EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05

2 Matura z matematyki poziom podstawowy 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad Odp. C D D B C D A C B A C A B C B B C B A D A A D C D Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) x Rozwiąż równanie = x x x, gdzie x 0 i x. Rozwiązanie Równanie ma sens, gdy x 0 i x. Przekształcając równanie w sposób równoważny, otrzymujemy x x = 0, x x ( x ) x = 0. x( x ) Stąd ( x ) x = 0, x 6x + 6 = 0. Wyróżnik trójmianu x 6x + 6 jest równy Δ = 6 6 = 6, więc pierwiastkami tego trójmianu są liczby x =, x =. Obie te liczby są rozwiązaniami równania. Uwaga Możemy także wykorzystać własność proporcji (iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych) i wówczas otrzymujemy ( ) x x =. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze równanie w postaci równania kwadratowego, np.: ( x ) x = 0. Zdający otrzymuje... p. gdy wyznaczy rozwiązania równania: x =, x =. Zadanie 7. ( pkt) Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od do 6, a w drugim 8 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez. Rozwiązanie Zdarzeniami elementarnymi są liczby dwucyfrowe, w których cyfra dziesiątek jest jedną spośród:,,,, 5, 6, a cyfra jedności jedną spośród:,,,, 5, 6, 7, 8. Zatem

3 Matura z matematyki poziom podstawowy 05 Ω= {,,,,5,6,7,8,,,,, 5, 6, 7, 8,,,,,5,6,7,8,,,,, 5, 6, 7, 8, 5,5,5,5,55,56,57,58, 6, 6, 6, 6, 65, 66, 67, 68} Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω= 68 = 8. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że utworzona liczba jest podzielna przez. Zdarzeniu A sprzyja 6 zdarzeń elementarnych:,,,, 55, 66. Zatem A = 6. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe A 6 P( A ) = = =. Ω 68 8 Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω= 68 = 8 liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: A = 6 wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:,,,, 55, 66. Zdający otrzymuje... p. 6 gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P( A ) = lub P( A ) =. 8 8 Uwagi. Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większa od, to zdający otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający poda jedynie P( A ) =, to otrzymuje punkt. 8 Zadanie 8. ( pkt) Rozwiąż nierówność 0x x +. Rozwiązanie Przekształcamy nierówność do postaci równoważnej x x, a następnie do postaci x 5x Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap rozwiązania: Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x 5x + 6: podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową trójmianu lub zaznaczając na wykresie x =, x = lub ( x )( x ) obliczamy wyróżnik tego trójmianu, a następnie stosujemy wzory na pierwiastki:

4 Matura z matematyki poziom podstawowy Δ= 5 6 =, x = =, x = =. Drugi etap rozwiązania: Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: x lub, lub x, ze szkicu wykresu funkcji ( ) f x = x 5x + 6., np. odczytując go Schemat oceniania x Zdający otrzymuje... p. gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np. o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. ( x )( x ) i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x =, x = i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x) = x 5x + 6 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdający otrzymuje... p. gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: x lub, lub x, sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów x Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu x =, x = i zapisze, np. x,, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków. Za takie rozwiązanie zdający otrzymuje punkty.. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x,, to przyznajemy punkty.

5 Matura z matematyki poziom podstawowy 05 Zadanie 9. ( pkt) Kąt α jest ostry i spełnia równość I sposób rozwiązania Rysujemy trójkąt prostokątny i wprowadzamy oznaczenia. 7 + =. Oblicz wartość wyrażenia sinα cosα. c a α b Korzystając z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym, lewą stronę równości 7 + = możemy zapisać, a następnie przekształcić następująco: a a b a + b c + = + = =. b a b a ab ab b a b ab Z drugiej strony zauważmy, że szukane wyrażenie sinα cosα jest równe =. c c c c 7 Ponieważ ab =, więc ab c = 7. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy wykorzysta definicje lub własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, c doprowadzi wyrażenie + do postaci i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. ab Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy i zapisze, że wartość szukanego wyrażenia sinα cosα jest równa 7. II sposób rozwiązania sinα cosα sin α + cos α Ponieważ + = + = =, więc z równości cosα sinα sinα cosα sinα cosα 7 sinα cosα = wynika, że szukany iloczyn sinα cosα przyjmuje wartość 7. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze sin α + cos α + = sinα cosα sinα cosα sinα cosα = = sin α + cos α sinα cosα + cosα sinα i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. 5

