[wersja z 5 X 2010] Wojciech Broniowski
|
|
- Sabina Wojciechowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 [wersja z 5 X 1] Analiza Matematyczna część 4 Konspekt wykładu dla studentów fizyki Akademia Świętokrzyska 1/11 Wojciech Broniowski 1
2 Analiza funkcji wielu zmiennych
3 Przestrzeń wektorowa unormowana : X R - norma 1) x x >, = ) x + y x + y 3) ax = a x Tw. Przestrzeń unormowana ( X, ) jest przestrzenią metryczną z metryką ρ(x, y) = x y. (norma indukuje metrykę, ale metryka nie indukuje normy) D: ρ : X X R+ {} 1) ρ(x,x) = =, ) ρ(x, y) = ρ(y,x), 3) ρ(x, z) = x z = x y + y z x y + y z = ρ(x, y) + ρ(y, z) Przyklad: X = R n, x = x1 + x x n (dlugosć wektora) 3
4 Pochodna cząstkowa n f : R R, y = f ( x) = f ( x1, x,..., xn) Pochodna cząstkowa po x w punkcie x : f f ( x1,..., xk + δ,..., xn) f ( x1,..., xk,..., xn) ( x) = lim x δ k δ Inna notacja: f ( x), f ( x) x k k k Pochodną funkcją cząstkową po x nazywamy funkcję f przyporządkowującą każdemu x wartosć ( x) x Pochodna cząstkową po x k wyliczamy tak samo, jak zwykłą pochodną, traktując pozostałe zmienne jako stałe f ( x, y, z) = z sin( xy) f ( x, y, z) = zy cos( xy), f ( x, y, z) = zx cos( xy), f ( x, y, z) = sin( xy) x y z k k 4
5 Gradient n f : R R Gradientem funkcji f nazywamy wektor pochodnych cząstkowych, tj. f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) = grad f ( x) =,,..., x1 x xn Operator Nabla =,,..., x1 x xn f x y = x + y f x = x y ( ) (, ), ( ), 5
6 Interpretacja geometryczna gradientu Kierunek najszybszego wzrostu f ( x, y) = 1 x y f ( x, y) = ( x, y) F = V 6
7 Pochodna funkcji złożonej k m f : R R, gi : R R, i = 1,..., k, posiadające pochodne cząstkowe w punkcie x i yk = gk ( x). Oznaczamy f g ( x) = f ( g ( x),..., g ( x)) ( ) 1 k Tw. Pochodna cząstkowa funkcji f g wynosi m ( f g) ( x) f ( y) gi( x) =, j = 1,..., k x y x Przyklad: j i= 1 i j f ( y1, y) = y1 y + y1, g1( α, β, γ ) = α + β + γ, g( α, β, γ ) = α f ( y) f ( y) g f ( y) g α α α f ( y) f ( y) =..., =... β γ 1 = + = ( y + )1 + y1α = α + α( α + β + γ ) y1 y 7
8 h( α( s, t), β ( s, t), γ ( s, t)) h α h β h γ = + + s α s β s γ s h( α( s, t), β ( s, t), γ ( s, t)) h α h β h γ = + + t α t β t γ t κ ( f ( x, y), y) κ f = x f x κ ( f ( x, y), y) κ f κ = + y f y y 8
9 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów n f U R, f : U R, ( x) różniczkowalna x i f Pochodna cząstkowa drugiego rzędu: ( x) = f x j x = f i x x f f f f Tw. W U istnieją pochodne i, ciągle w x. Wtedy =. x x x x x x x x j i i j j i i j j i D: Φ ( x, y) = f ( x + h, y + k) - f ( x, y + k) - f ( x + h) + f ( x, y) ϕ( x, y) = f ( x + h, y) f ( x, y), ψ ( x, y) = f ( x, y + k) f ( x, y) Z Tw. Lagrange'a o wartosci sredniej θ, θ, η, η (,1) : 1 1 Φ ( x, y) = ϕ( x, y + k) ϕ( x, y) = kϕ ( x, y + θ k) ϕ ( x, y θ k) f ( x h, y θ k) f ( x, y θ k) hf ( x θ h, y θ k) y y + 1 = = xy Φ ( x, y) = hkf ( x + θ h, y + θ k) xy 1 Podobnie Φ ( x, y) = ψ ( x + h, y) ψ ( x, y)... Φ ( x, y) = hkf ( x + η h, y + η k) yx 1 f ( x + θ h, y + θ k) = f ( x + η h, y + η k). Z ciaglosci f ( x, y) = f ( x, y) xy 1 yx 1 xy yx 1 ji 9
10 Macierz drugich pochodnych (hessian): f ''( x, y) f x f x y f x y f y = 3 f f Pochodna cząstkowa rzędu trzeciego: ( x) = = x x x x x x k j i k j i f kji = + 3 f : R R, f ( x, y, z) x yx f = x + y, f = x, f =, f = f = 1, f = x y xx xy yx yy 1
