Elektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Transkrypt

1 Elektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

2 Spis treści 5 Magnetostatyka Siła Lorentza Prawo Biota-Savarta Dywergencja i rotacja B Magnetyczny potencjał wektorowy

3 5 Magnetostatyka 5.1 Siła Lorentza Pole magnetyczne ÔÖ Ð Ò ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó

4 5.1.2 Siły magnetyczne I I v F B F mag = Q(v B) siła Lorentza ÔÖÞ ÛÓ Ò ½ ÔÖÞ ÛÓ Ò ¾ F = Q[E + (v B)], siła w obecności obydwu pól

5 Przykład: Ruch cyklotronowy. W stałym polu magnetycznym B ładunek Q porusza się po okręgu o promieniu R lub po spirali z z B B B B x R F v Q y x F v Q y QvB = m v2 R, p = QBR wzór cyklotronowy

6 Przykład: Ruch po cykloidzie. Obok stałego pola magnetycznego B działa prostopadłe do B pole elektryczne E. z E x B a b c y (0, y(t), z(t)) wektor położenia v = (0, ẏ, ż) wektor prędkości

7 v B = ˆx ŷ ẑ 0 ẏ ż B 0 0 = Bżŷ Bẏẑ F = Q(E + v B) = Q(Eẑ + Bżŷ Bẏẑ) = ma = m(ÿŷ + zẑ) QBż = mÿ, QE QBẏ = m z ω QB m ÿ = ωż, częstość cyklotronowa ( ) E z = ω B ẏ, równania ruchu

8 y(t) = C 1 cos ωt + C 2 sin ωt + E B t + C 3 z(t) = C 2 cos ωt C 1 sin ωt + C 4 rozwiązania ẏ(0) = ż(0) = 0, y(0) = z(0) = 0, warunki początkowe y(t) = E (ωt sin ωt), ωb z(t) R = E ωb, definiujemy (y Rωt) 2 + (z R) 2 = R 2, v = ωr = E B = E (1 cos ωt), ωb rozwiązania równanie okręgu o promieniu R, którego środek (0, Rωt, R) porusza się wzdłuż y ze stałą prędkością (patrz: animacja)

9 Siły magnetyczne nie wykonują pracy. dw mag = F mag dl = Q(v B) v dt = Prądy λ v P v t Ładunek liniowy o gęstości λ poruszający się z prędkością v daje prąd I = λv I = λv wektor natężenia prądu nietypowa definicja

10 F mag = (v B) dq = (v B)λ dl = (I B) dl F mag = I F mag = I( dl B) siła magnetyczna ( dl B) jeśli I jest stałe

11 przepływ dl K K di dl K = σv F mag = powierzchniowa gęstość prądu (v B)σ da = (K B) da Sprzeciw: indukcja magnetyczna B jest nieciągła na powierzchniach, po których płyną prądy powierzchniowe! Musimy posługiwać się uśrednioną indukcją.

12 J da J di da objętościowa gęstość prądu J = ρv F mag = (v B)ρ dτ = (J B) dτ

13 I = S V S J da = S J da natężenie prądu płynącego przez powierzchnię S całkowity ładunek wypływający z J da = ( J) dτ obszaru V w jednostce czasu V ( J) dτ = d ( ) ρ ρ dτ = dτ dt t V J = ρ t V równanie ciągłości

14 5.2 Prawo Biota-Savarta Prądy stałe Ładunki stacjonarne stałe pole elektryczne: elektrostatyka Stałe prądy stałe pole magnetyczne: magnetostatyka ρ t = 0, J = 0 w magnetostatyce

15 5.2.2 Pole magnetyczne liniowego prądu stałego z P I r R x dl y B(r) = µ 0 I ˆR 4π R 2 dl = µ 0 4π I [ ] N µ 0 = 4π 10 7 A 2 dl ˆR R 2 prawo Biota-Savarta przenikalność magnetyczna próżni

16 1 T = 1 [ ] N Am indukcja magetyczna B mierzona jest w teslach 1 T = 10 4 gausów Pole magnetyczne Ziemi ma indukcję około 0.5 gausa.

17 Przykład: Znaleźć indukcję pola magnetycznego w odległości s od długiego przewodnika prostoliniowego, przez który płynie prąd o natężeniu I. P P θ θ 1 θ 2 s R s R I l α dl l I º }{{} Ö Ñ ÒØ ÔÖÞ ÛÓ Ò wektor ( dl ˆR) ma długość dl sin α = dl cos θ l = s tgθ dl = s cos 2 θ dθ

18 s = R cos θ 1 R 2 = cos2 θ s 2 B = µ 0I 4π θ 2 θ 1 ( cos 2 θ s 2 ) ( s ) cos 2 θ cos θ dθ = µ 0I 4πs θ 2 θ 1 cos θ dθ = µ 0 I 4πs (sin θ 2 sin θ 1 ) dla fragmentu B = µ 0I 2πs dla nieskończonego przewodnika