6 Matura z matematyki poziom podstawowy 05 Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy i zapisze, że wartość szukanego wyrażenia sinα cosα równa się 7. III sposób rozwiązania Ponieważ α jest kątem ostrym, więc > 0 i równość w postaci = możemy zapisać tg α + = 0. Równanie powyższe ma dwa rozwiązania: 7+ 7 =, = Gdy =, to cosα = i sinα =. Wtedy 98 + ( + ) ( ) sinα cosα == = = = = Gdy zaś =, to cosα = 98 i 7 sinα =. Wtedy ( ) ( ) sinα cosα == = = = = Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p gdy zapisze, że równanie tg α + = 0 ma dwa rozwiązania: =, 7 =, a ponadto w jednym przypadku obliczy wartość cosα i sinα i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy i zapisze, że wartość szukanego wyrażenia sinα cosα równa się 7. Uwaga 7 Jeżeli zdający obliczy jedną z wartości, np.: =, poda jej wartość przybliżoną 0,9, odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta α 7 oraz przybliżone wartości sinα 0,9, cosα 0,956 i na tej podstawie obliczy przybliżoną wartość wyrażenia sinα cosα 0,9 0,956 0,76, to otrzymuje punkt. 6

7 Matura z matematyki poziom podstawowy 05 Zadanie 0. ( pkt) Udowodnij, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x + y x y+ xy. I sposób rozwiązania Nierówność x + y x y+ xy przekształcamy równoważnie, otrzymując kolejno x + y x y xy 0, ( x x y) ( y xy ) + 0, ( ) ( ) x x y y x y 0, ( x y)( x y ) 0, ( x y) ( x y) Ta nierówność jest prawdziwa, gdyż ( x y) 0 + 0, x+ y 0, gdyż liczby x i y są nieujemne. To kończy dowód. dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y oraz II sposób rozwiązania Nierówność x + y x y+ xy przekształcamy równoważnie, otrzymując kolejno x + y x y xy 0, ( x + y ) ( x y+ xy ) 0, ( x y)( x xy y ) xy( x y) ( x y)( x xy y xy) 0 ( x+ y)( x xy+ y ) 0, , + +, ( x+ y)( x y) 0. Ta nierówność jest prawdziwa, gdyż ( x y) 0 x+ y 0, gdyż liczby x i y są nieujemne. To kończy dowód. dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y oraz Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze nierówność w postaci ( x y)( x y ) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. zapisze nierówność w postaci ( x y)( x xy y ) Zdający otrzymuje... p. gdy uzasadni prawdziwość nierówności Uwaga x + y x y+ xy. Jeżeli zdający przejdzie w swoim rozumowaniu z postaci ( x y)( x xy y ) xy( x y) do postaci x xy+ y xy 0 bez zaznaczenia, że skoro x i y są nieujemne, to ich suma też jest nieujemna, ale dokona dzielenia obu stron nierówności przez x + y i dalej przeprowadzi poprawne rozumowanie, to otrzymuje punkt.

8 Matura z matematyki poziom podstawowy 05 Zadanie. ( pkt) W prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC, a punkt R jest środkiem boku CD. Wykaż, że pole trójkąta APR jest równe sumie pól trójkątów ADR oraz PCR. D R C P A B I sposób rozwiązania Przedłużamy prostą AR oraz bok prostokąta BC. Proste te przecinają się w punkcie M. Rozpatrujemy trójkąty ADR oraz RCM. M D R C P A B ARD = CRM (kąty wierzchołkowe), kąty przy wierzchołkach D i C są proste oraz DR = RC, stąd na podstawie cechy przystawania trójkątów kbk wnioskujemy, że trójkąt ADR jest przystający do trójkąta RCM. Z przystawania trójkątów mamy AR = RM. Pole trójkąta APR jest równe polu trójkąta RPM, ponieważ oba trójkąty mają równe podstawy ( AR = RM ) oraz taką samą wysokość poprowadzoną z wierzchołka P. P = P = P + P, a z faktu przystawania trójkątów RCM oraz ADR mamy: ΔAPR ΔRPM ΔPCR ΔRCM P = P + P ΔAPR ΔPCR ΔADR Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze, że pole trójkąta APR jest równe polu trójkąta RPM i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. 8