11 Wzór Taylora dla wielu zmiennych f U R R P = x y P x + h y + k P P U :, (, ), (, ), j j j j f ( x, y) j l l d f ( x, y)( h, k) = h k różniczka rzedu j (dwa wymiary) j l l i l = x y Tw. f ma ciągle pochodne cząstkowe rzędu n w U θ (,1): f ( P) = f ( P ) + 1 d f ( P n 1 n )( h, k) d f ( P )( h, k) d f ( x + hθ, y + kθ ))( h, k) ! ( n 1)! n! m Dla d wymiarów i n = czlonów, f : R R, mamy f ( x + h) = f ( x) + h + h h d d d f ( x) 1 f ( x + θh) i i j i= 1 xi i= 1 j= 1 xi x j d f : U R R d-wymiarów j j j j! f ( x1,..., xd ) i1 id d f ( x)( h) = h1... hd, i i i d = j 1 id i!... i! x... x i,..., i = 1 d 1 d 1 d (wzór Taylora taki sam, jak wyżej) 11
12 Przyklad: y x xy x y xy x xy 7x y f ( x) = sin( x)cos( xy) e x xy dokładna przybliżona wielomianem 1
13 Ekstrema funkcji wielu zmiennych Tw. (warunek konieczny ekstremum lokalnego) Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie x i ma w tym f ( x) pochodne cząstkowe, to =. x i Dowód: Ustalmy i, następnie rozważmy g( x) = f (..., x, x, x Funkcja g( x) ma ekstremum dla x = x i 1 x+ 1 co oznacza =., i i 1 x+ 1, a zatem z tw. o warunku,...). dg( x) koniecznym ekstremum dla funkcji jednej zmiennej mamy =, dx f (..., x, x, x,...) x f ( x, y) = x + y x =, y = f ( x, y) f ( x, y) = = x y 13
14 Forma kwadratowa to wyrażenie postaci g h h a h n x y z zx xy n ( ) = i ij j (np. dla = 3: ) i, j= 1 Forma kwadratowa jest dodatnio okreslona, jeżeli h : g( h) > a ujemnie okreslona, jeżeli h : g( h) <. Jeżeli nie zachodzi żaden z tych przypadków, to forma jest nieokreslona. f ( x) Tw. Rozważmy formę d f ( x)( h) = hih j i niech f ( x) ma ciągle pierwsze xi x j i drugie pochodne w okolicy x, oraz f ( x x a) d f ( x)( h) jest dodatnio okreslona to f ma w x minimum lokalne b) d f ( x)( h) jest ujemnie okreslona to f ma w x maksimum lokalne c) d f ( x)( h) jest nieokreslona to f nie ma i ) =. Wtedy jeżeli w x ekstremum lokalnego 14
15 Minorem rzędu k macierzy a rzędu m nazywamy wyznacznik utworzony z pierwszych k rzędów i pierwszych k kolumn tej macierzy: A k a a 11 1k k1 a = a kk Tw. Forma g( h) = h a h jest dodatnio okreslona, jeżeli wszystkie jej minory są i ij j k dodatnie, Ak >, k = 1,,.., m, a ujemnie okreslona, jeżeli (-1) Ak >, k = 1,,.., m. Jeżeli nie zachodzi żadna z tych dwóch sytuacji, to forma jest nieokreslona. Przypadek m = : W= f ( x, y) f ( x, y) x x y f ( x, y) f ( x, y), = = f ( x, y) f ( x, y) x y x y y f ( x, y) 1) W >, > - minimum x f ( x, y) ) W >, < - maksimum x 3) W < - punkt siodlowy 4) W = - brak rozstrzygnięcia 15
16 minimum maksimum 16
17 Siodło: f(x)=x -y +xy Poszukiwanie ekstremów globalnych na obszarze domkniętym: 1) znalezienie ekstremów lokalnych we wnętrzu ) inspekcja brzegu i "rogów" 17
18 Funkcje uwikłane F( x, y) - ciągla, F( x, y) = y = y( x) - funkcja uwiklana Tw: F( x, y ) =, F, F - ciągle w otoczeniu ( x, y ), F ( x, y ) x y y 1) ε > δ > x ( x δ, x + δ ) jedyne y ( y ε, y + ε ) : F( x, y) = ) y '( x) = Fx ( x, y( x)) F ( x, y( x)) y 1 F x y = x + y = y = x 1 Fx = x, Fy = y y '( x) =, y '( ) = 1 - mamy "bez wysilku" y (, ) 1, x - równanie okręgu i punkt doń należący F x y = x x y + x y = y = y (, ) (1 )sin, x - nie da się odwiklać! F (,) = 1 y y xy x sin y y '( x) =, y '() = 1 y x ln x y + (1 x ) cos y 18
19 Wyprowadzenie ): F( x, y( x)) =, Z tw. o pochodnej funkcji zlożonej: d F ( x, y ( x )) = F x( x, y ) + y '( x ) F y( x, y ) = dx d d Ponadto F( x, y( x)) = ( Fx ( x, y) + y '( x) Fy ( x, y) ) = dx dx = F + y '( x) F + y ''( x) F + ( y '( x) ) F = x x xy y F x F x Fxx Fxy + y ''( x) Fy + Fyy = F y F y y ''( x) = F F F F F + F F xx y xy x y yy x 3 Fy F Ekstremum y( x) : y '( x) = Fx = y ''( x) = F yy xx y 19
