Testowanie hipotez statystycznych.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Testowanie hipotez statystycznych."

Transkrypt

1 Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011

2 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona.

3 Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie P{X 1 = x i } = p i, i = 1,..., k. Oznaczmy przez O i liczbę tych zmiennych spośród X 1,..., X n, które przyjęły wartość x i a przez E i = np i oczekiwaną liczbę wartości x i. Wektor losowy (O 1, O 2,..., O k ) ma rozkład wielomianowy z parametrami n i (p 1,..., p k ) natomiast zmienna losowa χ 2 P = k i=1 (O i E i ) 2 E i, ma asymptotyczny rozkład chi kwadrat z (k 1) stopniami swobody χ 2 k 1.

4 Test zgodności χ 2 dla hipotezy prostej Rozważmy dyskretną zmienną losową X o nieznanym rozkładzie P{X = x i } = q i, i = 1,..., k, q i są nieznane. Stawiamy hipotezę H 0 : q i = p i dla każdego i = 1,..., k. Statystyka testowa to statystyka Pearsona χ 2 P χ 2 P = k i=1 która w tym przypadku ma postać (O i E i ) 2 E i, χ 2 P = k i=1 (O i np i ) 2 np i.

5 Test zgodności χ 2 dla hipotezy prostej Rozważmy dyskretną zmienną losową X o nieznanym rozkładzie P{X = x i } = q i, i = 1,..., k, q i są nieznane. Stawiamy hipotezę H 0 : q i = p i dla każdego i = 1,..., k. Statystyka testowa to statystyka Pearsona χ 2 P χ 2 P = k i=1 która w tym przypadku ma postać (O i E i ) 2 E i, χ 2 P = k i=1 (O i np i ) 2 np i.

6 Przykład Sprawdzamy, że cyfry z tabeli i O i są wygenerowane z rozkładu jednostajnego. Przetestujemy hipotezę H 0 : P{X = i} = 1, dla każdego i = 0,..., 9, 10 na poziomie istotności α = 0, 01.

7 Przykład Sprawdzamy, że cyfry z tabeli i O i są wygenerowane z rozkładu jednostajnego. Przetestujemy hipotezę H 0 : P{X = i} = 1, dla każdego i = 0,..., 9, 10 na poziomie istotności α = 0, 01.

8 Przykład Sprawdzamy, że cyfry z tabeli i O i są wygenerowane z rozkładu jednostajnego. Przetestujemy hipotezę H 0 : P{X = i} = 1, dla każdego i = 0,..., 9, 10 na poziomie istotności α = 0, 01.

9 Przykład cd. W tabeli jest 320 cyfr a więc n = 320. Wszystkie częstości oczekiwane są takie same E i = n 10 = = 32. Statystyka testowa ma wartość χ 2 P = 2, 5, natomiast kwantyl rzędu 0, 99 dla rozkładu χ 2 z 9 stopniami swobody jest równy χ 2 9:0,01 = 21, 67. Tak więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i przyjmujemy H 0, (p wartość jest w tym przypadku równa p = 0, 981.)

10 Test zgodności χ 2 dla rozkładu ciągłego. Test χ 2 możemy także stosować do sprawdzania hipotez o postaci rozkładu ciągłego. W tym celu należy wyznaczyć rozłączne klasy A 1,..., A k (podobnie jak przy konstrukcji histogramu) i obliczyć, przy założeniu hipotezy zerowej H 0, prawdopodobieństwa p 1 = P{X A 1 }, p 2 = P{X A 2 },..., p k = P{X A k }. Niech n oznacza wielkość próby, a O i liczbę obserwacji w i tej klasie. Za pomocą testu χ 2 Pearsona możemy sprawdzić, czy zaobserwowane częstości O 1, O 2,..., O k podlegają rozkładowi z gęstością {p i, i = 1,..., k}.

11 Test zgodności χ 2 dla rozkładu ciągłego. Test χ 2 możemy także stosować do sprawdzania hipotez o postaci rozkładu ciągłego. W tym celu należy wyznaczyć rozłączne klasy A 1,..., A k (podobnie jak przy konstrukcji histogramu) i obliczyć, przy założeniu hipotezy zerowej H 0, prawdopodobieństwa p 1 = P{X A 1 }, p 2 = P{X A 2 },..., p k = P{X A k }. Niech n oznacza wielkość próby, a O i liczbę obserwacji w i tej klasie. Za pomocą testu χ 2 Pearsona możemy sprawdzić, czy zaobserwowane częstości O 1, O 2,..., O k podlegają rozkładowi z gęstością {p i, i = 1,..., k}.