9 Matura z matematyki poziom podstawowy 05 II sposób rozwiązania D R C a P A b B a b Oznaczmy: AD = a oraz AB = b, stąd BP = PC =, CR = RD =. b a ab Obliczamy pola trójkątów prostokątnych PCR, RDA: P Δ PCR = = oraz 8 b ab ab ab ab PΔ RDA = a = zatem PΔ PCR + PΔ RDA = + =. 8 8 Trójkąt ABP jest prostokątny i jego pole jest równe a ab b =. Pole trójkąta APR jest różnicą pola prostokąta ABCD i sumy pól trzech trójkątów prostokątnych ab ab ab ABP, PCR oraz RDA zatem PΔ APR = ab + =. 8 8 Otrzymaliśmy równość PΔ APR = PΔPCR + PΔ RDA. III sposób rozwiązania D a A T R O b K T Podzielimy prostokąt ABCD na części, jak na rysunku. Pole trójkąta APR zapisujemy w następujący sposób: jest to suma pól trójkątów K = ab, T = K = ab oraz pola trójkąta AOR, którego pole jest 8 6 równe: PAOR = ab T = ab ab = ab. 6 6 Zapisujemy sumę: PAPR = ab+ ab+ ab= ab Pole trójkąta ARD jest równe K = ab. Sumujemy pola trójkąta ARD oraz PCR i otrzymujemy: PARD + PPCR = ab + ab = ab, czyli wykazaliśmy, że PARD + PPCR = PAPR. 8 8 Uwaga Zamiast zapisywać pole prostokąta ABCD w zależności od długości boków możemy użyć innego oznaczenia, np. P, wtedy otrzymujemy: K = P, T = P, PAOR = P i dalej K C P B

10 Matura z matematyki poziom podstawowy 05 PAPR = P+ P+ P= P oraz PARD + PPCR = P+ P= P. 8 8 Schemat oceniania II i III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze, że pole trójkąta APR stanowi pola prostokąta ABCD, np. zapisze 8 ab ab ab PAPR = ab+ ab+ ab= ab lub PΔ APR = ab + = i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. IV sposób rozwiązania Poprowadźmy odcinki PN i RM łączące środki boków prostokąta. Niech S będzie punktem ich.przecięcia. D R C N S P A Trójkąty ADR i RMA są przystające, więc mają równe pola, trójkąty PCR i RSP też są przystające, więc ich pola też są równe, także trójkąty AMO i PSO są przystające, więc ich pola też są równe. Zatem PADR + PPCR = PAMR + PRSP = ( PAOR + PAMO ) + PRSP = ( PAOR + PPSO ) + PRSP = = PAOR + ( PPSO + PRSP ) = PAOR + POPR = PAPR co należało wykazać. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy ustali, że trójkąty ADR i RMA są przystające, trójkąty PCR i RSP są przystające oraz trójkąty AMO i PSO są przystające i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Zadanie. ( pkt) Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach A = (, ), B = ( 6, ), ( 0, 6) I sposób rozwiązania Obliczamy długości boków trójkąta ABC: AB = 5, BC = 5, AC = 0. C =. Zauważamy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym AB = BC = 5, więc osią symetrii trójkąta ABC jest symetralna odcinka AC. By znaleźć równanie osi symetrii trójkąta S =,. wyznaczamy współrzędne środka odcinka AC: ( ) M O B 0