20 Przyklad krzywej trzeciego stopnia: Lisć Kartezjusza 3 3 (, ) 3 F x y = x + y xy = y F = y x y + y y y 3 3 (, ) (,) (, ) ( 4, ) x y Fx 3x 3y ' = = ' = dla = + 3 = Fy 3y 3x x =, y = 4, F y '' = x y y y y x x x x 3 3 xx F F F F + F F y xy x y yy x 3 Fy 6 x(3y 3 x) + 6(3x 3 y)(3y 3 x) + 6 y(3x 3 y) = 3 (3y 3 x) (po wstawieniu) y ''( x, y ) < - maksimum =
21 Ekstrema warunkowe f, g : R R Funkcja f ma w punkcie ( x, y ) maksimum warunkowe, jeżeli δ > x, y : ( x - x ) + ( y - y ) < δ g( x, y) = f ( x, y ) f ( x, y) analogicznie: minimum... f ( x, y ) f ( x, y) g g( x, y) = y = y( x), y ' = g x y g x Rozważmy F( x) = f ( x, y( x)) F '( x) = f x + f y y ' = f x f y = g funkcja może mieć ekstremum gdy f g = Przyklad: f ( x, y) = x + y, g( x, y) = x + y 1 warunek: y = x, x = y = ± 1 f g x y y x y f g x y y x g y f g 1
22 Metoda mnożników Lagrange a Tworzymy pomocniczą funkcję Φ ( x, y) = f ( x, y) λg( x, y), gdzie λ nazywa się mnożnikiem Lagrange'a lub czynnikiem nieoznaczonym Lagrange'a. Następnie znajdujemy ekstrema funkcji Φ tak, jakby zmienne x i y byly niezależne. Rozwiązujemy uklad równań Φ =, Φ =, g( x, y) =. x y Dowód: Φ = f + λg =, Φ = f + λg =. Eliminując λ dostajemy f g = f g. x x x y y y x y y x Dla n zmiennych i k warunków mamy następujące uogólnienie: x x Φ( 1,,..., xn = f x1 x xn + λ1g1 x1 x xn + + λk gk x1 x xn Szukamy ekstremum ) (,,..., ) (,,..., )... (,,..., ) Φ ( x, x,..., x ) = f ( x, x,..., x ) + λ g ( x, x,..., x ) λ g ( x, x,..., x ) = j 1 n j 1 n 1 j 1 1 n k j k 1 n Ponadto g ( x, x,..., x ) =, r = 1,..., k, co lacznie daje n + k równań na n + k niewiadomych r 1 ( n zmiennych x i k czynników λ). n
23 Krzywe i rozciągłości wielowymiarowe Φ V R U R k n Φ Φ k n 1 :, homeomorfizm (1 1, i ciągle), U, V otwarte. Wtedy U nazywamy k-wymiarową powierzchnią (hiperpowierzchnią, rozciągloscią, rozmaitoscią) Φ1 Φ ma n skladowych, Φn. Ukladamy gradienty Φn w macierz: Φ '( x) =... Φn Φ jest homeomorfizmem regularnym, jeżeli x V rząd Φ '( x) = k. Wtedy U nazywamy k-wymiarową powierzchnią gladką k= - zerowymiarowa powierzchnia (punkty izolowane) k=1 - krzywa, linia k= - powierzchnia k> - hiperpowierznia 3
24 Przyklad: π π cost sin t k = 1, n =, U = (, ), Φ =, ', : ' rz ' 1 luk gladki t U sin t Φ = cost Φ Φ = 1 t k 1, n, U ( 1,1),, t : ' sgn( t) = = = Φ = Φ = w t = Φ' nie instnieje (szpic) t t Parametr t numeruje punkty wzdłuż krzywej 4
25 Krzywa domknięta gładka: Φ : [ a, b] R n Φ( a) początek, Φ( b) koniec Φ( a) Φ( b) homeomorficzna z przedzialem Φ ( a) = Φ( b) homeomorficzna z okregiem RYS., str. 1 5
26 Krzywe stopnia drugiego (stożkowe) Powstają z przecięcia stożka płaszczyzną: Okrąg, elipsa, parabola, hiperbola ax bxy cy dx fy g = a b d = b c f, J = d f g a b b c a d c f I = a + c, K = + krzywa / d g f g okrąg=elipsa, a = c J I K elipsa > < parabola hiperbola < linie przecinajace się < linie przekrywające się 6
27 Redukcja do prostszej postaci: Przez obrót możemy się pozbyć czlonu mieszanego x ' = x cosφ + y sinφ y ' = x sinφ + y cosφ φ φ φ φ Czlon mieszany wynosi wtedy x ' y '[( a c) cos sin + b(cos sin )] b π i znika dla tg( φ) = dla c a oraz φ= dla c = a. Po takim obrocie c a 4 mamy Ax ' + Cy ' + Dx ' + Fy ' + G =. Dla A, C, czlonow liniowych pozbywamy się przez transformację x '' = x ' + D / A y '' = y ' + F / C Ax + Cy + G = Wtedy '' '' ''. x y c a b c a b e + = 1, >, =, = mimosród a b a a = b = r x + y = r, okrąg = = y ax, x ay parabola x a y = 1, xy = c hiperbola b 7