12 Test zgodności χ 2 dla rozkładu ciągłego. Test χ 2 możemy także stosować do sprawdzania hipotez o postaci rozkładu ciągłego. W tym celu należy wyznaczyć rozłączne klasy A 1,..., A k (podobnie jak przy konstrukcji histogramu) i obliczyć, przy założeniu hipotezy zerowej H 0, prawdopodobieństwa p 1 = P{X A 1 }, p 2 = P{X A 2 },..., p k = P{X A k }. Niech n oznacza wielkość próby, a O i liczbę obserwacji w i tej klasie. Za pomocą testu χ 2 Pearsona możemy sprawdzić, czy zaobserwowane częstości O 1, O 2,..., O k podlegają rozkładowi z gęstością {p i, i = 1,..., k}.

13 Test zgodności χ 2 dla rozkładu ciągłego. Test χ 2 możemy także stosować do sprawdzania hipotez o postaci rozkładu ciągłego. W tym celu należy wyznaczyć rozłączne klasy A 1,..., A k (podobnie jak przy konstrukcji histogramu) i obliczyć, przy założeniu hipotezy zerowej H 0, prawdopodobieństwa p 1 = P{X A 1 }, p 2 = P{X A 2 },..., p k = P{X A k }. Niech n oznacza wielkość próby, a O i liczbę obserwacji w i tej klasie. Za pomocą testu χ 2 Pearsona możemy sprawdzić, czy zaobserwowane częstości O 1, O 2,..., O k podlegają rozkładowi z gęstością {p i, i = 1,..., k}.

14 Test zgodności χ 2 dla rozkładu ciągłego. Test χ 2 możemy także stosować do sprawdzania hipotez o postaci rozkładu ciągłego. W tym celu należy wyznaczyć rozłączne klasy A 1,..., A k (podobnie jak przy konstrukcji histogramu) i obliczyć, przy założeniu hipotezy zerowej H 0, prawdopodobieństwa p 1 = P{X A 1 }, p 2 = P{X A 2 },..., p k = P{X A k }. Niech n oznacza wielkość próby, a O i liczbę obserwacji w i tej klasie. Za pomocą testu χ 2 Pearsona możemy sprawdzić, czy zaobserwowane częstości O 1, O 2,..., O k podlegają rozkładowi z gęstością {p i, i = 1,..., k}.

15 Test zgodności χ 2 dla rozkładu ciągłego. Test χ 2 możemy także stosować do sprawdzania hipotez o postaci rozkładu ciągłego. W tym celu należy wyznaczyć rozłączne klasy A 1,..., A k (podobnie jak przy konstrukcji histogramu) i obliczyć, przy założeniu hipotezy zerowej H 0, prawdopodobieństwa p 1 = P{X A 1 }, p 2 = P{X A 2 },..., p k = P{X A k }. Niech n oznacza wielkość próby, a O i liczbę obserwacji w i tej klasie. Za pomocą testu χ 2 Pearsona możemy sprawdzić, czy zaobserwowane częstości O 1, O 2,..., O k podlegają rozkładowi z gęstością {p i, i = 1,..., k}.

16 Test zgodności χ 2 dla rozkładu ciągłego cd. Metodę tę zilustrujemy następującym przykładem. Przykład Według producenta pojemność jego naczynie miareczkowego ma rozkład normalny z wartością średnią równą nominalnej pojemności oraz odchyleniu standardowym równym 0, 01 mm 3. Aby to sprawdzić, przebadano pojemność 200 naczyń o nominalnej pojemności równej 30 mm 3. Wyznaczono k = 10 rozłącznych klas A 1,..., A 10. Ich granice z zaobserwowanymi liczebnościami są podane w tabeli

17 Test zgodności χ 2 dla rozkładu ciągłego cd. Metodę tę zilustrujemy następującym przykładem. Przykład Według producenta pojemność jego naczynie miareczkowego ma rozkład normalny z wartością średnią równą nominalnej pojemności oraz odchyleniu standardowym równym 0, 01 mm 3. Aby to sprawdzić, przebadano pojemność 200 naczyń o nominalnej pojemności równej 30 mm 3. Wyznaczono k = 10 rozłącznych klas A 1,..., A 10. Ich granice z zaobserwowanymi liczebnościami są podane w tabeli

