BADANIA GRUNTU W APARACIE RC/TS.

Transkrypt

1 Str.1 SZCZEGÓŁOWE WYPROWADZENIA WZORÓW DO PUBLIKACJI BADANIA GRUNTU W APARACIE RC/TS. Dyka I., Srokosz P.E., InŜynieria Morska i Geotechnika 6/2012, s III. Wymuszone, cykliczne skręcanie Rozpatrujemy cykliczne, wymuszone skręcanie walcowej próbki gruntu momentem skręcającym o amplitudzie T 0 [Nm] według równania (II.1), w którym:. (III.1) Częstość kołowa ω ma niewielką wartość, rzędu [rad/s]. W wyniku oddziaływania momentu T, próbka ulega skręceniu o kąt Θ, wg równania (II.14): ΘtΘ, gdzie Θ 0 zdefiniowano w (II.13a), a φ w (II.15). (II.14) W analizie odkształceń postaciowych przyjmuje się umowny promień obliczeniowy próbki o wartości:, (III.2) gdzie: R promień rzeczywisty walcowej próbki gruntu, κ współczynnik zaleŝny od rzędu wartości odkształceń postaciowych próbki, ok. 0.8 dla γ<0.001%, 0.65 dla γ 0.1%; wg zaleceń producenta aparatu RC/TS: κ = Przemieszczenie w linii prostej punktu leŝącego w odległości R ref od osi próbki podczas jej skręcenia o kąt Θ wynosi (rys.1., dla bardzo małych wartości Θ moŝna przybliŝyć przemieszczenie po łuku odcinkiem linii prostej): 1 / 2 Θ 1 / 2 Θ R ref R ref 1 / 2 a A 1 / 2 a A Rys.1. Przemieszczenie prostoliniowe punktu z pozycji A do A w trakcie skręcenia próbki o kąt Θ. Θ, (III.3) 2 Θ2 Θ. (III.4) Odkształcenie postaciowe podczas skręcania moŝna zdefiniować w postaci (zobacz Cz.1 artykułu):, gdzie H jest wysokością próbki, (III.5)

2 Str.2 stąd, (III.6) a po uwzględnieniu (III.3): Θ2 Θ. (III.7) Kąt Θ w badaniach TS ma bardzo małą wartość, w związku z czym prawdziwe jest uproszczenie: Θ Θ Θ Θ, (III.8) a poniewaŝ 1 (III.9) to Θ Θ Θ Θ. (III.10) Zatem, amplitudzie kąta skręcenia Θ 0 odpowiada amplituda odkształceń postaciowych γ 0 wg relacji: Θ Θ, (III.11) a podstawiając (II.14) do zaleŝności (III.10) uzyskuje się bezpośrednią zaleŝność wartości odkształceń postaciowych od czasu: t. (III.12) Kolejnym efektem działania momentu skręcającego T(t) jest wywołanie w próbce składowej stycznej stanu napręŝenia: Θ, gdzie: G moduł Kirchhoffa. (III.13) Moment skręcający pozostaje w równowadze z momentem wynikającym z sumy wartości składowej stycznej stanu napręŝenia, zebranej z pola powierzchni A przekroju poprzecznego walcowej próbki (zatem w tym przypadku κ=1): Uwzględniając, Ŝe: Θ 2 2 Θ. (III.14) (III.15) jest biegunowym momentem geometrycznym przekroju, moŝna zapisać (III.14) w postaci: Θ, a podstawiając przekształconą postać (III.13): Θ, (III.16) (III.17)