28 Elipsa x a y + = 1 b, ( ) c = a b a b c e = a mimośród XF + XF = a = const. 1 F 1, F - ogniska a - półoś wielka b - półoś mała 8
29 9
30 3
31 Całki eliptyczne (*) x = a sin φ, y = bcosφ długość łuku elipsy Ψ Ψ Ψ dφ 1 k sin dx dy dx dy d a b d ( ) + ( ) = φ cos φ sin φ φ dφ + = + = dφ cos φ + ( )sin φ φ = sin φ φ = 1 sin φ φ a a c d a c d a e d Φ L( Φ ) = a 1 e sin d φ φ π = F( k, Ψ ), k < 1, F( k) = F( k, ) φ dφ k φ = E k Ψ k < E k = E k 1 sin (, ), 1, ( ) (, ) dφ (1 + hsin φ) 1 k sin = K( h, k, Ψ) φ π Całka eliptyczna: I rodzaju II rodzaju III rodzaju W wielomian stopnia 3 lub 4 31
32 Hiperbola PF PF = a = const. 1 x y = 1 a b c = a + b c e = > 1 a asymptoty 3
33 Parabola x = e = 1 4ay 33
34 34
35 Stosunek długości czerwonych odcinków ukośnych do poziomych wynosi e directrix = kierownica 35
36 Krzywa y = y( x) Krzywizna krzywej płaskiej równanie stycznej w ( x, y ) : y y = y '( x)( x x ) 1 równanie normalnej w ( x, y ) (prostopadla do stycznej): y y = ( x x ) y '( x) π 1 ( jest tak dlatego, bo y '( x) = tgα, więc tg( α + ) = ctgα = ) y '( x) Rozważmy punkty na krzywej, ( x, y ) i ( x, y ), oraz normalne w tych punktach: y y = ( x x ), y y = ( x x ). Ich punkt wspólny to 1 1 y '( x) y '( x1) ( y1 y) ( y1 y) 1 + y '( x1) 1 + y '( x1) * x1 x * x x = x y '( x), y = y +. y '( x1) y '( x) y '( x1) y '( x) x x x x ( y '( x )) 1 + ( y '( x )) W granicy x x dostajemy x x y '( x ), y y. * * 1 = = + y ''( x) y ''( x) (1 + y '( x ) ) 3/ Odleglosć tego punktu od ( x, y) to ρ =, a krzywizna to y ''( x) 1 z def. ρ 36
37 d y dy y d y x y y x Dla krzywej parametrycznej ( x( t), y( t)) mamy =, = =, dx x dx x x r. stycznej y ( x x( t)) x ( y y( t)) = t r. normalnej x ( x x( t)) + y ( y y( t)) = t * wsp. srodka krzywizny x x( t) krzywizna 1 xt ytt ytxtt = 3/ ρ t t t t dt x t tt t t tt 3 t t ( t ) x + y x + y = y y t xt x y y x x y y x ( xt + yt ) t t * t t t, y = ( ) + t tt t tt t tt t tt Krzywizna nie zależy od ukladu wspólrzędnych (translacje, obroty). 37
38 Parametryzacja kanoniczna krzywej (*) ( x( t), y( t), z( t)) t s( t) = dt ' x + y + z dlugosć krzywej mierzona od s s t t t t t ' t ' t ' s = x + y + z > t( s) ( x[ t( s)], y[ t( s), z[ t( s)]) krzywa sparametryzowana kanonicznie dx xt xt dy dz = =, =..., =... ds s x + y + z ds ds t t t t dx dy dz + + = 1 ds ds ds Dla d = y = f ( x) dα dα dx f 1 1 kąt stycznej do Ox: α = arctg f ' = = = ds dx ds 1+ f 1+ f ρ xx x x Interpretacja: krzywizna jest pochodną tangensa nachylenia krzywej po parametrze kanonicznym 38
39 Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera Alexandra Butelka Kleina 39
40 4
41 Całki wielowymiarowe 41
42 Definicja całki wielowymiarowe Uogólnienie jednowymiarowej calki Riemanna na n wymiarów: P = [ a, b ] [ a, b ]... [ a, b ] 1 1 P = ( b a )... ( b a ) 1 1 δ = ( b a ) ( b a ) 1 1 n n n Dokonujemy podzialu n-wymiarowego prostokąta m = inf{ f ( x) : x P}, M = sup{ f ( x) : x P} i i i n s = m P m P, S = M P M P n 1 1 k k 1 1 k k Rozważamy normalny ( δ ) ciąg podzialów * * n n * * Jeżeli s to wielkosć tę n n s = lim s calka dolna, S = lim S calka górna funkcji f na prostokącie P = S n n i nazywamy wielokrotną calka Riemanna Notacja: dxdy f ( x, y), dxdydz g( x, y, z) P P 4
43 Całka iterowana P = [ a, b ] [ a, b ] 1 1 b b1 b1 b dy dx f ( x, y), dx dy f ( x, y) calki iterowane a a1 a1 a Tw. Fubiniego: Jeżeli f : P R jest ciągla, to obie calki iterowane są równe calce Riemanna dxdy f ( x, y). P (analogicznie dla większej liczby wymiarów) Przyklad: P = [,1] [, ] P x y dxdy (x y + ) = dx dy (x y + ) = dx ( + y) = dx(x + 4) = y= 3 x y y dy dx y + = dy ( + x) = ( ) 4 3 dx + = x= 1 = (x ) 1 43
