MODELE LINIOWE i MIESZANE
|
|
- Bartosz Baranowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MODELE LINIOWE i MIESZANE WYKŠAD 5 13 kwiecie« / 48
2 Plan wykªadu 1. Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 2. Pakiet R 2 / 48
3 Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 3 / 48
4 Zaªó»my,»e X 1, X 2,..., X n jest prób losow z rozkªadu X. Estymator θ parametru θ jest funkcj n-zmiennych z próby θ = θ(x 1, X 2,..., X n ). Dla uproszczenia, niech x = (x 1, x 2,..., x n ) T R n i niech x (1), x (2),... b d niezale»nymi próbami losowymi z rozkªadu X. Zmienne losowe z rozkªadu θ mog by generowane poprzez wielokrotne losowanie prób x (j) i wyznaczanie θ (j) (j) = θ(x 1, x (j) 2,..., x n (j) ) dla ka»dej z nich. 4 / 48
5 Zaªó»my,»e X 1 i X 2 s niezale»nymi zmiennymi losowymi ze standardowego rozkªadu normalnego. B dziemy chcieli estymowa E X 1 X 2. Aby uzyska estymator Monte-Carlo bazuj c na m replikacjach nale»y θ = E[g(X 1, X 2 )] = E X 1 X 2 1 Wygenerowa prób losow x (j) = (x (j) 1, x (j) 2 ) ze standardowego rozkªadu normalnego, j = 1, 2,..., m. 2 Wyznaczy warto±ci θ (j) = g j (x 1, x 2 ) = x (j) 1 x (j) 2 dla ka»dego j. 3 Wyznaczy ±redni θ = 1 m m θ (j) = g(x 1, X 2 ) = 1 m j=1 m j=1 x (j) 1 x (j) 2. 5 / 48
6 1 m= g=numeric(m) 3 for (i in 1:m) { 4 x=rnorm(2) 5 g[i]=abs(x[1] x[2]) 6 } 7 est=mean(g) 8 est 9 10 [1] Prawdziwa warto± parametru θ wynosi 2/ π = / 48
7 Bª d standardowy ±redniej z próby X rozmiaru n wynosi Var(X )/n. Dla nieobci»onego estymatora wariancji, bª d standardowy b dzie miaª posta { ŝe(x) = 1 1 n n 1 } 1/2 n (x i x) 2. i=1 1 sqrt(sum((g mean(g))^2)) / m 2 [1] Prawdziwa warto± bª du standardowego dla estymatora θ wynosi se( θ) = (2 4/π)/m = / 48
8 Metody Monte Carlo mog by zastosowane do wyznaczenie bª du ±redniokwadratowego (MSE) estymatora. Z denicji bª d ±redniokwadratowy estymatora θ parametru θ wynosi MSE = E[( θ θ) 2 ]. Je»eli mamy m prób losowych z rozkªadu X, wtedy estymator Monte Carlo bª du ±redniokwadratowego ma posta MSE = 1 m m ( θ (j) θ) 2, i=1 gdzie θ (j) = θ(x (j) 1,..., x (j) 2 ). 8 / 48
9 rednia uci ta jest cz sto u»ywana do estymacji '±rodka' symetrycznego rozkªadu ci gªego, który niekoniecznie jest rozkªadem normalnym. Dla przykªadu policzymy estymator bª du ±redniokwadratowego dla ±redniej uci tej. Zaªó»my,»e X 1, X 2,..., X n jest prób losow, a X (1), X (2),..., X (n) jest uszeregowan prób losow. k-ta ±rednia uci ta jest deniowana jako X [ k] = 1 n 2k n k i=k+1 X (i). 9 / 48
10 W naszym przykªadzie policzymy MSE dla pierwszej ±redniej uci tej. Dodatkowo zaªo»ymy,»e próby losowe pochodz ze standardowego rozkªadu normalnego θ = E[X ] = E[X [ 1] ]] = 0. Algorytm obliczania bª du ±redniokwadratowego ma posta 1 Wygenerowa próby losowe x (j) 1,..., x (j) n z rozkªadu X. 2 Ka»d prób uszeregowa od najmniejszej do najwi kszej obserwacji. 3 Wyznaczy T (j) = 1 n 1 x (j) n 2 i=2 (i). 4 Wyznaczy MSE(T ) = 1 m m (T (j) j=1 θ) 2 = 1 m m (T (j) j=1 ) / 48
