OBWODY JEDNOFAZOWE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Transkrypt

1 OBWODY JEDNOFAZOWE PRĄDU PRZEMIENNEGO mgr inż. Grzegorz Strzeszewski ZespółSzkółnrwWyszkowie 01 r.

2 Nauka jest dla tych, którzy chcą być mądrzejsi, którzy chcą wykorzystywać swój umysł do poznawania otaczającego nas świata. Jeżeliktośchcewżyciupozostaćciemnyigłupi,tonatakiego nie ma siły. Musimy mu pozwolić takim zostać.

3 Klasyfikacja prądów zmiennych Prąd zmienny okresowy nieokresowy dwukierunkowy przemienny jednokierunkowy pulsujący sinusoidalnie zmienny odkształcony

4 Przykładowe przebiegi prądów zmiennych a) u b) u c) u 0 t 0 t t d) u e) u f) u 0 π π 3π ωt π 0 t π 0 π 3π ωt π Rysunek: Przebiegi czasowe prądów i napięć zmiennych: a) bezokresowy jednokierunkowy, b) bezokresowy dwukierunkowy, c) okresowy, niesymetryczny, d) sinusoidalny(przemienny), e) dwukierunkowy symetryczny, f) jednokierunkowy pulsujący.

5 Zasady oznaczania wielkości fizycznych w obwodach prądu zmiennego u,i,u R wartościchwilowenapięcia,prądu,spadek napięcia na rezystorze R(wartość chwilowa), są to funkcje zależne od czasu; I m,u m wartościmaksymalneprąduinapięcia; I,U,U C wartościskuteczneprądu,napięciaoraz spadku napięcia na kondensatorze; U sr,i sr wartościśrednie(zapółokresu)napięciaiprądu. Zależność pomiędzy wartością skuteczną, średnią i maksymalną prądu i napięcia sinusoidalnie zmiennego: I = Im 0,707I m,i sr = π I m 0,637I m, U = U m 0,707U m,u sr = π U m 0,637U m.

6 Wielkości charakteryzujące przebiegi sinusoidalne AmplitudaA m Faza początkowa Ψ Okres przebiegu sinusoidalnego T Pulsacja ω Częstotliwość f. u, i T T= 1 f A m 0 π-ψ ωt π-ψ ω = πf ψ A m

7 Wartość średnia prądu sinusoidalnego Wartościąśrednią(półokresową)I sr prądusinusoidalnie zmiennegoookresiezmiennościtiamplitudziei m nazywamy średnią arytmetyczną tego prądu obliczoną za połowę okresu, w którym przebieg jest dodatni. PodobnieokreślasięwartośćśredniąpółokresowąU sr dlanapięcia sinusoidalnie zmiennego. I sr = I π m~ 0,637I m U sr = π U m ~0,637Um Dla przebiegów przemiennych wartość średnia całookresowa równa jest zeru.

8 Wartość skuteczna prądu sinusoidalnego Wartością skuteczną prądu sinusoidalnego I nazywamy taką wartość(równoważnego, zastępczego) natężenia prądu stałego, którynarezystancjir=const,wczasierównymokresowit, wydzieli tę samą ilość energii cieplnej co dany prąd sinusoidalny. I= p1i m~ 0,707I m U= p1 U m ~0,707Um Wartość skuteczną napięcia siunusoidalnie zmiennego U definiujejemy podobnie jak dla prądu.

9 Przesunięcie fazowe przebiegów sinusoidalnie zmiennych Przesunięciem fazowym dwóch przebiegów sinusoidalnych nazywamy różnicę faz początkowych tych przebiegów. Jeżeli przebiegi czasowe napięć sinusoidalnych wyrazimy jako: u 1 =U 1m sin(ωt +Ψ 1 ), u =U m sin(ωt +Ψ ), to przesunięcie fazowe α równe jest: α = Ψ 1 Ψ. W teorii obwodów elektrycznych istotną rolę odgrywa przesunięcie fazowe między prądem i napięciem na danym elemencie obwodu (rezystorze, kondensatorze, cewce). Przesunięcie fazowe prądu względem napięcia oznaczamy zwykle literą ϕ.

