WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

Transkrypt

1 WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

2 Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM (np. rozkładem normalnym) ZGODNOŚĆ DWÓCH LUB WIĘCEJ ROZKŁADÓW Z PRÓBY

3 Test zgodności Chi-kwadrat H 0 : F(x) = F 0 (x) H 1 : F(x) F 0 (x) należy wylosować z populacji DUŻĄ PRÓBĘ co najmniej 100-elementowa (bo korzystamy z granicznego rozkładu pewnej statystyki) wyniki z próby należy przedstawić w postaci rozkładu empirycznego poprzez utworzenie r rozłącznych klas wartości badanej zmiennej w próbie (n i - liczebność w i-tej klasie)

4 Rozkład statystyki Chi-kwadrat PRAWOSTRONNY OBSZAR KRYTYCZNY

5 Test zgodności Chi-kwadrat przyjmując, że prawdziwa jest H 0 - rozkład populacji generalnej jest opisany dystrybuantą F 0 (x), należy obliczyć prawdopodobieństwo p i - że badana zmienna losowa przyjmie wartość z i-tej klasy LICZEBNOŚĆ TEORETYCZNA POSZCZEGÓLNYCH KLAS = np i np i 5 gdyby wartości były niższe, należy połączyć dwie sąsiadujące ze sobą klasy

6 Test zgodności Chi-kwadrat rozkład asymptotyczny χ 2, r-k-1 stopni swobody ( r- liczba klas wartości zmiennej; k liczba oszacowanych parametrów z próby najczęściej wynosi 2) obszar krytyczny określony przez : P( χ 2 χ 2 α, r-k-1) = α

7 ZADANIE 1 Zbadano czas (w godz.) przeznaczony przez 150 losowo wybranych studentów na naukę statystyki dzień przed egzaminem. Otrzymano średni czas równy 6 godzin i odchylenie standardowe równe 2,76 godz. czas liczba studentów Czy zaprezentowane wyniki mogą być podstawą do twierdzenia, że czas przeznaczony na naukę statystyki na dzień przed egzaminem ma wśród wszystkich studentów rozkład normalny? Przyjąć poziom istotności równy 0,1.

8 H 0 : F(x) = F 0 (x) H 1 : F(x) F 0 (x) x = 6, s = 2,76 czas x 0i - x 1i ZADANIE 1 liczba s. Górna granica u 1i F(u 1i ) p i np i 2 i mniej ,45 0,0735 0, ,025 0, ,72 0,2358 0, ,345 0, ,5 0, ,63 0, ,72 0,7642 0, ,63 0,067 u 11 = = -1, ,45 0,9265 0, ,345 0,0743 ponad ,17 1 0, ,025 0,3538 F(u 11 ) = 1 - φ(1,45) = 1-0,9265 = 0,0735 p 2 = F(u 12 ) - F(u 11 ) = 0,2327 0,0735 = 0,1623 np 1 = 150 0,0735 = 11,025 χ2 = 0, , , , , ,3538 = 1,1222

9 ZADANIE 1 χ2 = 0, , , , , ,3538 = 1,1222 α = 0,1 v = r k -1 = = 3 χ 2 0,1;3 = 6,251 INTERPRETACJA: Wartość testu 1,1222 nie znajduje się w obszarze krytycznym, dlatego na poziomie istotności α = 0,1 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że badany rozkład jest ROZKŁADEM NORMALNYM.

10 ZADANIE 2 Postawiono przypuszczenie, że miesięczne wydatki (w zł) na papierosy osób palących mają rozkład N(200, 50). Dla 300-elementowej losowej próby osób palących utworzono 7 klas wielkości wydatków i obliczono wartość χ2 = 14,4. Przy jakim poziomie istotności można uznać, że przypuszczenie jest słuszne? Jaka była hipotetyczna liczba palaczy, których wydatki wynosiły od 150 do 170 zł?

11 ZADANIE 2 Przy jakim poziomie istotności można uznać, że przypuszczenie jest słuszne? n = 300 ; r = 7 ; χ2 = 14,4 v = r k -1 = = 4 - liczba stopni swobody ODPOWIEDŹ: Na poziomie istotności α = 0,005 można uznać, że przypuszczenie o rozkładzie normalnym jest słuszne.

12 ZADANIE 2 Jaka była hipotetyczna liczba palaczy, których wydatki wynosiły od 150 do 170 zł? n= 300; rozkład N(200, 50). p i = P(150< X < 170) = P ( -1 <U < -0,6) = 1 - φ(0,6) (1 - φ(1)) = φ(1) φ(0,6) = 0,8413 0,7257 = 0,1156 np i = 300 0,1156 = 34,68 ODPOWIEDŹ: Hipotetyczna liczba palaczy, których wydatki wynosiły od 150 do 170 zł wynosiła 34,68.

