Kinetyczna teoria gazów

Transkrypt

1 Kinetyczna teoria gazów Gaz doskonaªy 1. Cz steczki gazu wzajemnie na siebie nie dziaªaj, a» do momentu zderzenia 2. Rozmiary cz steczek mo»na pomin, traktuj c je jako punkty Ka»da cz steczka gazu porusza si swobodnie, a» do momentu zde»enia z inn cz stk albo ze ±ciank naczynia. Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

2 Kinetyczna teoria gazów Gaz doskonaªy 1. Cz steczki gazu wzajemnie na siebie nie dziaªaj, a» do momentu zderzenia 2. Rozmiary cz steczek mo»na pomin, traktuj c je jako punkty Ka»da cz steczka gazu porusza si swobodnie, a» do momentu zde»enia z inn cz stk albo ze ±ciank naczynia. Prawo rozkªadu pr dko±ci Maxwella 1. Zderzenia cz steczek maj charakter doskonale spr»ysty 2. Liczba cz steczek dn, maj cych pr dko±ci zawarte w dowolnie maªym przedziale pr dko±ci od v do v + dv jest staªa. dn wzór Maxwella: N = 4 v 2 π ˆv 3 e v2 ˆv 2 dv N - ogólna liczba cz stek, ˆv - pr dko± najbardziej prawdopodobna Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

3 Rozkªad Maxwella Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

4 Ci±nienie gazu z punktu widzenia teorii kinetycznej Zaªo»enia upraszczaj ce w celu wyprowadzenia wzoru: 1. Gaz zawarty jest w kulistym naczyniu o promieniu r. 2. Zaniedbujemy zderzenia mi dzycz steczkowe. Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

5 Ci±nienie gazu z punktu widzenia teorii kinetycznej Zaªo»enia upraszczaj ce w celu wyprowadzenia wzoru: 1. Gaz zawarty jest w kulistym naczyniu o promieniu r. 2. Zaniedbujemy zderzenia mi dzycz steczkowe. Wyprowadzenie wzoru Odlegªo± pomi dzy kolejnymi zderzeniami cz stki z naczyniem jest staªa i wynosi d. Kosinus k ta pomi dzy torem cz stki i normaln do powierzchni kuli: cos α = d 2r Liczba zderze«i droga, któr przebiega cz stka w czasie t: n i v t = nd Zmiana p du cz stki podczas odbicia: p = 2mv cos α Siªa zwi zana ze zmian p du: F = p 2mv cos αnv t = nd = mv 2 r Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

6 Ci±nienie gazu z punktu widzenia teorii kinetycznej Zaªo»enia upraszczaj ce w celu wyprowadzenia wzoru: 1. Gaz zawarty jest w kulistym naczyniu o promieniu r. 2. Zaniedbujemy zderzenia mi dzycz steczkowe. Wyprowadzenie wzoru Odlegªo± pomi dzy kolejnymi zderzeniami cz stki z naczyniem jest staªa i wynosi d. Kosinus k ta pomi dzy torem cz stki i normaln do powierzchni kuli: cos α = d 2r Liczba zderze«i droga, któr przebiega cz stka w czasie t: n i v t = nd Zmiana p du cz stki podczas odbicia: p = 2mv cos α Siªa zwi zana ze zmian p du: F = p 2mv cos αnv t = nd = mv 2 r Dla N cz stek o jednakowych masach ci±nienie p = N mv 2 i i=1 r 4πr 2 = N m v 2 3V = 2E K 3V Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

7 Równanie Clapeyrona pv = nrt J n - liczba moli gazu, R = 8, mol K - staªa gazowa, T - temperatura bezwzgl dna w skali Kelvina Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

8 Równanie Clapeyrona pv = nrt J n - liczba moli gazu, R = 8, mol K - staªa gazowa, T - temperatura bezwzgl dna w skali Kelvina rednia energia kinetyczna ruchu post powego cz steczek jest funkcj temperatury bezwzgl dnej. pv = 2 E 3 K = nrt E K N = 3 R 2 N T A = 3 kt 2 N A - liczba Avogadro, k = R N A = 1, J K - staªa Boltzmanna Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