11 Matura z matematyki poziom podstawowy 05 Wyznaczamy równanie prostej BS, korzystając ze wzoru na prostą przechodząca przez dwa punkty: 6 ( x ) y =, y = x + 6. Odpowiedź: Równanie osi symetrii trójkąta ABC ma postać: y = x + 6. II sposób rozwiązania Obliczamy długości boków trójkąta ABC: AB = 5, BC = 5, AC = 0. Zauważamy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym AB = BC = 5, więc osią symetrii trójkąta ABC jest symetralna odcinka AC. By znaleźć równanie osi symetrii trójkąta, wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC: a AC =, a następnie współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do AC: a = a AC =. Wyznaczamy równanie prostej zawierającej symetralną boku AC i przechodzącej przez punkt B: y+ = ( x 6), y = x + 6. Odpowiedź: Równanie osi symetrii trójkąta ABC ma postać: y = x + 6. III sposób rozwiązania Obliczamy długości boków trójkąta ABC: AB = 5, BC = 5, AC = 0. Zauważamy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym AB = BC = 5, więc osią symetrii trójkąta ABC jest symetralna odcinka AC. Zatem jego osią symetrii jest symetralna boku AC, będąca zbiorem punktów równo oddalonych od obu końców odcinka. Niech K ( x, y) będzie punktem należącym do symetralnej boku AC. Zatem AK = KC. ( x ) ( y ) ( 0 x) ( 6 y) + + = +, x + x+ + y y+ = 00 0x+ x + 6 y+ y, x+ 8y 8 = 0, x+ y 6= 0, y = x + 6. Odpowiedź: Równanie osi symetrii trójkąta ABC ma postać: y = x + 6. Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... p. Zdający obliczy długości dwóch boków trójkąta ABC: AB = 5, AC = 0 i BC = 5 obliczy współrzędne środka odcinka AC: S = (, ) obliczy współczynnik kierunkowy prostej AC: a AC =

12 Matura z matematyki poziom podstawowy 05 obliczy współrzędne wektora AC zapisze, że szukaną osią symetrii jest symetralna boku AC i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający S =, i współczynnik kierunkowy prostej obliczy współrzędne środka odcinka AC: ( ) AC: a AC = uzasadni, że szukaną osią symetrii jest symetralna boku AC i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Uwaga Przyjmujemy, że jako uzasadnienie wystarczy rysunek w układzie współrzędnych. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający obliczy współrzędne środka odcinka AC: S = (, ) oraz współczynnik kierunkowy symetralnej boku AC: a = obliczy współrzędne środka odcinka AC: S = (, ) oraz zapisze, że oś symetrii tego trójkąta przechodzi przez punkt B obliczy współrzędne wektora AC oraz zapisze, że oś symetrii tego trójkąta przechodzi przez punkt B i jest prostopadła do wektora AC zapisze równanie symetralnej boku AC: ( x + ) + ( y ) = ( 0 x) + ( 6 y ) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie pełne... p. Zdający wyznaczy równanie osi symetrii trójkąta ABC: y= x + 6 (x+ y 6= 0). Uwaga Jeżeli zdający nie uzasadni, że osią symetrii trójkąta ABC jest symetralna boku AC (np. nie sporządzi rysunku w układzie współrzędnych po wyznaczeniu równania symetralnej boku AC nie sprawdzi, że punkt B leży na tej symetralnej), to może otrzymać co najwyżej punkty. Zadanie. ( pkt) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku :, a pole jest równe 9 (zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem0. Oblicz objętość ostrosłupa.

13 Matura z matematyki poziom podstawowy 05 S D C Rozwiązanie E A B Ponieważ stosunek długości boków prostokąta ABCD jest równy :, więc możemy przyjąć, że AB = x i BC = x. Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie, jak na rysunku. S h D C 0 d E x A x B Pole podstawy ostrosłupa jest równe PABCD = x x= x. Zatem x = 9, x = 6. Stąd x =, więc AB = = i BC = = 6. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC otrzymujemy: AC = + 6 = + 56 = 00. Stąd AC = 0. Tangens kąta SAE w trójkącie prostokątnym AES jest równy 0 d tg0 0 h= = =. Objętość ostrosłupa jest zatem równa V = =. 60 Odpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa V =. h tg0 =. Stąd d