13 Analiza wariancji

14 Analiza wariancji Metoda rozstrzygania o istnieniu różnic między średnimi w grupach Testowanie, czy dany czynnik ma wpływ na rozkład cechy w grupach Badane r grup (subpopulacji) wyodrębnionych w związku z działaniem pewnego czynnika

15 Analiza wariancji- przykłady Czy rodzaj opakowania istotnie wpływa na przychody ze sprzedaży nowego produktu? Czy na cenę truskawek w maju istotnie wpływa dzielnica, w której są one sprzedawane? Czy fakt tankowania paliwa na jednej ze stacji (Shell, BP, Orlen) wpływa na przeciętne zużycie paliwa przez samochód?

16 ZADANIE 1 Znany producent soków chce wprowadzić na rynek nowy produkt i zastanawia się nad rodzajem opakowania. W 40 losowo wybranych sklepach pewnej sieci handlowej obserwowano pewnego dnia przychód ze sprzedaży (zł) soku w różnych opakowaniach: Rodzaj opakowania n Średni przychód (zł) Odchylenie standardowe (nieobciążone) Szkło ,82 Plastik ,35 Karton ,43 Puszka ,19 Ogółem ,50 Między grupami Wewnątrz grup Suma kwadratów odchyleń df Średni kwadrat odchyleń F obl. Istotność (kryt. poz. istotn.) 9090, Ogółem 31680

17 Hipotezy analizy wariancji

18 Założenia analizy wariancji 1. Próby zostały wylosowane w sposób niezależny w każdej z r populacji 2. Badana cecha w każdej z populacji ma rozkład normalny o jednakowej wariancji σ 2.

19

20 Odchylenie całkowite obserwacji jako suma odchylenia wyjaśnionego i błędu losowego

21 SST (Sum of Squares Total) Zróżnicowanie całkowite SST = r i=1 k=1 n i (y ki y) 2 R- liczba grup Ni- liczba obserwacji w i-tej grupie y- średnia ogólna dla wszystkich obserwacji

22 Zróżnicowanie międzygrupowe SSB (Sum of Squares Between Groups) wynika z wpływu wyodrębnionego czynnika r SSB = n i ( y i y) 2 i=1 n i r n i y ki = 1 r y i = 1 n i k=1 y ki y = 1 n i=1 y i n i k=1 n i=1 średnia dla i-tej grupy średnia ogólna

23 Zróżnicowanie wewnątrzgrupowe SSE (Sum of Squares for Error)- wynika z różnic wewnątrz każdej grupy r n i (y ki y i ) 2 SSE = i=1 k=1 n i y i = 1 n i k=1 y ki średnia dla i-tej grupy

24 Całkowita suma kwadratów odchyleń od średniej ogólnej r i=1 k=1 n i (y ki y) 2 = r i=1 k=1 n i (y ki y i ) 2 + r i=1 n i ( y i y) 2 SST = SSE + SSB

25 Analiza wariancji Źródło zmienności Suma kwadratów odchyleń Stopnie swobody Średni kwadrat odchyleń Zróżnicowanie międzygrupoweczynnik Zróżnicowanie wewnątrzgrupowebłąd losowy Zróżnicowanie całkowite SSB r-1 MSB (Mean Square Between) SSE n-r MSE (Mean Square Error) SST n-1 -

26 Testowanie hipotezy F = MSB MSE Gdzie: MSB = SSB r 1 Suma kwadratów odchyleń między grupami MSE = SSE n r Suma kwadratów odchyleń wewnątrzgrupowych r- liczba grup n- całkowita liczba obserwacji we wszystkich próbach

27 Testowanie hipotezy Statystyka (test): F = MSB MSE Przy założeniu prawdziwości H 0 statystyka F ma rozkład F- Snedecora o stopniach swobody licznika i mianownika odpowiednio r-1 oraz n-r. Obszar krytyczny: P(F F α ) = α

28

29 Dalsza analiza Metoda najmniejszej istotnej różnicy Fishera (LSD- least significant difference) polega na porównaniu różnic między parami średnich z próby z pewną wielkością zwaną najmniejszą istotną różnicą (LSD). Gdzie: LSD = t α MSE( 1 n i + 1 n j ) t α -wartość z rozkładu t-studenta dla n-r stopni swobody Jeśli dla dwóch średnich zachodzi: y i y j LSD To różnica między tymi średnimi jest statystycznie istotna

30 ZADANIE 1 H 0 : m 1 = m 2 =m 3 średni czas snu jest jednakowy H 1 m i m j średni czas snu nie jest jednakowy Lp. n i y i 2 S i (obciążony) ,2 0, ,9 0, ,8 0,4

31 ZADANIE 1 Obliczamy wartość średnią dla wszystkich grup: y = y 1 n 1 + y 2 n 2 + y 3 n 3 N = 8, , , = 8 Zróżnicowanie międzygrupowe: 3 SSB = ( y i y) 2 n i = 8, , , = 7 i=1 Zróżnicowanie wewnątrzgrupowe: SSE = n 1 S n 2 S n 3 S 3 2 = 100 0, , ,4 = 130