11 1 n=20 2 m= tmean=numeric(m) 4 for (i in 1:m) { 5 x=sort(rnorm(n)) 6 tmean[i]=sum(x[2:(n 1)]) / (n 2) 7 } 8 mse=mean(tmean^2) 9 10 mse 11 [1] sqrt(sum((tmean mean(tmean))^2)) / m 13 [1] / 48
12 1 n=20 2 m= tmean=numeric(m) 4 for (i in 1:m) { 5 x=sort(rnorm(n)) 6 tmean[i]=median(x) 7 } 8 mse=mean(tmean^2) 9 10 mse 11 [1] sqrt(sum((tmean mean(tmean))^2)) / m 13 [1] / 48
13 Wyznaczymy teraz bª d ±redniokwadratowy dla ±redniej uci tej z mieszaniny rozkªadów normalnych zadanej wzorem pn(0, σ 2 = 1) + (1 p)pn(0, σ 2 = 100). Warto± parametru θ jest równa 0. Celem jest napisanie funkcji do wyznaczania MSE(X [ k] ) dla ró»nych warto±ci parametrów p i k. 13 / 48
14 1 n=20 2 K=n/2 1 3 m= mse=matrix(0,n/2,6) 5 trimmed.mse=function(n,m,k,p) { 6 tmean=numeric(m) 7 for (i in 1:m) { 8 sigma=sample(c(1,10),size=n, 9 replace=true,prob=c(p,1 p)) 10 x=sort(rnorm(n,0,sigma)) 11 tmean[i]=sum(x[(k+1):(n k)]) / (n 2 k) 12 } 13 mse.est=mean(tmean^2) 14 se.mse=sqrt(mean((tmean mean(tmean))^2)) / sqrt(m) 15 return(c(mse.est,se.mse)) 16 } for (k in 0:K) { 19 mse[k+1,1:2]=trimmed.mse(n=n,m=m,k=k,p=1.0) 20 mse[k+1,3:4]=trimmed.mse(n=n,m=m,k=k,p=.95) 21 mse[k+1,5:6]=trimmed.mse(n=n,m=m,k=k,p=.9) 22 } / 48
15 15 / 48
16 Je»eli X 1, X 2,..., X n jest prób losow z rozkªadu N(µ, σ 2 ), n 2, oraz S 2 jest wariancj z próby wtedy 2 (n 1)S V = χ 2 (n 1). σ 2 Jednostronny przedziaª ufno±ci 100(1 α)% ma posta (0, (n 1)S 2 /χ 2 α), gdzie χ 2 α jest kwantylem rz du α z rozkªadu χ2 (n 1). Je»eli próba pochodzi z rozkªadu normalnego z wariancj σ 2, wtedy prawdopodobie«stwo,»e ta wariancja znajduje si w przedziale ufno±ci wynosi 1 α. 1 n=20 2 alpha=.05 3 x=rnorm(n,mean=0,sd=2) 4 UCL=(n 1) var(x) / qchisq(alpha,df=n 1) 5 6 UCL 7 [1] / 48
17 Zaªó»my,»e X F X jest zmienn losow oraz»e θ jest parametrem do estymacji. Aby wyznaczy poziom istotno±ci metod Monte Carlo nale»y wykona poni»szy algorytm. 1 Dla ka»dej replikacji j = 1, 2,..., m Wygenerowa prób losow X (j) 1,..., X (j) n dla ka»dego j. Wyznaczy przedziaª ufno±ci C j dla ka»dej próby losowej. Wyznaczy y j = I (θ C j ) dla ka»dej warto±ci j. 2 Wyznaczy empiryczny poziom istotno±ci y = 1 m m j=1 y j. 17 / 48
18 1 n=20 2 alpha=.05 3 UCL=replicate(1000,expr={ 4 x=rnorm(n,mean=0,sd=2) 5 (n 1) var(x) / qchisq(alpha,df=n 1) 6 }) 7 8 sum(ucl>4) 9 [1] mean(ucl>4) 11 [1] / 48
19 1 n=20 2 alpha=.05 3 UCL=replicate(1000,expr={ 4 x=rchisq(n,df=2) 5 (n 1) var(x) / qchisq(alpha,df=n 1) 6 }) 7 8 sum(ucl>4) 9 [1] mean(ucl>4) 11 [1] / 48
20 Empiryczny bª d I-go rodzaju mo»na tak»e wyznaczy przy pomocy metod Monte Carlo. Procedura testowania jest powtarzana wiele razy przy zaªo»eniu prawdziwo±ci hipotezy zerowej. Procedura uzyskania bª du I-go rodzaju ma nast puj ce kroki 1 Dla ka»dej replikacji j = 1, 2,..., m Wygenerowa prób losow X (j) 1,..., X n (j) dla ka»dego j z rozkªadu uwzgl dnionego w hipotezie zerowej. Wyznaczy statystyk testow T j dla ka»dej próby losowej j. Zapisa wyniki testowania I j = 1, gdy H 0 jest odrzucana dla zadanego poziomu istotno±ci α i I j = 0 w przeciwnym wypadku. 2 Wyznaczy empiryczny bª d I-go rodzaju 1 m m j=1 I j. Je»eli bª d I-go rodzaju oznaczymy przez p wtedy bª d standardowy dla bª du I-go rodzaju ma posta p(1 p) ŝe( p) = 0.5 m m. 20 / 48