44 Całki po dowolnym obszarze A R n f ( x) dla x A F( x) = dla x P \ A ϕ, ψ : [ a, b] R A = {( x, y) : a x b, ϕ( x) y ψ ( x)} zbiór normalny względem Ox Tw. Jeżeli f : A R jest ciągla, to jest calkowalna, oraz ψ ( x) dxdy f ( x, y) = dx dy f ( x, y) A a ϕ ( x) b Przyklad: A={( x, y) : x 1, y 1 x} trójkąt 1 1 x 1 dxdy xy dx dy xy dx (1 x) x 1 1 = = = 4 A 44
45 Zastosowania całek wielokrotnych V = A dxdydz A = {( x, y, z) : x, y, x, x + y + z 1} x, y ustalone z 1 x y x ustalone, szukamy największego możliwego y: y 1 x z, ponieważ najmniejsze z = y 1 x 1 1 x 1 x y 1 1 x 1 (1 x) 1 V = dx dy dz = dx dy(1 x y) = dx (1 x) = 6 1 Jest to tzw. objetosć sympleksu. W n wymiarach V = n! 45
46 Środek ciężkości 1 1 x = x dxdy y y dxdy A = A A figura -wym. 1 1 x = x dxdydz, z z dxdydz bryla V = V V A V Objętosć bryly obrotowej powstalej w wyniku obrotu regularnego zbioru A wokól Ox: V = π y dxdy 1 Reguly Guldina: V = πη A, η = y dxdy, A Dla torusa V = πa π r Podobnie dla powierzchni powstalej w wyniku obrotu luku mamy 1 S = πξ L, ξ = ydt - odleglosc srodka ciężkoci luku od osi obrotu L Dla torusa S = πa π r β α A A 46
47 Pole powierzchni z = f ( x, y), ( x, y) A f f S = dxdy 1+ + x y A Wzór wynika z konstrukcji przybliżającej powierzchnię równoleglobokami Przyklad: f ( x, y) = 1 x y A = {( x, y) : x, y, x + y 1} S = dxdy 3 = A 3 47
48 Zamiana zmiennych - dyfeomorfizm 1 n n f C R U V R :, homeomorfizm rzędu n -1 (bijekcja, pochodna odwracalna, f i f ciągle) ϕ ( b ) Pamiętamy, że dla jednej zmiennej dy f ( y) = dx f [ ϕ ( x)] ϕ '( x), y = ϕ ( x) n n Tw. ϕ : X R Y R klasy C ϕ ( a ) J ( x) = jakobian przeksztalcenia ϕ Wtedy Y ϕ x ϕ n x n ϕ x n ϕ n x n... f ( y) dy.. dy =... f [ ϕ ( x)] J ( x) dx.. dx, y = ϕ ( x,..., x ) X b a 1 n i i 1 n 48
49 Podstawowe układy współrzędnych Współrzędne biegunowe (osiowe) Φ : R R Φ1 x( r, φ) Φ ( r, φ) = =, x r cos φ, y r sinφ y( r, φ) = = Φ r( x, y) 1 y Φ ( x, y) =, r x y, φ=arctg φ( x, y) = + x x x r φ cosφ r sinφ Φ '( r, φ) = = y y sinφ r cosφ r φ cosφ r sinφ J = = r (, ) ( (, ), (, )) sinφ r cosφ dxdy f x y = rdrdφ f x x φ y r φ Homeomorfizm regularny dla r, rząd Φ ' =. Dla r = jest osobliwosć, bo w tym punkcie nie można okreslić kąta 49
50 Przyklady: dxdy x y rdrdφ r π = = dr dφ = Rπ r + x + y R r R I = e dxdy = e rdrdφ = π rdre = π e = π π e I R = lim I = π R R x y r r r R x + y R r R R R x y x x I = dx e dy e = dx e dx e = π r= 5
51 Współrzędne eliptyczne x = ar cosφ y = br sinφ x a y + = = b r, J abr Współrzędne walcowe (cylindryczne) x = r cosφ y = r sinφ z = z J = r Liniowa zmiana skali x = ax ' y = by ' z = cz ' J = abc 51
52 Współrzędna sferyczne (kuliste) Φ : R R 3 3 x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ θ [, π ] - kąt osiowy(szerokosć geogr.), φ [, π ) - kąt biegunowy (azymutalny, dlugosć geogr.) sinθ cosφ r cosθ cosφ r sinθ sinφ Φ ' = sinθ sinφ r cosθ sinφ r sinθ cosφ cosθ r sinθ J = r sinθ r = rz Φ ' = 1 w srodku kuli nie można okreslić kątów θ = θ = π rz Φ ' = na biegunach nie można okrelić kąta φ 5
53 Przyklad: Objętosć kuli π π R 1 π 3 R 4 3 V = dxdydz = dr dθ dφr sinθ = dr d cosθ dφr = π = π R 3 3 x + y + z < R ( d cosθ = sin θdθ ) R 1 Srodek ciężkosci pólkuli: η = x + y + z < R z> x + y + z < R z> z dxdydz dxdydz R π / π dr d d r r 3 1 = θ φ sin θ cosθ = π R 3 R 1 π 4 3 R 3 3 π R = dr d cos θ dφ r cosθ = π = R π R