10 Przesunięcie fazowe między prądem i napięciem Chwilę, w której rozpoczniemy liczenie czasu t możemy tak dobrać, aby faza początkowa napięcia Ψ = 0. Wówczas u =U m sinωt, i =I m sin(ωt +ϕ) gdzie ϕ jest przesunięciem fazowym prądu względem napięcia. Jeśliϕ>0,toprądwyprzedzanapięcieokątfazowyϕ. Określeniem równoważnym jest stwierdzenie, że napięcie opóźnia sięwzględemprąduokątfazowyϕ. Jeśliϕ<0,toprądopóźniasięwzględemnapięciaokątfazowyϕ. Jest to równoważne ze stwierdzeniem, że napięcie wyprzedza prąd okątfazowyϕ.

11 Sposoby przedstawiania przebiegów sinusoidalnych Przebiegi sinusoidalnie zmienne prądów i napięć można przedstawiać(opisywać) za pomocą: wzorów matematycznych, wykresów czasowych, wektorów na płaszczyźnie fazowej, liczb zespolonych. Przykład opisu napięcia i prądu za pomocą wzorów matematycznych: u =30 sin314t, i =10 sin(314t ).

12 Wykresy czasowe przebiegów sinusoidalnych u, i u=u msinωt i=i m sin(ωt+ φ) π π-φπ 0 π-φ ωt φ φ φ Rysunek: Przesunięcie fazowe ϕ prądu i względem napięcia u na wykresie czasowym.

13 Wykresy wektorowe przebiegów sinusoidalnych y u u m u u 1 ωt 3 ωt ωt u 1 0 ψ x Um u u 1 u 0 Um π-ψ 0 ωt 1 ωt ωt 3 Ψ π-ψ ωt 4 ωt π-ψ u 4 Um u 4 Rysunek: Wykres wektorowy i czasowy napięcia sinusoidalnego u =U m sin(ωt +Ψ).

14 Zasady rysowania wykresów metodą nieruchomego wektora ośczasuwirujezprędkościąω =πfzgodniezkierunkiem wskazówek zegara, długość wektora jest jego wartością skuteczną, kąt,jakitworzydanywektorzosiączasu(dlat =0),jestfazą początkową wektora, kąt pomiędzy dwoma wektorami równy jest kątowi przesunięcia fazowego, kąty przesunięcia fazowego odkłada się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, dodawanie lub odejmowanie wektorów tych samych wielkości fizycznych odpowiada dodawaniu lub odejmowaniu przebiegów sinusoidalnych na wykresie czasowym.

15 a) Zasada równoległoboku Graficzne dodawanie wektorów a + = a c=a+b b b c=a+b b) Zasada trójkąta a + = c=a+b a b b c=a+b

16 Graficzne odejmowanie wektorów Wektor przeciwny do danego to wektor mający ten sam kierunek, taką samą długość i przeciwny zwrot. a -a a,-a wektory przeciwne Abyodwektora aodjąćwektor b,należydowektora adodać wektorprzeciwnydowektora b. -b a _ b = b a c=a- c= a-b=a+ (-b)

17 Pierwsze prawo Kirchhoffa w obwodach prądu zmiennego Pierwsze prawo Kirchhoffa dotyczy bilansu prądów w węźle prądu zmiennego. Dla każdego węzła obwodu elektrycznego prądu zmiennego, suma wartości chwilowych prądu równa jest zeru. Dla obwodu prądu sinusoidalnie zmiennego(prądu przemiennego), I prawo Kirchhoffa ma postać. Suma geometryczna(wektorowa) wektorów natężenia prądów wwęźlerównajestzero.

18 Drugie prawo Kirchhoffa w obwodach prądu zmiennego Drugie prawo Kirchhoffa dotyczy bilansu napięć w zamkniętym oczku obwodu prądu zmiennego. W dowolnym zamkniętym oczku obwodu prądu zmiennego suma wartości chwilowych napięć źródłowych i spadków napięć na elementachr,l,crównajestzeru. W obwodach prądu przemiennego II prawo Kirchhoffa ma postać. Suma geometryczna wektorów sił elektromotorycznych i spadków napięć w zamkniętym oczku równa jest zero.

19 Dwójnik z idealną rezystancją R a) i b) U m Im u, i u=u msinωt i=i msinωt c) u R 0 π π ωt I φ=0 U Kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem ϕ = 0(prąd jest w fazie z napięciem). Dla wartości skutecznych(także maksymalnych) obowiązuje prawo Ohma: I = U R.

