sin θ, (2) sin θ Rθ cos θ. (3) L 2 R < 0. 1

Transkrypt

1 Rozwi zanie zad 1 Rozstrzygni cia, czy oisane ustawienie rostoadªo±cianu jest stanem równowagi trwaªej mo»na dokona analizuj c rzemieszczenie ±rodka masy S odczas wychylenia (atrz rysunek) Zauwa»my,»e oniewa» odstawa rostoadªo±cianu jest ªaska, wystarczy rozatrywa wychylenie rostoadªo±cianu tylko w jednej, dowolnie wybranej ªaszczy¹nie Umie± my ocz tek ukªadu wsóªrzednych w ±rodku odstawy óªkuli i skierujmy o± y ionowo do dóry, a o± x oziomo, zgodnie z kierunkiem wychylenia klocka Niech (x 1, y 1 ) oznacza wsóªrz dne ±rodka masy klocka, (x, y ) wsóªrz dne ±rodka odstawy klocka, a (x 3, y 3 ) wsóªrz dne unktu styczno±ci klocka z óªkul K t wychylenia klocka oznaczmy rzez θ I sosób rozwa»enie momentów siª wzgl dem chwilowej osi obrotu Warunkiem równowagi jest, aby moment siªy ci»ko±ci klocka wzgl dem chwilowej osi obrotu rzeciwstawiaª si wychyleniu klocka Poniewa» oniewa» ta o± rzechodzi rzez rzez unkt styczno±ci klocka z óªkul, oznacza to,»e dla x 3 > 0 (tak jak na rysunku) owinno by x x 3 < 0 Poniewa» klocek toczy si o óªkuli bez o±lizgu, odlegªo± ±rodka odstawy klocka od unktu styczno±ci klocka z óªkul wynosi Rθ St d Z rozwa»a«geometrycznych dostaniemy x x 3 = Rθ cos θ (1) x x = L sin θ, () a zatem Dla maªych θ otrzymamy x x 3 = L sin θ Rθ cos θ (3) x x 3 L θ Rθ = ( L R ) θ (4) Poniewa» warunek równowagi oznacza x x 3 < 0 dla θ > 0, otrzymujemy L R < 0 1

2 Stan równowagi mamy wi c dla L < R (5) II sosób rozwa»enie energii otencjalnej Dane oªo»enie jest oªo»eniem równowagi trwaªej, je±li energia otencjalna jest tam (lokalnie) minimalna W rozwa»anym zagadnieniu energia otencjalna jest równa mgh, gdzie m jest mas klocka, a h = y 1, zatem wystarczy rozwa»y wysoko±, na jakiej znajduje si ±rodek masy W stanie równowagi ta wysoko± wynosi h 0 = R + L Po wychyleniu rostoadªo±cianu o k t θ, wysoko± na jakiej znajdzie si ±rodek masy b dzie równa h = y 1 = (y y ) + (y y 3 ) + y 3, gdzie, jak wynika z rysunku, mamy y y = L cos θ, (6) y y 3 = Rθ sin θ, (7) y 3 = R cos θ (8) Przy obliczeniu y y 3 uwzgl dnili±my,»e ze wzgl du na brak o±lizgu odlegªo± ±rodka odstawy klocka od unktu styczno±ci klocka z óªkul wynosi Rθ Zmiana wysoko±ci ±rodka masy wynosi zatem, ( ) L h = y h 0 = + R (cos θ 1) + Rθ sin θ (9) Poªo»enie ocz tkowe b dzie oªo»eniem równowagi trwaªej, je±li wraz ze wzrostem k ta θ b dzie wzrastaªo h W rzybli»eniu maªych θ mamy ( h R L ) θ (10) Z owy»szego dostajemy warunek (5): L < R Zamiast stosowa rzybli»enie maªych θ, mo»emy obliczy drug ochodn h wzgl dem θ dla θ = 0 (ierwsza ochodna jest w tym unkcie równa 0 ze wzgl du na symetri h jako funkcji θ): d h dθ = θ=0 ( ) ] L + R cos θ + R cos θ Rθ sin θ = R L θ=0 (11) Poniewa» funkcja ma minimum w danym unkcie, gdy druga ochodna jest tam wi ksza od zera, a ierwsza ochodna si zeruje, dostajemy znowu warunek (5) Punktacja: I sosób Zauwa»enie,»e warunkiem równowagi jest, by x x 3 < 0 gdy x 3 > 0 (lub x x 3 > 0 gdy x 3 < 0) kt Okre±lenie odlegªo±ci w oziomie ±rodka odstawy klocka od jego ±rodka masy (wzór ()) 1 kt Okre±lenie odlegªo±ci w oziomie unktu styczno±ci od ±rodka odstawy klocka (wzór (1)) kt