54 Równania prostej i płaszczyzny r r prosta o kierunku a i należącym do niej punkcie x : r r r x( t) = x + ta r plaszczyzna o wektorze a do niej prostopadlym i należącym do r r r r niej punkcie x : ( x x ) a = 54
55 Płaszczyzna styczna Płaszczyzna styczna do powierzchni gładkiej o równaniu f(x,y,z)= dana jest równaniem f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) ( x x) + ( y y) + ( z z) = x y z f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) Wektor,, jest prostopadly do x y z powierzchni w punkcie ( x, y, z ). Prosta prostopadla do powierzchni w tym punkcie ma więc równanie parametryczne f ( x, y, z ) f ( x, y, z ) f ( x, y, z ) t + x, t + y, t + z x y z Dla sfery f = x + y + z R, więc prosta prostopadla ma równanie ( xt + x, y t + y, zt + z ) 55
56 Elementy analizy fourierowskiej 56
57 Szereg Fouriera f : [ π, π ] C funkcja calkowalna z kwadratem modulu: dx f ( x) (przestrzeń L ) 1) uklad ortonormalny funkcji: φ : [ π, π ] C π -π dxφ ( x) φ ( x) = δ * m n mn n ) uklad φ ( x) jest zupelny, tj. kazda funkcje z L mozna zapisac jako n szereg f ( x) = c φ ( x) n n π π π * * * m = m n n = n m n -π -π -π dxφ ( x) f ( x) dxφ ( x) c φ ( x) c dxφ ( x) φ ( x) = c δ = c n mn m π -π 57
58 1 inx W szeregu Fouriera φn ( x) = e, x [ π, π ] (ortonormalny). π 1 inx 1 inx inx f ( x) = cne = c + cne + c ne = π π 1 1 inx inx inx inx 1 ( e + e ) ( e e ) c + ( cn + c n) + i( cn c n ) = π 1 1 i a + a cos nx + b sin nx n 1 1 ( szereg F. z funkcjami sin i cos) n π π π a = dx f ( x), an = dx f ( x)cos nx, bn = dx f ( x)sin nx π π π π π π 58
59 Przyklad: f ( x) = sgn( x), x [- π, π ] (nieciągla!) a n =, n =,1,,... π π 4 1 π, n - nieparzyste bn = dx sin nx dx sin nx cos nx nπ π = π = = nπ π, n - parzyste w punktach nieciągłości średnia arytmetyczna wartości po obu stronach, tutaj (1-1)/= 59
60 Dla f : [ a, b] C rozwinięcie Fouriera ma postać nπ x nπ x f ( x) = a + a cos + bn sin T gdzie a = T 1 T b b a n 1 T 1 dx f ( x), 1 nπ x 1 nπ x an = dx f ( x)cos, bn dx f ( x)sin, ( n ) T = > T π T a b - a =, oraz Uwagi: Podobnie jak w rozwinięciu Taylora, rozwinięcie Fouriera reprezentuje daną funkcję z pomocą (nieskończonej liczby) współczynników. Reprezentacją funkcji jest więc nieskończenie wymiarowy wektor (c n ). Każda funkcja całkowalna z kwadratem ma rozwinięcie Fouriera. b a 6
61 1 inx 1 f ( x) = cne, g( x) = dne π π π π n= * * ( ) ( ) = n n= dxf x g x c d n n= inx 61
62 Transformata Fouriera (ciągła) Rozważmy f : R C, dla której dt f ( t) (przestrzeń L ). Transformatą Fouriera funkcji f nazywamy 1 ˆ( ) iωt f ω = dt e f ( t ), ω R π Wlasnosci: 1. fˆ ( ω) jest ciągla iωa. g( t) = f ( t - a) gˆ ( ω) = e fˆ ( ω) 3. g( t) = f ( t / a) gˆ ( ω) = afˆ ( aω), a > 4. f - różniczkowalna, f ' L f '( ω) = iω fˆ ( ω) 1-1 6
63 Splotem funkcji f i g nazywamy ( f * g)( y) = dx f ( y x) g( x) Tw. ( f * g)( ω) = fˆ ( ω) gˆ ( ω). Odwrotna transformata Fouriera: 1 iωt f ( t) = dω e fˆ ( ω), t R π * ˆ * Równosć Parsevala: dt f ( t) g( t) = dω f ( ω) gˆ ( ω) Równosć Plancherela: dt f ( t) = dω f ( ω) ˆ 63
64 Re Im sygnał czasowy widmo częstości rozmycie szerokości od skończonego zakresu w t 64
65 Transformata Fouriera funkcji Gaussa a a f ( t) = e, f ( ω) = dte e t t d 1 1 f dte a e iωt i dte a ω te t t 1 d a iωt ia d a iωt i dt( a ) e e dt e e ˆ t a 1 π ˆ( ) iωt = dω π = = π = = = π dt π dt = ia π t dte d e dt iωt Rozwiązanie: fˆ ( ω) = Ce a ω t iωt t a iωt = a ω dte e = a ω fˆ( ω ) (szerszy sygnał, węższe widmo) t a ω 1 a C = fˆ () = dte due a fˆ ( ω) ae π = = = π a u 65
66 Równania różniczkowe 66