20 Dwójnik z cewką idealną L a) i b) U m Im u, i u=u msinωt π i=i msin(ωt- ) c) u L 0 π 3π π π ωt φ= π U I Definiujemy reaktancję indukcyjną X L =ωl =πfl. Jednostką reaktancji indukcyjnej jest 1 Ω. Prawo Ohma dla cewki idealnej: I = U X L.

21 Dwójnik z kondensatorem idealnym C a) u i C b) U m Im 0 u, i u=u msinωt π i=i msin(ωt+ ) π 3π π π ωt c) I φ= _ π U Definiujemy reaktancję pojemnościową X C = 1 ωc = 1 πfc Jednostką reaktancji pojemnościowej jest 1 Ω. Prawo Ohma dla kondensatora idealnego: I = U X C.

22 Impedancja obwodów szeregowych prądu przemiennego Impedancja dwójnika szeregowego RLC określona jest jako: U R U L UC I R U L C φ Z R _ X=X L X C Z trójkąta impedancji mamy: R =Zcosϕ,X =Zsinϕ, cosϕ = R Z,tgϕ =X R. X =X L X C reaktancjaobwoduszeregowego. Jednostką miary impedancji, reaktancji i rezystancji jest 1 Ω.

23 Admitancja obwodów równoległych prądu przemiennego Admitancja dwójnika równoległego RLC określona jest jako: gdzie, gdzie, I IR IL IC U R L C Y _ B=B C B L φ tgφ= B G G B=B B susceptancja dwójnika równoległego C L Jednostką miary admitancji, susceptancji i konduktancji jest 1simens(S).

24 Dwójnik szeregowy RL i U R= RI U L= X LI U = U R + U L R u R Impedancja dwójnika szeregowego RL u L u L U φ>0 I U R U L Z = R + X L Prawo Ohma dla prądu przemiennego I = U Z Współczynnik mocy cosϕ = R Z. Kąt przesunięcia fazowego ϕ w dwójniku RL jest dodatni i należy doprzedziałuϕ [0, π ].

25 Dwójnik szeregowy RC u i R u R I φ<0 U R U R= RI U C= X CI Impedancja dwójnika szeregowego RC Z = R + X C U = U R + U C C u C U U C Prawo Ohma dla prądu przemiennego I = U Z Współczynnik mocy cosϕ = R Z. Kąt przesunięcia fazowego ϕ w dwójniku RC jest ujemny i należy doprzedziałuϕ [ π,0].

26 Dwójnik szeregowy RLC i Impedancja dwójnika szeregowego RLC R u R Z = R +(X -X ) L C Rozpatrujemy trzy przypadki: u C L u = u R + u L + u C u L u C φ>0 I U L U U R U C XL > XC charakter obwodu indukcyjny φ<0 I U L U R U C U XL < XC charakter obwodu pojemnościowy φ=0 I U L U=U R XL = XC rezonans napięć U C

27 Dwójnik równoległy RLC Admitancja dwójnika równoleg ego RLC i Y = G +(B C- B L) u R ir L i = ir + il + ic il I = I R + I L + I C C ic < 0 U IC I IR B C > B L Rozpatrujemy trzy przypadki: I L charakter obwodu pojemno ciowy I U >0 I L IR B C < B L IC charakter obwodu indukcyjny φ =0 U IC B C = B L rezonans prądów I L I = IR

28 Moc w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego Mocą chwilową nazywamy iloczyn wartości chwilowych napięcia i prądu, czyli p =ui [W]. Ponadto w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego wyróżnia się: mocczynnąp=uicosϕ,którejjednostkąjest1w(1wat), mocbiernąq=uisinϕ,którejjednostkąjest1var(1war), mocpozornąs =UI,którejjednostkąjest1VA(1 woltoamper). Związki między mocą czynną, bierną i pozorną: S = P +Q, P =Scosϕ, Q =Ssinϕ.

29 Trójkąt mocy, współczynnik mocy a) b) P φ<0 S Q>0 S Q<0 φ>0 P Trójkąt mocy dla odbiornika o charakterze rezystancyjno - indukcyjnym Trójkąt mocy dla odbiornika o charakterze rezystancyjno - pojemnościowym. Współczynnik mocy cosϕ = P S.

