Dr inż. Zbigniew Szklarski

Transkrypt

1 Wykład 1: Ciało stałe Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31

2 Struktura kryształu Ciała stałe o budowie bezpostaciowej (amorficzne) brak uporząowania atomowego dalekiego zasięgu, chaos (nieporządek) topologiczny i chemiczny. Np. szkło, ceramiki, metale i stopy gwałtownie schłodzone. Ciała krystaliczne atomu ułożone w regularną sieć przestrzenną na obszarach dużych w porównaniu z promieniem atomu. Rozróżniamy monokryształy (pojedynczy kryształ o jednorodnej budowie wewnętrznej) i ciała polikrystaliczne zlepki monokryształów.

3

4 Sieci krystaliczne Istnieje czternaście rodzajów sieci trójwymiarowych, występujących w siedmiu układach krystalograficznych 4

5 Podstawowe komórki elementarne stała sieci komórka prosta komórka elementarna 5

6 Kryształy molekularne siły van der Waalsa - np. tlen, zestalone gazy szlachetne, większość związków organicznych Kryształy metaliczne siły kulombowskie oddziaływania gazu elektronowego na jony sieci. np. Al i inne metale Kryształki suchego lodu (CO ) Kryształy stybnitu (rudy Sb) Kryształy kowalencyjne wiązania atomowe, wspólne elektrony walencyjne. np. krzem, diament Kryształy jonowe siły kulombowskie np. NaCl, tlenki i chlorki litowców Kryształ diamentu (C) Kryształ NaCl 6

7 Tworzenie struktury pasmowej w ciałach stałych Dlaczego pewne ciała są dobrymi przewodnikami, inne półprzewodnikami o własnościach elektrycznych w znacznym stopniu zależnych od temperatury a jeszcze inne izolatorami? Nie wynika to z modelu elektronów swobodnych. Obserwuje się dużą różnicę między oporem typowego przewodnika metalicznego a izolatora: opór czystego metalu w niskich temperaturach jest rzędu cm opór izolatora osiąga wartość 10 cm Obserwowany przedział wartości oporu obejmujący 3 rzędy wielkości jest przypuszczalnie najszerszym przedziałem wartości powszechnie występującej właściwości ciała stałego. 7

8 Poziomy energetyczne pojedynczego atomu ulegają przesunięciu gdy jest on pod działaniem zewnętrznej siły (zmiana całkowitej energii elektronów). W ciele stałym przesuniecie poziomów powoduje oddziaływanie innych atomów - niszczona jest symetria poziomów rozszczepiają się one w pasmo złożone z wielu bliskich siebie położonych poziomów energetycznych. 8

9 Jeżeli uwzględnimy, że 1 g ciała zawiera N 10 atomów i że każdy pojedynczy poziom energetyczny rozpada się na N poziomów, to przy szerokości pasma rzędu 1 ev odległości między poziomami wynoszą około 10 ev, co wskazuje, że nie ma możliwości doświadczalnego ich rozróżnienia pasma energetyczne W 0 K elektrony zajmują poziomy o możliwie najmniejszej energii aż do pewnej energii maksymalnej, która będzie funkcją koncentracji elektronów. Energię najwyższego obsadzonego poziomu w 0 K nazywamy energią Fermiego. E k 9

10 Metal Izolator Półprzewodnik Energia elektronu Elektron energy E c E g 4eV E g 1eV Pasmo przewodnictwa Pasmo przewodzenia Całkowite obsadzone niższe pasma energetyczne Sequence of fully occupied lower energy bands (a) (b) (c) (d) Skutki istnienia pasm energetycznych: obniżenie poziomów względem poziomów atomowych występuje energia wiązania ciała stałego jako całości. największe obniżenie dla elektronów walencyjnych, bo one są najbliżej sąsiednich atomów. stan równowagi oznacza minimum energii dalsze zbliżanie atomów wzrost energii E v Pasmo walencyjne Pasmo walencyjne 10

11 Schemat energetyczny dla atomów sodu: a) w dużej odległości, b) w odległości rzędu stałej sieciowej. funkcje falowe się nakładają jest prawdopodobne przechwycenie elektronu przez sąsiedni atom obniżenie bariery energetycznej przybliżenie elektronów prawie swobodnych w krysztale. 11

12 Gaz elektronowy, funkcja gęstości stanów Ponieważ w temperaturze 0 K są obsadzone wszystkie stany energetyczne poniżej energii Fermiego, dlatego liczba elektronów dn w jednostce objętości w przedziale energii od E do E + de jest równa liczbie stanów. dn 4 n ( m) h h E ( m) de E F n koncentracja elektronów 1

13 Funkcja gęstości stanów określa liczbę stanów przypadającą na daną wartość energii. Odnosi się ona do jednostkowej objętości ciała stałego i jest miarą ilości stanów w przedziale energii E, E+dE. Oznacza się ją jako N(E)dE. N 4 3 k 3 3 a Liczba stanów dla objętości jednostkowej a 3 1 N 3 k 6 N(E)dE T 0K puste E k m k me T > 0K stąd ( ) dn E de m ( ) E N E de EF zapełnione E 13

14 Elektron w sieci krystalicznej. Charakterystyczną cechą kryształu jest okresowość energii potencjalnej związana ze stałą sieci a. Dla przypau jednowymiarowego: U(x)U(x + a) prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w punkcie x jest takie samo jak w punkcie (x+a), tzn. ( x ) ( x + a) czyli ( x + a) ( x) e ika u k ( x) e ikx u k ( x + a) e ik ( x+ a) 14

15 Równanie Schrödingera dla tak przyjętego jednowymiarowego potencjału periodycznego ma następującą postać: Dla: ( x) 1) 0 x a (studnia): E ( x) d m d ( x) ) -b x 0 (bariera) + V ( x) ( x) E ( x) m dx Rozwiązaniem równania Schrödingera dla periodycznego potencjału są tzw. funkcje Blocha: dx ( x) u k ( x) e ( ikx) Stany własne elektronu w potencjale periodycznym opisują dwie liczby kwantowe n i k wektor falowy. 15

16 Masa efektywna W obecności zewnętrznego pola elektrycznego na elektron w krysztale działa siła nadająca elektronowi pęd: p dp k skoro F dt 1 a * m dt zatem d F dt Ruch elektronu propagacja paczki fal poruszającej się z pręością grupową V g Skoro energia elektronu E h E V g m * a 1 de 16

17 Przyspieszenie jakie uzyskuje elektron: a dv dt g 1 d dt de 1 d E dt 1 d E dt Porównując a 1 * m dt Wynika stąd, że zgodnie z II zasadą dynamiki elektronowi należy przypisać masę tzw. masę efektywną 1 m 1 m * * dt 1 1 d d E E dt 17

18 m * d E 1 Jest to masa jaką należy przypisać elektronowi w krysztale, aby jego ruch w polu zewnętrznym można opisywać tak samo jak ruch zwyczajnego elektronu swobodnego - tzn. jego przyspieszenie było takie samo jak elektronu swobodnego. Dla elektronu swobodnego relacja dyspersji opisana jest wzorem: E m k d E m Korzystając z definicji m * otrzymujemy m m 18

19 Wartości własne energii są periodyczną funkcją liczby kwantowej k E n 1, k ħ k m E k, ԦG ħ k + ԦG m gdzie ԦG hg 1 + kg + lg 3 g i π a i Enegia elektronu E Pasmo przewodnictwa Krzywa elektronów swobodnych Strefy Brillouina Pasmo zabronione Pasmo przewodnictwa Pasmo zabronione Pasmo przewodnictwa Pasmo zabronione Pasmo przewodnictwa /a /a /a 0 /a /a /a Wektor falowy k Zależność dyspersyjna E(k). Linią przerywaną zaznaczono zależność dyspersyjną dla elektronu swobodnego. Jak widać, wewnątrz każdego pasma energetycznego funkcja E(k) wzrasta monotonicznie, a na brzegach występują ekstrema i nieciągłości tej funkcji. 19

20 Pochodna de/ określa pręość elektronu, zaś druga pochodna d E/ określa wielkość masy efektywnej W śrou strefy Brillouina, zależność E(k) jest prawie taka sama jak dla elektronu swobodnego i dlatego m* m. Ze wzrostem k zależność E(k) znacznie odbiega od zależności kwadratowej i masa efektywna staje się coraz większa. W punktach przegięcia krzywej E(k) masa efektywna staje się nieskończenie wielka. Przy dalszym wzroście k pręość elektronu maleje, a masa przyjmuje wartości ujemne. Fizycznie oznacza to, że dla dużych wartości k elektron zachowuje się tak jak dodatnio naładowana cząstka. 0

21 Masa efektywna charakteryzuje pasmo energetyczne a nie elektron - zależy bowiem od gęstości poziomów energetycznych w paśmie. Jest miarą krzywizny pasma i jest mała gdy E rośnie szybko z k (gęstość poziomów mała) Przykładowe wartości mas efektywnych m * elektronu m * dziury Si 0,3 m e 0,81 m e Ge 0,55 m e 0,37 m e GaAs 0,067 m e 0,45 m e 1

22 Przykłady struktur pasmowych Przerwa energetyczna Fragment wykresu E(k) ograniczony do I strefy Brillouina Przykład realnej struktury pasmowej krzemu