67 Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe zwyczajne ma ogólną postać F( x, y( x), y '( x),...) =, gdzie... oznaczają możliwosć wystąpienia wyższych pochodnych. Zmienna x jest zmienną niezależną, a y( x) jest szukaną funkcją. Rząd równania to najwyższy rząd pochodnej. W szczególnosci, równanie różniczkowe rzędu pierwszego ma postać F( x, y, y ') =. Równanie różniczkowe cząstkowe ma ogólną postać F( x, x,..., x, y( x,..., x ), 1 n 1 n y( x1, n 1..., x ) y( x,..., xn),...,,...) = x x (równaniami cząstkowymi nie bedziemy się zajmować) 1 n Uklad równań różniczkowych zwyczajnych na n funkcji y ( x) ma postać F ( x, y ( x),..., y ( x), y '( x),..., y '( x),...) =, i = 1,..., n i 1 n 1 n i Model fizyczny/ekonomiczny/meteorologiczny... r. różniczkowe 67
68 Przykład: oscylator harmoniczny F( t, x( t), x ( t), x ( t)) = r. mechaniki f = ma prawo Newtona k kx t = mx t k m > = ω m x t = ω ( ) ( ),,, oscylator harmoniczny ( ) x( t) r. różniczkowe do rozwiązania x( t) = Acos( ωt) + Bsin( ωt) ogólna postać rozwiązania x t = Aω ωt + Bω ωt x t = ω x t Sprawdzenie: ( ) sin( ) cos( ), ( ) ( ) Warunki początkowe: x( t) = x, x ( t) = v A = x, Bω = v v x t = x ωt + ωt ω ( ) cos( ) sin( ) rozwiązanie spelniające war. początkowe 68
69 Przykład: rozpad promieniotwórczy / wzrost populacji dn ( t) = λn( t), λ > dt (ubytek na jedn. czasu proporcjonalny do liczby atomów) Rozw.: N ( t) = N exp( λt) liczba nierozpadlych atomów po czasie t λ λ N( t) = N exp( λt) populacja w czasie t, prawo wzrostu Malthusa Bardziej realistyczne równanie: dn ( t) = λn t N t N dt x = N N x = λx x * ( )[1 ( ) / ], * / (1 ) (nieliniowosć!) 69
70 Rozwiązanie równania populacji ( λ = 1): dx dx x x = x(1 x) dt ln t C exp( t C) dt = = + = + x(1 x) x 1 x = exp( C)exp( t) 1 = C 'exp( t) x( t) = x x 1 C 'exp( t) 1 1 war. początkowy: x( t = ) = x 1 = C ' x( t) = x 1 x + x 1 exp( t) 1 x x x 1+ exp( t) exp( t) t ln, x (,) (1, ) x x 1 x 1 (w t ln osobliwosć) x x = x 1 = x( t) = x : lim x( t) = 1 t 7
71 Ogólne uwagi i twierdzenia Rozwiązanie y( x) r.r. nazywamy calką r.r., a wykres ( x, y( x)) krzywą calkową. Calka ogólna równania rzędu pierwszego jest postaci y( x) = f ( x, C), gdzie C jest stalą. Stalą tę wyznacza się z warunku poczatkowego y = f ( x, C). Rozwiązanie osobliwe to rozwiązanie, którego nie można uzyskać z postaci f ( x, C) dla żadnej wartosci C. y ' Przyklad: y ' = y = 1 ( y )' = 1 y = x + C, x + C y ( x + C), x C y( x) =, x < C y( x ) = rozw. osobliwe 71
72 Jednoznaczność rozwiązań Tw. (o jednoznacznosci rozwiązań) R. postaci y ' = f ( x, y), f ( x, y) i f ( x, y) ciagle w pewnym otoczeniu ( x, y ) y otoczenie ( x a, x + a), w którym jest okreslona dokladnie jedna funkcja φ( x) o wlasnociach: φ '( x) = f ( x, φ( x)), φ( x ) = y. 7
73 Równanie o zmiennych rozdzielonych dy p( y) y '( x) = q( x) p( y) = q( x) p( y) dy = q( x) dx p( y) dy = q( x) dx dx P( y) = p( y) dy, Q( x) = q( x) dx, P( y) = Q( x) + C, C pewna stala Rozwiązanie jest dane w postaci uwiklanej! 3 ' 3, ' d dy d d D: ( P( y( x)) Q( x) C) = P( y) Q( x) = y ' p( y) q( x) = dx dx dy dx Przyklad: 3 dy( t) y t 3 3 y = t y dy = tdt = + C y = t + 3C dt 3 3 C = C y = t + C 3 y t C ' Warunek początkowy: y( t) = y = + y = ( t t ) + y 3 3 Z nieskończonej liczby rozwiązań z parametrem C warunek początkowy wybiera jedno! 73
74 Rozwiązanie równania populacji ( λ = 1): dx dx x x = x(1 x) dt ln t C exp( t C) dt = = + = + x(1 x) x 1 x = exp( C)exp( t) 1 = C 'exp( t) x( t) = x x 1 C 'exp( t) 1 1 war. początkowy: x( t = ) = x 1 = C ' x( t) = x 1 x + x 1 exp( t) 1 x x x 1+ exp( t) exp( t) t ln, x (,) (1, ) x x 1 x 1 (w t ln osobliwosć) x x = x 1 = x( t) = x : lim x( t) = 1 t 74
