnią czasu toczenia detalu na tokarce równą 27 minut i odchylenie standardowe 5 minut. Na poziomie istotności α = 0.02 zweryfikować hipotezę, że przeciętny czas toczenia na tej tokarce wynosi 30 minut, przy założeniu, że czas toczenia detalu ma rozkład normalny. H 0 : µ = 30 H 1 : µ 30, α = 0.02, n = 10 t α = Ft,9 1 (1 0.05/2) = 2.821, K = (, 2.821) (2.821, ), x = 27, S = 5, t = x m n 1 = 10 1 = 1.8 K. S 5 Nie ma podstaw do odrzucenia H 0 : Przeciętny czas toczenia detalu na tokarce nie różni się istotnie od 30 minut. ( ) p = P T > 1.8 H 0 = 2(1 F t,9 (1.8)) =

19 Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o nieznanej wariancji, H 1 : µ > m 0 Zakładamy, że X N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest nieznane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0 wobec H 1 : µ > m 0. Statystyką testową jest T = X m 0 n 1. S Ustalamy poziom istotności α (0, 1). Z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny jest prawostronny: K = (t 2α, ), gdzie t 2α dobieramy tak, aby P(T t 2α H 0 ) = α. Pod założeniem H 0 mamy T t n 1, zatem α = P(T t 2α H 0 ) P( T t 2α ) = 2α t 2α = F 1 t,n 1 (1 α), gdzie F t,n 1 oznacza dystrybuantę rozkładu t-studenta o n 1 stopniach swobody. Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej t K, czyli t > t 2α.

20 Test dla wartości oczekiwanej w populacji normalnej o nieznanej wariancji, H 1 : µ < m 0 Zakładamy, że X N(µ, σ 2 ), gdzie σ 2 jest nieznane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0 wobec H 1 : µ < m 0. Statystyką testową jest T = X m 0 n 1. S Ustalamy poziom istotności α (0, 1). Z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny jest lewostronny: K = (, t 2α ), gdzie t 2α dobieramy tak, aby P(T t 2α H 0 ) = α. Pod założeniem H 0 mamy T t n 1, zatem α = P(T t 2α H 0 ) P( T t 2α ) = 2α t 2α = F 1 t,n 1 (1 α), gdzie F t,n 1 oznacza dystrybuantę rozkładu t-studenta o n 1 stopniach swobody. Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej t K, czyli t < t 2α.

21 Test dla wartości oczekiwanej w dowolnej populacji o nieznanej wariancji, dla dużej próby Dysponujemy liczną próbą (n > 120). X ma dowolny rozkład o skończonej wariancji σ 2, gdzie σ 2 jest nieznane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ = m 0, gdzie µ = E(X ). Jako statystyki testowej używamy Z = X m 0 n, która przy S prawdziwości H 0 ma asymptotyczny rozkład N(0, 1). Dalej postępujemy jak w przypadku testu w populacji o znanej wariancji.

22 Test równości wartości oczekiwanych w dwóch populacjach normalnych o znanych wariancjach Badamy dwie populacje generalne: X 1 N(µ 1, σ1 2), X 2 N(µ 2, σ2 2). Parametry µ 1, µ 2 są nieznane, σ1 2, σ2 2 są znane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 wobec H 1 : µ 1 µ 2. Próby wylosowane z populacji ( mają liczebności n 1 i n 2. Ponieważ X 1 X 2 N µ 1 µ 2, σ2 1 n 1 + σ2 2 n 2 ), więc sprawdzianem jest statystyka Z = X 1 X 2, σ1 2 n 1 + σ2 2 n 2 która przy prawdziwości H 0 ma rozkład N(0, 1). Przy poziomie istotności α (0, 1), obszar krytyczny ma postać K = (, z α ) (z α, ), gdzie wartość krytyczną z α dobieramy tak, aby P( Z z α H 0 ) = α. H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość z K, czyli z z α.