21 Zakªadamy,»e mamy prób losow X 1,..., X 20 z rozkªadu N(µ, σ 2 ). Testujemy H 0 : µ = 500 przeciw H 1 : µ > 500 na poziomie istotno±ci α = n=20 2 alpha=.05 3 mu0=500 4 sigma= m= p=numeric(m) 8 for (j in 1:m) { 9 x=rnorm(n,mu0,sigma) 10 ttest=t.test(x,alternative='greater',mu=mu0) 11 p[j]=ttest$p.value 12 } p.hat=mean(p<alpha) 15 se.hat=sqrt(p.hat (1 p.hat) / m) 16 print(c(p.hat,se.hat)) 17 [1] Zakªadali±my,»e α = 0.05 oraz se(α) = ( /m) = / 48
22 Wspóªczynnik sko±no±ci β 1 dla zmiennej losowej X deniujemy jako β 1 = E[(x µ X ) 3 ], σx 3 gdzie µ X = E[X ] oraz σx 2 = Var(X ). Wspóªczynnik sko±no±ci z próby jest deniowany jako 1 n n i=1 β 1 = (X i X ) 3 n (X i=1 i X ) 2 ). 3/2 ( 1 n B dziemy testowa hipotezy H 0 : β 1 = 0 przeciw H 1 : β 1 0, gdzie zakªada si,»e sko±no± z próby ma asymptotyczny rozkªad normalny ze ±redni 0 i wariancj 6/n. 22 / 48
23 1 n=c(10,20,30,50,100,500) 2 cv=qnorm(0.975,0,sqrt(6/n)) 3 rbind(n,cv) 4 5 n cv sk=function(x) { 9 xbar=mean(x) 10 m3=mean((x xbar)^3) 11 m2=mean((x xbar)^2) 12 return (m3 / m2^1.5) 13 } / 48
24 1 p.reject=numeric(length(n)) 2 m= for (i in 1:length(n)) { 5 sktests=numeric(m) 6 for (j in 1:m) { 7 x=rnorm(n[i]) 8 sktests[j]=as.integer(abs(sk(x))>=cv[i]) 9 } 10 p.reject[i]=mean(sktests) 11 } rbind(n,p.reject) 14 n p.reject / 48
25 Wida,»e dla warto±ci n < 50 rozkªad asymptotyczny nie jest adekwatny. Dla maªych prób losowych nale»y u»y innego estymatora wariancji Var(β 1 ) = 6(n 2) (n + 1)(n + 3) 1 cv=qnorm(0.975,0,sqrt(6 (n 2)/((n+1) (n+3)))) 2 round(cv,4) rbind(n,p.reject) 6 n p.reject / 48
26 Bª d II-go rodzaju (β) - nieodrzucenie hipotezy zerowej, która jest w rzeczywisto±ci faªszywa. Moc testu - prawdopodobie«stwo niepopeªnienia bª du drugiego rodzaju. Estymator Monte Carlo mocy testu mo»na uzyska przy pomocy poni»- szego algorytmu 1 Wybra kilka ró»nych warto±ci parametru θ 1 Θ. 2 Dla ka»dej replikacji j = 1, 2,..., m Wygenerowa prób losow X (j) 1,..., X n (j) dla ka»dego j z zaªo»eniami uwzgl dnionymi w hipotezie alternatywnej θ = θ 1. Wyznaczy statystyk testow T j dla ka»dej próby losowej j. Zapisa wyniki testowania I j = 1, gdy H 0 jest odrzucana dla zadanego poziomu istotno±ci α i I j = 0 w przeciwnym wypadku. 3 Wyznaczy π(θ 1 ) = 1 m m j=1 I j. 26 / 48
27 1 n=20 2 m= mu0=500 4 sigma=100 5 mu=c(seq(450,650,10)) 6 M=length(mu) 7 power=numeric(m) 8 for (i in 1:M) { 9 mu1=mu[i] 10 pvalues=replicate(m,expr={ 11 x=rnorm(n,mean=mu1,sd=sigma) 12 ttest=t.test(x,alternative='greater',mu=mu0) 13 ttest$p.value }) 14 power[i]=mean(pvalues<=.05) 15 } library(hmisc) 18 plot(mu,power) 19 abline(v=mu0,lty=1) 20 abline(h=.05,lty=1) / 48
28 28 / 48
29 1 se=sqrt(power (1 power) / m) 2 errbar(mu,power,yplus=power+se,yminus=power se,xlab=bquote(theta)) 3 lines(mu,power,lty=3) 4 detach(package: Hmisc) 5 29 / 48
30 30 / 48