30 Przebieg mocy chwilowej w idealnym dwójniku rezystancyjnym i u,i,p u R p=ui UI UI I φ=0 U u i ωt π Moc chwilowa dwójnika rezystancyjnego: p =ui =U m I m sin ωt =UI(1 cosωt). P =UI,P =I R,P = U R.

31 Moc pobierana przez idealny dwójnik rezystancyjny Rezystor idealny jest elementem, w którym energia elektryczna przekształcana jest w energię cieplną. W obwodzie tym nie ma przesunięcia fazowego między prądem i napięciem(ϕ =0). Prądjestwfazieznapięciem(cos0 =1,sin0 =0),dlatego P =UIcosϕ =UI =S, Q =UIsinϕ =0. Dwójnik z rezystorem idealnym pobiera tylko moc czynną, moc bierna jest równa zero. Moc pozorna S = P +Q =P.

32 Przebieg mocy chwilowej w cewce idealnej i u, i,p p u L u UI U φ= π I 0 π π 3π i π UI ωt Moc chwilowa dwójnika z cewką idealną: ( p =ui =U m I m sin ωt + π ) sinωt =UIsinωt.

33 Moc pobierana przez cewkę idealną W obwodzie z cewką idealną napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy ϕ = π. Wiedząc,żecos π =0,sinπ =1,otrzymujemy: Moc pozorna P =UIcosϕ =0, Q =UIsinϕ =UI. S = P +Q =Q. Dwójnik z cewką idealną nie pobiera ze źródła zasilania mocy czynnej(p =0). Energia pobierana przez cewkę w pierwszej połowie okresu równa jest energii zwróconej do źródła w drugiej połowie okresu.

34 Przebieg mocy chwilowej w kondensatorze idealnym i u, i,p p u u 0 π π π ωt i Moc chwilowa dwójnika z kondensatorem idealnym: ( p =ui =U m I m sin ωt π ) sinωt = UIsinωt.

35 Moc pobierana przez kondensator idealny W obwodzie z kondensatorem idealnym napięcie opóźnia się względemprąduokątfazowyϕ = π.wiedząc,że cos ( π ) ( =0,sin π ) = 1,otrzymujemy: Moc pozorna P =UIcosϕ =0, Q =UIsinϕ = UI. S = P +Q = Q. Dwójnik z kondensatorem idealnym nie pobiera ze źródła zasilania mocyczynnej(p =0). Energia pobrana przez kondensator idealny w pierwszej połowie okresu równa jest energii zwróconej do źródła w drugiej połowie okresu.

36 Energia w obwodach prądu przemiennego W obwodach prądu przemiennego wyróżnia się: energię czynną, określoną jako: W =Pt, której jednostką miary jest dżul(1 J) lub kilowatogodzina (1kWh), energię bierną, określoną jako: W b =Qt, której jednostką jest warosekunda(1 var s) lub kilowarogodzina(1 kvarh). 1kWh =3, Ws, 1kvarh =3, var s.

37 Kompensacja mocy biernej Współczynnik mocy odbiorców energii elektrycznej powinien być bliskijedności(cosϕ 1) wtedystratymocyczynnejwlinii zasilającej są najmniejsze. U I odbiornik R IR IO L IL C IC bateria kondensatorów φ 1 I= IO U IR I L Bateria kondensatorów odłączona U φ 1 φ IO I IR I L IC I< IO Bateria kondensatorów włączona QC C = ωu QC=P(tg φ _ 1 tg φ )

38 Metoda liczb zespolonych Liczbę zespoloną można przedstawić jako punkt na płaszczyźnie zespolonej. Na osiach układu współrzędnych płaszczyzny zespolonej odkładamy współrzędne punktu będącego obrazem geometrycznym liczbyz;naosirzeczywistejxliczbęa,zaśnaosiurojonejyliczbęb. y b oś urojona z=a+jb r r= a +b φ a jednostka miary na osi : 1 jednostka miary na osi y: j oś rzeczywista x

39 Postacie równowazne liczb zespolonych Dowolną liczbę zespoloną można przedstawić w trzech równoważnych postaciach: algebraicznej z =a+jb, trygonometrycznej wykładniczej z =r(cosϕ+jsinϕ), z =re jϕ. gdzie: r moduł liczby zespolonej, ϕ argument liczby zespolonej, r = a +b,tgϕ = b a,ejϕ =cosϕ+jsinϕ, a =rcosϕ,b =rsinϕ,j = 1.