3 do (III.16), moŝna zdefiniować prostą zaleŝność pomiędzy momentem wymuszającym a składową styczną napręŝenia w postaci:, czyli, gdzie Str.3 (III.18) (III.19). (III.20) ZaleŜności (II.14), (III.12) i (III.19) zostały przedstawione w formie graficznej na rys.2 (analityczna symulacja badania TS). Mając jawne postaci funkcji (II.14), (III.12) i (III.19) moŝna wyprowadzić zaleŝność funkcyjną τ(γ), która opisuje pętlę histerezy przedstawioną na rys.3 (na rys.2 i 3 zaznaczono charakterystyczne punkty przebiegów τ(t) i γ(t) oraz τ(γ)). Jeśli z (III.7) wyprowadzimy zaleŝność Θ(γ): 2 Θ Θ, Θγ2 i podstawimy do niej (II.14), to wyprowadzimy zmienną niezaleŝną t: (III.21) (III.22) (III.23) 5 4 τ max τ(γ max ) theta [mrad] gamma (*100) [%] tau [kpa] B C A t [s] 70-1 D -2-3 γ min -4-5 τ min τ(γ min ) Rys.2. Przykładowa symulacja przebiegu badania TS

4 Str.4 5 τ [kpa] 4 3 τ max τ(γ max) 2 B 1 A 0-4,E-04-3,E-04-2,E-04-1,E-04 0,E+00 C 1,E-04 2,E-04 3,E-04 γ [-] 4,E-04-1 D -2 γ max τ(γ min ) τ min Θ sinωt2, Rys.3. Przykładowa interpretacja wyników z badania TS. ωt, (III.24) (III.25) t Podstawiając (III.26) do (III.19) uzyskuje się:. (III.26), lub w postaci uproszczonej, po uwzględnieniu (III.10): a dodatkowo po uwzględnieniu (III.11):. (III.27) (III.28) (III.29) Ze względów praktycznych, w dalszym toku postępowania będziemy rozwaŝać tylko formy uproszczone wyprowadzonych zaleŝności funkcyjnych. Badanie w aparacie RC/TS w trybie skrętnego ścinania cyklicznego ma na celu wyznaczanie modułu Kirchhoffa G oraz współczynnika tłumienia D TS. Moduł G jest zdefiniowany następującą zaleŝnością:

5 (zobacz rys.4.). Podstawiając do (III.30) zaleŝność (III.29) i uwzględniając, Ŝe γ max = γ 0, uzyskuje się:. Podstawiając dalej do (III.31) wyraŝenia (III.11) i (III.20) uzyskuje się:. Z kolei, współczynnik tłumienia D TS jest zdefiniowany w postaci [1]:, gdzie W D energia pochłaniana przez materiał podczas cyklicznego skręcania, energia rozpraszana, E P energia potencjalna, kumulowana w materiale podczas odkształceń spręŝystych, energia odkształceń. Str.5 (III.30) (III.31) (III.32) (III.33) Energia rozpraszana podczas cyklicznego skręcania materiału próbki jest uzupełniania w systemie przez zewnętrzną pracę wykonywaną przez moment T(t) na kącie skręcenia Θ(t). Energię tę moŝna zdefiniować wzorem:. (III.34) Zgodnie z interpretacją geometryczną zagadnienia tłumienia, rys.4., wartość energii W D jest reprezentowana przez pole histerezy opisanej zaleŝnością funkcyjną τ(γ). 5 τ [kpa] 4 3 τ max τ(γ max) 2 B E p 1 A γ max 0-4,E-04-3,E-04-2,E-04-1,E-04 0,E+00 W D C 1,E-04 2,E-04 3,E-04 γ [-] 4,E-04-1 D -2 τ(γ min ) τ min Rys.4. Przykładowa interpretacja wyników z badania TS.