3 Okre±lenie odlegªo±ci w oziomie ±rodka masy klocka od unktu styczno±ci z kul (wzór (3) 1 kt Wzór (4) na odlegªo± w oziomie ±rodka masy klocka od unktu styczno±ci z kul w rzybli»eniu maªych odchyle«kt Warunek równowagi (wzór (5)) kt II sosób Okre±lenie odlegªo±ci ionie ±rodka odstawy klocka od jego ±rodka masy (wzór (6)) 1 kt Okre±lenie odlegªo±ci w ionie unktu styczno±ci od ±rodka odstawy klocka (wzór (7)) kt Okre±lenie, na jakiej wysoko±ci b dzie unkt styczno±ci klocka z óªkul o odchyleniu klocka (wzór (8)) 1 kt Caªkowita zmiana wysoko±ci klocka (wzór (9)) kt Wzór (10) na zmian wysoko±ci ±rodka masy klocka w rzybli»eniu maªych odchyle«lub druga ochodna w θ = 0 wysoko±ci ±rodka masy klocka (wzór (11)) kt Warunek równowagi (wzór (5)) kt Rozwi zanie zad Zgodnie z rawem Faradaya siªa elektromotoryczna indukowana w obwodzie, o omini ciu jego samoindukcji, jest równa d (BS cos α) U = dt = BS sin α dα dt, (1) gdzie S = a, za± α jest mierzonym od ionu k tem odchylenia ªaszczyzny, w której w danym momencie znajduje si drut Pr dko± k tow dα/dt mo»emy wyznaczy z zasady zachowania energii Po omini ciu energii zgromadzonej w kondensatorze mamy gdzie I ( dα dt jest odlegªo±ci ±rodka masy drutu od osi obrotu, a ) mgh cos α = 0, (13) h = a/3 (14) I = 5ma /9 (15) momentem bezwªadno±ci drutu wzgl dem osi obrotu Z owy»szego dα mgh dt = cos α (16) I Zatem Funkcja sin α cos α ma maksimum dla cos α = 3 3 równe mgh U = BS sin α cos α (17) I max(sin α cos α) = 4 3 /3 0, 6 (18) (Poªo»enie maksimum mo»na wyznaczy z warunku d (sin α cos α) /dα = (3 cos α 1) / cos α/ = 0, ale zgodnie z tre±cia zadania mo»na te» byªo oszacowa jego warto± na odstawie wykresu funkcji) Maksymalna siªa elektromotoryczna jest zatem równa U max = Ba g a 3 1, 0 Ba g a (19)

4 Poniewa» dioda rzeuszcza r d tylko w jedna stron, nai cie mi dzy okªadkami kondensatora b dzie równe maksymalnej sile elektromotorycznej Podstawiaj c warto±ci liczbowe B, a, g otrzymamy U max 0, 05 V (0) Punktacja: Ogólny wzór na wyindukowan zgodnie z rawem Faradaya siª elektromotoryczn (wzór (1))) kt Wzór (16) na r dko± k tow ramki kt Moment bezwªadno± ramki wzgl dem osi obrotu (wzór (15)) oraz odlegªo± ±rodka masy ramki od osi obrotu (wzór (14)) 1 kt Zale»no± wyindukowanej siªy elektromotorycznej od k ta odchylenia ramki (wzór (17)) 1 kt Zauwa»enie,»e szukane nai cie na kondensatorze jest równe maksymalnej wyindukowanej sile elektromotorycznej kt Szukane nai cie na kondensatorze (wzór (19)) 1 kt Wynik liczbowy (wzór (0)) 1 kt Rozwi zanie zadania 3 Energia sr»onego owietrza b dzie maksymalnie wykorzystana, je±li ouszczaj c silnik b dzie ono miaªo ci±nienie i temeratur otoczenia, a rzemiana b dzie odwracalna Wynika to z nast uj cych rozwa»a«: wylatuj ce owietrze nie mo»e mie ci±nienia mniejszego ni» otoczenie, bo inaczej nie ou±ciªo by silnika Je±li to ci±nienie byªoby wi ksze od ci±nienia otoczenia, to rozr»aj c owietrze mo»na by byªo uzyska dodatkow rac A gdyby temeratura wylatuj cego owietrza byªa inna ni» temeratura otoczenia, to mo»na by zbudowa silnik cielny wykorzystuj cy t ró»nic temeratur W rozwa»anym rzyadku najro±ciej jest rozwa»y rozr»anie izotermiczne Zauwa»my jednak,»e je±li stan ko«cowy i ocz tkowy oraz arametry otoczenia s ustalone, to raca wykonana w dowolnym rocesie odwracalnym jest taka sama, Zatem energia, któr mo»na wykorzysta jest równa racy wykonanej rzez gaz rzy rozr»aniu izotermicznym E = V ln, (1) 0 gdzie jest ci±nieniem w zbiorniku o obj to±ci V, 0 ci±nieniem otoczenia Obj to± zbiornika jest równa W naszym rzyadku otrzymamy V = πr l πr3 () E = 48MJ (3) Dla silnika salinowego o srawno±ci 30%, rzyjmuj c,»e cieªo salania benzyny jest równe 44MJ/kg 3MJ/l, otrzymujemy,»e energia otrzebna do rzejechania 100km wynosi E 100 = 03 3 MJ/l 5 l = 48 MJ (4) Zatem rzy zaªo»eniu,»e silnik osi ga maksymaln teoretyczn srawno±, odlegªo± jak mo»e rzeby rozwa»any samochód wynosi okoªo 100km Uwaga: Ze wzoru na energi wewn trzn gazu U = c V NT wynika,»e energia wewn trzna gazu w zbiorniku i o ouszczeniu silnika jest taka sama A zatem caªa raca wykonana rzez rozatrywany silnik jest równa cieªu obranemu z otoczenia To oznacza,»e du»ym raktycznym roblemem rzy konstruowaniu silnika takiego tyu jest wydajne ogrzewanie rozr»aj cego si owietrza 4