18 Przykład cd. i Klasa O i E i 1 (, 29, 980] 2 4, 55 2 (29, 980, 29, 985] 13 8, 81 3 (29, 985, 29, 990] 20 18, 37 4 (29, 990, 29, 995] 26 29, 98 5 (29, 995, 30, 000] 40 38, 29 6 (30, 000, 30, 005] 42 38, 29 7 (30, 005, 30, 010] 26 29, 98 8 (30, 010, 30, 015] 21 18, 37 9 (30, 015, 30, 020] 10 8, (30, 020, + ) 0 4, 55

19 Przykład cd. Niech X oznacza pomiar pojemności oraz niech q i = P{X A i }. W zapewnienia producenta oznaczają, że X ma rozkład normalny N(30, 00, 0, 0001). My sprawdzamy hipotezę H 0 : q i = p i, w której p i = Φ ( ) ai 30 Φ 0, 01 gdzie A i = (a i 1, a i ] jest i tą klasą. ( ai , 01 Na podstawie danych z tablicy, w których łączymy w jedną dwie dolne i dwie górne klasy otrzymujemy następującą wartość statystyki testowej χ 2 P = 3, 06. Ponieważ przy 7 stopniach swobody p wartość wynosi 0,879, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H 0, a w takim razie także hipotezy o rozkładzie normalnym N(0, 1) pojemności naczyń miareczkowych. ),

20 Przykład cd. Niech X oznacza pomiar pojemności oraz niech q i = P{X A i }. W zapewnienia producenta oznaczają, że X ma rozkład normalny N(30, 00, 0, 0001). My sprawdzamy hipotezę H 0 : q i = p i, w której p i = Φ ( ) ai 30 Φ 0, 01 gdzie A i = (a i 1, a i ] jest i tą klasą. ( ai , 01 Na podstawie danych z tablicy, w których łączymy w jedną dwie dolne i dwie górne klasy otrzymujemy następującą wartość statystyki testowej χ 2 P = 3, 06. Ponieważ przy 7 stopniach swobody p wartość wynosi 0,879, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H 0, a w takim razie także hipotezy o rozkładzie normalnym N(0, 1) pojemności naczyń miareczkowych. ),

21 Test zgodności χ 2 dla rozkładu ciągłego cd. Uwaga Przybliżenie rozkładem χ 2 można uznać za dopuszczalne, gdy np i 5 dla każdego i = 1,..., k.

22 Test zgodności χ 2 dla hipotezy złożonej. Omówiliśmy przypadek, w którym sformułowana hipoteza H 0 określała całkowicie rozkład zmiennej losowej. W wielu zagadnieniach praktycznych stawia się również hipotezy, które nie określają całkowicie rozkładu. Możemy mieć na przykład do czynienia z hipotezą, która orzeka, że zmienna losowa X ma rozkład dyskretny o znanej postaci ogólnej {p i (θ), i = 1,..., k}, a parametr θ pozostaje nieokreślony.

23 W tej sytuacji nie możemy bezpośrednio skorzystać ze statystyki χ 2 P gdyż nie możemy obliczyć, E i = E i (θ) = np i (θ), teoretycznych oczekiwanych liczebności klas. Zależą one bowiem od wartości nieznanego parametru θ. Okazuje się, że jeśli nieznany parametr θ jest oszacowany za pomocą metody największej wiarogodności, to statystyka k χ 2 P = (O i E i (ˆθ)) 2, E i (ˆθ) i=1 gdzie ˆθ oznacza estymator największej wiarogodności parametru θ, ma nadal asymptotyczny rozkład χ 2 ale już nie z k 1 stopniami swobody ale z k 2 stopniami swobody.

24 Test zgodności χ 2 dla hipotezy złożonej cd. Przykład W diploidalnej populacji z losowym kojarzeniem częstość allelu A jest równa θ. Jeśli populacja znajduje się w równowadze Hardyego-Weinberga to częstości genotypów AA, Aa i aa są równe odpowiednio θ 2, 2θ(1 θ) i (1 θ) 2.