6 Str.6 PoniewaŜ zarówno składowa styczna napręŝenia jak i odkształcenie postaciowe dane są w postaci funkcji czasu, odpowiednio zaleŝności (III.19) i (III.12), moŝna potraktować zmienną niezaleŝną t jako parametr i zapisać (III.34) w postaci:, (III.35) gdzie granice całkowania zdefiniowane są okresem jednego, pełnego cyklu obciąŝeniaodciąŝenia próbki: Τ0, a poniewaŝ z (III.12) wynika bezpośrednio, Ŝe: t, energię W D moŝna zapisać w postaci: (III.36) (III.37), (III.38) , (III.39) (III.40) Z kolei energia potencjalna E P, charakteryzująca chwilową kumulację energii spręŝystej przez materiał w stanie maksymalnego odkształcenia, jest zdefiniowana polem trójkąta o wierzchołkach w punktach (0,0), (γ max,0) i (γ max,τ(γ max )), tzn. polem pod wykresem liniowospręŝystej reakcji materiału badanej próbki, zaznaczonego czerwonym kolorem na rys.4. Pole to moŝna wyrazić wzorem:,. Uwzględniając (III.40) i (III.42) w (III.33) uzyskuje się:. (III.41) (III.42) (III.43) Uwzględniając w uzyskanej relacji zaleŝność (II.15), otrzymuje się finalną postać współczynnika tłumienia:. (III.44) Ze względu na niewielkie wartości częstości kołowej ω (zobacz załoŝenia), wyraz zawierający wyŝszy rząd ω moŝna zaniedbać, przez co wyraŝenie (III.44) przyjmie prostszą postać:. (III.45) Współczynnik tłumienia zdefiniowany zaleŝnością (III.33) moŝna wyznaczyć równieŝ w sposób bezpośredni, tzn. wykorzystując bezpośrednio mierzone wielkości fizyczne, tj. przede wszystkim kąt skrętu Θ określony wzorem (II.14). Rozpraszana energia jest reprezentowana przez pracę zdefiniowaną w postaci analogicznej do formuły (III.34):

7 Θ, gdzie Θ, Str.7 (III.46) (III.46) jest momentem sił wewnętrznych, wywołującym tłumienie i reprezentującym pracę traconą podczas skręcania z prędkością kątową dθ/dt. Prędkość skręcania wynika z formuły (II.14): ΘtΘ. (III.47) Jeśli znów zastosuje się całkowanie względem zmiennej parametrycznej t, to formuła na energię rozpraszaną przyjmie postać: Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ., (III.48) Analogicznie, energia potencjalna zakumulowana w postaci maksymalnego skręcenia próbki (Θ 0 ) odpowiada pracy spręŝystej-odzyskiwanej, jaką wykonuje moment sił wewnętrznych M P wynikający z kąta skręcenia i współczynnika sztywności skrętnej materiału K: Θ, gdzie Θ. Podstawiając (III.50) do (III.49) uzyskuje się: KΘ. (III.49) (III.50) (III.51) Uwzględniając (III.48) i (III.51) w (III.33) otrzymuje się:, K K czyli formułę identyczną z uzyskaną wcześniej (III.45). (III.52) Jeśli rozwaŝy się niewielką wartość tłumienia w warunkach częstotliwości rezonansowej, która bliska jest częstotliwości drgań własnych (zobacz (I.70) i (I.71)): (III.53) i uwzględni się (III.53) w (III.52), to ciąg przekształceń K prowadzi do formuły, którą wykorzystuje program interpretacyjny aparatu RC/TS: (III.54)

8 . Zatem, procedura interpretacji wyników badania TS próbki składa się z następujących kroków: 1. Pomiar amplitudy cyklicznego skręcenia próbki materiału obciąŝonej momentem o załoŝonej, niewielkiej częstości zmian: T(t, ω) Θ(t, ω, φ) 2. Przeliczenie załoŝonych i zarejestrowanych danych: T(t, ω) τ(t, ω) wg (III.19) Θ(t, ω, φ) γ(t, ω, φ) wg (III.10) 3. Wyznaczenie wartości modułu Kirchhoffa: G wg (III.30) 4. Wykreślenie graficznej relacji τ(γ) 5. Wyznaczenie wartości współczynnika tłumienia z relacji τ(γ) lub M(Θ): D wg (III.55). Str.8 (III.55) Bibliografia [1]. Bachmann H. (red.), Vibration problems in structures: practical guidelines. Berlin, Birkhauser, 1995.