5 Punktacja: Zauwa»enie,»e silnik wykona maksymaln rac, je±li racuje w sosób odwracalny, a wylatuj ce owietrze ma temeratur i ci±nienie takie jak otoczenie 3kt Caªkowita raca, jak mo»e wykona silnik rzy rozr»aniu owietrza (wzór (1) ) kt Wzór () na obj to± zbiornika 1 kt Warto± liczbowa caªkowitej racy, jak mo»e wykona silnik rzy rozr»aniu owietrza (wzór (3) ) 1 kt Wyznaczenie energii otrzebnej do rzejechania 100km na odstawie zu»ycia aliwa rzez samochód z silnikiem salinowym (wzór (4)) 1 kt Wynik liczbowy (ok 100km wynik mo»e by inny, je±li rzyj ta zostaªa inna warto± cieªa salania benzyny) na odlegªo± jak mo»e rzeby rozwa»any samochód kt Uwaga dla srawdzaj cych: Podany w tre±ci zadania wzór na rac wykonan rzez gaz doskonaªy w trakcie rozr»ania adiabatycznego ma bª dny wsóªczynnik Przedstawione rozwi zanie nie korzysta z tego wzoru, jednak zgodnie z uwag w tre±ci zadania, maksymaln rac mo»na uzyska w dowolnym rocesie odwracalnym, równie» zawierajacym rozr»anie adiabatyczne Rozr»ony w ten sosób gaz nale»aªoby jednak otem w sosób odwracalny odgrza, n u»ywaj c silnika Carno dziaªaj cego miedzy otoczeniem a gazem (o zmiennej temeraturze) Otrzymamy: Praca wykonana w rocesie adiabatycznym ( ) ] R/(cV +R) 1 W ad = k V, gdzie, V s ocz tkowym ci±nieniem i obj to±ci gazu w zbiorniku, 1 ci±nieniem gazu na ko«cu tego rocesu, a k wsóªczynnikiem Rozs dne jest rzyj cie,»e o tym rozr»aniu gaz b dzie miaª obj to± równ obj to±ci ko«cowej V 0 = V/ 0 (w rzeciwnym razie rócz odgrzewania, trzeba go b dzie jeszcze sr»a lub rozr»a ) Korzystaj c z równania adiabaty V κ = 1 V0 κ, gdzie κ = (c V + R) /c V, otrzymamy ( ) κ ( ) κ V 0 1 = =, V 0 zatem W ad = k V ( ) ] κr/(cv +R) 0 = k V ( ) ] R/cV 0 Uwzgl dniaj c,»e mamy do czynienia z n = V/ (RT 0 ) molami gazu, jego temeratura gazu o tym rocesie b dzie równa T 1 = 1V 0 nr = 1V 0 V T 0 = ( ) κ 1 0 T 0 Pobieraj c cieªo z otoczenia o temeraturze T 0 i odgrzewaj c w rocesie odwracalnym n moli gazu od temeratury T do T + dt, mo»emy uzyska rac dw = T 0 T T nc v dt, 5

6 zatem caªkowita raca uzyskana rzy odgrzewaniu gazu wynosi T0 ( T 0 T W odg = nc v dt = nc v T 0 ln T ) 0 T 0 + T 1 T 1 T T 1 = c ( ) 1 κ ( ) ] κ 1 v R V 0 0 ln 1 + = V ln ( ) ] R/cv 0 + V 0 Zatem caªa raca jest równa W = W ad + W odg = V ln ( + 0 k c v R ) V ( ) ] R/cv 0 Przyjmuj c k = c v /R dostaniemy wzór (1), jednak dla wsóªczynnika odanego w tre±ci zadania dostajemy bª dnie W = V ln ( R + c ) ( ) ] R/cv v 0 V 0 c v R Je±li ucze«, rzerowadzaj c rzedstawione rozumowanie, uwzgl dniaj c k = R/c v, dostaª owy»szy wzór, ten fragment rozwi zania nale»y uzna za orawny Jeszcze innym sosobem wyznaczenia szukanej racy, jest rozr»enie adiabatyczne do ci±nienia otoczenia 0, a nast nie izobaryczne odgrzewanie gazu rzy u»yciu silnika Carno Wynik, jaki uzyskamy w takim rzyadku, jest nast uj cy W = V ln ( + 0 k c v R ) V ( ) ] R/(cv+R) 0 6