23 Test równości wartości oczekiwanych w dwóch populacjach normalnych o nieznanych wariancjach Badamy dwie populacje generalne: X 1 N(µ 1, σ1 2), X 2 N(µ 2, σ2 2). Parametry µ 1, µ 2, a także σ1 2, σ2 2 są nieznane, jednakże σ2 1 = σ2 2. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 wobec H 1 : µ 1 µ 2. Próby wylosowane z populacji mają liczebności n 1 i n 2. Przy prawdziwości H 0 ma statystyka t = X 1 X 2 n1 n 2 (n 1 + n 2 2), n 1 S1 2 + n 2S2 2 n 1 + n 2 ma rozkład t-studenta o (n 1 + n 2 2) stopniach swobody. Przy poziomie istotności α (0, 1), obszar krytyczny ma postać K = (, t α ) (t α, ), gdzie wartość krytyczną t α dobieramy tak, aby P( t t α H 0 ) = α. H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość t K, czyli t t α.

24 Przykład (Jóźwiak, Podgórski, przykład 10.4) Przypuszcza się, że młodsze osoby łatwiej decydują się na zakup nowych, nieznanych produktów. Zapytano o wiek 20 wybranych przypadkowo nabywców nowego produktu i 22 nabywców znanego już wyrobu pewnej firmy. Otrzymano dane: nowy produkt: średnia 27.7 lat, odchylenie standardowe 5.5 lat, stary produkt: średnia 32.1 lat, odchylenie standardowe 6.3 lat. Weryfikujemy hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 wobec H 1 : µ 1 < µ 2, α = Zakładamy, że wiek kupujących jest normalny o takim samym zróżnicowaniu t = ( ) = dla = 40 stopni swobody, oraz 2α = 0.1 odczytujemy t 0.1,40 = 1.684, obszar krytyczny K = (, 1.684). Ponieważ t K, więc H 0 odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej: wyniki próby potwierdzają przypuszczenie.

25 Test dla wariancji w populacji normalnej Zakładamy, że cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ), o nieznanych parametrach. Weryfikujemy hipotezę, że wariancja ma ustaloną wartość σ 2 0 : H 0 : σ 2 = σ 2 0, wobec H 1 : σ 2 > σ 2 0. Statystyką testową jest χ 2 = ns2 σ 2 0 = 1 σ 2 0 ni=1 (X i X ) 2, która przy prawdziwości H 0 ma rozkład χ 2 o n 1 stopniach swobody. Na poziomie istotności α (0, 1), z uwagi na postać H 1 obszar krytyczny ma postać: K = (χ 2 α, ), gdzie wartość krytyczną χ 2 α dobieramy tak, by P(χ 2 χ 2 α H 0 ) = α. Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej χ 2 K, czyli χ 2 χ 2 α.

26 Test dla wariancji w populacji normalnej Tygodniowe wydatki na żywność per capita mają rozkład N(µ, σ 2 ). Dla 10 losowo wybranych rodzin otrzymano x = 48 i s = Czy na poziomie istotności α = 0.05 można uważać, że odchylenie standardowe wydatków wynosi 9? Weryfikujemy H 0 : σ 2 = 9 2 wobec H 0 : σ 2 > 9 2. Mamy n = 10, σ 2 0 = 92, s 2 = , więc χ 2 = ns 2 σ 2 0 = = 14.4, oraz χ ,9 = Ponieważ χ 2 = 14.4 < = χ ,9, więc nie ma podstaw do odrzucenia H 0.

27 Test dla wariancji w populacji normalnej, n > 30 Zakładamy, że cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ), o nieznanych parametrach. Dysponujemy dużą próbą: n > 30. Weryfikujemy hipotezę, że wariancja ma ustaloną wartość σ 2 0 : H 0 : σ 2 = σ 2 0, wobec H 1 : σ 2 > σ 2 0. Statystyką testową jest Z = 2χ 2 2n 3, gdzie χ 2 = ns2, która przy prawdziwości H 0 ma asymptotyczny rozkład N(0, 1). Na poziomie istotności α (0, 1), z uwagi na postać H 1, obszar krytyczny ma postać: K = (z α, ), gdzie wartość krytyczną z α dobieramy tak, by P(Z z α H 0 ) = α. Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej z K, czyli z z α. σ 2 0