25 Przykład cd. Załóżmy, że w populacji stwierdzono 110 osobników o genotypie AA, 235 osobników o genotypie Aa oraz 155 osobników o genotypie aa. Czy istnieje podstawa do odrzucenia hipotezy o znajdowaniu się tej populacji w warunkach równowagi Hardyego-Wainberga.

26 Przykład cd. W tym przypadku hipoteza zerowa ma postać H 0 : p 1 (θ) = θ 2, p 2 (θ) = 2θ(1 θ), p 3 (θ) = (1 θ) 2. Estymator parametru θ wyznaczony metodą największej wiarogodności jest postaci ˆθ = 2n 1 + n 2, 2n gdzie n = n 1 + n 2 + n 3. Ponieważ Genotyp AA Aa aa n i więc ˆθ = 0, 455.

27 Przykład cd. W tym przypadku hipoteza zerowa ma postać H 0 : p 1 (θ) = θ 2, p 2 (θ) = 2θ(1 θ), p 3 (θ) = (1 θ) 2. Estymator parametru θ wyznaczony metodą największej wiarogodności jest postaci ˆθ = 2n 1 + n 2, 2n gdzie n = n 1 + n 2 + n 3. Ponieważ Genotyp AA Aa aa n i więc ˆθ = 0, 455.

28 Przykład cd. W tym przypadku hipoteza zerowa ma postać H 0 : p 1 (θ) = θ 2, p 2 (θ) = 2θ(1 θ), p 3 (θ) = (1 θ) 2. Estymator parametru θ wyznaczony metodą największej wiarogodności jest postaci ˆθ = 2n 1 + n 2, 2n gdzie n = n 1 + n 2 + n 3. Ponieważ Genotyp AA Aa aa n i więc ˆθ = 0, 455.

29 Przykład cd. Statystyka testowa jest więc równa χ 2 P ( , 51)2 ( , 97)2 ( , 51)2 = , , , 51 = 1, 369. Dla tej wartości statystyki testowej p wartość jest równa 0,24, czyli nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

30 Przykład cd. Statystyka testowa jest więc równa χ 2 P ( , 51)2 ( , 97)2 ( , 51)2 = , , , 51 = 1, 369. Dla tej wartości statystyki testowej p wartość jest równa 0,24, czyli nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

31 Testowanie hipotezy o niezależności Za pomocą testu χ 2 możemy przetestować hipotezę o niezależności dwóch zmiennych losowych. Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarowym wektorem losowym o rozkładzie dyskretnym r ij = P{X = x i, Y = y j }, i = 1,..., a, j = 1,..., b. Rozkład {r ij } możemy wygodnie zapisać w tablicy X/Y y 1 y 2... y b x 1 r 11 r r 1b x 2 r 21 r r 2b x a r a1 r a2... r ab

32 Testowanie hipotezy o niezależności Za pomocą testu χ 2 możemy przetestować hipotezę o niezależności dwóch zmiennych losowych. Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarowym wektorem losowym o rozkładzie dyskretnym r ij = P{X = x i, Y = y j }, i = 1,..., a, j = 1,..., b. Rozkład {r ij } możemy wygodnie zapisać w tablicy X/Y y 1 y 2... y b x 1 r 11 r r 1b x 2 r 21 r r 2b x a r a1 r a2... r ab

33 Testowanie hipotezy o niezależności Stawiamy hipotezę zerową H 0, że zmienne losowe X i Y są niezależne. H 0 : P {(X, Y ) = (x i, y j )} = P {X = x i } P {Y = y j }, dla wszystkich i, j Jeśli wprowadzimy oznaczenia p i = P{X = x i } oraz q j = P{Y = y j } to możemy hipotezę H 0 zapisać w postaci H 0 : r ij = p i q j, dla wszystkich i, j.