75 Jednoparametrowe rodziny krzywych R. populacji x = x(1 x) x( t) = 1 1 x x 1+ exp( t) Inne równanie y y = t y( t) 3t = 3 + y 3 75
76 Równania sprowadzalne do równania o zmiennych rozdzielonych y ' = f ( ax + by + c) u = ax + by + c u ' = a + by ' = a + bf ( u) u ' = 1 a + bf ( u) R. jednorodne w x i y : y y '( x) = f x y u( x) =, y = ux, y ' = u ' x + u x u ' x + u = f ( u) u ' 1 =, f ( u) u, x f ( u) u x 76
Analiza Matematyczna część 4
[wersja z 1 IV 8] Analiza Matematyczna część 4 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 7/8 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 3
[wersja z 5 X ] Analiza Matematyczna 3 Konspekt wykładu dla studentów II r. fizyki Uniwersytet Jana Kochanowskiego / Wojciech Broniowski Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera Aleandra Butelka Kleina
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 3 Całki wielowymiarowe
[wersja z X 008] Analiza Matematyczna 3 Całki wielowymiarowe Konspekt wykładu dla studentów II r. fizyki Uniwersytet Jana Kochanowskiego 008/009 Wojciech Broniowski Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 4
[wersja z 6 III 7] Analiza Matematyczna część 4 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski Analiza funkcji wielu zmiennych Przestrzeń wektorowa (liniowa)
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa do wydania piątego
Zadania z matematyki wyższej. Cz. 1, [Logika, równania liniowe, wektory, proste i płaszczyzny, ciągi, szeregi, rachunek różniczkowy, funkcje uwikłane, krzywe i powierzchnie] / Roman Leitner, Wojciech Matuszewski,
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoZAKRESY NATERIAŁU Z-1:
Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi
Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Zastosowania Całek
Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Analiza matematyczna 2 Rok akademicki: 2014/2015 Kod: EME-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Mikroelektronika w technice
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoDrgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola
Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest hiperbola? Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem 0 β < α (gdzie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 05/6 Pochodne i całki funkcji jednej zmiennej Zadanie Oblicz pierwszą i drugą pochodną następujących funkcji. f(x)
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz
Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11 Reprezentacja
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania
Bardziej szczegółowoMatematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu
Kod przedmiotu TR.SIK205 Nazwa przedmiotu Matematyka II Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 3 Całki wielowymiarowe
[wersja z 6 X 9] Analiza Matematczna 3 Całki wielowmiarowe Konspekt wkładu dla studentów II r. fizki Uniwerstet Jana Kochanowskiego 9/ Wojciech Broniowski Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera Aleandra
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoWykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych
Wykład z analizy Tydzień 1 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych 1.1 Niech f(x, y) będzie funkcją dwóch zmiennych, i niech druga współrzędna będzie ustalona y = y. Rozważana funkcja zależy tylko
Bardziej szczegółowo