40 Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych Sumadwóchliczbzespolonychz 1 =a 1 +jb 1 iz =a +jb jest liczbązespolonąz 3,którejczęśćrzeczywistajestrównasumie częścirzeczywistychliczbz 1 iz,aczęśćurojonarównasumieich części urojonych, czyli z 3 = (a 1 +a )+j(b 1 +b ). Różnicadwóchliczbzespolonychz 1 =a 1 +jb 1 iz =a +jb jest liczbązespolonąz 4,którejczęśćrzeczywistajestrównaróżnicy częścirzeczywistychliczbz 1 iz,aczęśćurojonarównaróżnicy ich części urojonych, czyli z 4 = (a 1 a )+j(b 1 b ). Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych odpowiada dodawaniu i odejmowaniu wektorów na zasadzie równoległoboku.

41 Mnożenie liczb zespolonych Iloczyndwóchliczbzespolonychz 1 =a 1 +jb 1 =r 1 e jϕ 1 i z =a +jb =r e jϕ jestliczbązespolonąz 5,którejmoduł równy jest iloczynowi modułów poszczególnych liczb zespolonych a argument jest sumą argumentów tych liczb. z 5 =z 1 z =r 1 e jϕ 1 r e jϕ =r 1 r e j(ϕ 1+ϕ ). gdzie: r 1 = a1 +b 1,r = a +b, tgϕ 1 = b 1 a 1,tgϕ = b a. Wiedząc,żej = 1,iloczyndwóchliczbzespolonychmożna przedstawić jako: z 5 =z 1 z = (a 1 +jb 1 )(a +jb ) = (a 1 a b 1 b )+j(a 1 b +b 1 a ).

42 Dzielenie liczb zespolonych Dwie liczby zespolone nazywamy sprzężonymi, jeżeli ich moduły są równe a argumenty są równe co do wartości, lecz mają przeciwne znaki. z =a+jb =re jϕ, z =a jb =re jϕ. Ilorazemdwóchliczbzespolonychz 1 =a 1 +jb 1 =r 1 e jϕ1 i z =a +jb =r e jϕ jestliczbazespolona,którejmodułjestrówny ilorazowimodułówr 1 ir,aargumentjestróżnicąargumentówϕ 1 iϕ. z 6 = z 1 z = r 1e jϕ1 r e jϕ =r 1 r e j(ϕ1 ϕ). Dlapostacialgebraicznychliczbz 1 iz : z 6 = z 1 z = z 1 z z z = (a 1 +jb 1 )(a jb ) a +b = a 1a +b 1 b a +b +j b 1a a 1 b a. +b

43 Zasady oznaczania zespolonych wartości skutecznych Przyjmujemy następujące zasady: zespolone wartości skuteczne podkreślamy: U wartość skuteczna zespolona napięcia, I wartość skuteczna zespolona prądu, Z impedancja zespolona, Y admitancja zespolona. wartości skuteczne niepodkreślone traktujemy jako moduły (długości) odpowiednich wielkości zespolonych: U moduł wartości skutecznej napięcia zespolonego I moduł wartości skutecznej prądu zespolonego, Z moduł impedancji zespolonej, Y moduł admitancji zespolonej.

44 Dwójnik szeregowy RLC(wersja zespolona) I_ Impedancja zespolona Moduł impedancji U_ UR _ UL _ UC _ II prawo Kirchhoffa Z=R+j(X _ L-X C) φ> I_ UL _ U_ UR _ UC _ XL> XC charakter obwodu indukcyjny t u p : φ<0 I_ UL _ UR _ U_ XL< XC charakter obwodu pojemnościowy Z = R +(X -X ) UC _ L C φ=0 I_ UL U_=_ UR XL= XC rezonans napięć Prawo Ohma dla prądu przemiennego UC U_ UR _ UL _ UC = + +_ I_= U _ Z_

45 Dwójnik równoległy RLC(wersja zespolona)

46 Schemat zastępczy cewki rzeczywistej szeregowy Rezystancja R odwzorowuje rezystancję przewodu, z którego nawinięto cewkę. Pojemności międzyzwojowe i pojemności doziemne pominięto. I_ U_ R L UR _ UL _ = _ + _ U_ UR UR _ =R I_ UL UL _ = jωl I Z=R+jX L=R+jωL φ>0 U_ I_ UR _ tgφ = _ωl R UL _ Dobroć cewki rzeczywistej o schemacie zastępczym szeregowym. Q L = _ UL = _ωl UR R