34 Testowanie hipotezy o niezależności Hipoteza zerowa jest hipotezą złożoną. Nie określamy ani prawdopodobieństw r ij ani prawdopodobieństw p i oraz q j. Orzekamy jedynie, że prawdopodobieństwo r ij jest równe iloczynowi pewnych liczb p i oraz q j, które będziemy traktować jako parametry. Ponieważ p 1 + p p a = 1 oraz q 1 + q q b = 1 więc mamy a + b 2 niezależnych parametrów, które musimy estymować na podstawie danych. Dwa pozostałe parametry, p a oraz q b, określamy za pomocą równości a 1 b 1 p a = 1 p i oraz q b = 1 q j. i=1 j=1

35 Testowanie hipotezy o niezależności Estymacji dokonujemy na podstawie n elementowej próby prostej (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X n, Y n ). Oznaczmy przez O ij liczbę par (X k, Y k ) równych (x i, y j ). Wygodnie jest zapisać dane w tabeli X/Y y 1 y 2... y b Suma x 1 O 11 O O 1b O 1 x 2 O 21 O O 2b O O 1. x a O a1 O a2... O ab O a Suma O 1 O 2... O b n gdzie O i O j oznacza sumę liczb w i tym wierszu, oznacza sumę liczb w j tej kolumnie.

36 Testowanie hipotezy o niezależności Estymatorami wyznaczonymi metoda największej wiarogodności nieznanych parametrów p 1,..., p a oraz q 1,..., q b są odpowiednio oraz ˆp i = O i, i = 1,..., a, n ˆq j = O j, j = 1,..., b. n

37 Procedurę testowania opieramy na statystyce testowej Po przekształceniu χ 2 P = b a j=1 i=1 χ 2 P = n b j=1 i=1 ( O ij n O i n n O i n O j n ( a O ij O i O j n ) O 2 j n ) 2 O i O j. Statystyka χ 2 P ma asymptotyczny rozkład chi kwadrat z (a 1)(b 1) stopniami swobody..

38 Procedurę testowania opieramy na statystyce testowej Po przekształceniu χ 2 P = b a j=1 i=1 χ 2 P = n b j=1 i=1 ( O ij n O i n n O i n O j n ( a O ij O i O j n ) O 2 j n ) 2 O i O j. Statystyka χ 2 P ma asymptotyczny rozkład chi kwadrat z (a 1)(b 1) stopniami swobody..

39 Procedurę testowania opieramy na statystyce testowej Po przekształceniu χ 2 P = b a j=1 i=1 χ 2 P = n b j=1 i=1 ( O ij n O i n n O i n O j n ( a O ij O i O j n ) O 2 j n ) 2 O i O j. Statystyka χ 2 P ma asymptotyczny rozkład chi kwadrat z (a 1)(b 1) stopniami swobody..

40 Stopnie swobody Liczba stopni swobody wynika z faktu, że mamy k = ab klatek oraz szacujemy a + b 2 niezależnych parametrów, a więc liczba swobody rozkładu statystyki testowej jest równa ν = ab 1 (a + b 2) = (a 1)(b 1).

41 Stopnie swobody Liczba stopni swobody wynika z faktu, że mamy k = ab klatek oraz szacujemy a + b 2 niezależnych parametrów, a więc liczba swobody rozkładu statystyki testowej jest równa ν = ab 1 (a + b 2) = (a 1)(b 1).

42 Przykład W fabryce telewizorów sądzi się, że jakość obrazu wyprodukowanego telewizora nie zależy od jakości dźwięku. Aby sprawdzić to przypuszczenie, zbadano 100 wybranych losowo telewizorów i otrzymano wynik podany w tablicy: Obraz/Dźwięk zła dobra wysoka Suma zła dobra wysoka Suma

43 Przykład W fabryce telewizorów sądzi się, że jakość obrazu wyprodukowanego telewizora nie zależy od jakości dźwięku. Aby sprawdzić to przypuszczenie, zbadano 100 wybranych losowo telewizorów i otrzymano wynik podany w tablicy: Obraz/Dźwięk zła dobra wysoka Suma zła dobra wysoka Suma

44 Przykład cd. Należy postawić i przetestować hipotezę, przyjmując poziom istotności 1 α = 0, 9. Hipoteza zerowa orzeka, że jakość dźwięku jest niezależna od jakości obrazu.

45 Przykład cd. Należy postawić i przetestować hipotezę, przyjmując poziom istotności 1 α = 0, 9. Hipoteza zerowa orzeka, że jakość dźwięku jest niezależna od jakości obrazu.

46 Przykład cd. Należy postawić i przetestować hipotezę, przyjmując poziom istotności 1 α = 0, 9. Hipoteza zerowa orzeka, że jakość dźwięku jest niezależna od jakości obrazu.