28 Test równości wariancji w dwóch populacjach normalnych Badamy dwie populacje generalne: X 1 N(µ 1, σ 2 1 ), X 2 N(µ 2, σ 2 2 ). Wszystkie parametry są nieznane. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0 : σ 2 1 = σ2 2 wobec H 1 : σ 2 1 σ2 2. Próby wylosowane z populacji mają liczebności n 1 i n 2. Statystyką testową jest F = Ŝ 2 1 Ŝ 2 2 = n 1S 2 1 /(n 1 1) n 2 S 2 2 /(n 2 1), która przy prawdziwości H 0 ma rozkład F -Snedecora o (n 1 1) oraz (n 2 1) stopniach swobody. Obszar krytyczny ma postać: gdzie K = (, F 1 α/2 ) (F α/2, ), P(F F α/2 ) = α/2, P(F F 1 α/2 ) = α/2.

29 Test równości wariancji w dwóch populacjach normalnych, c.d. Dla H 1 : σ1 2 σ2 2 zwykle postępujemy następująco: umieszczamy w liczniku większą wariancję, niezależnie czy jest obliczona z pierwszej czy drugiej próby, tak by obliczona z próby wartość F > 1, wyznaczamy liczbę Fα/2 taką, że P(F F α/2 ) = α/2, odrzucamy H0, jeżeli F F α/2. Jeśli H 1 : σ1 2 > σ2 2, to obszar krytyczny jest prawostronny i wyznaczany z relacji P(F F α ) = α. Jeśli H 1 : σ 2 1 < σ2 2, to najlepiej przenumerować populacje uzyskując poprzedni przypadek.

30 Przykład Sprawdzimy czy założenie o takim samym zróżnicowaniu wieku nabywców było słuszne. Weryfikujemy hipotezę: H 0 : σ 2 1 = σ 2 2, wobec H 1 : σ 2 1 σ 2 2. Ponieważ odchylenie standardowe wieku nabywców znanego wyrobu jest większe, więc tą populację będziemy traktować jako pierwszą. W tych oznaczeniach: Statystyka testowa: n 1 = 22, n 2 = 20, s 1 = 6.3, s 2 = 5.5. F = / /19 = Dla α = 0.05, n 1 = 22, n 2 = 19 odczytujemy F 0.025,21,19 = Ponieważ F < F 0.025,21,19, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji.

31 Test dla wskaźnika struktury Zakładamy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p. Dysponujemy dużą próbą n > 100. Weryfikujemy hipotezę H 0 : p = p 0 wobec H 1 : p p 0. Statystyka testowa Z = m n p 0 p0 (1 p 0 ) n ma przy prawdziwości H 0 asymptotyczny rozkład N(0, 1). m jest liczbą wyróżnionych elementów w próbie posiadających daną cechę. Na poziomie istotności α (0, 1) obszar krytyczny ma postać K = (, z α ) (z α, ), gdzie z α dobieramy tak, aby P( Z z α H 0 ) = α. Hipotezę H 0 odrzucamy, jeśli obliczona z próby wartość statystyki testowej z K, czyli z > z α.

32 Test równości wskaźników struktury Badamy dwie populacje X 1 i X 2 o rozkładach zero-jedynkowych z parametrami p 1 i p 2. Dysponujemy dużymi próbami n 1, n 2 > 100. Weryfikujemy hipotezę H 0 : p 1 = p 2 wobec H 1 : p 1 p 2. Niech m 1 i m 2 oznacza liczbę wyróżnionych elementów w próbach. Liczymy: w 1 = m 1, w 2 = m 2, p = m 1 + m 2, n = n 1n 2. n 1 n 2 n 1 + n 2 n 1 + n 2 Statystyka testowa Z = w 1 w 2 p(1 p) n ma przy prawdziwości H 0 asymptotyczny rozkład N(0, 1). Obszar krytyczny wyznaczamy i decyzję podejmujemy tak jak przy teście dla pojedynczego wskaźnika struktury.

