Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Transkrypt

1 Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp A A A B D B B A B D C SCHEMAT OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH Zadanie 6. (0-) Rozwiąż nierówność (x + 5)( x) + x 6 0 Rozwiązanie, w którym jest postęp..1p. Doprowadzenie nierówności do postaci x lub (x )(x + ) 0 i wyznaczenie miejsc zerowych: x 1 =, x = Rozwiązanie pełne..p. Podanie zbioru rozwiązań nierówności x ; Zadanie 7. (0-) W trójkącie równobocznym ABC połączono środki wysokości otrzymując trójkąt PQR. Wykaż, że stosunek pola trójkąta PQR do pola trójkąta ABC jest równy

2 Obliczenie stosunku długości boków SP SA : SP SA = 1 4 Rozwiązanie pełne... p. Zauważenie, że trójkąty SPQ i SAB są podobne w skali k = 1 oraz stwierdzenie, że trójkąty 4 PQR i ABC są podobne w skali k = 1, zatem stosunek pola trójkąta PQR do pola 4 trójkąta ABC jest równy Zadanie 8. (0-) Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego wiedząc, że a 5 = 16 oraz q4 = a 6. Rozwiązanie, w którym jest postęp..1p. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego: q = 1 Rozwiązanie pełne..p. Wyznaczenie wzoru ogólnego danego ciągu geometrycznego: a n = ( 1 )n 1 Zadanie 9. (0-) Udowodnij, że jeżeli przy dzieleniu przez 5 liczba całkowita x daje resztę, a liczba całkowita y daje resztę, to iloczyn liczb x i y przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1. Zapisanie liczb całkowitych x i y w postaci x = 5n + oraz y = 5m +, gdzie m, n C oraz ich iloczynu w postaci: xy = 5mn + 15n + 10m + 6. Rozwiązanie pełne... p. Zapisanie iloczynu liczb x i y w postaci: xy = 5(5mn + n + m + 1) + 1 oraz stwierdzenie np. przy dzieleniu przez 5 daje on resztę 1, bo jeden z czynników w rozkładzie jest równy 5, a drugi 5mn + n + m + 1 jest liczbą całkowitą.

3 Zadanie 0. (0-) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB, gdzie A = (, 4), B = (, 1). Obliczenie współrzędnych środka odcinka A: S = ( 1 ; ) oraz współczynnika kierunkowego prostejab: a = 1 Rozwiązanie pełne... p. Obliczenie współczynnika kierunkowego symetralnej odcinka a = 1 i podanie równania symetralnej: y = x + Zadanie 1. (0-) Ze zbioru liczb {1,,,4,5,6,7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że pierwsza z wylosowanych liczb jest nieparzysta, a ich iloczyn jest większy od 10. Rozwiązanie, w którym jest postęp....1 p. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu losowemu (lub wypisanie zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu ): A = 1 Rozwiązanie pełne..... p. Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P(A) = 1 4. Zadanie. (0-4) Dane dwa okręgi o środkach B i C są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o środku w punkcie A. Wiedząc, że BC AC oraz promień okręgu o środku C ma długość r c = oblicz długość odcinka AB. Oznaczmy przez r A, r B, r C długości promieni okręgów o środkach w punktach A, B, C odpowiednio.

4 Zauważenie, że AC = r A r C Zauważenie, że BC = r B + r C Zauważenie, że AB = r A r B Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zauważenie, że AC = r A r C oraz BC = r B + r C Zauważenie, że AC = r A r C oraz AB = r A r B Zauważenie, że BC = r B + r C oraz AB = r A r B Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zapisanie zależności BC = AC w postaci: r B + r C = r A r C Rozwiązanie pełne.4 p. Przekształcenie AB do postaci: AB = r C i podanie odpowiedzi: AB = 6. Zadanie. (0-5) Czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym, który nie jest równoległobokiem. Wiedząc, że podstawami trapezu są odcinki AB oraz CD, przy czym A = ( ; 4), B = (7; 5) i D = ( 1; ), oblicz pole oraz obwód tego trapezu. Wyznaczenie równania prostej AB oraz prostej CD równoległej do AB: pr. AB: y = x, pr. CD: y = x + 4

5 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zapisanie współrzędnych punktu C: C = (x; x + ) oraz równania AD = BC : (x 7) + (x ) = 7 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Rozwiązanie równania (x 7) + (x ) = 7 : x 1 = 1 lub x = 8 i wskazanie współrzędnych punktu C: C = (1; 4) Rozwiązanie zadania prawie do końca, rozwiązanie do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe).. 4 p. Obliczenie pola trapezu: P = 55 Obliczenie obwodu trapezu: Obw = Obliczenie długości wszystkich potrzebnych elementów: AB = 9 ; DC = ; AD = BC = 7; h = 5 Rozwiązanie pełne. 5 p. Obliczenie pola i obwodu trapezu: P = 55 i Obw = Zadanie 4. (0-4) Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego stosunek długości boków wynosi :. Pole podstawy ostrosłupa jest równe 4cm. Każda krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α = 0 0. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. 5

6 Obliczenie długości boków prostokąta: 4,6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa: H = 9 Obliczenie długości krawędzi bocznej: b = 9 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Obliczenie długości wysokości ścian bocznych: h 1 = 5, h = 0 Rozwiązanie pełne.4 p. Obliczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa: P b =