1 Elektrostatyka. 1.1 Wst p teoretyczny

Transkrypt

1 Elektrostatyka. Wst p teoretyczny Dwa ªadunki elektryczne q i q 2 wytwarzaj pole elektryczne i za po±rednictwem tego pola odziaªuj na siebie wzajemnie z pewn siª. Je»eli pole elektryczne wytworzone jest przez ªadunki b d ce w spoczynku, to nosi ono nazw pola elektrostatycznego. Warto± siªy oddziaªywania dla ªadunków punktowych a tak»e dla ªadunków o symetrii kulistej okre±la empiryczne prawo Coulomb'a. Siªa z jak ªadunek q odzdziaªuje na ªadunek q 2 ma tak sam warto± i kierunek jak siªa z jak ªadunek q 2 odzdziaªuje na ªadunek q, ale przeciwny zwrot (s to siªy akcji i reakcji). Siªa F z jak ªadunek punktowy q 2 odzdziaªuje na ªadunek q znajduj cy si w odlegªo±ci r od niego (patrz rys..) wyra»a si wzorem: F = q q 2 r 2 ˆr, () ɛ jest przenikalno±ci elektryczn o±rodka, w którym znajduj si ªadunki, natomiast wersor ˆr pokazuje poªo»enie ªadunku q wzgl dem ªadunku q 2. Przenikalno± elektryczna dowolnego o±rodka moze by zapisana jako iloczyn jego wzgl dnej przenikalno±ci elektrycznej (staªej dielektrycznej charakterystycznej dla danego o±rodka) ɛ r oraz przenikalno±ci elektrycznej pró»ni ɛ 0 = 8, C2 : N m 2 ɛ = ɛ r ɛ 0, (2) Je»eli chcemy znale¹ kierunek i zwrot siªy F 2 z jak ªadunek q odzdziaªuje na ªadunek q 2 Rysunek : Wzgl dne poªo»enie dwóch ªadunków punktowych. to we wzorze () wersor ˆr musimy zast pi wersorem ˆr 2 wskazuj cym poªo»enie ªadunku q 2 wzgl dem ªadunku q. Aby znale¹ siª oddziaªywania pomi dzy dwoma ªadunki Q i Q 2 o dowolnym rozkªadzie ci gªym (ªadunek elektryczny jest rozªo»ony w przestrzeni, patrz rys..), to nale»y ka»dy z ªadunków podzieli na innitezymalne (niesko«czenie maªe) ªadunki dq oraz dq 2 i policzy jaka jest siªa df z jak ªadunek dq 2 dziaªa na ªadunek dq (lub odwrotnie): df = dq dq 2 r 2 rˆ 2, (3) przy czym wersor rˆ 2 okre±la poªo»enie ªadunku dq wzgl dem dq 2. Nast pnie nale»y zsumowa siªy pochodz ce od wszystkich tak utworzonych ªadunków: F = Q Q 2 dq dq 2 r 2 rˆ 2. (4)

2 Rysunek 2: Dwa ªadunki o rozkªadzie ci gªym. Je»eli rozmiar geometryczny, którego± z ªadunków ci gªych jest du»o mniejszy od odlegªo±ci pomi dzy ªadunkami, to mo»emy go potraktowa jako ªadunek punktowy. Wiemy ju»,»e ªadunki elektryczne wytwarzaj pole elektryczne. Nale»y zatem wprowadzi wielko± zyczn, która b dzie charakteryzowaªa to pole w dowolnym jego punkcie. Podstawowym parametrem opisuj cym pole elektryczne jest wektor nat»enia pola elektrycznego w danym jego punkcie E, który deniujemy jako stosunek siªy, z jak pole elektryczne oddziaªuje na umieszczony w tym punkcie punktowy ªadunek próbny (który jest zawsze dodatni) do warto±ci tego ªadunku: E = F q+ q +. (5) Z powy»szego wzoru wynika,»e wektor nat»enia pola w danym punkcie pola ma taki sam kierunek i zwrot co siªa dziaªaj ca w tym punkcie na ªadunek dodatni, a warto± tego wektora jest równa sile dziaªaj cej na ªadunek jednostkowy. Warto± wektora E wyra»amy w dwóch podstawowych jednostkach: [E] = N C = V m. (6) Je»eli pole elektryczne jest wytwarzone prze wi cej ni» jeden ªadunek ¹ródªowy, to nat»enie pola elektrycznego w danym punkcie pola, zgodnie z zasad superpozycji, b dzie sum nat»e«pól wytworzonych przez poszczególne ªadunki: E = n i= E i, (7) gdzie E i jest nat»eniem pola wytworzonego przez i-ty ªadunek, a n jest liczb ªadunków wytwarzaj cych pole. Je»eli znamy nat»enie pola elektrycznego to na podstawie wzoru (5) mo»emy obliczy siª dziaªaj c w tym polu na dowolny ªadunek punktowy q: F = q E. (8) Pole elektryczne mo»na zobrazowa przy pomocy linii siª pola. Wektor nat»enia pola w ka»dym punkcie pola jest styczny do linii siª pola. Zwtot tych linii jest zgodny ze zwrotem E, natomist g sto± linii siª pola (liczba linii przechodz cych przez jednostkow powierzchni do nich prostopadª ) ±wiadczy o sile pola w danej odlegªo±ci od jego ¹ródªa. Na poni»szym rysunku przedstawiono rozkªad pola elektrostatycznego wytworzonego przez ªadunek punktowy dodatni. Z rysunku wida,»e linie siª pola rozchodz si 2