9 Równanie Clapeyrona pv = nrt J n - liczba moli gazu, R = 8, mol K - staªa gazowa, T - temperatura bezwzgl dna w skali Kelvina rednia energia kinetyczna ruchu post powego cz steczek jest funkcj temperatury bezwzgl dnej. pv = 2 E 3 K = nrt E K N = 3 R 2 N T A = 3 kt 2 N A - liczba Avogadro, k = R N A = 1, J K - staªa Boltzmanna Zasada ekwipatrycji energii rednia energia kinetyczna jest równomiernie podzielona na poszczególne stopnie swobody. Na ka»dy stopie«przypada 1 2 kt. W przypadku gazu doskonaªego (zaniedbujemy oddziaªywania mi dzycz steczkowe) energia kinetyczna E K jest równocze±nie caªkowit energi wewn trzn U. Liczba stopni swobody dla cz steczek jednoatomowych wynosi 3, dwuatomowych 5 a trój- i wieloatomowych 6. Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

10 Przewodnictwo cieplne Strumie«energii d φ, czyli ilo± energii dq przechodz cej w jednostce czasu dt przez powierzchni ds, ustawion prostopadle do kierunku przepªywu energii, jest proporcjonalny do tego pola powierzchni i do gradientu temperatury: dφ = dq dt = λ dt dx ds λ - wspóªczynnik przewodzenia ciepªa Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

11 Energia wewn trzna Na energi wewn trzn ukªadu skªada si energia potencjalna, cieplna, chemiczna, magnetyczna, j drowa itp. Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

12 Energia wewn trzna Na energi wewn trzn ukªadu skªada si energia potencjalna, cieplna, chemiczna, magnetyczna, j drowa itp. Pierwsza zasada termodynamiki Kosztem ciepªa Q doprowadzonego do ukªadu uzyskujemy wzrost jego energii wewn trznej U oraz prac przez niego wykonan W : Q = U + W Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

13 Energia wewn trzna Na energi wewn trzn ukªadu skªada si energia potencjalna, cieplna, chemiczna, magnetyczna, j drowa itp. Pierwsza zasada termodynamiki Kosztem ciepªa Q doprowadzonego do ukªadu uzyskujemy wzrost jego energii wewn trznej U oraz prac przez niego wykonan W : Q = U + W Elementarna praca zwi zana ze zmian obj to±ci ciaªa pod wpªywem ci±nienia p: dw = p dv Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

14 I zasada termodynamiki w izoprzemianach gazu doskonaªego Przemiana izochoryczna, dv = 0 dw = 0 dq = mc V dt, c V - ciepªo wªa±ciwe przy staªej obj to±ci Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

15 I zasada termodynamiki w izoprzemianach gazu doskonaªego Przemiana izochoryczna, dv = 0 dw = 0 dq = mc V dt, c V - ciepªo wªa±ciwe przy staªej obj to±ci Przemiana izobaryczna, p = const dq = du + p dv dq = mc p dt, c p - ciepªo wªa±ciwe przy staªym ci±nieniu mc p dt = mc V dt + p dv p dv = nr dt c p = c V + n m R = c V + R M, M = m n - masa cz steczkowa (masa jednego mola gazu) Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

16 I zasada termodynamiki w izoprzemianach gazu doskonaªego Przemiana izochoryczna, dv = 0 dw = 0 dq = mc V dt, c V - ciepªo wªa±ciwe przy staªej obj to±ci Przemiana izobaryczna, p = const dq = du + p dv dq = mc p dt, c p - ciepªo wªa±ciwe przy staªym ci±nieniu mc p dt = mc V dt + p dv p dv = nr dt c p = c V + n m R = c V + R M, M = m n - masa cz steczkowa (masa jednego mola gazu) Przemiana adiabatyczna, dq = 0 du = dw Podczas przemiany adiabatycznej nie ma wymiany ciepªa z otoczeniem. mc V dt = p dv = nrt dv V dt T = R dv Mc V V R Mc V cp c V c V ln T = R Mc ln V V + const ln TV = const TV TV κ 1 = const pvtv κ 1 = constnrt pv κ = const = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