32 ZADANIE 1 Stopnie swobody: r = 3 N = 250 v 1 = 3 1 = 2 v 2 = = 247 Średni kwadrat odchyleń: MSB = 7 2 = 3,5 MSE = = 0,526 Test F F emp. = MSB MSE = 3,5 0,526 = 6,65

33 ZADANIE 1 Wartość krytyczna F dla v 1 = 2, v 2 = 247 stopni swobody oraz α = 0,05: F αv1 v 2 = 3,07 F emp. = 6,65 F obl. > F αv1 v 2 Przy poziomie istotności α = 0,05 odrzucam H 0 na rzecz H 1. Średni czas snu nie jest jednakowy

34 ZADANIE 2 Znany producent soków chce wprowadzić na rynek nowy produkt i zastanawia się nad rodzajem opakowania. W 40 losowo wybranych sklepach pewnej sieci handlowej obserwowano pewnego dnia przychód ze sprzedaży (zł) soku w różnych opakowaniach: Rodzaj opakowania n Średni przychód Odchylenie standardowe (nieobciążone) Szkło ,82 Plastik ,35 Karton ,43 Puszka ,19 Ogółem ,50 Między grupami Wewnątrz grup Suma kwadratów odchyleń df Średni kwadrat odchyleń F obl. Istotność (kryt. poz. istotn.) 9090, Ogółem 31680

35 ZADANIE 2 Suma kwadratów odchyleń df Średni kwadrat odchyleń F obl. Istotność (kryt. poz. istotn.) Między grupami Wewnątrz grup Ogółem SSB r-1 MSB MSB MSE SSE n-r MSE SST,005

36 Zadanie 2 Hipotezy badawcze: H 0 : m i = m j dla każdego i oraz j. Średnie przychody dla różnych opakowań nie różnią się istotnie r-1 n-r H 1 : m i m j dla jakiegoś i j. Rodzaj opakowania istotnie wpływa na średnie przychody Między grupami Wewnątr z grup Suma kwadratów odchyleń 9090 (SSB) (SSE) df Ogółem Średni kwadrat odchyleń (MSB) ,5 (MSE) F obl. Istotnoś ć (kryt. poz. istotn.) 4,96,005 (2,84) MSB = SSB r 1 MSE = SSE n r F obl > F 4,96 >2,84 Odrzucamy H 0 na rzecz H 1. Rodzaj opakowania istotnie wpływa na średni przychód ze sprzedaży

37 PYTANIA TESTOWE TEST ZGODNOŚCI CHI - KWADRAT 1) Test zgodności Chi-kwadrat a) wymaga znajomości parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji b)służy do sprawdzania zgodności wartości parametrów w dwóch różnych populacjach c)wykorzystuje rozkład graniczny statystyki testowej

38 PYTANIA TESTOWE TEST ZGODNOŚCI CHI - KWADRAT 1) Test zgodności Chi-kwadrat a) wymaga znajomości parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji - NIE b)służy do sprawdzania zgodności wartości parametrów w dwóch różnych populacjach - NIE c)wykorzystuje rozkład graniczny statystyki testowej - TAK

39 PYTANIA TESTOWE TEST ZGODNOŚCI CHI - KWADRAT 2) Test zgodności Chi-kwadrat a) pozwala sprawdzić, że populacja ma rozkład Poissona b)wymaga, by liczebności teoretyczne były nie mniejsze niż 5 c)wymaga, by liczebności empiryczne były nie mniejsze niż 5

40 PYTANIA TESTOWE TEST ZGODNOŚCI CHI - KWADRAT 2) Test zgodności Chi-kwadrat a) pozwala sprawdzić, że populacja ma rozkład Poissona - TAK b)wymaga, by liczebności teoretyczne były nie mniejsze niż 5 - TAK c)wymaga, by liczebności empiryczne były nie mniejsze niż 5 - NIE

41 PYTANIA TESTOWE ANALIZA WARIANCJI 2) Analizę wariancji możemy zastosować, gdy chcemy ocenić: a)czy średnie w kilku wyodrębnionych populacjach są identyczne b)czy istnieje wpływ wyróżnionego czynnika na badaną zmienną c)czy wariancje w kilku wyodrębnionych populacjach są identyczne

42 PYTANIA TESTOWE ANALIZA WARIANCJI 2) Analizę wariancji możemy zastosować, gdy chcemy ocenić: a)czy średnie w kilku wyodrębnionych populacjach są identyczne - TAK b)czy istnieje wpływ wyróżnionego czynnika na badaną zmienną TAK c)czy wariancje w kilku wyodrębnionych populacjach są identyczne - NIE

43 PYTANIA?

44 Dziękujemy za uwagę! Katarzyna Kajta Kamil Sarzyński