3 radialnie (promieni±cie) i s skierowane na zewn trz ªadunku ¹ródªowego, a ich g sto± maleje z odlegªo±ci od ªadunku ¹ródªowego (co oznacza,»e nat»enie pola maleje wraz ze wzrostem odlegªo±ci od ¹ródªa). Takie pole nazywamy polem centralnym. Rysunek 3: Pole centralne wytworzone przez ªadunek punktowy dodatni. Wprowad¹my teraz poj cie strumienia pola E przez innitezymaln powierzchni ds (rys.4): dφ = E ds, (9) przy czym E- wektor nat»enia pola elektrostatycznego w danym punkcie pola, dφstrumienia pola E przez innitezymaln powierzchni ds, ds-wektor prostopadªy do powierzchni ds o warto±ci równej polu powierzchni ds(przyjmuje si,»e zwrot tego wektora dla dowolnej powierzchni zamkni tej skierowany jest na zewn trz tej powierzchni). Caªkowity strumie«φ pola E b dzie zatem wynosiª: Φ = E ds (0) Strumie«Φ mówi nam ile linii siª pola przechodzi przez powierzchni S. Wiemy,»e g sto± linii siª pola zale»y nie tylko od odlegªo±ci od ¹ródªa, która nie b dzie wpªywaªa na warto± strumienia (g sto± linii, zatem i warto± E maleje z kwadratem odlegªo±ci, ale za to powierzchnia S ro±nie z kwadratem odlegªo±ci, wi c ich iloczyn pozostaje staªy), ale tak»e od ªadunku wytwarzaj cego pole. Je»eli ¹ródªo pola znajduje si na zewn trz powierzchni S (rys. 4a), to tyle samo linii pola wchodzi i wychodzi przez powierzchni S, st d strumie«pola w tym przypadku jest równy 0. Zatem strumie«pola E przez powierchni S niesie ze sob informacj o istnieniu i sile ¹ródeª pola (a wi c ªadunków) wewn trz rozwa»anej powierchni: Φ = E ds = ɛ Q, () gdzie Q jest caªkowitym ªadunkiem znajduj cym si wewn trz powierzchni zamkni tej S. Powy»sze równanie nazywane jest Prawem Gauss'a w postaci caªkowej. Istnieje tak»e ró»niczkowa posta tego prawa : E = ɛ ρ, (2) 3