19 I 1 I 2 d (1) (2) F mag = I ( dl B) siła Lorentza ( µ0 I 1 F = I 2 2πd f = µ 0 I 1 I 2 2π d ) dl całkowita siła jest nieskończona siła na jednostkę długości

20 Przykład: Znaleźć pole magnetyczne na prostej przechodzącej przez środek kołowej pętli o promieniu R z prądem stałym o natężeniu I, prostopadłej do płaszczyzny pętli, w odległości z od tej płaszczyzny. B θ db I z R R θ dl B(z) = µ 0 4π I dl R 2 cos θ składowe pionowe dodają się

21 dl i ˆR są prostopadłe, cos θ i R 2 są stałe, dl = 2πR B(z) = µ 0I 4π ( ) cos θ R 2 2πR = µ 0I 2 R 2 (R 2 + z 2 ) 3/2 B(r) = µ 0 4π B(r) = µ 0 4π K(r ) ˆR R 2 da dla prądów powierzchniowych J(r ) ˆR R 2 dτ dla prądów objętościowych

22 5.3 Dywergencja i rotacja B Prądy prostoliniowe B B dl = µ0 I 2πs dl = µ 0I 2πs dl = µ 0 I rotacja jest różna od zera

23 B = µ 0I 2πs ˆφ, we współrzędnych walcowych (s, φ, z) dl = ds ŝ + s dφ ˆφ + dz ẑ B dl = µ 0I 2π 1 s s dφ = µ 0I 2π 2π 0 dφ = µ 0 I Przy założeniu, że kontur okrąża przewodnik tylko raz. kontur Jeśli kontur nie otacza przewodnika przewodnik φ 2 φ 1 to dφ = 0; φ zmienia się od φ 1 do φ 2 i z powrotem

24 I 1 I 5 I 6 I 3 I 2 I 4 wiązka przewodników; każdy przewodnik otaczany przez kontur daje wkład równy ±µ 0 I; przewodnik nie otaczany przez kontur nie daje wkładu B dl = µ 0 I c, I c jest całkowitym natężeniem prądu I c = J da, J objętościowa gęstość prądu ( B) da = µ 0 J da, z twierdzenia Stokesa B = µ 0 J prawo Ampère a

25 5.3.2 Dywergencja i rotacja B dτ (x, y, z ) R (x, y, z) B(r) = µ 0 4π J(r ) ˆR R 2 dτ, prawo Biota-Savarta R = (x x ) ˆx + (y y )ŷ + (z z )ẑ dτ = dx dy dz B = µ 0 4π ( J ˆR R 2 ) dτ

26 ( J ˆR R 2 ) = ˆR ( J) J R2 ( ˆR R 2 ) J = 0, J nie zależy od nieprimowanych zmiennych ˆR R 2 = 0 B = 0 Dywergencja indukcji magnetycznej jest równa zeru

27 B = µ ( 0 J ˆR ) 4π R ( 2 J ˆR ) ( ) ˆR R 2 = J R 2 dτ (J ) ˆR R 2 }{{} (A B) = (B )A (A )B + A( B) B( A) }{{}}{{} =0 =0 Pochodne J są równe zeru bo J nie zależy od nieprimowanych zmiennych. ( ) ˆR = 4πδ 3 (R) B = µ 0 4π R 2 =0 J(r ) 4πδ 3 (r r ) dτ = µ 0 J(r) prawo Ampère a

28 (J ) ˆR R 2 = (J ) ˆR R 2 pokażemy, że się zeruje ( x x (J ) R 3 skorzystaliśmy z ) = [ x x R 3 ] J ( ) x x R 3 (fa) = f( A) + A ( f) ( J) }{{} =0 [ (J ) ˆR ] [ (x x R 2 = ) R [ 3 x (x x ] ) J dτ = V R 3 S ] J (x x ) R 3 J da = 0 Na brzegu obszaru J = 0.

29 5.3.3 Zastosowanie prawa Ampère a ( B) da = B = µ 0 J prawo Ampère a B dl = µ 0 J da B dl = µ 0 I c całkowa postać prawa Ampère a I c całkowity prąd otoczony konturem Elektrostatyka: prawo Coulomba prawo Gaussa Magnetostatyka: prawo Biota-Savarta prawo Ampère a

30 Przykład: Znaleźć indukcję pola magnetycznego w odległości s od długiego przewodnika prostoliniowego, przez który płynie prąd stały o natężeniui. kontur Ampère a s B I B dl = B dl = B 2πs = µ 0 I c = µ 0 I, z prawa Ampère a B = µ 0I 2πs

31 Przykład: Znaleźć indukcję pola magnetycznego od nieskończonej płaszczyzny z prądem powierzchniowym K = K ˆx. płynącym w płaszczyźnie xy. z prąd powierzchniowy K l kontur Ampère a x y B = B dl = 2Bl = µ 0 I c = µ 0 Kl +(µ 0 /2)Kŷ dla z < 0 (µ 0 /2)Kŷ dla z > 0