31 Rozpatrzmy ponownie mieszanin rozkªadów normalnych (1 ɛ)n(µ = 0, σ 2 = 1) + ɛn(µ = 0, σ 2 = 100), 0 ɛ 1. Gdy ɛ = 0 lub ɛ = 1 rozkªad jest normalny. W innych przypadkach mieszanina nie ma rozkªadu normalnego. Wyznaczymy moc dla testu normalno±ci opartego o wspóªczynnik sko±no±ci (opisanego wcze±niej). 31 / 48
32 1 alpha=.1 2 n=30 3 m= epsilon=c(seq(0,.15,.01),seq(.15,1,.05)) 5 N=length(epsilon) 6 pwr=numeric(n) 7 cv=qnorm(1 alpha/2,0,sqrt(6 (n 2) / ((n+1) (n+3)))) 8 9 for (j in 1:N) { 10 e=epsilon[j] 11 sktests=numeric(m) 12 for (i in 1:m) { 13 sigma=sample(c(1,10),replace=true, size=n, prob=c(1 e,e)) 14 x=rnorm(n,0,sigma) 15 sktests[i]=as.integer(abs(sk(x))>=cv) 16 } 17 pwr[j]=mean(sktests) 18 } 19 } 20 } / 48
33 1 plot(epsilon,pwr,type='b',xlab=bquote(epsilon),ylim=c(0,1)) 2 abline(h=.1,lty=3) 3 se=sqrt(pwr (1 pwr)/m) 4 lines(epsilon,pwr+se,lty=3) 5 lines(epsilon,pwr se,lty=3) 6 33 / 48
34 34 / 48
35 Porównamy moce trzech ró»nych testów normalno±ci Shapiro-Wilk Test oparty na odlegªo±ciach pomi dzy elementami próby (energy) Test normalno±ci oparty o wspóªczynnik sko±no±ci Rozpatrzmy ponownie mieszanin rozkªadów normalnych (1 ɛ)n(µ = 0, σ 2 = 1) + ɛn(µ = 0, σ 2 = 100), 0 ɛ 1. Gdy ɛ = 0 lub ɛ = 1 rozkªad jest normalny. mieszanina nie ma rozkªadu normalnego. W innych przypadkach 35 / 48
36 1 library(energy) 2 alpha=.1 3 n=30 4 m= epsilon=.1 6 test1=test2=test3=numeric(n) 7 8 cv=qnorm(1 alpha/2,0,sqrt(6 (n 2) / ((n+1) (n+3)))) 9 10 for (j in 1:m) { 11 e=epsilon 12 sigma=sample(c(1,10),replace=true,size=n,prob=c(1 e,e)) 13 x=rnorm(n,0,sigma) 14 test1[j]=as.integer(abs(sk(x))>cv) 15 test2[j]=as.integer(shapiro.test(x)$p.value<=alpha) 16 test3[j]=as.integer(mvnorm.etest(x,r=200)$p.value<=alpha) 17 } print(c(epsilon,mean(test1),mean(test2),mean(test3))) 20 [1] detach(package:energy) / 48
37 1 plot(epsilon,sim[,1],ylim=c(0,1),type='l',xlab=bquote(epsilon),ylab='power') 2 lines(epsilon,sim[,2],lty=2) 3 lines(epsilon,sim[,3],lty=4) 4 abline(h=alpha,lty=3) 5 legend('topright',1,c('skewness','s W','energy'),lty=c(1,2,4),inset=.02) 6 37 / 48
38 38 / 48
39 39 / 48
40 Test 'Count Five' dla dwóch prób sprawdza, czy dwie próby pochodz z rozkªadów o równych wariancjach. Test wyznacza ekstremalne obserwacje z jednej próby wzgl dem drugiej. Je±li zaªo»ymy,»e ±rednie oraz liczebno±ci dwóch prób s identyczne, wtedy obserwacja w pierwszej próbie jest uznawana za ekstremaln je±li nie jest w zakresie drugiej próby. Je±li próba ma pi lub wi cej ekstremalnych warto±ci hipoteza o równych wariancjach jest odrzucana. 40 / 48
41 1 x1=rnorm(20,0,sd=1) 2 x2=rnorm(20,0,sd=1.5) 3 y=c(x1,x2) 4 5 group=rep(1:2,each=length(x1)) 6 boxplot(y~group,boxwex=.3,xlim=c(.5,2.5),main='') 7 points(group,y) 8 9 range(x1) 10 [1] range(x2) 12 [1] i=which(x1<min(x2)) 15 j=which(x2>max(x1)) x1[i] 18 numeric(0) 19 x2[j] 20 [1] out1=sum(x1>max(x2))+sum(x1<min(x2)) 22 out2=sum(x2>max(x1))+sum(x2<min(x1)) 23 max(c(out1,out2)) 24 [1] / 48
42 42 / 48
43 Rozwa»my dwie niezale»ne próby losowe z tego samego rozkªadu. Wyestymuj rozkªad empiryczny maksymalnej liczby punktów ekstremalnych oraz znajd¹ kwantyle rz du 0.80, 0.90 i / 48