17 Izotermy dla 1 mola gazu doskonaªego Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

18 Druga zasada termodynamiki Zamiana ciepªa na prac w silniku termodynamicznym jest mo»liwa tylko wtedy, gdy ¹ródªo dostarczaj ce ciepªo ma temperatur wy»sz od najchªodniejszego ciaªa w jego otoczeniu. Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

19 Druga zasada termodynamiki Zamiana ciepªa na prac w silniku termodynamicznym jest mo»liwa tylko wtedy, gdy ¹ródªo dostarczaj ce ciepªo ma temperatur wy»sz od najchªodniejszego ciaªa w jego otoczeniu. Sprawno± silników termodynamicznych Sprawno± η silnika termodynamicznego to stosunek efektywnej pracy W wykonanej przez silnik w pojedynczym cyklu do ciepªa Q dostarczonego silnikowi: η = W Q. Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

20 Cykl Carnota Mo»na przedstawi w ukªadzie wsóªrz dnych V, p. 1 izotermiczne rozpr»anie gazu doskonaªego w temperaturze T 1 (temperatura grzejnika) z dostarczanym ciepªem Q 1 2 adiabatyczne rozpr»anie do ni»szej temperatury T 2 3 izotermiczne spr»anie si gazu w temperaturze T 2 (temperatura chªodnicy) z oddawanym ciepªem Q 2 4 adiabatyczne spr»anie gazu do stanu wyj±ciowego Sprawno± silnika η = Q 1 Q 2 Q 1 = T 1 T 2 T 1 Silniki termodnamiczne odwrone mog dziaªa jako chªodziarki lub pompy cieplne. Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

21 Cykl Carnota Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

22 Nierówno± Clausiusa Gdy ilo±ci ciepªa odpowiadaj ce poszczególnym cz ±ciom cyklu Q i s pobierane lub oddawane odpowiednio w temperaturach T i wtedy: n i=1 Q i T i 0, Q T - ciepªo zredukowane Znak równo±ci obowi zuje przy przemianach odwracalnych, znak mniejszo±ci przy przemianach nieodwracalnych. Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

23 Nierówno± Clausiusa Gdy ilo±ci ciepªa odpowiadaj ce poszczególnym cz ±ciom cyklu Q i s pobierane lub oddawane odpowiednio w temperaturach T i wtedy: n i=1 Q i T i 0, Q T - ciepªo zredukowane Znak równo±ci obowi zuje przy przemianach odwracalnych, znak mniejszo±ci przy przemianach nieodwracalnych. Entropia Entropia stanu badanego wyra»a si sum entropii stanu zerowego i ª cznego ciepªa zredukowanego, odpowiadaj cego przej±ciu odwracalnemu od stanu zerowego do stanu badanego. Dla elementarnej przemiany odwracalnej: ds = dq T Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

24 Nierówno± Clausiusa Gdy ilo±ci ciepªa odpowiadaj ce poszczególnym cz ±ciom cyklu Q i s pobierane lub oddawane odpowiednio w temperaturach T i wtedy: n i=1 Q i T i 0, Q T - ciepªo zredukowane Znak równo±ci obowi zuje przy przemianach odwracalnych, znak mniejszo±ci przy przemianach nieodwracalnych. Entropia Entropia stanu badanego wyra»a si sum entropii stanu zerowego i ª cznego ciepªa zredukowanego, odpowiadaj cego przej±ciu odwracalnemu od stanu zerowego do stanu badanego. Dla elementarnej przemiany odwracalnej: ds = dq T Trzecia zasada termodynamiki W temperaturze zera bezwzgl dnego entropia ciaª staªych i ciekªych staje si równa zeru: lim S = 0 T 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13

25 Literatura Marta Skorko, Fizyka, PWN (1982). Andrzej Januszajtis, Fizyka dla Politechnik, t. 1 Cz stki, PWN (1977). Andrzej Januszajtis, Fizyka dla Politechnik, t. 2 Pola, PWN (1982). Barbara Ole±, Wykªady z Fizyki, Wydawnictwo PK (2005). Bohdan Kozarzewski, Fizyka zjawisk mikroskopowych, Wydawnictwo PK (1998). Encyklopedia zyki wspóªczesnej, PWN (1983). D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy zyki t.1, PWN (2006). Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Termodynamiki Kraków, / 13