33 Test zgodności χ 2 Weryfikujemy hipotezę, że badana populacja ma rozkład określony dystrybuantą F 0 : H 0 : F = F 0 wobec H 1 : F F 0. Wyniki dużej próby porządkujemy w r klas o liczebnościach n i. Niech p i oznaczają teoretyczne prawdopodobieństwo przyjęcia wartości z i-tej klasy (przy założeniu H 0 ), i = 1,..., r. Statystyka testowa χ 2 = r (n i np i ) 2 i=1 ma przy prawdziwości H 0 asymptotyczny rozkład χ 2 o (r k 1) stopniach swobody, gdzie k jest liczbą parametrów rozkładu oszacowanych na podstawie rozkładu empirycznego metodą największej wiarygodności. Wartość krytyczną χ α wyznaczamy z relacji: P(χ 2 χ 2 α) = α. Hipotezę zerową odrzucamy, jeśli χ 2 χ 2 α. np i

34 Przykład Rejestrując liczbę zgłoszeń w 300 losowo wybranych, pięciosekundowych odcinkach pracy pewnej centrali telefonicznej otrzymano dane: Liczba zgłoszeń Liczba odcinków Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby zgłoszeń napływających do tej centrali jest rozkładem Poissona: P(X = k) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,....

35 Przykład, c.d. Estymatorem NW parametru λ jest średnia arytmetyczna: ˆλ = Dla x i = 0, 1, 2, 3, 4, obliczamy p i z powyższego wzoru. Dla ostatniej klasy p i liczymy jako dopełnienie do 1. Otrzymujemy χ 2 = x i n i p i np i (n i np i ) 2 np i i więcej Ponieważ r = 6, k = 1, więc χ ,4 = Nie ma podstaw do odrzucenia H 0.

36 Test niezależności χ 2 Rozważamy dwie cechy X i Y. Weryfikujemy hipotezę, że: H 0 : zmienne X i Y są niezależne, wobec H 1 : zmienne X i Y nie są niezależne. Przypomnienie: do oceny zależności służy wielkość Z = r s i=1 j=1 (n ij ˆn ij ) 2 ˆn ij, gdzie n ij są liczebnościami z tablicy korelacyjnej, zaś ˆn ij = n i n j. n Statystyka Z przy prawdziwości H 0 ma asymptotyczny rozkład χ 2 o (r 1)(s 1) stopniach swobody, i nie powinna przyjmować zbyt dużych wartości. Obszar krytyczny wyznaczamy z relacji: P(Z χ 2 α) = α, a hipotezę zerową odrzucamy, jeśli Z χ 2 α. Uwaga: stosujemy, gdy ˆn ij 5 dla wszystkich i, j.

37 Przykład Dane dotyczące jakości wyrobu A produkowanego w ciągu I i II zmiany są następujące: Zmiana Jakość I II Dobra Zła 8 22 Zweryfikuj hipotezę, że jakość wyrobu nie zależy od zmiany, na której jest produkowany. Przyjmij poziom istotności α = Mamy ˆn ij I II n i Dobra Zła n j (n ij ˆn ij ) 2 ˆn ij I II Dobra 100/42 100/28 Zła 100/18 100/12 skąd Z = 19.84, (r 1)(s 1) = 1, χ ,1 = Hipotezę o niezależności odrzucamy. (p = )

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wiesława MALSKA Politechnika Rzeszowska, Polska Anna KOZIOROWSKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wstęp Wnioskowanie statystyczne

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Test lewostronny dla hipotezy zerowej:

Test lewostronny dla hipotezy zerowej: Poznajemy testowanie hipotez statystycznych w środowisku R Zajęcia z dnia 11 maja 2011 roku Najpierw teoria TESTY ISTOTNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI GENERALNEJ gdy znana jest wariancja!!! Test prawostronny

Bardziej szczegółowo

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej 1 Statystyka opisowa Statystyka opisowa zajmuje się porządkowaniem danych i wstępnym ich opracowaniem. Szereg statystyczny - to zbiór wyników obserwacji jednostek według pewnej cechy 1. szereg wyliczający

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu 1. Metody wnioskowania statystycznego vs. metody opisu 2. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu 1. Metody wnioskowania statystycznego vs. metody opisu 2. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki Maszyna ustawiona jest tak, by produkowała kulki łożyskowe o średnicy 1 cm. Pomiar dziesięciu wylosowanych z produkcji kulek dał x = 1.1 oraz s 2 = 0.009. Czy można uznać, że maszyna nie rozregulowała

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II Szkic wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 4 5 Weryfikacja hipotez statystycznych Obok estymacji drugim działem wnioskowania statystycznego jest weryfikacja hipotez

Bardziej szczegółowo

4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1

4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1 LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji 341 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Piotr Peternek Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Marek Kośny Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Kilka uwag o testowaniu istotności

Bardziej szczegółowo

Testy dotyczące wartości oczekiwanej (1 próbka).