44 1 maxout=function(x,y) { 2 X=x mean(x) 3 Y=y mean(y) 4 outx=sum(sum(x>max(y)))+sum(x<min(y)) 5 outy=sum(sum(y>max(x)))+sum(y<min(x)) 6 return(max(c(outx,outy))) 7 } 8 9 n1=n2=20 10 mu1=mu2=0 11 sigma1=sigma2=1 12 m= stat=replicate(m,exp={ 15 x=rnorm(n1,mu1,sigma1) 16 y=rnorm(n2,mu2,sigma2) 17 maxout(x,y) }) 18 print(cumsum(table(stat)) / m) print(quantile(stat,c(.8,.9,.95))) 22 80% 90% 95% / 48
45 Estymacja poziomu istotno±ci dla testu 'Count ve'. 1 count5test=function(x,y) { 2 X=x mean(x) 3 Y=y mean(y) 4 outx=sum(sum(x>max(y)))+sum(x<min(y)) 5 outy=sum(sum(y>max(x)))+sum(y<min(x)) 6 return(as.integer(max(c(outx,outy))>5)) 7 } 8 9 n1=n2=20 10 mu1=mu2=0 11 sigma1=sigma2=1 12 m= tests=replicate(m,exp={ 15 x=rnorm(n1,mu1,sigma1) 16 y=rnorm(n2,mu2,sigma2) 17 x=x mean(x) 18 y=y mean(y) 19 count5test(x,y) }) alphahat=mean(tests) 22 print(alphahat) 23 [1] / 48
46 Estymacja bª du I-go rodzaju dla testu 'Count ve'. 1 n1=20 2 n2=30 3 mu1=mu2=0 4 sigma1=sigma2=1 5 m= alphahat=mean(replicate(m,exp={ 8 x=rnorm(n1,mu1,sigma1) 9 y=rnorm(n2,mu2,sigma2) 10 x=x mean(x) 11 y=y mean(y) 12 count5test(x,y) })) print(alphahat) 15 [1] / 48
47 Estymacja mocy testu 'Count ve'. 1 sigma1=1 2 sigma2= power=mean(replicate(m,exp={ 5 x=rnorm(n1,mu1,sigma1) 6 y=rnorm(n2,mu2,sigma2) 7 count5test(x,y) })) 8 9 print(power) 10 [1] / 48
48 Bibliograa Wykªad opracowany na podstawie ksi»ki: Maria L. Rizzo 'Statitical Computing with R' 48 / 48
In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany
Bardziej szczegółowoMetody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowo5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28 Kontakt Dr Šukasz
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions)
Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 25 maja 2016 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie
Bardziej szczegółowo2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Znajd¹ rozwi zanie poni»szego zagadnienia programowania liniowego: Zmaksymalizowa x 1 2x 2 + x 3 x 5 przy ograniczeniach x 1 3x 2 + x 3 + 2x 5 = 8
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 4 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
Bardziej szczegółowoRozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoPakiety statystyczne - Wykªad 8
Pakiety statystyczne - Wykªad 8 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance)
Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 16 kwietnia 2016 Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) 16 kwietnia 2016 1 /
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykªad II. Elementy statystyki opisowej. Edward Kozªowski.
Statystyka opisowa. Wykªad II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci Mediana i moda 1 Mediana i moda 2 3 4 Mediana i moda Median m e (warto±ci ±rodkow ) próbki x 1,..., x n nazywamy ±rodkow liczb w
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. a) (6 pkt.) oblicz intensywno± pªaconych skªadek;