32 5.3.4 Porównanie magnetostatyki i elektrostatyki + E B E = 1 ɛ 0 ρ E = 0 prawo Gaussa B = 0 B = µ 0 J prawo Ampère a

33 5.4 Magnetyczny potencjał wektorowy Potencjał wektorowy B = 0, ( A) 0 B = A B = ( A) = ( A) 2 A = µ 0 J A = 0 A = A 0 + λ, A = A λ 2 λ = A 0

34 λ = 1 4π A0 R dτ, jeśli A 0 znika w nieskończoności Możemy zawsze wybrać A = 0 2 A = µ 0 J prawo Ampère a A(r) = µ 0 4π A(r) = µ 0 4π J(r ) R dτ jeśli J znika w nieskończoności I R dl = µ 0I 1 4π R dl, dla prądów liniowych

35 A(r) = µ 0 4π K R da, dla prądów powierzchniowych Przykład: Powierzchnia sferyczna o promieniu R naładowana ładunkiem powierzchniowym σ wiruje z prędkością kątową ω. Znaleźć potencjał wektorowy w punkcie r. z z ω ω r R R Ψ r r da Ψ θ φ x y x y

36 A(r) = µ 0 4π K(r ) R da K = σv, R = R 2 + r 2 2Rr cos θ, da = R 2 sin θ dθ dφ ˆx ŷ ẑ v = ω r = ω sin Ψ 0 ω cos Ψ R sin θ cos φ R sin θ sin φ R cos θ 2π sin φ dφ = = Rω[ (cos Ψ sin θ sin φ ) ˆx 2π + (cos Ψ sin θ cos φ sin Ψ cos θ )ŷ + sin Ψ sin θ sin φ ẑ] cos φ dφ = 0 0 0

37 A(r) = µ 0R 3 σω sin Ψ 2 u cos θ +1 1 π 0 cos θ sin θ R2 + r 2 2Rr cos θ dθ ŷ u R2 + r 2 Rru du = + r 2 + 2Rru R2 3R 2 r 2 R2 + r 2 2Rru = 1 3R 2 r 2 [ (R 2 + r 2 + Rr) R r (R 2 + r 2 Rr)(R + r) A(r) = ω r = ωr sin Ψ ŷ µ 0 Rσ 3 (ω r) dla r < R µ 0 R 4 σ (ω r) 3r 3 dla r > R ] +1 1

38 Po przejściu do naturalnych zmiennych gdzie ω jest wzdłuż osi z, mamy µ 0 Rωσ 3 r sin θ ˆφ dla r R A(r, θ, φ) = µ 0 R 4 ωσ 3 B = A = 2µ 0Rωσ 3 sin θ r 2 ˆφ dla r R (cos θ ˆr sin θ ˆθ) = 2 3 µ 0σRωẑ = 2 3 σrω Pole indukcji B wewnątrz sfery jest jednorodne.

39 5.4.2 Magnetostatyczne warunki brzegowe B nad K B pod B = 0 B da = 0 B nad = B pod

40 l K B nad B pod B dl = (B nad B pod )l = µ 0I c = µ 0 Kl B nad B pod = µ 0K B nad B pod = µ 0 (K ˆn)

41 A nad = A pod potencjał wektorowy jest ciągły A = 0 gwarantuje ciągłość składowej normalnej A = B A dl = B da = Φ A nad n A pod n = µ 0 K ciągłość składowej stycznej

42 5.4.3 Multipolowe rozwinięcie potencjału wektorowego z P I x O θ r r dr = dl R y 1 R = 1 = 1 r 2 + r 2 2rr cos θ r n=0 ( r r ) n P n (cos θ )

43 A(r) = µ 0I 4π A(r) = µ 0I 4π dl = 0, [ 1 r + 1 r 3 A dip (r) = µ 0I 4πr 2 1 R dl = µ 0I 4π dl + 1 r 2 n=0 1 r n+1 r cos θ dl (r ) 2 ( 3 2 cos2 θ 1 2 ) (r ) n P n (cos θ ) dl dl + nie ma monopola magnetycznego ( ˆr r ) dl = ˆr r cos θ dl = µ 0I 4πr 2 da ] ( ˆr r ) dl

44 m I da = Ia A dip (r) = µ 0 4π m ˆr r 2 magnetyczny moment dipolowy

45 Przykład: Znaleźć magnetyczny moment dipolowy pętli z prądem o natężeniu I przedstawionej na rysunku. z w w x w I y m = Iw 2 ŷ + Iw 2 ẑ

46 z P θ r x m φ y A dip (r) = µ 0 4π m sin θ r 2 ˆφ potencjał dipola m umieszczonego w początku układu współrzędnych B dip (r) = A = µ 0m (2 cos θ ˆr + sin θ ˆθ) 4πr3

47 z z y y pole czystego dipola B dip (r) = µ 0 4π 1 [3(m ˆr) ˆr m] r3 pole fizycznego dipola indukcja magnetyczna dipola w postaci niezależnej od układu współrzędnych