47 Schemat zastępczy kondensatora rzeczywistego równoległy

48 Postać zespolona mocy pozornej Moc pozorna S w postaci zespolonej równa jest iloczynowi napięciazespolonegouizespolonegoprądusprzężonegoi : S =P +jq, S = P +Q. P =Scosϕ, Q =Ssinϕ. Odbiorniki prądu o charakterze indukcyjnym(dla których Q > 0) pobierają moc bierną z sieci zasilającej. Odbiorniki prądu o charakterze pojemnościowym(dla których Q<0)wysyłająmocbierną Q dosiecizasilającej,czylisą generatorami mocy biernej.

49 Tylko dla orłów Na lekcjach matematyki(w szkołach średnich) spotykamy się z następującymi stwierdzeniami: Jeśli wyróżnik równania kwadratowego jest ujemny, to równanie to nie ma rozwiązań. ax +bx +c =0, =b 4ac<0 brakrozwiązań. Dla dowolnego kąta x, wartości funkcji trygonometrycznej cosxzawierająsięwprzedziale [ 1,1]. 1 cosx 1, dladowolnegox R. Znając podstawy liczb zespolonych zastanówmy się, czy na pewno stwierdzenia te zawsze są prawdziwe? Co będzie, jeśli zbiór liczb rzeczywistych R rozszerzymy do zbioru liczb zespolonych C?

50 Tylkodlaorłówcd1 Rozważmy równanie kwadratowe o ujemnej delcie: ax +bx +c =0;a,b,c R;x, C. =b 4ac = d, = d = 1 d =j d. }{{} =j Wstawiając doznanychwzorównamiejscazerowerównana kwadratowego mamy: x 1 = b = b j d, x = b+ = b+j d. Otrzymaliśmy dwa pierwiastki zespolone.

51 Przykład Rozwiązać równanie kwadratowe: Rozwiązanie: a =1,b =,c =. x x + =0. =b 4ac = ( ) 4 1 =4 8 = 4,deltaujemna! = 4 = 1 4 =j. x 1 = b x = b+ = ( ) j = ( )+j = j = +j =1 j, =1+j. Widzimy, że istnieją dwa rozwiązania zespolone tego równania, chociaż delta jest ujemna.

52 Rozpatrzmy wzór Eulera: Podobnie, dla ujemnych x mamy: Tylkodlaorłówcd e jx =cosx +jsinx,x R. e jx =cosx jsinx. Dodając stronami powyższe wyrażenia i dzieląc je przez, otrzymujemy: cosx = ejx +e jx. Można udowodnić, że wzór ten jest prawdziwy także dla liczb zespolonychz C,czyli cosz = ejz +e jz.

53 Tylkodlaorłówcd3 Najciekawszym dla nas wnioskiem, wynikającym z poprzednio napisanego wzorujestto,żedlakątówczystourojonych,czylidlaz =jywartości przybierane przez funkcję cos jy są liczbami rzeczywistymi, większymi od jedności. cosjy = ey +e y R, y R, cosjy 1dlakątówjyczystourojonych. Można więc powiedzieć, że istnieją kąty(co prawda urojone), dla których funkcja cos jest większa od jedności. Niektórym osobom(nie tylko uczniom) wydaje się to zupełnie nieprawdopodobne, wręcz niemożliwe:). Pytanie dla superorłów: Czy podobne rozumowanie da się przeprowadzić dla pozostałych funkcji trygonometrycznych: sin, tg, ctg?

54 Przykład Obliczyć cos(j5). Rozwiązanie: Wiemy, że cos(j5) = e5 +e 5. Korzystając z komputerowego kalkulatora(lub innego), obliczamy: e 5 148,4131;e 5 0,0067. Po podstawieniu tych wartości do wzoru, otrzymujemy: cos(j5) 148,4131+0,0067 =74,099. Otrzymaliśmy więc liczbę rzeczywistą, dużo większą od jedności. Ogólnie można powiedzieć, że kosinus kąta będącego liczbą urojoną jest liczbą rzeczywistą, większą od jedności.

55 Dziękuję za uwagę!