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2019r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dwa niezale»ne portfele S 1, S 2 maj zªo»one rozkªady Poissona. S 1 CP oisson(2, F ), S 2 CP oisson(2, G), gdzie
Bardziej szczegółowoPodstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7
Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Tomasz Suchocki ANOVA Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania 3. ANOVA w pakiecie R Tomasz
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Test Istotno±ci
Elementarna statystyka Test Istotno±ci Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 27 kwietnia 2017 Alexander Bendikov (UWr) Elementarna statystyka Test Istotno±ci 27 kwietnia 2017 1 / 24 Wnioskowanie statystyczne:
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) W modelu rezerwy R n = u + n (W 1 + + W n ) wiemy,»e W i s iid o rozkªadzie geometrycznym na 0, 1, 2,...
Bardziej szczegółowoCAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski
III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 2: Bayesowska estymacja równania ze staª. Elementy j zyka R (2) Ekonometria Bayesowska / 24 Plan wykªadu Model ze staª 2 Podstawy j zyka R 3 Bayesowska analiza modelu ze staª
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
Bardziej szczegółowo1 Estymacja przedziałowa
1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = 2 14 2 10 8 0 10 8. a) Znajd¹ rozwi zanie dwuosobowej gry o sumie zero maj cej powy»sz macierz wypªat. b) Przyjmuj
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoPowtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.
Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zaj ecia 5 Natalia Nehrebeceka 04 maja, 2010 Plan zaj eć 1 Rachunek prawdopodobieństwa Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie
Bardziej szczegółowoPakiety statystyczne Wykªad 14
Pakiety statystyczne Wykªad 14 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki Plan wykªadu Model mieszany 1. Podstawy teoretyczne 2. Przykªady w R 3. Przykªady zastosowania Tomasz
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich
Bardziej szczegółowoMetody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t
Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 Testowanie hipotez Estymacja parametrów WSTĘP 1. Testowanie hipotez Błędy związane z testowaniem hipotez Etapy testowana hipotez Testowanie wielokrotne 2. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowowiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Bardziej szczegółowoStatystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Statystyka Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Statystyka Statystyka: nauka zajmuj ca si liczbowym opisem zjawisk masowych oraz ich analizowaniem, zbiory informacji liczbowych. (Sªownik
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoMatematyka z elementami statystyki
Matematyka z elementami statystyki Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Korelacja Zale»no± funkcyjna wraz ze wzrostem jednej zmiennej nast puje ±ci±le okre±lona zmiana druiej zmiennej.