4 Rysunek 4: Strumie«pola elektrycznego E przez zamkni t powierzchni S. przy czym ρ jest g sto±ci ªadunku obejmowanego przez powierzchni S. Denicj operatora i dywergencji dowolnego pola wektorowego podano w cz ±ci dodatkowej B3 tego skryptu. Ka»dy ªadunek elektryczny umieszczony w polu elektrycznym posiada energi potencjaln, wynikaj c z oddziaªywania ªadunku z tym polem (podobnie jak ciaªo o masie m umieszczone w polu grawitacyjnym posiada energi potencjaln, b d ca rezultatem oddziaªywania z tym polem). Przyjmuje si,»e energia potencjalna ªadunku w niesko«czonej odlegªo±ci od ¹ródªa pola jest równa 0. Natomiast energia potencjalna ªadunku q w punkcie le» cym w sko«czonej odlegªo±ci R od ¹ródªa pola równa jest najmniejszej pracy, jak musi wykona siªa zewn trzna (równowa» ca w ka»dym punkcie siª z jak pole elektryczne dziaªa na ten ªadunek) przy przeniesieniu ªadunku q z niesko«czono±ci, do tego punktu: E p = W z[ R]. (3) Zatem je»eli ªadunkiem ¹ródªowym jest ªadunek punktowy (lub ªadunek o symetrii kulistej) Q, to energia potencjalna ªadunku punktowego q znajduj cego si w polu elektrostatycznym w odlegªo±ci x od ¹ródªa b dzie wynosiªa: E p = W z[ x] = x ( F ) dr = Qq x. (4) W tym wypadku siªa zewn trzna ma tak sam warto± i kierunek co siªa oddziaªywania mi dzy ªadunkami wyra»ona wzorem (), ale przeciwny zwrot, st d znak - pod caªk. Je»eli pole wytworzone jest przez ªadunek o symetrii kulistej, to powy»szy wzór jest sªuszny jednynie dla r R, gdzie R oznacza promie«kuli, na której rozªo»ony jest ªadunek Q. Jak wynika ze wzoru (4) ªadunek w polu elektrycznym mo»e mie dodatni lub ujemn energi potencjaln, w zale»no±ci od znaków obu ªadunków Q i q, co oznacza,»e pole elektryczne wypycha b d¹ wci ga ªadunek do obszaru pola. Je»eli energi potencjaln ªadunku podzielimy przez warto± tego ªadunku, to otrzymamy wielko± skalarn niezale»n od ªadunku, ale zale»n od punktu, w którym ten ªadunek si znajduje. Iloraz ten jest zatem cech pola w danym jego punkcie, mo»e zatem charakteryzowa pole elektryczne, tak jak wektor nat»enia pola w danym punkcie pola. Stosunek energii potencjalnej ªadunku w polu elektrycznym do warto±ci tego ªadunku nazywamy potencjaªem 4

5 pola elektrycznego w danym punkcie pola i oznaczamy przez V : V = E p q. (5) Na podstawie równa«(4) i (5) mo»emy wyznaczy potencjaª pola wytworzonego przez ªadunek punktowy (lub ªadunek o symetrii kulistej) Q w odlegªo±ci r od ¹ródªa pola: V (r) = Q. (6) r Nale»y pami ta,»e je»eli pole wytworzone jest przez ªadunek o symetrii kulistej, to wzór ten jest prawdziwy dla r R. Potencjaª elektryczny, tak jak wektor nat»enia, podlega zasadzie superpozycji. Zatem je±li pole wytwarza kilka ªadunków ¹ródªowych, to potencjaª pola wypadkowego w danym punkcie jest równy sumie potencjaªów pochodz cych od poszczegoªnych ªadunków: n V = V i. (7) i= Poniewa» zarówno nat»enie E jak i potencjaª V opisuj to samo pole elektryczne musi istnie jaki± zwi zek mi dzy tymi dwiema wielko±ciami zycznymi. Zale»no± t przedstawia poni»sze równanie: E = V. (8) Z powy»szego równania wynika,»e wektor nat»enia pola elektrycznego zwrócony jest w stron najwi kszego spadku potencjaªu (omówienie operatora i wªasno±ci gradientu dowolnej funkcji skalarnej podane zostaªy w cz ±ci dodatkowej B3 tego skryptu). Obliczmy teraz prac jak wykonuje siªa zewn trzna przy przesuni ciu ªadunku q z punktu A (odlegªego od ªadunku Q o ) do punktu B (odlegªego od ªadunku Q o r B ): W z[ra r B ] = rb ( F ) dr = Qq ( r B ). (9) Zauwa»my,»e ze wzorów (6)i (9) wynika nast puj ca zale»no± : W z[ra r B ] = Qq ( r B ) = q( Q Q r B ) = q(v B V A ), (20) zatem praca wykonana przy przesuni ciu ªadunku q z punktu A do punktu B nie zale»y od ksztaªtu drogi, po której ªadunek byª przesuwany a jedynie od poªo»enia pocz tkowego i ko«cowego ªadunku q. To oznacza,»e praca wykonana w polu elektrostatycznym przy przesuni ciu ªadunku po dowolnej krzywej zamkni tej (od punktu A do A) jest równa 0. Pole o takiej wªasno±ci nazywamy polem zachowawczym. Praca W p wykonana przez pole elektrostatyczne przy przesuni ciu ªadunku z punktu A do B ma warto± przeciwn do pracy wykonanej przez siª zewn trzn : W p[ra r B ] = q(v A V B ). (2) Pole elektrostatyczne ma jeszcze jedn wa»n cech. Rotacja wektora nat»enia pola jest równa 0, co oznacza,»e pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym (wi cej informacji na temat rotacji dowolnego pola wektorowego znajdziesz w cz ±ci B3 tego skryptu): E = 0. (22) 5