Testy dotyczące wartości oczekiwanej (1 próbka). ZASADY TESTOWANIA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH. TESTY DOTYCZĄCE WARTOŚCI OCZEKIWANEJ Przez hipotezę tatytyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu intereującej na cechy. Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób X = (X 1, X 2,..., X n ) - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 X ),

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

hipotez statystycznych

hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Zadanie Punkty Ocena

Zadanie Punkty Ocena Statystyka matematyczna Test przykładowy na zaliczenie laboratorium / ćwiczeń PROSZĘ NIE ODWRACAĆ KARTKI PRZED ROZPOCZĘCIEM TESTU! Wskazówki: 1. Wybierz zadania, za które w sumie możesz otrzymać 30 punktów

Bardziej szczegółowo

Porównanie wielu rozkładów normalnych

Porównanie wielu rozkładów normalnych Porównanie wielu rozkładów normalnych Założenia:. X i N(µ i, σi 2 ), i =,..., k 2. X,..., X k są niezależne Czy µ = = µ k? Czy σ 2 = = σ 2 k? Próby: X i,..., X ini, i =,..., k X i, varx i, s 2 i = varx

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki STA - Wykład 5

Elementy statystyki STA - Wykład 5 STA - Wykład 5 Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 ANOVA 2 Model jednoczynnikowej analizy wariancji Na model jednoczynnikowej analizy wariancji możemy traktować jako uogólnienie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY Próba losowa prosta To taki dobór elementów z populacji, że każdy element miał takie samo prawdopodobieństwo znalezienia się w próbie Niezależne

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej ESTYMACJA Przedział ufności dla średniej W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni nieobecności w pracy wynosiła 30, a odchylenie standardowe 3 dni. a) Przyjmując współczynnik

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej Testowanie hipotez Poziom p Poziom p jest to najmniejszy poziom istotności α, przy którym możemy odrzucić hipotezę zerową dysponując otrzymaną wartością statystyki testowej. 1 Testowanie hipotez na temat

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 TEORIA ESTYMACJI I 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: ; s bez wyników wątpliwych Odrzucenie wyników z poza przedziału: 3s PRÓBA LOSOWA

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Metody analizy danych ćwiczenia Estymacja przedziałowa Program ćwiczeń obejmuje następująca zadania: 1. Dom handlowy prowadzący

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych etc

Testowanie hipotez statystycznych etc Testowanie hipotez statystycznych etc Definicje Testy średniej Test Pearsona Test Kołmogorowa-Smirnowa Test znaków Teoria testów Analiza wariancji Krzywe regresji Definicje Parametryczny (test, hipoteza,

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń Problem Przykłady

Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń Problem Przykłady Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń 1. Problem ozwaŝamy zjawisko (model): Y = β 1 X 1 X +...+ β k X k +Z Ηβ = w r Hipoteza alternatywna: Ηβ w r

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich.

Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. EXCEL Do weryfikacji różnic między dwiema grupami jednostek doświadczalnych w Excelu wykorzystujemy funkcję o nazwie T.TEST. Zastosowana

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów

STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Statystyka matematyczna - część matematyki

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Może faktycznie ceny na Opolszczyźnie są wyższe niż w Polsce. Ceny na Opolszczyźnie są podobne, a akurat trafiliśmy na próbę droższych piekarni.

Może faktycznie ceny na Opolszczyźnie są wyższe niż w Polsce. Ceny na Opolszczyźnie są podobne, a akurat trafiliśmy na próbę droższych piekarni. Statystyczne testowanie hipotez: procedura, która pozwala ocenić hipotezę na temat parametru populacji w oparciu o statystykę próby. Zauważyliśmy, że ceny pieczywa w Opolu są wyższe niż gdzie indziej w

Bardziej szczegółowo

Badania eksperymentalne

Badania eksperymentalne Badania eksperymentalne Pomiar na skali porządkowej mgr Agnieszka Zięba Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa Najpopularniejsze sposoby oceny wyników eksperymentu

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo