Ekonometria Przestrzenna
|
|
- Łucja Pawlak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ekonometria Przestrzenna Wykªad 9: Przestrzenne modele panelowe (9) Ekonometria Przestrzenna 1 / 37
2 Plan wykªadu 1 Podstawowe poj cia ekonometrii panelowej Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Elementy diagnostyki modeli panelowych 2 Podstawowe panelowe modele przestrzenne Model panelowy SARAR Estymacja ML 3 Rozbudowa specykacji panelowych modeli przestrzennych Modele statyczne Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki (9) Ekonometria Przestrzenna 2 / 37
3 Plan prezentacji 1 Podstawowe poj cia ekonometrii panelowej 2 Podstawowe panelowe modele przestrzenne 3 Rozbudowa specykacji panelowych modeli przestrzennych (9) Ekonometria Przestrzenna 3 / 37
4 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Dane panelowe y t,i : dane indeksowane w dwóch wymiarach czas i obserwowane jednostki t: przestrze«jednowymiarowa o zdeniowanym zwrocie (przeszªo± przyszªo± ) i: jednostki w panelach aprzestrzennych niezale»ne od siebie nawzajem Map powi za«mi dzy jednostkami W mo»emy potencjalnie odnie± do wymiaru przestrzennego panelu, i. Wyró»niamy panele: zbilansowane: dost pne T N obserwacji dla wszystkich zmiennych niezbilansowane: braki w danych (konsekwencje w ekonometrii przestrzennej powa»niejsze) (9) Ekonometria Przestrzenna 4 / 37
5 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Dane panelowe y t,i : dane indeksowane w dwóch wymiarach czas i obserwowane jednostki t: przestrze«jednowymiarowa o zdeniowanym zwrocie (przeszªo± przyszªo± ) i: jednostki w panelach aprzestrzennych niezale»ne od siebie nawzajem Map powi za«mi dzy jednostkami W mo»emy potencjalnie odnie± do wymiaru przestrzennego panelu, i. Wyró»niamy panele: zbilansowane: dost pne T N obserwacji dla wszystkich zmiennych niezbilansowane: braki w danych (konsekwencje w ekonometrii przestrzennej powa»niejsze) (9) Ekonometria Przestrzenna 4 / 37
6 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Dane panelowe y t,i : dane indeksowane w dwóch wymiarach czas i obserwowane jednostki t: przestrze«jednowymiarowa o zdeniowanym zwrocie (przeszªo± przyszªo± ) i: jednostki w panelach aprzestrzennych niezale»ne od siebie nawzajem Map powi za«mi dzy jednostkami W mo»emy potencjalnie odnie± do wymiaru przestrzennego panelu, i. Wyró»niamy panele: zbilansowane: dost pne T N obserwacji dla wszystkich zmiennych niezbilansowane: braki w danych (konsekwencje w ekonometrii przestrzennej powa»niejsze) (9) Ekonometria Przestrzenna 4 / 37
7 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Panele niezbilansowane (1) obs = (9) Ekonometria Przestrzenna 5 / 37
8 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Panele niezbilansowane (2) obs = (9) Ekonometria Przestrzenna 6 / 37
9 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Panele niezbilansowane (3) obs = (9) Ekonometria Przestrzenna 7 / 37
10 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Panele niezbilansowane (4) obs = ; ρ 1?, ρ 2, a w konsekwencji β 2 (9) Ekonometria Przestrzenna 8 / 37
11 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Panele niezbilansowane (5) obs = (9) Ekonometria Przestrzenna 9 / 37
12 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Model pooled (klasyczna regresja liniowa) Model pooled: Notacja macierzowa: y = 1 NT 1 y t,i = c + x t,i β + ε i,t ε i,t N ( 0, σ 2) i.i.d. c + X NT ε MVN β NT KK 1 ( 0, σ 2 I NT NT ) + ε NT 1 (9) Ekonometria Przestrzenna 10 / 37
13 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Model pooled (klasyczna regresja liniowa) Model pooled: Notacja macierzowa: y = 1 NT 1 y t,i = c + x t,i β + ε i,t ε i,t N ( 0, σ 2) i.i.d. c + X NT ε MVN β NT KK 1 ( 0, σ 2 I NT NT ) + ε NT 1 (9) Ekonometria Przestrzenna 10 / 37
14 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Model z efektami ustalonymi (FE, xed eects) Model FE: Notacja macierzowa: y = NT 1 y t,i = α i + x t,i β + ε i,t ε i,t N ( 0, σ 2) i.i.d. ( 1 T 1 I N N N ε MVN ) µ N 1 + X β NT K ) ( 0, σ 2 I NT NT K 1 + ε NT 1 (9) Ekonometria Przestrzenna 11 / 37
15 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Model z efektami ustalonymi (FE, xed eects) Model FE: Notacja macierzowa: y = NT 1 y t,i = α i + x t,i β + ε i,t ε i,t N ( 0, σ 2) i.i.d. ( 1 T 1 I N N N ε MVN ) µ N 1 + X β NT K ) ( 0, σ 2 I NT NT K 1 + ε NT 1 (9) Ekonometria Przestrzenna 11 / 37
16 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Iloczyn Kroneckera [ 1 1 α = ] α 1 α 2 α 3 = 1 α 1 1 α 2 1 α 3 1 α 1 1 α 2 1 α 3 (9) Ekonometria Przestrzenna 12 / 37
17 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Model z efektami losowymi (RE, random eects) Model RE: y t,i = α + x t,i β + u i, u i = α i + ε i,t, α i N ( 0, σ 2 α) i.i.d., ui,t N ( 0, σ 2 u) i.i.d. Notacja macierzowa: y = 1 NT 1 c + X NT ( µ MVN 0, σµ 2 I N N β NT KK 1 ) ( + 1 T 1 I N, u MVN N N ) µ N 1 ( 0, σ 2 u I NT NT + u NT 1 ) (9) Ekonometria Przestrzenna 13 / 37
18 Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych Model z efektami losowymi (RE, random eects) Model RE: y t,i = α + x t,i β + u i, u i = α i + ε i,t, α i N ( 0, σ 2 α) i.i.d., ui,t N ( 0, σ 2 u) i.i.d. Notacja macierzowa: y = 1 NT 1 c + X NT ( µ MVN 0, σµ 2 I N N β NT KK 1 ) ( + 1 T 1 I N, u MVN N N ) µ N 1 ( 0, σ 2 u I NT NT + u NT 1 ) (9) Ekonometria Przestrzenna 13 / 37
19 Elementy diagnostyki modeli panelowych Wybrane post powania testowe Testy efektów indywidualnych: poolability FE (Walda) wariancji RE (Breuscha-Pagana) Test Hausmana: H 0 : estymator RE zgodny (i wówczas preferowany jako efektywniejszy) H 1 : estymator RE niezgodny (i wówczas preferowany FE mimo ni»szej efektywno±ci) Testy efektów przestrzennych w modelach aprzestrzennych. (9) Ekonometria Przestrzenna 14 / 37
20 Elementy diagnostyki modeli panelowych Modele specjalne Modele dynamiczne: Arellano-Bonda, Blundella-Bonda, itd. Modele ograniczonej zmiennej zale»nej Modele z kointegracj Dynamiczny rozwój literatury w ostatnich 10 latach Nie s przedmiotem tego wykªadu, ale: Elhorst P., 2014, Spatial Econometrics: From Cross-Sectional Data to Spatial Panels (ch. 4) Oprogramowanie: wi cej w Stata (np. modele niezbilansowane) (9) Ekonometria Przestrzenna 15 / 37
21 Plan prezentacji 1 Podstawowe poj cia ekonometrii panelowej 2 Podstawowe panelowe modele przestrzenne 3 Rozbudowa specykacji panelowych modeli przestrzennych (9) Ekonometria Przestrzenna 16 / 37
22 Model panelowy SARAR Model SARAR z efektami indywidualnymi ( ) ρ I T T T W N N y NT 1 + X β NT KK 1 y = NT 1 + (1 T 1 I N ) µ + [I NT λ (I T W)] 1 ε }{{} NT 1 ε MVN ( 0, σ 2 εi ) Opcja spatial.error w komendzie R spml: none: λ = 0 (SAR) b: λ 0 kkp: autokorelacja przestrzenna obejmuje równie» efekty indywidualne (Kapoor i in., 2007 nie omawiamy tego przypadku poni»ej, pozostawiam jako wiczenie) [I NT λ (I T W)] 1 [(1 T 1 I N ) µ + ε] Powy»szy przypadek ªatwo uszczegóªowi do modelu SEM (ρ = 0, lag = FALSE). (9) Ekonometria Przestrzenna 17 / 37
23 Model panelowy SARAR Model SARAR z efektami indywidualnymi ( ) ρ I T T T W N N y NT 1 + X β NT KK 1 y = NT 1 + (1 T 1 I N ) µ + [I NT λ (I T W)] 1 ε }{{} NT 1 ε MVN ( 0, σ 2 εi ) Opcja spatial.error w komendzie R spml: none: λ = 0 (SAR) b: λ 0 kkp: autokorelacja przestrzenna obejmuje równie» efekty indywidualne (Kapoor i in., 2007 nie omawiamy tego przypadku poni»ej, pozostawiam jako wiczenie) [I NT λ (I T W)] 1 [(1 T 1 I N ) µ + ε] Powy»szy przypadek ªatwo uszczegóªowi do modelu SEM (ρ = 0, lag = FALSE). (9) Ekonometria Przestrzenna 17 / 37
24 Model panelowy SARAR Model SARAR z efektami indywidualnymi ( ) ρ I T T T W N N y NT 1 + X β NT KK 1 y = NT 1 + (1 T 1 I N ) µ + [I NT λ (I T W)] 1 ε }{{} NT 1 ε MVN ( 0, σ 2 εi ) Opcja spatial.error w komendzie R spml: none: λ = 0 (SAR) b: λ 0 kkp: autokorelacja przestrzenna obejmuje równie» efekty indywidualne (Kapoor i in., 2007 nie omawiamy tego przypadku poni»ej, pozostawiam jako wiczenie) [I NT λ (I T W)] 1 [(1 T 1 I N ) µ + ε] Powy»szy przypadek ªatwo uszczegóªowi do modelu SEM (ρ = 0, lag = FALSE). (9) Ekonometria Przestrzenna 17 / 37
25 Model panelowy SARAR Macierz wag przestrzennych Macierz mno»ników przestrzennych (I T W) ma teraz ukªad blokowo-diagonalny: W W macierz powiązań w 1 okresie W W macierz powiązań w 2 okresie W W macierz powiązań w 3 okresie.... W W macierz powiązań w T okresie Wa»ne! Zakªadamy,»e kolejno± obserwacji w macierzach y i X wg schematu: region 1 okres 1, region 2 okres 1, region 1 okres 2, region 2 okres 2... W spml w R prawie bez znaczenia jak zaimportujemy dane (szczegóªy w kodzie), ale poni»sze wyprowadzenia prawdziwe tylko w takim przypadku. (9) Ekonometria Przestrzenna 18 / 37
26 Model panelowy SARAR Macierz wag przestrzennych Macierz mno»ników przestrzennych (I T W) ma teraz ukªad blokowo-diagonalny: W W macierz powiązań w 1 okresie W W macierz powiązań w 2 okresie W W macierz powiązań w 3 okresie.... W W macierz powiązań w T okresie Wa»ne! Zakªadamy,»e kolejno± obserwacji w macierzach y i X wg schematu: region 1 okres 1, region 2 okres 1, region 1 okres 2, region 2 okres 2... W spml w R prawie bez znaczenia jak zaimportujemy dane (szczegóªy w kodzie), ale poni»sze wyprowadzenia prawdziwe tylko w takim przypadku. (9) Ekonometria Przestrzenna 18 / 37
27 Model panelowy SARAR Rodzaje efektów indywidualnych Efekty indywidualne mog równie» dotyczy okresów, a nie tylko regionów (effect: individual, time, twoways). Pod wzgl dem statystycznym, model przestrzenny równie» mo»emy traktowa na dwa sposoby, tak jak aprzestrzenny: FE: L ( y X, β, ρ, λ, σε, 2 µ ) RE: L ( ) ( y X, β, ρ, λ, σε, 2 σµ 2, gdzie µ MVN 0; σ 2 µ I ) (9) Ekonometria Przestrzenna 19 / 37
28 Estymacja ML Konstrukcja skªadnika losowego Odnotujmy relacj mi dzy postaci strukturaln a zredukowan : gdzie y = [I NT ρ (I T W)] 1 Xβ + [I NT ρ (I T W)] 1 ν ν = ε (FE, SAR) µ traktujemy wtedy jako cz ± X ν = (1 T 1 I N ) µ + ε (RE, SAR) ν = [I NT λ (I T W)] 1 ε (FE, SARAR) µ traktujemy wtedy jako cz ± X ν = (1 T 1 I N ) µ + [I NT λ (I T W)] 1 ε (RE, SARAR) Niezale»nie od powy»szego wariantu: ν y = [I 1 NT ρ (I T W)] = I T (I N ρw) I T M ρ (9) Ekonometria Przestrzenna 20 / 37
29 Estymacja ML Funkcja wiarygodno±ci W przestrzennych modelach panelowych zawsze b dziemy korzystali z ogólnej postaci funkcji wiarygodno±ci obserwacji, której logarytm wyra»a si wzorem: N T ln (2π)+ln 2 ν y ln L ( y X, β, ρ, λ, σε, 2... ) = 1 2 ln Σν 1 2 ν (y X, β, ρ, W,...) Σ 1 ν ν (y X, β, ρ, W,...) N wymiar przestrzenny T wymiar czasowy y, X dane W znana macierz wspóªzale»no±ci przestrzennych ν wektor skªadników losowych Σ ν macierz wariancji-kowariancji ν ν y Jakobian relacji mi dzy postaci strukturaln a zredukowan (pochodna wektora ν po wektorze zmiennej obja±nianej) Uwaga! Przedeniowanie ν wymusza przedeniowanie Σ ν i ν y. (9) Ekonometria Przestrzenna 21 / 37
30 Estymacja ML Estymacja ML modelu FE-SARAR (1) Skªadnik losowy: ν = [I NT λ (I T W)] 1 ε = I T (I N λw) 1 ε I T M λ ε Jego macierz wariancji-kowariancji (w dalszej cz ±ci prezentacji: T liczba okresów jako liczba lub indeks dolny, transpozycja): ( ) Σ υ = (I T M λ σεi 2 (I T M λ ) = σε 2 (I T M λ ) I T M λ = ( ) ( ) = σε 2 I T I T M λ M λ = σεi 2 T (M ) λ M λ Σ 1 υ = 1 I σε 2 T (M ) 1 λ M λ ln Σ υ = NT ln σε 2 + T ln M λ M λ (9) Ekonometria Przestrzenna 22 / 37
31 Estymacja ML Estymacja ML modelu FE-SARAR (1) Skªadnik losowy: ν = [I NT λ (I T W)] 1 ε = I T (I N λw) 1 ε I T M λ ε Jego macierz wariancji-kowariancji (w dalszej cz ±ci prezentacji: T liczba okresów jako liczba lub indeks dolny, transpozycja): ( ) Σ υ = (I T M λ σεi 2 (I T M λ ) = σε 2 (I T M λ ) I T M λ = ( ) ( ) = σε 2 I T I T M λ M λ = σεi 2 T (M ) λ M λ Σ 1 υ = 1 I σε 2 T (M ) 1 λ M λ ln Σ υ = NT ln σε 2 + T ln M λ M λ (9) Ekonometria Przestrzenna 22 / 37
32 Estymacja ML Estymacja ML modelu FE-SARAR (2) Wstawiaj c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci: ln L FE = N T ln (2π) + ln 2 ν 1 y 2 ln Σν 1 2 υ Σ 1 ν υ = = N T ln (2π) T ln M 2 ρ N T ln ( ) σ 2 2 ε T 2 M λ M λ + ( 1 2σε 2 υ [I ) ] 1 T M λ M λ υ υ = [I NT ρ (I T W)] y Xβ (1 T 1 I N ) µ Sposób maksymalizacji: 1 Transformacja within: odejmujemy od ka»dego y i,t warto± ȳ i = 1 T ΣT t=1y i,t (i podobnie dla X). 2 Maksymalizacja ln L FE ze wzgl du na ρ, λ, β, σ 2 ε z pomini ciem skªadników (1 T 1 I N ) µ. 3 Wyznaczenie µ jako v i = 1 T ΣT t=1ˆv i,t po takiej estymacji. (9) Ekonometria Przestrzenna 23 / 37
33 Estymacja ML Estymacja ML modelu FE-SARAR (2) Wstawiaj c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci: ln L FE = N T ln (2π) + ln 2 ν 1 y 2 ln Σν 1 2 υ Σ 1 ν υ = = N T ln (2π) T ln M 2 ρ N T ln ( ) σ 2 2 ε T 2 M λ M λ + ( 1 2σε 2 υ [I ) ] 1 T M λ M λ υ υ = [I NT ρ (I T W)] y Xβ (1 T 1 I N ) µ Sposób maksymalizacji: 1 Transformacja within: odejmujemy od ka»dego y i,t warto± ȳ i = 1 T ΣT t=1y i,t (i podobnie dla X). 2 Maksymalizacja ln L FE ze wzgl du na ρ, λ, β, σ 2 ε z pomini ciem skªadników (1 T 1 I N ) µ. 3 Wyznaczenie µ jako v i = 1 T ΣT t=1ˆv i,t po takiej estymacji. (9) Ekonometria Przestrzenna 23 / 37
34 Estymacja ML Estymacja ML modelu FE-SARAR (2) Wstawiaj c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci: ln L FE = N T ln (2π) + ln 2 ν 1 y 2 ln Σν 1 2 υ Σ 1 ν υ = = N T ln (2π) T ln M 2 ρ N T ln ( ) σ 2 2 ε T 2 M λ M λ + ( 1 2σε 2 υ [I ) ] 1 T M λ M λ υ υ = [I NT ρ (I T W)] y Xβ (1 T 1 I N ) µ Sposób maksymalizacji: 1 Transformacja within: odejmujemy od ka»dego y i,t warto± ȳ i = 1 T ΣT t=1y i,t (i podobnie dla X). 2 Maksymalizacja ln L FE ze wzgl du na ρ, λ, β, σ 2 ε z pomini ciem skªadników (1 T 1 I N ) µ. 3 Wyznaczenie µ jako v i = 1 T ΣT t=1ˆv i,t po takiej estymacji. (9) Ekonometria Przestrzenna 23 / 37
35 Estymacja ML Estymacja ML modelu FE-SARAR (2) Wstawiaj c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci: ln L FE = N T ln (2π) + ln 2 ν 1 y 2 ln Σν 1 2 υ Σ 1 ν υ = = N T ln (2π) T ln M 2 ρ N T ln ( ) σ 2 2 ε T 2 M λ M λ + ( 1 2σε 2 υ [I ) ] 1 T M λ M λ υ υ = [I NT ρ (I T W)] y Xβ (1 T 1 I N ) µ Sposób maksymalizacji: 1 Transformacja within: odejmujemy od ka»dego y i,t warto± ȳ i = 1 T ΣT t=1y i,t (i podobnie dla X). 2 Maksymalizacja ln L FE ze wzgl du na ρ, λ, β, σ 2 ε z pomini ciem skªadników (1 T 1 I N ) µ. 3 Wyznaczenie µ jako v i = 1 T ΣT t=1ˆv i,t po takiej estymacji. (9) Ekonometria Przestrzenna 23 / 37
36 Estymacja ML Estymacja ML modelu RE-SARAR (1) Zªo»ony skªadnik losowy: ν = (1 T 1 I N ) µ + [I NT λ (I T W)] 1 ε = (1 T 1 I N ) µ + I T (I N λw) 1 ε (1 T 1 I N ) µ + (I T M λ ) ε Jego macierz wariancji-kowariancji (przy zaªo»eniu niezale»no±ci µ i ε): Σ υ = Var ( [(1 T 1 I N ) µ] ( + Var ) [(I T ( M λ ) ε] ) = ( ) = σµ 2 1 T 1 1 T 1 I N I N + σε 2 I T I T M λ M λ = = σε 2 σ µ 2 (1 σε 2 T T I N ) + I T (M ) λ M λ }{{} } φ {{ } Σ υ Σ 1 υ = 1 1 Σ σε 2 υ ln Σ υ = NT ln σε 2 Σ + ln υ (9) Ekonometria Przestrzenna 24 / 37
37 Estymacja ML Estymacja ML modelu RE-SARAR (1) Zªo»ony skªadnik losowy: ν = (1 T 1 I N ) µ + [I NT λ (I T W)] 1 ε = (1 T 1 I N ) µ + I T (I N λw) 1 ε (1 T 1 I N ) µ + (I T M λ ) ε Jego macierz wariancji-kowariancji (przy zaªo»eniu niezale»no±ci µ i ε): Σ υ = Var ( [(1 T 1 I N ) µ] ( + Var ) [(I T ( M λ ) ε] ) = ( ) = σµ 2 1 T 1 1 T 1 I N I N + σε 2 I T I T M λ M λ = = σε 2 σ µ 2 (1 σε 2 T T I N ) + I T (M ) λ M λ }{{} } φ {{ } Σ υ Σ 1 υ = 1 1 Σ σε 2 υ ln Σ υ = NT ln σε 2 Σ + ln υ (9) Ekonometria Przestrzenna 24 / 37
38 Estymacja ML Estymacja ML modelu RE-SARAR (2) Wstawiaj c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci: ln L RE = N T 2 ln (2π) + ln ν 1 ln Σν + y υ Σ 1 ν υ = = N T N T ln (2π) T ln Mρ 2 2 ln ( σε 2 υ Σ υ (λ, φ) 1 υ 1 2σ 2 ε υ = {[I NT ρ (I T W)] y Xβ} ) 1 2 Σ ln υ (λ, φ) + Sposób maksymalizacji: 1 Startujemy od pewnych warto±ci startowych λ (0), ρ (0), φ (0). 2 Na podstawie warunków pierwszego rz du dla lnl oraz ustalonych w poprzednim kroku parametrów wyznaczamy β i σ 2 v. 3 Przy ustalonych (w poprzednim kroku) β i σ 2 v wyznaczamy nowe warto±ci λ, ρ, φ maksymalizuj c ln L RE. 4 Powtarzamy kroki (2)-(3) do uzyskania zbie»no±ci. (9) Ekonometria Przestrzenna 25 / 37
39 Estymacja ML Estymacja ML modelu RE-SARAR (2) Wstawiaj c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci: ln L RE = N T 2 ln (2π) + ln ν 1 ln Σν + y υ Σ 1 ν υ = = N T N T ln (2π) T ln Mρ 2 2 ln ( σε 2 υ Σ υ (λ, φ) 1 υ 1 2σ 2 ε υ = {[I NT ρ (I T W)] y Xβ} ) 1 2 Σ ln υ (λ, φ) + Sposób maksymalizacji: 1 Startujemy od pewnych warto±ci startowych λ (0), ρ (0), φ (0). 2 Na podstawie warunków pierwszego rz du dla lnl oraz ustalonych w poprzednim kroku parametrów wyznaczamy β i σ 2 v. 3 Przy ustalonych (w poprzednim kroku) β i σ 2 v wyznaczamy nowe warto±ci λ, ρ, φ maksymalizuj c ln L RE. 4 Powtarzamy kroki (2)-(3) do uzyskania zbie»no±ci. (9) Ekonometria Przestrzenna 25 / 37
40 Estymacja ML Estymacja ML modelu RE-SARAR (2) Wstawiaj c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci: ln L RE = N T 2 ln (2π) + ln ν 1 ln Σν + y υ Σ 1 ν υ = = N T N T ln (2π) T ln Mρ 2 2 ln ( σε 2 υ Σ υ (λ, φ) 1 υ 1 2σ 2 ε υ = {[I NT ρ (I T W)] y Xβ} ) 1 2 Σ ln υ (λ, φ) + Sposób maksymalizacji: 1 Startujemy od pewnych warto±ci startowych λ (0), ρ (0), φ (0). 2 Na podstawie warunków pierwszego rz du dla lnl oraz ustalonych w poprzednim kroku parametrów wyznaczamy β i σ 2 v. 3 Przy ustalonych (w poprzednim kroku) β i σ 2 v wyznaczamy nowe warto±ci λ, ρ, φ maksymalizuj c ln L RE. 4 Powtarzamy kroki (2)-(3) do uzyskania zbie»no±ci. (9) Ekonometria Przestrzenna 25 / 37
41 Estymacja ML Estymacja ML modelu RE-SARAR (2) Wstawiaj c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci: ln L RE = N T 2 ln (2π) + ln ν 1 ln Σν + y υ Σ 1 ν υ = = N T N T ln (2π) T ln Mρ 2 2 ln ( σε 2 υ Σ υ (λ, φ) 1 υ 1 2σ 2 ε υ = {[I NT ρ (I T W)] y Xβ} ) 1 2 Σ ln υ (λ, φ) + Sposób maksymalizacji: 1 Startujemy od pewnych warto±ci startowych λ (0), ρ (0), φ (0). 2 Na podstawie warunków pierwszego rz du dla lnl oraz ustalonych w poprzednim kroku parametrów wyznaczamy β i σ 2 v. 3 Przy ustalonych (w poprzednim kroku) β i σ 2 v wyznaczamy nowe warto±ci λ, ρ, φ maksymalizuj c ln L RE. 4 Powtarzamy kroki (2)-(3) do uzyskania zbie»no±ci. (9) Ekonometria Przestrzenna 25 / 37
42 Estymacja ML Estymacja ML modelu RE-SARAR (2) Wstawiaj c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci: ln L RE = N T 2 ln (2π) + ln ν 1 ln Σν + y υ Σ 1 ν υ = = N T N T ln (2π) T ln Mρ 2 2 ln ( σε 2 υ Σ υ (λ, φ) 1 υ 1 2σ 2 ε υ = {[I NT ρ (I T W)] y Xβ} ) 1 2 Σ ln υ (λ, φ) + Sposób maksymalizacji: 1 Startujemy od pewnych warto±ci startowych λ (0), ρ (0), φ (0). 2 Na podstawie warunków pierwszego rz du dla lnl oraz ustalonych w poprzednim kroku parametrów wyznaczamy β i σ 2 v. 3 Przy ustalonych (w poprzednim kroku) β i σ 2 v wyznaczamy nowe warto±ci λ, ρ, φ maksymalizuj c ln L RE. 4 Powtarzamy kroki (2)-(3) do uzyskania zbie»no±ci. (9) Ekonometria Przestrzenna 25 / 37
43 Plan prezentacji 1 Podstawowe poj cia ekonometrii panelowej 2 Podstawowe panelowe modele przestrzenne 3 Rozbudowa specykacji panelowych modeli przestrzennych (9) Ekonometria Przestrzenna 26 / 37
44 Modele statyczne Panelowe wersje przestrzennych modeli przekrojowych SAR, SEM, SARAR: estymacja jak wy»ej metod najwi kszej wiarygodno±ci SLX: estymacja jak w przypadku aprzestrzennych modeli FE/RE SDM, SDEM: rozbudowa SAR albo SEM o dodatkowy regresor (I T W) X Estymacja model <- spml(formula =..., model =..., effect =, lag =..., spatial.error =...) (9) Ekonometria Przestrzenna 27 / 37
45 Modele statyczne Testy specykacji w panelowych modelach przestrzennych (1) Baltagi i in., 2003: Test H 0 dodatkowe zaªo»enia bsktest(test =...) LM 1 σµ 2 = 0 ρ = 0 LM1 LM 2 ρ = 0 σµ 2 = 0 LM2 LM H ρ = σµ 2 = 0 LMJOINT LM λ ρ = 0 σµ 2 0 CLMlambda LM µ σµ 2 = 0 ρ ( 1; 1) CLMmu (9) Ekonometria Przestrzenna 28 / 37
46 Modele statyczne Testy specykacji w panelowych modelach przestrzennych (2) Przestrzenna wersja testu Hausmana (Mutl, Pfaermayr, 2011): sphtest Niezale»nie od wyniku testu, stosowanie modelu RE do danych przestrzennych ma zarówno zwolenników, jak i przeciwników (Elhorst vs LeSage). Argumenty zwolenników: efektywno± RE i problematyczne asymptotyczne wnioskowania o µ ze wzgl du na N zgodno± (o ile wyka»e j test Hausmana); Argumenty przeciwników: dane przestrzenne obejmuj zwykle kompletn populacj jednostek, a nie próbk losowan z jakej± szerszej populacji / procesu o wariancji σ 2 µ nie okre±lamy schematu potencjalnego losowania z takiej populacji, ale wiemy,»e wpªywaªby on na sie powi za«w nie musimy wnioskowa o µ, a problem z asymptotyk N nie wpªywa na β Lancaster, 2000 (9) Ekonometria Przestrzenna 29 / 37
47 Modele statyczne Testy specykacji w panelowych modelach przestrzennych (2) Przestrzenna wersja testu Hausmana (Mutl, Pfaermayr, 2011): sphtest Niezale»nie od wyniku testu, stosowanie modelu RE do danych przestrzennych ma zarówno zwolenników, jak i przeciwników (Elhorst vs LeSage). Argumenty zwolenników: efektywno± RE i problematyczne asymptotyczne wnioskowania o µ ze wzgl du na N zgodno± (o ile wyka»e j test Hausmana); Argumenty przeciwników: dane przestrzenne obejmuj zwykle kompletn populacj jednostek, a nie próbk losowan z jakej± szerszej populacji / procesu o wariancji σ 2 µ nie okre±lamy schematu potencjalnego losowania z takiej populacji, ale wiemy,»e wpªywaªby on na sie powi za«w nie musimy wnioskowa o µ, a problem z asymptotyk N nie wpªywa na β Lancaster, 2000 (9) Ekonometria Przestrzenna 29 / 37
48 Modele statyczne Testy specykacji w panelowych modelach przestrzennych (2) Przestrzenna wersja testu Hausmana (Mutl, Pfaermayr, 2011): sphtest Niezale»nie od wyniku testu, stosowanie modelu RE do danych przestrzennych ma zarówno zwolenników, jak i przeciwników (Elhorst vs LeSage). Argumenty zwolenników: efektywno± RE i problematyczne asymptotyczne wnioskowania o µ ze wzgl du na N zgodno± (o ile wyka»e j test Hausmana); Argumenty przeciwników: dane przestrzenne obejmuj zwykle kompletn populacj jednostek, a nie próbk losowan z jakej± szerszej populacji / procesu o wariancji σ 2 µ nie okre±lamy schematu potencjalnego losowania z takiej populacji, ale wiemy,»e wpªywaªby on na sie powi za«w nie musimy wnioskowa o µ, a problem z asymptotyk N nie wpªywa na β Lancaster, 2000 (9) Ekonometria Przestrzenna 29 / 37
49 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Dynamika w panelowych modelach przestrzennych Uwzgl dnienie wymiaru czasowego zwielokrotniªo liczb potencjalnych specykacji modelu. Mo»liwo± wyst pienia opó¹nie«czasowych komplikuje spraw jeszcze bardziej... (Elhorst, 2001). Poni»szy schemat nie uwzgl dnia nawet»adnych opó¹nie«x. (9) Ekonometria Przestrzenna 30 / 37
50 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Podstawowy problem w specykacji dynamicznych paneli Nakªadanie si ró»nych wymiarów oddziaªywa«: czas: y t 1 y t przestrze«: Wy t y t zmienne: x t y t w efekcie: y t x t, y t 1, Wy t, Wy t 1, x t 1, Wx t, Wx t 1,... Wymiar czasowy i przestrzenny nie s niezale»ne, przestrzenne panele nale»y rozpatrywa ª cznie jako czasowo-przestrzenny proces (Cook i in., 2017: Right Place, Right Time badanie Monte Carlo). Konsekwencja: cz ste obci»enia szacowanych parametrów przy zªej specykacji procesu (Elhorst, 2010). (9) Ekonometria Przestrzenna 31 / 37
51 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Podstawowy problem w specykacji dynamicznych paneli Nakªadanie si ró»nych wymiarów oddziaªywa«: czas: y t 1 y t przestrze«: Wy t y t zmienne: x t y t w efekcie: y t x t, y t 1, Wy t, Wy t 1, x t 1, Wx t, Wx t 1,... Wymiar czasowy i przestrzenny nie s niezale»ne, przestrzenne panele nale»y rozpatrywa ª cznie jako czasowo-przestrzenny proces (Cook i in., 2017: Right Place, Right Time badanie Monte Carlo). Konsekwencja: cz ste obci»enia szacowanych parametrów przy zªej specykacji procesu (Elhorst, 2010). (9) Ekonometria Przestrzenna 31 / 37
52 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Podstawowy problem w specykacji dynamicznych paneli Nakªadanie si ró»nych wymiarów oddziaªywa«: czas: y t 1 y t przestrze«: Wy t y t zmienne: x t y t w efekcie: y t x t, y t 1, Wy t, Wy t 1, x t 1, Wx t, Wx t 1,... Wymiar czasowy i przestrzenny nie s niezale»ne, przestrzenne panele nale»y rozpatrywa ª cznie jako czasowo-przestrzenny proces (Cook i in., 2017: Right Place, Right Time badanie Monte Carlo). Konsekwencja: cz ste obci»enia szacowanych parametrów przy zªej specykacji procesu (Elhorst, 2010). (9) Ekonometria Przestrzenna 31 / 37
53 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Podstawowe zasady Pomini cie czasowej autoregresji zwykle prowadzi do przeszacowania parametru przestrzennej autoregresji (lub zale»no±ci od WX) Achen (2000). To z kolei do niedoszacowania β (Hays, 2003). Nale»y zachowa szczególn ostro»no± przy próbach wnioskowania od szegóªu do ogóªu (nie mo»na ich wykluczy, gdy» problem sªabej identykowalno±ci parametrów przestrzennych przy bogatej dynamice czasowo-przestrzennej jest jeszcze silniejszy): Minimum: oszacowa przynajmniej dynamiczny model aprzestrzenny i sprawdzi, czy nie zachodzi autokorelacja przestrzenna reszt (Beck i Katz, 2011). Lepiej: rozwa»y ª cznie jedno opó¹nienie przestrzenne i jedno czasowe (testy istotno±ci LR). (9) Ekonometria Przestrzenna 32 / 37
54 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Podstawowe zasady Pomini cie czasowej autoregresji zwykle prowadzi do przeszacowania parametru przestrzennej autoregresji (lub zale»no±ci od WX) Achen (2000). To z kolei do niedoszacowania β (Hays, 2003). Nale»y zachowa szczególn ostro»no± przy próbach wnioskowania od szegóªu do ogóªu (nie mo»na ich wykluczy, gdy» problem sªabej identykowalno±ci parametrów przestrzennych przy bogatej dynamice czasowo-przestrzennej jest jeszcze silniejszy): Minimum: oszacowa przynajmniej dynamiczny model aprzestrzenny i sprawdzi, czy nie zachodzi autokorelacja przestrzenna reszt (Beck i Katz, 2011). Lepiej: rozwa»y ª cznie jedno opó¹nienie przestrzenne i jedno czasowe (testy istotno±ci LR). (9) Ekonometria Przestrzenna 32 / 37
55 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Model STADL Uogólnienie: model STADL(p, q, r, P, Q, R) Spatio-Temporal Autoregressive Distributed Lag: Fy t = X tg + Hε t F = }{{} I (φ 1 L φ p L p ) ρ 1 W... ρ P W P }{{}}{{} F T G = (β 0 + L β (L q ) β q W θ 1... ( W Q) ) θq H = ( I δ 1 L... δ r L r λ 1 W... λ R W R) 1 Stacjonarno± przestrzenno-czasowa procesu: uogólnienie poj typowych dla ekonometrii szeregów czasowych i przestrzennej. Pierwiastki wielomianu charakterystycznego F powinny by poza koªem jednostkowym. (9) Ekonometria Przestrzenna 33 / 37 F S
56 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Model STADL Uogólnienie: model STADL(p, q, r, P, Q, R) Spatio-Temporal Autoregressive Distributed Lag: Fy t = X tg + Hε t F = }{{} I (φ 1 L φ p L p ) ρ 1 W... ρ P W P }{{}}{{} F T G = (β 0 + L β (L q ) β q W θ 1... ( W Q) ) θq H = ( I δ 1 L... δ r L r λ 1 W... λ R W R) 1 Stacjonarno± przestrzenno-czasowa procesu: uogólnienie poj typowych dla ekonometrii szeregów czasowych i przestrzennej. Pierwiastki wielomianu charakterystycznego F powinny by poza koªem jednostkowym. (9) Ekonometria Przestrzenna 33 / 37 F S
57 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Stacjonarno± przestrzenno-czasowa Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0): (I φ 1 L ρ 1 W) y t = X t β 0 + ε t Stacjonarno± czasowa (dla ρ 1 = 0): φ 1 < 1 Stacjonarno± przestrzenna (dla φ 1 = 0): λ MIN < ρ 1 < λ MAX, gdzie λ MAX, λ MIN warto±ci wªasne W o najwy»szym i najni»szym module W najcz stszych przypadkach: normalizacji W wierszami oraz ρ 1 > 0 warunek upraszcza si do: ρ 1 < 1. Stacjonarno± czasowo-przestrzenna (Franzese, Hays, 2008): F T (F S ) 1 < 0 W ww. najprostszym przypadku, i dodatkowo przy φ 1 > 0, warunek sprowadza si do: φ 1 + ρ 1 < 1. (9) Ekonometria Przestrzenna 34 / 37
58 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Stacjonarno± przestrzenno-czasowa Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0): (I φ 1 L ρ 1 W) y t = X t β 0 + ε t Stacjonarno± czasowa (dla ρ 1 = 0): φ 1 < 1 Stacjonarno± przestrzenna (dla φ 1 = 0): λ MIN < ρ 1 < λ MAX, gdzie λ MAX, λ MIN warto±ci wªasne W o najwy»szym i najni»szym module W najcz stszych przypadkach: normalizacji W wierszami oraz ρ 1 > 0 warunek upraszcza si do: ρ 1 < 1. Stacjonarno± czasowo-przestrzenna (Franzese, Hays, 2008): F T (F S ) 1 < 0 W ww. najprostszym przypadku, i dodatkowo przy φ 1 > 0, warunek sprowadza si do: φ 1 + ρ 1 < 1. (9) Ekonometria Przestrzenna 34 / 37