47 Przykład cd. Oczekiwana częstość w poszczególnych klatkach. Jakość obrazu/dźwięku zła dobra wysoka Suma zła 11, 56 14, 62 7, dobra 13, 60 17, 20 9, wysoka 8, 84 11, 18 5, Suma 34, 00 43, 00 23, Otrzymujemy wartość statystyki χ 2 P = 5, 23 dla rozkładu χ2 z 4 stopniami swobody daje to p wartość równą 0,26. Tak więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Jakość dźwięku jest niezależna od jakości obrazu.

48 Przykład cd. Oczekiwana częstość w poszczególnych klatkach. Jakość obrazu/dźwięku zła dobra wysoka Suma zła 11, 56 14, 62 7, dobra 13, 60 17, 20 9, wysoka 8, 84 11, 18 5, Suma 34, 00 43, 00 23, Otrzymujemy wartość statystyki χ 2 P = 5, 23 dla rozkładu χ2 z 4 stopniami swobody daje to p wartość równą 0,26. Tak więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Jakość dźwięku jest niezależna od jakości obrazu.

49 Przykład cd. Oczekiwana częstość w poszczególnych klatkach. Jakość obrazu/dźwięku zła dobra wysoka Suma zła 11, 56 14, 62 7, dobra 13, 60 17, 20 9, wysoka 8, 84 11, 18 5, Suma 34, 00 43, 00 23, Otrzymujemy wartość statystyki χ 2 P = 5, 23 dla rozkładu χ2 z 4 stopniami swobody daje to p wartość równą 0,26. Tak więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Jakość dźwięku jest niezależna od jakości obrazu.

50 Tablice kontyngencji Dla danych, które możemy przedstawić w tablicy dwudzielczej X/Y 0 1 Suma 0 a b a + b 1 c d c + d Suma a + c b + d n statystyka χ 2 P przyjmuje postać χ 2 P = n(ad bc) 2 (a + b)(c + d)(a + c)(b + d).

51 Tablice kontyngencji Dla danych, które możemy przedstawić w tablicy dwudzielczej X/Y 0 1 Suma 0 a b a + b 1 c d c + d Suma a + c b + d n statystyka χ 2 P przyjmuje postać χ 2 P = n(ad bc) 2 (a + b)(c + d)(a + c)(b + d).

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Własności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4

Własności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4 Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności

Bardziej szczegółowo

Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.

Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym. Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 Testowanie jednorodności

Wykład 11 Testowanie jednorodności Wykład 11 Testowanie jednorodności Wrocław, 17 maja 2018 Test χ 2 jednorodności Niech X i, i = 1, 2,..., k będą niezależnymi zmiennymi losowymi typu dyskretnego przyjmującymi wartości z 1, z 2,..., z l,

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wrocław, 16 maja 2018 Test Znaków test jednorodności rozkładów nieparametryczny odpowiednik testu t-studenta dla prób zależnych brak normalności rozkładów Test Znaków

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić). Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM

Bardziej szczegółowo

Badanie zgodności dwóch rozkładów - test serii, test mediany, test Wilcoxona, test Kruskala-Wallisa

Badanie zgodności dwóch rozkładów - test serii, test mediany, test Wilcoxona, test Kruskala-Wallisa Badanie zgodności dwóch rozkładów - test serii, test mediany, test Wilcoxona, test Kruskala-Wallisa Test serii (test Walda-Wolfowitza) Założenie. Rozpatrywane rozkłady są ciągłe. Mamy dwa uporządkowane

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Temat: Badanie niezależności dwóch cech jakościowych test chi-kwadrat

Temat: Badanie niezależności dwóch cech jakościowych test chi-kwadrat Temat: Badanie niezależności dwóch cech jakościowych test chi-kwadrat Anna Rajfura 1 Przykład W celu porównania skuteczności wybranych herbicydów: A, B, C sprawdzano, czy masa chwastów na poletku zależy

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności

Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( ) Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 23 maja 2018 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Wykład 8 Dane kategoryczne

Wykład 8 Dane kategoryczne Wykład 8 Dane kategoryczne Wrocław, 19.04.2017r Zmienne kategoryczne 1 Przykłady zmiennych kategorycznych 2 Zmienne nominalne, zmienne ordynalne (porządkowe) 3 Zmienne dychotomiczne kodowanie zmiennych

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 24 maja 2017 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów

Bardziej szczegółowo

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5 Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Test t-studenta dla jednej średniej

Test t-studenta dla jednej średniej Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Estymacja punktowa i przedziałowa

Estymacja punktowa i przedziałowa Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora

Bardziej szczegółowo

1 Estymacja przedziałowa

1 Estymacja przedziałowa 1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α

Bardziej szczegółowo

Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób

Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wrocław, 18 kwietnia 2018 Test rangowy Testem rangowym nazywamy test, w którym statystyka testowa jest konstruowana w oparciu o rangi współrzędnych wektora

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde badanie naukowe rozpoczyna

Bardziej szczegółowo

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych round Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 13 grudnia 2014 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Test χ 2. Wrocław, 18.03.2016r

Statystyka matematyczna Test χ 2. Wrocław, 18.03.2016r Statystyka matematyczna Test χ 2 Wrocław, 18.03.2016r Zakres stosowalności Testowanie zgodności Testowanie niezależności Test McNemara Test ilorazu szans Copyright 2014, Joanna Szyda ZAKRES STOSOWALNOŚCI

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 8 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 29 listopada 2015 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje

Bardziej szczegółowo

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych

Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 18 maja 2009 Przykład Rozważamy dane wygenerowane losowo; ( podobne do danych z przykładu 7.2 z książki A. Łomnickiego)

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 ( ): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych

Wykład 12 ( ): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych Wykład 12 (21.05.07): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych Przykład Rozważamy dane wygenerowane losowo; ( podobne do danych z przykładu 7.2 z książki A. Łomnickiego) n 1 = 9 poletek w dąbrowie,

Bardziej szczegółowo

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ (budynek Centrum Mechatroniki, Biomechaniki i Nanoinżynierii) www.zmisp.mt.put.poznan.pl

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka Biomatematyka Załóżmy, że częstości genotypów AA, Aa i aa w populacji znajdującej się w warunkach Hardy ego-wainberga wynoszą p 2, 2pq i q 2. Wiadomo, że badany mężczyzna należy do genotypu Aa. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

1.1 Wstęp Literatura... 1

1.1 Wstęp Literatura... 1 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Testowanie hipotez statystycznych Ewa Szczurek szczurek@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 1/23 Testowanie hipotez średniej w R Test istotności dla wartości

Bardziej szczegółowo

Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym

Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym Wrocław, 05 kwietnia 2017 Rozkład normalny Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) będzie próbą z populacji o rozkładzie normalnym określonym przez dystrybuantę

Bardziej szczegółowo

Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich

Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.03.2017r Problem Behrensa Fishera Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu normalnego

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.

LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 28 listopada 2018 Plan zaj eć 1 Rozk lad estymatora b 2 3 dla parametrów 4 Hipotezy l aczne - test F 5 Dodatkowe za lożenie

Bardziej szczegółowo

Testy post-hoc. Wrocław, 6 czerwca 2016

Testy post-hoc. Wrocław, 6 czerwca 2016 Testy post-hoc Wrocław, 6 czerwca 2016 Testy post-hoc 1 metoda LSD 2 metoda Duncana 3 metoda Dunneta 4 metoda kontrastów 5 matoda Newman-Keuls 6 metoda Tukeya Metoda LSD Metoda Least Significant Difference

Bardziej szczegółowo

Założenia do analizy wariancji. dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW

Założenia do analizy wariancji. dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW Założenia do analizy wariancji dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW anna_rajfura@sggw.pl Zagadnienia 1. Normalność rozkładu cechy Testy: chi-kwadrat zgodności, Shapiro-Wilka, Kołmogorowa-Smirnowa

Bardziej szczegółowo

NIEZALEŻNOŚĆ i ZALEŻNOŚĆ między cechami Test chi-kwadrat, OR, RR

NIEZALEŻNOŚĆ i ZALEŻNOŚĆ między cechami Test chi-kwadrat, OR, RR NIEZALEŻNOŚĆ i ZALEŻNOŚĆ między cechami Test chi-kwadrat, OR, RR M Zalewska Zakład Profilaktyki ZagrożeńŚrodowiskowych i Alergologii Analiza niezależności zmiennych jakościowych (test niezależności Chi-kwadrat)

Bardziej szczegółowo

Analiza niepewności pomiarów

Analiza niepewności pomiarów Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej

Bardziej szczegółowo