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoMetoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014
Metoda momentów i kwantyli próbkowych Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa. Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii - wersja ogólna
Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna 27-0-202 Pytania teoretyczne. Dlaczego w modelu nie powinno si umieszcza staªej i wszystkich zmiennych zero-jedynkowych, zwi zanych z poziomami zmiennej dyskretnej?
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowo2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7
Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4
Bardziej szczegółowoPorównywanie wielowymiarowych wektorów warto±ci ±rednic
Porównywanie wielowymiarowych wektorów warto±ci ±rednich Politechnika Gda«ska 20 marca 2014 Cel prezentacji Niezb dny wst p teoretyczny Cel prezentacji W naszej prezentacji przedstawimy zagadnienia zwi
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± (3) Ekonometria 1 / 29 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± Test White'a Odporne bª
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Aleksandra Ki±lak-Malinowska akis@uwm.edu.pl http://wmii.uwm.edu.pl/ akis/ Czym zajmuje si statystyka? Statystyka zajmuje si opisywaniem i analiz zjawisk masowych otaczaj cej czªowieka
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,
Bardziej szczegółowoMonte Carlo, bootstrap, jacknife
Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział
Bardziej szczegółowoWykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich
Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.03.2017r Problem Behrensa Fishera Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu normalnego
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 3 29 pa¹dziernik 2015 1 / 39 Plan wykªadu 1. Test log-rank dla wi cej ni» dwóch grup 2. Test Mantela-Haenszela dla wi cej ni» dwóch grup 3. Wst p do
Bardziej szczegółowoW poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Bardziej szczegółowoProblem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015
Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób X = (X 1, X 2,..., X n ) - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 X ),
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Bardziej szczegółowo1 Lista 6 1. LISTA Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%.
1. LISTA 6 1 1 Lista 6 1.1 Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci 3000. Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%. 1.2 Obliczy JSN dla nast puj cej renty dla (30)-latka: je±li»yje
Bardziej szczegółowoWykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej. Podstawy R
Wykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej Podstawy R Ekonometria Stosowana SGH KMNK i R 1 / 45 Plan wykªadu 1 Informacje organizacyjne 2 Wprowadzenie do ekonometrii Ekonometria Dane i postacie funkcyjne
Bardziej szczegółowoPodstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ
Od średniej w modelu gaussowskim do kwantyli w podstawowym modelu nieparametrycznym IMPAN 1.X.2009 Rozszerzona wersja wykładu: O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla
Bardziej szczegółowo1 Lista 6 1. LISTA Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%.
1. LISTA 6 1 1 Lista 6 1.1 Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci 3000. Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%. 1.2 Obliczy JSN dla nast puj cej renty dla (30)-latka: je±li»yje
Bardziej szczegółowoMatematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.
WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoWykład 5 Teoria eksperymentu
Wykład 5 Teoria eksperymentu Wrocław, 22.03.2017r Co to jest teoria eksperymentu? eksperyment - badanie jakiegoś zjawiska polegające na celowym wywołaniu tego zjawiska lub jego zmian oraz obserwacji i
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności
Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoRozdziaª 4. Jednowymiarowe modele szeregów czasowych
Rozdziaª 4. Jednowymiarowe modele szeregów czasowych MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 4) Modele ARMA 1 / 24 Jednowymiarowe modele szeregów czasowych Jednowymiarowe modele szeregów czasowych:
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL'
Rozdziaª 9 Ukªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL' W tym rozdziale zapoznamy si z metodami sªu» cych do rozwi zywania ukªadów równa«liniowych przy pomocy uzyskiwaniu odpowiednich rozkªadów macierzy
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoRozkªady i warto± oczekiwana
Rozkªady i warto± oczekiwana Piotr Wilkin Zmienne losowe i rozkªady. Wst p Zmienn losow nazywamy zmienn X przyjmuj c dowolne warto±ci z pewnego zbioru D, która speªnia wªasno± y D P (X = y) = (innymi sªowy
Bardziej szczegółowo