14 Schemat oceniania Matura z matematyki poziom podstawowy 05 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... p. Zdający obliczy długości boków prostokąta, będącego podstawą ostrosłupa: 6 i. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający obliczy długość przekątnej prostokąta ABCD: AC = 0. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający obliczy wysokość ostrosłupa: h = 0. Rozwiązanie pełne... p. Zdający obliczy objętość ostrosłupa: V = 60. Zadanie. (5 pkt) Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f ( x) = ax + bx + c. Zbiorem rozwiązań nierówności f ( x) > 0 jest przedział ( 0, ). Największa wartość funkcji f jest równa 9. Oblicz współczynniki a, b i c funkcji f. I sposób rozwiązania Funkcja f ( x) = ax + bx + c jest kwadratowa, więc a 0. Przyjmuje ona największą wartość równą 9, zatem druga współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji, jest równa y w = 9 oraz a < 0. Ponieważ zbiorem rozwiązań nierówności f ( x ) > 0 jest przedział ( 0, ), więc miejscami zerowymi funkcji f są liczby 0 i. Możemy też narysować wykres funkcji f. y x Pierwsza współrzędną wierzchołka paraboli wykresu funkcji f jest równa x+ x 0+ x w = = = 6 Zapisujemy wzór funkcji f w postaci kanonicznej: f( x) = a ( x 6) + 9. Dla argumentu 0 wartość funkcji jest równa 0, więc otrzymujemy równanie 0 = a (0 6) + 9, a =. Wzór funkcji f ma więc postać f( x) = ( x 6) + 9, a po przekształceniu do postaci ogólnej f ( x) = x + x.

15 Współczynniki a, b, c funkcji f są więc równe: Matura z matematyki poziom podstawowy 05 a =, b =, c = 0. II sposób rozwiązania Funkcja f ( x) = ax + bx + c jest kwadratowa, więc a 0. Przyjmuje ona największą wartość równą 9, zatem druga współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji, jest równa y w = 9 oraz a < 0. Ponieważ zbiorem rozwiązań nierówności f ( x ) > 0 jest przedział ( 0, ), więc miejscami zerowymi funkcji f są liczby: 0 i. Stąd wynika, że pierwsza współrzędną wierzchołka x+ x 0+ paraboli, która jest wykresem funkcji f, jest równa xw = = = 6. Możemy więc zapisać wzór funkcji f w postaci iloczynowej f( x) = a x ( x ). Wierzchołek W ( 6, 9) paraboli będącej wykresem funkcji f jest jednym z punktów tego wykresu, więc 9 = a 6 (6 ), a =. =, a po przekształceniu do postaci ogólnej f ( x) = x + x, z której odczytujemy współczynniki a, b, c: a =, b =, c = 0. Wzór funkcji f ma więc postać f ( x) x( x ) III sposób rozwiązania Funkcja f ( x) = ax + bx + c jest kwadratowa, więc a 0. Przyjmuje ona największą wartość równą 9, zatem druga współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji, jest równa y = 9 oraz a < 0. w Ponieważ zbiorem rozwiązań nierówności f ( x ) > 0 jest przedział ( 0, ), więc miejscami zerowymi funkcji f są liczby: 0 i. Stąd wynika, że pierwsza współrzędną wierzchołka x+ x 0+ paraboli, która jest wykresem funkcji f, jest równa xw = = = 6. Mamy zatem trzy punkty o współrzędnych ( 0, 0 ), ( ) Zatem czyli c = 0 i Stąd a = i b = i c = 0. Odpowiedź: a =, b =, c = 0. 5,0, ( ) f ( 0) = 0 i f ( ) = 0 i ( ) f 6 = 9, a + b + c= 0 i a 6 + b 6+ c= 9, c = 0, a+ b= 0, a+ b=, 6,9 leżące na wykresie funkcji f.

16 Schemat oceniania Matura z matematyki poziom podstawowy 05 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... p. Zdający zapisze... m iejsca zerowe funkcji f: x = 0 i x =... drugą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f : y = 9. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający... z apisze wzór funkcji f w postaci f( x) = a x ( x )... o bliczy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji: W = ( 6, 9). Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający zapisze wzór funkcji f w postaci f( x) = a x ( x ) i obliczy współrzędne wierzchołka jej wykresu: W = ( 6, 9) wzór funkcji f w postaci f( x) = a ( x 6) + 9 zapisze, że współczynnik c = 0 oraz zapisze jedno z równań wynikających z podstawienia do wzoru funkcji współrzędnych wierzchołka paraboli lub współrzędnych punktu przecięcia z osią Ox niebędącego początkiem układu współrzędnych: np.: 6a+ 6b = 9 lub a+ b = 0. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... p. Zdający zapisze, że współczynnik c = 0 oraz zapisze układ równań wyznaczy współczynnik a: a =. w a+ b= 0 6a+ 6b= 9 Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający wyznaczy współczynniki a, b, c: a =, b =, c = 0. 6