59 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Stacjonarno± przestrzenno-czasowa Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0): (I φ 1 L ρ 1 W) y t = X t β 0 + ε t Stacjonarno± czasowa (dla ρ 1 = 0): φ 1 < 1 Stacjonarno± przestrzenna (dla φ 1 = 0): λ MIN < ρ 1 < λ MAX, gdzie λ MAX, λ MIN warto±ci wªasne W o najwy»szym i najni»szym module W najcz stszych przypadkach: normalizacji W wierszami oraz ρ 1 > 0 warunek upraszcza si do: ρ 1 < 1. Stacjonarno± czasowo-przestrzenna (Franzese, Hays, 2008): F T (F S ) 1 < 0 W ww. najprostszym przypadku, i dodatkowo przy φ 1 > 0, warunek sprowadza si do: φ 1 + ρ 1 < 1. (9) Ekonometria Przestrzenna 34 / 37
60 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Stacjonarno± przestrzenno-czasowa Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0): (I φ 1 L ρ 1 W) y t = X t β 0 + ε t Stacjonarno± czasowa (dla ρ 1 = 0): φ 1 < 1 Stacjonarno± przestrzenna (dla φ 1 = 0): λ MIN < ρ 1 < λ MAX, gdzie λ MAX, λ MIN warto±ci wªasne W o najwy»szym i najni»szym module W najcz stszych przypadkach: normalizacji W wierszami oraz ρ 1 > 0 warunek upraszcza si do: ρ 1 < 1. Stacjonarno± czasowo-przestrzenna (Franzese, Hays, 2008): F T (F S ) 1 < 0 W ww. najprostszym przypadku, i dodatkowo przy φ 1 > 0, warunek sprowadza si do: φ 1 + ρ 1 < 1. (9) Ekonometria Przestrzenna 34 / 37
61 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Mno»niki przestrzenno-czasowe Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0): (I φ 1 L ρ 1 W) y t = X t β 0 + ε t Mno»niki aprzestrzenne: y i krótkookresowy: x i = β 0 y dªugookresowy: i x i = β 0 1 φ 1 Mno»niki przestrzenne: statyczny (φ 1 = 0) / krótkookresowy: y x k = (I ρ 1 W) 1 β 0,k y dªugookresowy: x k = (I φ 1 L ρ 1 W) 1 β 0,k (9) Ekonometria Przestrzenna 35 / 37
62 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Mno»niki przestrzenno-czasowe Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0): (I φ 1 L ρ 1 W) y t = X t β 0 + ε t Mno»niki aprzestrzenne: y i krótkookresowy: x i = β 0 y dªugookresowy: i x i = β 0 1 φ 1 Mno»niki przestrzenne: statyczny (φ 1 = 0) / krótkookresowy: y x k = (I ρ 1 W) 1 β 0,k y dªugookresowy: x k = (I φ 1 L ρ 1 W) 1 β 0,k (9) Ekonometria Przestrzenna 35 / 37
63 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Mno»niki przestrzenno-czasowe Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0): (I φ 1 L ρ 1 W) y t = X t β 0 + ε t Mno»niki aprzestrzenne: y i krótkookresowy: x i = β 0 y dªugookresowy: i x i = β 0 1 φ 1 Mno»niki przestrzenne: statyczny (φ 1 = 0) / krótkookresowy: y x k = (I ρ 1 W) 1 β 0,k y dªugookresowy: x k = (I φ 1 L ρ 1 W) 1 β 0,k (9) Ekonometria Przestrzenna 35 / 37
64 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki A je»eli to W si zmienia? To bardzo prawdopodobne, je»eli posªugujemy si abstrakcyjnym, niegeogracznym kryterium odlegªo±ci. W zasadzie nie stanowi to problemu, bo zamiast (I T W) mo»na zdeniowa : W 1 W 2 W 3... W T Problem pojawia si wówczas, gdy zmiany W maj charakter endogeniczny! (9) Ekonometria Przestrzenna 36 / 37
65 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki A je»eli to W si zmienia? To bardzo prawdopodobne, je»eli posªugujemy si abstrakcyjnym, niegeogracznym kryterium odlegªo±ci. W zasadzie nie stanowi to problemu, bo zamiast (I T W) mo»na zdeniowa : W 1 W 2 W 3... W T Problem pojawia si wówczas, gdy zmiany W maj charakter endogeniczny! (9) Ekonometria Przestrzenna 36 / 37
66 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki A je»eli to W si zmienia? To bardzo prawdopodobne, je»eli posªugujemy si abstrakcyjnym, niegeogracznym kryterium odlegªo±ci. W zasadzie nie stanowi to problemu, bo zamiast (I T W) mo»na zdeniowa : W 1 W 2 W 3... W T Problem pojawia si wówczas, gdy zmiany W maj charakter endogeniczny! (9) Ekonometria Przestrzenna 36 / 37
67 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Modele ko-ewolucji sieci Rozwi zanie: modele ko-ewolucji sieci Franzese, Hays, Kachi, Rozwa»amy palenie (y) w±ród N = 500 pracowników korporacji w ci gu T = 24 miesi cy. 2 Fakt jego podj cia od szeregu indywidualnych charakterystyk (X), jak równie» od tego, czy sie naszych najbli»szych znajomych pali (Wy). 3 Sie naszych znajomych ewoluuje. Nasze kontakty z jednymi sªabn, z innymi si wzmacniaj (W t ). 4 Niewykluczone,»e pracownicy zawieraj bli»sze znajomo±ci z tymi, których spotykaj w palarni (W t = f (y t 1 )). (9) Ekonometria Przestrzenna 37 / 37
68 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Modele ko-ewolucji sieci Rozwi zanie: modele ko-ewolucji sieci Franzese, Hays, Kachi, Rozwa»amy palenie (y) w±ród N = 500 pracowników korporacji w ci gu T = 24 miesi cy. 2 Fakt jego podj cia od szeregu indywidualnych charakterystyk (X), jak równie» od tego, czy sie naszych najbli»szych znajomych pali (Wy). 3 Sie naszych znajomych ewoluuje. Nasze kontakty z jednymi sªabn, z innymi si wzmacniaj (W t ). 4 Niewykluczone,»e pracownicy zawieraj bli»sze znajomo±ci z tymi, których spotykaj w palarni (W t = f (y t 1 )). (9) Ekonometria Przestrzenna 37 / 37
69 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Modele ko-ewolucji sieci Rozwi zanie: modele ko-ewolucji sieci Franzese, Hays, Kachi, Rozwa»amy palenie (y) w±ród N = 500 pracowników korporacji w ci gu T = 24 miesi cy. 2 Fakt jego podj cia od szeregu indywidualnych charakterystyk (X), jak równie» od tego, czy sie naszych najbli»szych znajomych pali (Wy). 3 Sie naszych znajomych ewoluuje. Nasze kontakty z jednymi sªabn, z innymi si wzmacniaj (W t ). 4 Niewykluczone,»e pracownicy zawieraj bli»sze znajomo±ci z tymi, których spotykaj w palarni (W t = f (y t 1 )). (9) Ekonometria Przestrzenna 37 / 37
70 Ró»ne sposoby uwzgl dniania dynamiki Modele ko-ewolucji sieci Rozwi zanie: modele ko-ewolucji sieci Franzese, Hays, Kachi, Rozwa»amy palenie (y) w±ród N = 500 pracowników korporacji w ci gu T = 24 miesi cy. 2 Fakt jego podj cia od szeregu indywidualnych charakterystyk (X), jak równie» od tego, czy sie naszych najbli»szych znajomych pali (Wy). 3 Sie naszych znajomych ewoluuje. Nasze kontakty z jednymi sªabn, z innymi si wzmacniaj (W t ). 4 Niewykluczone,»e pracownicy zawieraj bli»sze znajomo±ci z tymi, których spotykaj w palarni (W t = f (y t 1 )). (9) Ekonometria Przestrzenna 37 / 37
Ekonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 6: Zªo»one modele regresji przestrzennej (6) Ekonometria Przestrzenna 1 / 21 Plan wykªadu 1 Modele zªo»one 2 Model SARAR 3 Model SDM (Durbina) 4 Model SDEM 5 Zadania (6)
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 8: w modelach przestrzennych (8) Ekonometria Przestrzenna 1 / 23 Plan wykªadu 1 Modele proste Modele zªo»one 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych (5-6) Ekonometria 1 / 30 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6)
Bardziej szczegółowoWst p do ekonometrii II
Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36 Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 4: Model autoregresji przestrzennej. Dane GIS: punkty i siatki (4) Ekonometria Przestrzenna 1 / 24 Plan wykªadu 1 Model czystej autoregresji przestrzennej (pure SAR) Specykacja
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± (3) Ekonometria 1 / 29 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± Test White'a Odporne bª
Bardziej szczegółowoRozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji
Rozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 5) Modele VAR 1 / 32 Wielowymiarowe modele szeregów czasowych Modele VAR uwzgl dniaj wzajemne powi zania mi
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
Bardziej szczegółowoMakroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 1 Stan ustalony i log-linearyzacja MZ 1 / 27 Plan wicze«1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 2 / 27 Plan prezentacji 1 Praca z modelami
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 5: Proste modele regresji przestrzennej. Dane GIS: analiza w regionach (5) Ekonometria Przestrzenna 1 / 47 Plan wykªadu 1 Model liniowy i SAR (Spatial Lag) Model liniowy
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 3: Testowanie obecno±ci procesów przestrzennych (3) Ekonometria Przestrzenna 1 / 25 Plan wykªadu 1 Testowanie efektów przestrzennych 2 Testy ogólne Test Morana I Globalne
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 2 3 1. Wprowadzenie do danych panelowych a) Charakterystyka danych panelowych b) Zalety i ograniczenia 2. Modele ekonometryczne danych panelowych a) Model efektów
Bardziej szczegółowoEfekty przestrzenne w konwergencji polskich podregionów
Efekty przestrzenne w konwergencji polskich podregionów Mikoªaj Herbst EUROREG UW Piotr Wójcik WNE UW Konferencja Ministerstwa Rozwoju Regionalnego Budowanie spójno±ci terytorialnej i przeciwdziaªanie
Bardziej szczegółowoDefinicja danych panelowych Typy danych panelowych Modele dla danych panelowych. Dane panelowe. Część 1. Dane panelowe
Część 1 to dane, które jednocześnie posiadają cechy danych przekrojowych i szeregów czasowych to dane, które jednocześnie posiadają cechy danych przekrojowych i szeregów czasowych Czyli obserwujemy te
Bardziej szczegółowoModele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej (8) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3 Predykcja
Bardziej szczegółowoREGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
Bardziej szczegółowoEkonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model
Bardziej szczegółowoWykªad 6: Model logitowy
Wykªad 6: Model logitowy Ekonometria Stosowana SGH Model logitowy 1 / 18 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej idea 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3
Bardziej szczegółowoRozdziaª 4. Jednowymiarowe modele szeregów czasowych
Rozdziaª 4. Jednowymiarowe modele szeregów czasowych MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 4) Modele ARMA 1 / 24 Jednowymiarowe modele szeregów czasowych Jednowymiarowe modele szeregów czasowych:
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii - wersja ogólna
Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna 27-0-202 Pytania teoretyczne. Dlaczego w modelu nie powinno si umieszcza staªej i wszystkich zmiennych zero-jedynkowych, zwi zanych z poziomami zmiennej dyskretnej?
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 2: Macierz wag przestrzennych W (2) Ekonometria Przestrzenna 1 / 34 Plan wykªadu 1 Macierz wag przestrzennych 2 Podstawowe metody konstrukcji macierzy W Na podstawie macierzy
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Bardziej szczegółowoIn»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoModele ARIMA prognoza, specykacja
Modele ARIMA prognoza, specykacja Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 3 5 marca 2010 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Funkcja autokorelacji
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoRozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22
Bardziej szczegółowoStopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że E (a n ) < oznaczamy jako a n = o p (1) prawdopodobieństwa szybciej niż n α.
Stopy zbieżności Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że a n oznaczamy jako a n = o p (1 p 0 a Jeśli n p n α 0, to a n = o p (n α i mówimy a n zbiega według prawdopodobieństwa szybciej
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 1. Wprowadzenie do danych panelowych a) Charakterystyka danych panelowych b) Zalety i ograniczenia 2. Modele ekonometryczne danych panelowych a) Model efektów nieobserwowalnych
Bardziej szczegółowoNumeryczne zadanie wªasne
Rozdziaª 11 Numeryczne zadanie wªasne W tym rozdziale zajmiemy si symetrycznym zadaniem wªasnym, tzn. zadaniem znajdowania warto±ci i/lub wektorów wªasnych dla macierzy symetrycznej A = A T. W zadaniach
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 7 Modele nieliniowe (7) Ekonometria 1 / 19 Plan wicze«1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 2 / 19 Plan prezentacji 1 Nieliniowo±
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowoWykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej. Podstawy R
Wykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej Podstawy R Ekonometria Stosowana SGH KMNK i R 1 / 45 Plan wykªadu 1 Informacje organizacyjne 2 Wprowadzenie do ekonometrii Ekonometria Dane i postacie funkcyjne
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan
Bardziej szczegółowoCzasowy wymiar danych
Problem autokorelacji Model regresji dla szeregów czasowych Model regresji dla szeregów czasowych y t = X t β + ε t Zasadnicze różnice 1 Budowa prognoz 2 Problem stabilności parametrów 3 Problem autokorelacji
Bardziej szczegółowoNatalia Neherbecka. 11 czerwca 2010
Natalia Neherbecka 11 czerwca 2010 1 1. Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 2. Uogólniona MNK 3. Stosowalna Uogólniona MNK 4. Odporne macierze wariancji i kowariancji b 2 1. Konsekwencje
Bardziej szczegółowoWst p do ekonometrii II
Wst p do ekonometrii II Wykªad 2: Modele ARIMA. Filtr Kalmana (2) WdE II 1 / 46 Plan wykªadu 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana
Bardziej szczegółowoMetoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 2: Bayesowska estymacja równania ze staª. Elementy j zyka R (2) Ekonometria Bayesowska / 24 Plan wykªadu Model ze staª 2 Podstawy j zyka R 3 Bayesowska analiza modelu ze staª
Bardziej szczegółowoZawansowane modele wyborów dyskretnych
Zawansowane modele wyborów dyskretnych Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Zawansowane modele wyborów dyskretnych grudzien 2013 1 / 16 Model efektów
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoRozdziaª 6. Strukturalne modele VAR
Rozdziaª 6. Strukturalne modele VAR MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 6) Modele SVAR 1 / 25 Wprowadzenie do modeli SVAR Krytyka modeli wielorównaniowych z lat 50-tych i 60-tych postaci:
Bardziej szczegółowoWst p i organizacja zaj
Wst p i organizacja zaj Katedra Ekonometrii Uniwersytet Šódzki sem. letni 2014/2015 Literatura Ocena osi gni Program zaj Prowadz cy Podstawowa i uzupeªniaj ca Podstawowa: 1 Gruszczy«ski M. (2012 / 2010),,
Bardziej szczegółowoPakiety statystyczne Wykªad 14
Pakiety statystyczne Wykªad 14 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki Plan wykªadu Model mieszany 1. Podstawy teoretyczne 2. Przykªady w R 3. Przykªady zastosowania Tomasz
Bardziej szczegółowoEstymacja modeli ARDL przy u»yciu Staty
Estymacja modeli ARDL przy u»yciu Staty Michaª Kurcewicz 21 lutego 2005 Celem zadania jest oszacowanie dªugookresowego modelu popytu na szeroki pieni dz w Niemczech. Zaª czony zbiór danych beyer.csv pochodzi
Bardziej szczegółowoEkonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Ćwiczenia nr 3 Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 3 Własności składnika losowego 1 / 18 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4 Jakub Mućk
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoUogólniona Metoda Momentów
Uogólniona Metoda Momentów Momenty z próby daż a do momentów teoretycznych (Prawo Wielkich Liczb) plim 1 n y i = E (y) n i=1 Klasyczna Metoda Momentów (M M) polega na szacowaniu momentów teoretycznych
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoMetody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t
Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 10: Symulacje a posteriori w R Andrzej Torój 1 / 23 Plan wykªadu 1 Przykªad: model ze skªadnikiem losowym o grubych ogonach 2 3 4 2 / 23 Plan prezentacji 1 Przykªad: model
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoEkonometria Szeregów Czasowych
Ekonometria Szeregów Czasowych Wykªad: Niestacjonarno± 8/12 marca 2017 dr Karolina Konopczak Katedra Ekonomii Stosowanej Plan zaj Poj cie stacjonarno±ci Stopie«zintegrowania szeregu Wyznaczenie piewiastków
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 7 1 1. Metoda Największej Wiarygodności MNW 2. Założenia MNW 3. Własności estymatorów MNW 4. Testowanie hipotez w MNW 2 1. Metoda Największej Wiarygodności
Bardziej szczegółowoRozdziaª 2. Analiza spektralna
Rozdziaª 2. Analiza spektralna MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 1 / 18 Widmo szeregu czasowego W analizie spektralnej szereg {y t : t = 1, 2,..., T } postrzegany
Bardziej szczegółowo0.1 Modele Dynamiczne
0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od
Bardziej szczegółowoMetody bioinformatyki (MBI)
Metody bioinformatyki (MBI) Wykªad 9 - mikromacierze DNA, analiza danych wielowymiarowych Robert Nowak 2016Z Metody bioinformatyki (MBI) 1/42 mikromacierze DNA Metoda badawcza, pozwalaj ca bada obecno±
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 10: Symulacje a posteriori w R (10) Ekonometria Bayesowska 1 / 23 Plan wykªadu 1 Przykªad: model ze skªadnikiem losowym o grubych ogonach 2 Wykorzystanie pakietu rjags 3 Diagnostyka
Bardziej szczegółowoMacierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Bardziej szczegółowo0.1 Modele Dynamiczne
0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO EKONOMETRII DANYCH PANELOWYCH. Spis treści
WSTĘP DO EKONOMETRII DANYCH PANELOWYCH Spis treści Czym są dane panelowe... 2 Analiza regresji dla danych panelowych... 5 1. Analiza naiwna - pooled estimator... 5 2. Model z efektami stałymi fixed effect
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza
Bardziej szczegółowoMatematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bardziej szczegółowoMODELE LINIOWE i MIESZANE
MODELE LINIOWE i MIESZANE WYKŠAD 5 13 kwiecie«2018 1 / 48 Plan wykªadu 1. Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 2. Pakiet R 2 / 48 Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 3 / 48 Zaªó»my,»e
Bardziej szczegółowoAutokorelacja i heteroskedastyczność
Autokorelacja i heteroskedastyczność Założenie o braku autokorelacji Cov (ε i, ε j ) = E (ε i ε j ) = 0 dla i j Oczekiwana wielkość elementu losowego nie zależy od wielkości elementu losowego dla innych
Bardziej szczegółowoEkonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda
Bardziej szczegółowoAnaliza konwergencji gospodarczej wybranych regionów Europy w latach
Roczniki Kolegium Analiz Ekonomicznych nr 30/2013 Wydział Nauk Ekonomicznych i Zarządzania Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Analiza konwergencji gospodarczej wybranych regionów Europy w latach
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoMetody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 4 Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów (GLS) 1 / 19 Outline 1 2 3 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoStacjonarne szeregi czasowe
e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa
Bardziej szczegółowoLegalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 1
Ekonometria - wykªad 1 0. Wprowadzenie Barbara Jasiulis-Goªdyn 28.02.2014 2013/2014 Ekonometria Literatura [1] B. Borkowski, H. Dudek, W. Szczesny, Ekonometria. Wybrane Zaganienia, PWN, Warszawa 2003.
Bardziej szczegółowoTestowanie stopnia zintegrowania. czasowego. Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1. Andrzej Torój. 19 lutego 2010
szeregu czasowego Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1 19 lutego 2010 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci 2 3 4 5 6 7 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci
Bardziej szczegółowoEkonometria. Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 2 Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego 1 / 28 Agenda 1 Estymator
Bardziej szczegółowo*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Modele ADL - interpretacja współczynników
1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów
Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone
Bardziej szczegółowoSpis treści Wstęp Estymacja Testowanie. Efekty losowe. Bogumiła Koprowska, Elżbieta Kukla
Bogumiła Koprowska Elżbieta Kukla 1 Wstęp Czym są efekty losowe? Przykłady Model mieszany 2 Estymacja Jednokierunkowa klasyfikacja (ANOVA) Metoda największej wiarogodności (ML) Metoda największej wiarogodności
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA PRZESTRZENNA
EKONOMETRIA PRZESTRZENNA Wstęp podstawy ekonometrii Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, 2012 1 EKONOMETRIA wybrane definicje (Osińska) Ekonometria dziedzina ekonomii wykorzystująca modele i sposoby wnioskowania
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów 5. Testowanie
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
Bardziej szczegółowoI Kolokwium z Ekonometrii. Nazwisko i imi...grupa...
ZESTAW A1 I Kolokwium z Ekonometrii Nazwisko i imi...grupa... 1. Model teoretyczny ma posta: z t = α 0 + α 1 x t + α 2 p t + ξ t, (t = 1, 2,..., 28) (1) gdzie: z t - koszty produkcji w mln z, p t - wielko
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 12 1 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne 2. Autokorelacja o Testowanie autokorelacji 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne
Bardziej szczegółowo